Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...
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66 Lineare und nichtlineare Gleichungen definierte Abbildung · : R n×n −→ R die der Vektornorm · zugeordnete Matrixnorm auf R n×n . Die Eigenschaften einer Norm weist man leicht nach. Ist sowohl auf dem R n als auch auf dem R m je eine Norm gegeben, so kann entsprechend natürlich auch eine diesen beiden Vektornorm zugeordnete Matrixnorm auf R m×n definiert werden. Offensichtlich ist Ax ≤Ax für alle x ∈ R n . Beispiele: Für die gängigen Vektornormen soll die zugeordnete Matrixnorm berechnet werden. Zunächst betrachten wir die Maximumnorm · ∞ auf dem R n .SeiA =(a ij ) ∈ R n×n .Fürbeliebigei ∈{1,...,n} und x ∈ R n ist dann und folglich Daher ist |(Ax) i | = n a ij x j ≤ j=1 n j=1 Ax ∞ ≤ |a ij | |x j | ≤ max i=1,...,n ≤x ∞ max i=1,...,n Ax ∞ A ∞ := sup x=0 x ∞ n j=1 |a ij | x ∞ . ≤ max i=1,...,n n j=1 n |a ij |. j=1 |a ij | x ∞ Wir behaupten, dass hier Gleichheit gilt. Sei max n i=1,...,n j=1 |a ij| = n j=1 |a kj|, die maximale Zeilenbetragssume von A trete also in der k-ten Zeile auf. Ist a kj = 0, j =1,...,n,soistA =0die Nullmatrix, ein trivialer Fall, in dem die Behauptung richtig ist. Andernfalls definiere man ˆx ∈ R n durch Dann ist ˆx ∞ =1und n A ∞ ≤ max |a ij | = i=1,...,n sign (akj ), ˆx j := j=1 j=1 a kj =0, 0, a kj =0, n a kjˆx j = n j=1 j =1,...,n. a kjˆx j ≤Aˆx∞ ≤A ∞ ˆx ∞ = A ∞ , =1 womit die Behauptung bewiesen ist. Naheliegenderweise nennt man die Matrixnorm · ∞ die maximale Zeilenbetragssummennorm. Entsprechend ist die der Betragssummennorm · 1 zugeordnete Matrixnorm durch A 1 = max j=1,...,m n |a ij | gegeben, die maximale Spaltenbetragssummennorm. Jetzt soll die der euklidischen Vektornorm zugeordnete Matrixnorm berechnet werden. Hierbei benutzen wir (siehe auch Aufgabe 15 in Abschnitt 2.1): • Sei A ∈ R n×n symmetrisch. Dann ist i=1 x T Ax ≤ λ max (A) x 2 2 für alle x ∈ R n . Hierbei bedeutet λ max (A) einen maximalen Eigenwert von A.
2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme 67 Denn seien λ 1 ,...,λ n die (notwendig reellen) Eigenwerte von A und {u 1 ,...,u n } ein zugehöriges Orthonormalsystem von Eigenvektoren. Ein beliebiges x ∈ R n lässt sich eindeutig in der Form x = n i=1 α iu i darstellen. Dann ist n T n x T Ax = α i u i λ i α i u i = i=1 i=1 n n λ i αi 2 ≤ λ max (A) αi 2 = λ max (A) x 2 2, i=1 i=1 womit die Behauptung bewiesen ist. Sei nun A ∈ R n×n beliebig. Wendet man das letzte Resultat auf die symmetriche (und positiv semidefinite) Matrix A T A an, so erhält man Ax 2 = (Ax) T (Ax) = √ x T A T Ax ≤ λ max (A T A) x 2 2 = λ max (A T A) x 2 , so dass Ax 2 A 2 := sup x=0 x 2 ≤ λ max (A T A). Ist andererseits u max ein zu λ max (A T A) gehörender, durch u max 2 = 1 normierter Eigenvektor von A T A,soist A 2 ≤ λ max (A T A)= u T maxA T Au max = Au max 2 ≤A 2 u max 2 = A 2 , =1 womit insgesamt A 2 = λ max (A T A) bewiesen ist. Die der euklidischen Vektornorm zugeordnete Matrixnorm wird auch Spektralnorm genannt. Sind λ 1 ,...,λ n die (i. Allg. komplexen) Eigenwerte einer n × n- Matrix A, soheißtρ(A) :=max i=1,...,n |λ i | der Spektralradius von A (der minimale Radius eines Kreises um den Nullpunkt in der komplexen Zahlenebene, der alle Eigenwerte von A enthält). Dann kann man auch A 2 = ρ(A T A) schreiben. ✷ Jetzt erinnern wir an einige Begriffe und Ergebnisse der Differentialrechnung im R n (wir folgen ziemlich wörtlich J. Werner (1992, S 92 ff.)). 1. Sei U ⊂ R n offen und f : U −→ R m eine Abbildung. Diese heißt in x ∈ U (total) differenzierbar, wenneseinelineareAbbildungA : R n −→ R m bzw. eine Matrix A ∈ R m×n mit (∗) f(x + h) − f(x) − Ah lim h→0 h =0 gibt. Hierbei ist ·eine beliebige Norm auf dem R m bzw. dem R n .
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2.2 Nichtlineare <strong>Gleichungen</strong> <strong>und</strong> Gleichungssysteme 67<br />
Denn seien λ 1 ,...,λ n die (notwendig reellen) Eigenwerte von A <strong>und</strong> {u 1 ,...,u n } ein<br />
zugehöriges Orthonormalsystem von Eigenvektoren. Ein beliebiges x ∈ R n lässt sich<br />
eindeutig in der Form x = n<br />
i=1 α iu i darstellen. Dann ist<br />
n T n <br />
x T Ax = α i u i λ i α i u i =<br />
i=1<br />
i=1<br />
n<br />
n<br />
λ i αi 2 ≤ λ max (A) αi 2 = λ max (A) x 2 2,<br />
i=1<br />
i=1<br />
womit die Behauptung bewiesen ist.<br />
Sei nun A ∈ R n×n beliebig. Wendet man das letzte Resultat auf die symmetriche<br />
(<strong>und</strong> positiv semidefinite) Matrix A T A an, so erhält man<br />
Ax 2 = (Ax) T (Ax) = √ x T A T Ax ≤<br />
<br />
λ max (A T A) x 2 2 = λ max (A T A) x 2 ,<br />
so dass<br />
Ax 2<br />
A 2 := sup<br />
x=0 x 2<br />
≤ λ max (A T A).<br />
Ist andererseits u max ein zu λ max (A T A) gehörender, durch u max 2 = 1 normierter<br />
Eigenvektor von A T A,soist<br />
A 2 ≤ λ max (A T A)= u T maxA T Au max = Au max 2 ≤A 2 u max <br />
2 = A 2 ,<br />
=1<br />
womit insgesamt<br />
A 2 = λ max (A T A)<br />
bewiesen ist. Die der euklidischen Vektornorm zugeordnete Matrixnorm wird auch<br />
Spektralnorm genannt. Sind λ 1 ,...,λ n die (i. Allg. komplexen) Eigenwerte einer n × n-<br />
Matrix A, soheißtρ(A) :=max i=1,...,n |λ i | der Spektralradius von A (der minimale<br />
Radius eines Kreises um den Nullpunkt in der komplexen Zahlenebene, der alle Eigenwerte<br />
von A enthält). Dann kann man auch<br />
A 2 = ρ(A T A)<br />
schreiben.<br />
✷<br />
Jetzt erinnern wir an einige Begriffe <strong>und</strong> Ergebnisse der Differentialrechnung im R n<br />
(wir folgen ziemlich wörtlich J. Werner (1992, S 92 ff.)).<br />
1. Sei U ⊂ R n offen <strong>und</strong> f : U −→ R m eine Abbildung. Diese heißt in x ∈ U (total)<br />
differenzierbar, wenneseinelineareAbbildungA : R n −→ R m bzw. eine Matrix<br />
A ∈ R m×n mit<br />
(∗)<br />
f(x + h) − f(x) − Ah<br />
lim<br />
h→0 h<br />
=0<br />
gibt. Hierbei ist ·eine beliebige Norm auf dem R m bzw. dem R n .
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