Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

70 Lineare und nichtlineare Gleichungen
die Eigenwerte dieser Matrix sind
Daher ist
λ 1,2 = 1 4 [1 ± (sin x 1 cos x 2 − cos x 1 sin x 2 )] = 1 4 [1 ± sin(x 1 − x 2 )].
F (x) 2 = ρ(F (x) T F (x)) ≤ 1 2
1+| sin(x1 − x 2 )|≤ 1 √
2
≈ 0.7071.
Etwas einfacher hätten wir dies erhalten, wenn wir benutzt hätten, dass die Spektralnorm
durch die sogenannte Frobenius-Norm majorisiert wird. Für jedes A =(a ij ) ∈
R n×n gilt genauer (siehe Aufgabe 7)
A 2 = n
ρ(A T A) ≤A F :=
i,j=1
a 2 ij 1/2.
Jedenfalls wissen wir nun, dass die obige Abbildung auf D := R 2 kontrahiert und
daher wegen des Banachschen Fixpunktsatzes genau einen Fixpunkt besitzt. Mit Maple
erhalten wir
> fsolve({x_1=0.5*(cos(x_1)-sin(x_2)),x_2=0.5*(sin(x_1)+cos(x_2))},{x_1,x_2});
{x_1 = .2290592672, x_2 = .5418967160}
Wie die verhältnismäßig große Kontraktionskonstante erwarten lässt, ist die Konvergenz
nicht überragend:
k
x k
0 1.00000000000000 1.00000000000000
1 −0.15058433946988 0.69088664533802
2 0.17573141646014 0.31033272214856
3 0.33961172396776 0.56353017678320
4 0.20435511866608 0.58924783619601
5 0.21172809775056 0.51714732904876
6 0.24163334928146 0.53969140150891
7 0.22853857417878 0.54857807247071
8 0.22626202725898 0.53991061134828
9 0.23022622218652 0.54104551836410
10 0.22929116792681 0.54268422834854
Der folgende Satz ist ein lokaler Konvergenzsatz. Es werden hinreichende Bedingungen
an einen Fixpunkt angegeben, um wenigstens lokale Konvergenz (bei Start in einer
hinreichend kleinen Umgebung des Fixpunktes) zu sichern.
Satz 2.6 Die Abbildung F : R n −→ R n besitze den Fixpunkt x ∗ und sei in einer
Umgebung von x ∗ stetig partiell differenzierbar. Sei ·eine Norm auf dem R n bzw.
die zugeordnete Matrixnorm. Ist dann F (x ∗ ) < 1, soexistierteinδ > 0 derart,
dass die Folge {x k } mit x k+1 := F (x k ) für jedes x 0 ∈ R n mit x 0 − x ∗ ≤δ gegen x ∗
konvergiert.
✷