Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme 69
und alle x, y ∈ D gilt daher
f i (y) − f i (x) =
=
1
0
j=1
∇f i (x + t(y − x)) T (y − x) dt
n 1
∂f
i
(x + t(y − x)) dt (y j − x j ).
∂x j
0
Das folgende Lemma (siehe z. B. J. Werner (1992, S. 93)) geben wir ohne (seinen
einfachen) Beweis an.
Lemma 2.4 Sei g :[a, b] −→ R n stetig und ·eine Norm auf dem R n .Dannist
b
a
g(t) dt ≤
b
a
g(t) dt.
Nun ist es einfach, den folgenden Satz zu beweisen. Mit seiner Hilfe kann die Lipschitzkonstante
einer glatten Abbildung des R n in sich berechnet werden.
Satz 2.5 Sei D ⊂ R n nichtleer und konvex, U ⊃ D eine offene Obermenge und F :
U −→ R n auf D (d. h. in jedem Punkt von D) stetig partiell differenzierbar. Für eine
beliebige Norm · auf R n bezeichne · auch die zugeordnete Matrixnorm auf R n×n .
Für alle x, y ∈ D ist dann
F (x) − F (y) ≤
sup
t∈[0,1]
F (x + t(y − x)) x − y ≤
sup
ξ∈D
F (ξ) x − y.
Ist daher D kompakt oder sind die partiellen Ableitungen von F (bzw. ihrer Komponenten)
betragsmäßig auf D nach oben beschränkt, so ist F auf D lipschitzstetig mit
der Lipschitzkonstanten L := sup ξ∈D F (ξ).
Beweis: Der Beweis erfolgt offenbar sofort durch Anwendung des Mittelwertsatzes und
des vorigen Lemma.
✷
Beispiel: Sei 16 F : R 2 −→ R 2 definiert durch
F (x) := 1
cos x1 − sin x 2
.
2 sin x 1 +cosx 2
Dann ist
Dann ist
F (x) T F (x) = 1 4
F (x) = 1
− sin x1 − cos x 2
.
2 cos x 1 − sin x 2
1 sinx 1 cos x 2 − cos x 1 sin x 2
sin x 1 cos x 2 − cos x 1 sin x 2 1
,
16 Dieses Beispiel haben wir
R. Kress (1998, S. 101) Numerical Analysis. Springer,NewYork-Berlin-Heidelberg
entnommen.