Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

66 Lineare und nichtlineare Gleichungen
definierte Abbildung · : R n×n −→ R die der Vektornorm · zugeordnete Matrixnorm
auf R n×n . Die Eigenschaften einer Norm weist man leicht nach. Ist sowohl auf dem R n
als auch auf dem R m je eine Norm gegeben, so kann entsprechend natürlich auch
eine diesen beiden Vektornorm zugeordnete Matrixnorm auf R m×n definiert werden.
Offensichtlich ist Ax ≤Ax für alle x ∈ R n .
Beispiele: Für die gängigen Vektornormen soll die zugeordnete Matrixnorm berechnet
werden. Zunächst betrachten wir die Maximumnorm · ∞ auf dem R n .SeiA =(a ij ) ∈
R n×n .Fürbeliebigei ∈{1,...,n} und x ∈ R n ist dann
und folglich
Daher ist
|(Ax) i | =
n
a ij x j ≤
j=1
n
j=1
Ax ∞ ≤
|a ij | |x j | ≤ max
i=1,...,n
≤x ∞
max
i=1,...,n
Ax ∞
A ∞ := sup
x=0 x ∞
n
j=1
|a ij | x ∞ .
≤ max
i=1,...,n
n
j=1
n
|a ij |.
j=1
|a ij | x ∞
Wir behaupten, dass hier Gleichheit gilt. Sei max n
i=1,...,n j=1 |a ij| = n
j=1 |a kj|, die
maximale Zeilenbetragssume von A trete also in der k-ten Zeile auf. Ist a kj = 0,
j =1,...,n,soistA =0die Nullmatrix, ein trivialer Fall, in dem die Behauptung
richtig ist. Andernfalls definiere man ˆx ∈ R n durch
Dann ist ˆx ∞ =1und
n
A ∞ ≤ max |a ij | =
i=1,...,n
sign (akj ),
ˆx j :=
j=1
j=1
a kj =0,
0, a kj =0,
n
a kjˆx j =
n
j=1
j =1,...,n.
a kjˆx j ≤Aˆx∞ ≤A ∞ ˆx
∞ = A ∞ ,
=1
womit die Behauptung bewiesen ist. Naheliegenderweise nennt man die Matrixnorm
· ∞ die maximale Zeilenbetragssummennorm.
Entsprechend ist die der Betragssummennorm · 1 zugeordnete Matrixnorm durch
A 1 =
max
j=1,...,m
n
|a ij |
gegeben, die maximale Spaltenbetragssummennorm.
Jetzt soll die der euklidischen Vektornorm zugeordnete Matrixnorm berechnet werden.
Hierbei benutzen wir (siehe auch Aufgabe 15 in Abschnitt 2.1):
• Sei A ∈ R n×n symmetrisch. Dann ist
i=1
x T Ax ≤ λ max (A) x 2 2 für alle x ∈ R n .
Hierbei bedeutet λ max (A) einen maximalen Eigenwert von A.