Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

2.1 Lineare Gleichungssysteme 23
Setzen wir in diese Darstellung die beobachteten Positionen ein, so bekommen wir 10
lineare Gleichungen für die fünf unbekannten Koeffizienten a, b, c, d, e, die in Matrixform
folgendermaßen aussehen:
⎛
⎜
⎝
y 2 1 x 1 y 1 x 1 y 1 1
. . . . .
y10 2 x 10 y 10 x 10 y 10 1
⎛
⎞
⎟
⎠
⎜
⎝
a
b
c
d
e
⎞
⎛
⎟
⎠ = ⎜
⎝
Es handelt sich hier um ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem, welches wegen
der Beobachtungsfehler nicht exakt lösbar ist. Daher wendet man i. Allg. die Methode
der kleinsten Quadrate an (wir kommen hierauf später ausführlich zurück) und bestimmt
eine Lösung, für die der Defekt im Sinne der euklidischen Norm minimal ist.
Bei Maple gibt es im LinearAlgebra-Package die Funktion LeastSquares, mitder
eine solche Lösung bestimmt werden kann. Wir wollen hier eine MATLAB-Funktion
Kepler angeben. Hierzu schreibt man in ein File Kepler.m z. B. den folgenden Inhalt.
function z=Kepler(x,y);
%*****************************************************
%Zu vorgegebenen Koordinaten (x,y) wird nach der
%Methode der kleinsten Quadrate die Darstellung einer
%Ellipse ausgegeben.
%*****************************************************
%Input-Parameter
% x,y zwei Vektoren, deren Laenge deutlich
% groesser als 5 ist.
%Output-Parameter
% z Die gesuchte Ellipse hat die
% Darstellung
% x^2=z(1)*y^2+z(2)*xy+z(3)*x+z(4)*y+z(5)
%*****************************************************
A=[y.^2,x.*y,x,y,ones(length(x),1)];
rhs=x.^2; z=A\rhs;
x 2 1
.
x 2 10
⎞
⎟
⎠ .
Besetzen wir die Vektoren und rufen die Funktion Kepler auf, etwa durch
>> format long;
>>x=[-1.024940;-0.949898; -0.866114;-0.773392;-0.671372;-0.559524;-0.437067;...
-0.302909;-0.155493;-0.007464];
>>y=[-0.389269;-0.322894;-0.265256;-0.216557;-0.177152; -0.147582;-0.128618;...
-0.121353;-0.127348;-0.148885];
>>z=Kepler(x,y)
so erhalten wir
⎛
z =
⎜
⎝
−1.38334886512014
−0.66464965048688
−0.67112854539521
−3.37090756374251
−0.47504214706864
⎞
⎟
⎠ .