Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme 71
Beweis: Man definiere die positive Zahl := (1−F (x ∗ ))/2.DaF in einer Umgebung
von x ∗ stetig partiell differenzierbar ist, existiert ein δ>0 mit:
1. F ist auf einer offenenen Obermenge der Kugel
stetig partiell differenzierbar.
B[x ∗ ; δ] :={x ∈ R n : x − x ∗ ≤δ}
2. Es ist F (x) − F (x ∗ )≤ für alle x ∈ B[x ∗ ; δ].
Für x ∈ B[x ∗ ; δ] erhält man aus dem Mittelwertsatz und Lemma 2.4, dass
F (x) − F (x ∗ ) − F (x ∗ )(x − x ∗ ) =
≤
1
0
1
0
[F (x ∗ + t(x − x ∗ )) − F (x ∗ )](x − x ∗ ) dt
F (x ∗ + t(x − x ∗ )) − F (x ∗ ) dt x − x ∗
∈B[x ∗ ;δ]
≤ x − x ∗ .
Berücksichtigt man noch, dass x ∗ ein Fixpunkt von F ist, so folgt für alle x ∈ B[x ∗ ; δ],
dass
F (x) − x ∗ = F (x) − F (x ∗ )
≤
≤
F (x) − F (x ∗ ) − F (x ∗ )(x − x ∗ ) + F (x ∗ )x − x ∗
[ + F (x ∗ )] x − x ∗
= q x − x ∗ ,
wobei q := (1 + F (x ∗ ))/2 ∈ (0, 1). Insbesonderefolgthieraus:Istx 0 ∈ B[x ∗ ; δ], so
ist x k − x ∗ ≤q k x 0 − x ∗ , k =0, 1,....HierausfolgtdieKonvergenzderFolge{x k }
gegen x ∗ , der Satz ist bewiesen.
✷
Bemerkung: Es würde im letzten Satz genügen, ρ(F (x ∗ )) < 1 vorauszusetzen (statt
F (x ∗ ) < 1 mit einer zugeordneten Matrixnorm). Denn es gilt die folgende Aussage
(siehe z. B. J. Werner (1992, S. 23 ff.)):
• Seien A ∈ R n×n und >0 gegeben. Dann existiert eine Vektornorm auf dem R n
derart, dass mit der zugeordneten Matrixnorm A ≤ρ(A)+ gilt.
Die Bedingung ρ(F (x ∗ )) < 1 ist schwächer als F (x ∗ ) < 1 mit einer zugeordneten
Matrixnorm (Beweis?).
✷
2.2.4 Das Newton-Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme
Gegeben sei nun ein nichtlineares Gleichungssystem f(x) =0, wobei mit einer offenen
Menge U ⊂ R n die Funktion f : U −→ R n auf U stetig partiell differenzierbar ist. Das
Newton-Verfahren zur Lösung von f(x) =0lautet
x k+1 := x k − f (x k ) −1 f(x k ), k =0, 1,....