Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

64 Lineare und nichtlineare Gleichungen
Satz 2.3 (Banach) Sei (X, ·) ein Banachraum, D ⊂ X abgeschlossen und F :
X −→ X eine Abbildung. Es sei F (D) ⊂ D und F auf D kontrahierend, d. h. es
existiert eine Konstante q ∈ (0, 1) mit
F (x) − F (y) ≤q x − y für alle x, y ∈ D.
Dann besitzt F genau einen Fixpunkt x ∗ in D, dieFolge{x k } mit x k+1 := F (x k )
konvergiert gegen x ∗ für jedes x 0 ∈ D und es gilt die Fehlerabschätzung
x ∗ − F (x) ≤
q x − F (x) für alle x ∈ D.
1 − q
Beweis: Sei x ∈ D beliebig. Man definiere eine Folge {x k }⊂D durch
x 0 := x, x k+1 := F (x k ) (k =0, 1,...).
Durch vollständige Induktion nach k zeigt man, dass x k+1 − x k ≤ q k x 1 − x 0 ,
k =0, 1,...,anschließendfolgtmitHilfederDreiecksungleichung
(∗) x k+p − x k ≤ qk
1 − q x 1 − x 0 (k =0, 1,..., p∈ N).
Daher ist {x k } eine Cauchyfolge, also konvergent gegen ein x ∗ ∈ X, welcheswegender
Abgeschlossenheit von D sogar in D liegt. Da F insbesondere stetig ist und x k+1 =
F (x k ) gilt, ist x ∗ = F (x ∗ ),alsox ∗ ∈ D ein Fixpunkt von F .DaF auf D kontrahiert,
ist x ∗ einziger Fixpunkt von F in D. Mit p →∞folgt aus (∗), dass
x ∗ − x k ≤
qk
1 − q x 1 − x 0 , k =0, 1,....
Mit k =1folgt hieraus die behauptete Fehlerabschätzung.
Beispiel: Wir betrachten den eindimensionalen Fall. Sei also im Banachschen Fixpunktsatz
speziell (X, ·):=(R, |·|), fernerseiF : D −→ R auf D stetig differenzierbar.
Wie können wir überprüfen, ob F auf D kontrahierend ist? Das geeignete
Hilfsmittel hierzu ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Hiernach existiert zu
beliebigen x, y ∈ D ein θ ∈ (0, 1) mit
Für beliebige x, y ∈ D ist daher
F (y) − F (x) =F (x + θ(y − x) )(y − x).
∈D
|F (x) − F (y)| ≤sup |F (ξ)||x − y|.
ξ∈D
Ist also q := sup ξ∈D |F (ξ)| < 1 (insbesondere also endlich, was für nicht kompaktes D
nicht selbstverständlich ist), so ist F auf D kontrahierend.
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Beispiele: Mit Hilfe des letzten Beispiels wollen wir den Fixpunktsatz auf zwei Beispiele
von Fixpunktaufgaben in (R, |·|) anwenden.
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