Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme 63
2.2.3 Der Banachsche Fixpunktsatz
Wir haben bisher nur nichtlineare Gleichungen in R betrachtet und hierzu einige Verfahren
kennen gelernt. Jetzt wollen wir auch nichtlineare Gleichungssysteme untersuchen,
etwa ein nichtlineares Gleichungssystem der Form
f(x 1 ,...,x n )=
⎛
⎜
⎝
f 1 (x 1 ,...,x n )
.
f n (x 1 ,...,x n )
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
0
.
0
⎞
⎟
⎠ =0.
Hierbei ist f : R n −→ R n eine gegebene Abbildung, von der i. Allg. vorausgesetzt wird,
dass sie hinreichend glatt ist. Während ein Abstandsbegriff in R durch den Absolutbetrag
in natürlicher Weise gegeben ist, kann man im R n und erst recht in Funktionenräumen,
wie sie etwa bei gewöhnlichen Differentialgleichungen oder Approximationsaufgaben
vorkommen, auf verschiedene Weise einen Abstandsbegriff zwischen Punkten
des R n (oder gewissen Funktionen) einführen. Dies führt zum Begriff einer Norm auf
dem R n oder allgemeiner auf einem linearen Raum (bzw. einem Vektorraum).
Wir nehmen an, dass die folgenden Begriffe aus Analysis II bekannt sind:
• Linearer 15 normierter Raum, Norm, Konvergenz und Cauchyfolge in einem linearen
normierten Raum , Banachraum,
• Abgeschlossene Teilmengen eines linearen normierten Raumes,
• Stetige Abbildungen zwischen linearen normierten Räumen,
• Lipschitzstetige Abbildungen.
• Äquivalenz der Normen auf dem R n (bzw. einem endlichdimensionalen linearen
Raum): Der Konvergenzbegriff auf dem R n ist normunabhängig.
Beispiele: Der R n ,versehenmiteinerbeliebigenVektornorm·,istbekanntlich
ein Banachraum. Die wichtigsten Normen im R n sind die euklidische Vektornorm, die
Betragssummennorm und die Maximumnorm, welche für einen Vektor x =(x j ) ∈ R n
durch
n 1/2,
x 2 := xj 2 x1 :=
j=1
n
j=1
|x j |, x ∞ := max
j=1,...,n |x j|
gegeben sind. Da wir uns in diesem Kapitel mit Problemen im R n beschäftigen, wollen
wir noch nicht auf Beispiele unendlichdimensionaler linearer normierter Räume eingehen.
✷
Jetzt folgt der bekannte Banachsche Fixpunktsatz (auch Kontraktionssatz genannt),
den wir nur der Vollständigkeit halber beweisen.
15 Der zugrunde gelegte Skalarkörper ist bei uns grundsätzlich der Körper R der reellen Zahlen.