Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme 61
Sekantenverfahren aus dem Newton-Verfahren, in dem man den Differentalquotienten
f (x k ) durch den Differenzenquotienten (f(x k ) − f(x k−1 ))/(x k − x k−1 ) ersetzt. Daher
lautet die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens:
x k+1 := x k − (x k − x k−1 )f(x k )
, k =1, 2,....
f(x k ) − f(x k−1 )
Für dieses Verfahren gilt ebenfalls ein lokaler Konvergenzsatz, ganz ähnlich Satz 2.1 für
das Newton-Verfahren 14 . Im wesentlichen unter denselben Voraussetzungen wie in Satz
2.2 (also: x ∗ einfache Nullstelle von f, dieFunktionf zweimal stetig differenzierbar auf
einer Umgebung von x ∗ )kanngezeigtwerden,dasseseinδ>0 gibt mit der Eigenschaft,
dass für beliebige Startwerte x 0 ,x 1 ∈ [x ∗ − δ, x ∗ + δ] mit x 0 = x 1 das Sekantenverfahren
eine gegen x ∗ konvergente Folge {x k } liefert. Genauer ist |x k − x ∗ |≤c k mit einer
Nullfolge {c k }⊂R + ,zudereineKonstanteC>0 mit c k+1 ≤ Cc (1+√ 5)/2
k
für alle k
existiert.
Bemerkung: Etwas zur Allgemeinbildung: Man sagt, eine Strecke der Länge L>0
werde nach dem goldenen Schnitt in Strecken der Länge l ≥ L/2 und L − l geteilt (also
ist l die längere Strecke), wenn das Verhältnis L/l der gesamten Strecke zur längeren
gleich dem Verhältnis l/(L − l) der längeren zur kürzeren Strecke ist. Es hat also
bzw.
zu gelten. Die positive Lösung ist
L
l =
L
l
L
l = τ := 1+√ 5
2
l
L − l = 1
L/l − 1
2
−
L
l =1
≈ 1.618033989.
Daher nennt man τ die Goldene Schnitt Zahl.
Die Goldene Schnitt Zahl hängt eng mit den Fibonacci-Zahlen zusammen. Fibonacci
bzw. Leonardo von Pisa stellte im liber abbaci (1202) die folgende Aufgabe:
Angenommen, Kaninchen brauchen einen Monat, um geschlechtsreif zu werden. Danach
reproduzieren sie sich einmal jeden Monat, wobei sie einen Monat lang tragen. Im
Null-ten Monat sei ein neugeborenes Paar von Kaninchen vorhanden. Wieviele Kaninchenpaare
sind im k-ten Monat anzutreffen (wobei angenommen wird, dass Kaninchen
unendlich lange leben)?
Bezeichnen wir ein neugeborenes Kaninchenpaar mit N und ein ausgewachsenes
Paar mit A, sohatmanalso
14 Siehe z. B.
Monat 0 1 2 3 4 5 6
N, A 1N 1A 1A +1N 2A +1N 3A +2N 5A +3N 8A +5N
Σ 1 1 2 3 5 8 13
J. Werner (1992, S. 112) Numerische Mathematik 1 .Vieweg,Braunschweig-Wiesbaden.