Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

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64 Lineare und nichtlineare Gleichungen Satz 2.3 (Banach) Sei (X, ·) ein Banachraum, D ⊂ X abgeschlossen und F : X −→ X eine Abbildung. Es sei F (D) ⊂ D und F auf D kontrahierend, d. h. es existiert eine Konstante q ∈ (0, 1) mit F (x) − F (y) ≤q x − y für alle x, y ∈ D. Dann besitzt F genau einen Fixpunkt x ∗ in D, dieFolge{x k } mit x k+1 := F (x k ) konvergiert gegen x ∗ für jedes x 0 ∈ D und es gilt die Fehlerabschätzung x ∗ − F (x) ≤ q x − F (x) für alle x ∈ D. 1 − q Beweis: Sei x ∈ D beliebig. Man definiere eine Folge {x k }⊂D durch x 0 := x, x k+1 := F (x k ) (k =0, 1,...). Durch vollständige Induktion nach k zeigt man, dass x k+1 − x k ≤ q k x 1 − x 0 , k =0, 1,...,anschließendfolgtmitHilfederDreiecksungleichung (∗) x k+p − x k ≤ qk 1 − q x 1 − x 0 (k =0, 1,..., p∈ N). Daher ist {x k } eine Cauchyfolge, also konvergent gegen ein x ∗ ∈ X, welcheswegender Abgeschlossenheit von D sogar in D liegt. Da F insbesondere stetig ist und x k+1 = F (x k ) gilt, ist x ∗ = F (x ∗ ),alsox ∗ ∈ D ein Fixpunkt von F .DaF auf D kontrahiert, ist x ∗ einziger Fixpunkt von F in D. Mit p →∞folgt aus (∗), dass x ∗ − x k ≤ qk 1 − q x 1 − x 0 , k =0, 1,.... Mit k =1folgt hieraus die behauptete Fehlerabschätzung. Beispiel: Wir betrachten den eindimensionalen Fall. Sei also im Banachschen Fixpunktsatz speziell (X, ·):=(R, |·|), fernerseiF : D −→ R auf D stetig differenzierbar. Wie können wir überprüfen, ob F auf D kontrahierend ist? Das geeignete Hilfsmittel hierzu ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Hiernach existiert zu beliebigen x, y ∈ D ein θ ∈ (0, 1) mit Für beliebige x, y ∈ D ist daher F (y) − F (x) =F (x + θ(y − x) )(y − x). ∈D |F (x) − F (y)| ≤sup |F (ξ)||x − y|. ξ∈D Ist also q := sup ξ∈D |F (ξ)| < 1 (insbesondere also endlich, was für nicht kompaktes D nicht selbstverständlich ist), so ist F auf D kontrahierend. ✷ Beispiele: Mit Hilfe des letzten Beispiels wollen wir den Fixpunktsatz auf zwei Beispiele von Fixpunktaufgaben in (R, |·|) anwenden. ✷
2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme 65 Gegeben sei die Fixpunktaufgabe x = e −x ,esseialsobeiderAnwendungdes Banachschen Fixpunktsatzes F (x) :=e −x .DieAbbildungF bildet offensichtlich D := [e −1 , 1] in sich ab, ferner ist q := sup |F (ξ)| = max ξ∈D ξ∈[1/e,1] e−ξ = e −1 ≈ 0.3679, also F auf dem abgeschlossenen Intervall D := [e −1 , 1] kontrahierend. Der Banachsche Fixpunktsatz liefert, dass die durch x k+1 := exp(−x k ) gewonnene Folge {x k } für jeden Startwert x 0 ∈ D gegen den einzigen Fixpunkt x ∗ von F in D konvergiert. Beachtet man nun noch, dass für beliebiges x 0 ∈ R die nächste Iterierte x 1 := F (x 0 ) in R + ist, danach x 2 = F (x 1 ) ∈ (0, 1) und schließlich x 3 = F (x 2 ) ∈ [e −1 , 1], manalsonachspätestens drei Schritten in D “gelandet” ist, so erkennt man, dass die durch x k+1 := exp(−x k ) gewonnene Folge {x k } für jeden Startwert x 0 ∈ R gegen den einzigen Fixpunkt x ∗ von F konvergiert. In Abbildung 2.8 veranschaulichen veranschaulichen wir uns die Fixpunk- 3 Fixpunktiteration bei x=exp(−x) 1.2 Fixpunktiteration bei x=cos x 2.5 1 2 0.8 1.5 0.6 1 0.4 0.5 0 0.2 x x x x x 0 2 4 3 1 −0.5 0 x x x x x 0 2 4 3 1 −1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −0.2 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Abbildung 2.8: Veranschaulichung der Fixpunktiteration titeration. Mit x := 0.5 liefert die Fehlerabschätzung im Banachschen Fixpunktsatz, dass |x ∗ − exp(−0.5)| ≤0.0620. Als zweites Beispiel betrachten wir die Fixpunktaufgabe x =cosx. DieArgumentation ist hier fast dieselbe wie im ersten Beispiel, diesmal ist F (x) :=cosx. Offensichtlich bildet F das Intervall D := [0, 1] in sich ab. Wegen q := sup |F (ξ)| =maxsin ξ =sin1≈ 0.8415 ξ∈D ξ∈[0,1] ist F auf D kontrahierend. Für beliebiges x 0 ∈ R ist spätestens die zweite Iterierte x 2 in [0, 1] enthalten, so dass die durch x k+1 := cos x k gewonnene Folge für jeden Startwert x 0 ∈ R gegen den einzigen Fixpunkt x ∗ konvergiert. ✷ Ganz kurz wollen wir nun auf Matrixnormen eingehen. Sei also · eine gegebene Norm auf dem R n .IstA ∈ R n×n eine n × n-Matrix (bzw. die durch x → Ax definierte lineare Abbildung vom R n in den R n ), so heißt die durch Ax A := sup x=0 x = max Ax x:x=1
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