Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

58 Lineare und nichtlineare Gleichungen
1
Gleichung x=cos(x)
0.5
f(x)=x−cos(x)
0.9
cos x
0.8
0.7
0
0.6
x
0.5
0.4
0.3
−0.5
0.2
0.1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x
−1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x
Abbildung 2.6: Die Gleichung x =cosx und die Funktion f(x) :=x − cos x
chung x =cosx und zeichnen rechts die Funktion f(x) :=x − cos x. Dasauff angewandte
Newton-Verfahren lautet
Wir erhalten z. B. die folgenden Werte:
Man erkennt die vorzügliche Konvergenz.
x k+1 := x k − x k − cos x k
1+sinx k
.
k x k
0 1.00000000000000
1 0.75036386784024
2 0.73911289091136
3 0.73908513338528
4 0.73908513321516
5 0.73908513321516
Globale Konvergenzaussagen für das Newton-Verfahren, bei denen also der Startwert
x 0 aus einer hinreichend kleinen Umgebung einer Nullstelle x ∗ von f zu sein hat, gelten
i. Allg. nur unter Monotonie- und Konvexitätsvoraussetzungen an f. DerfolgendeSatz
ist ein solcher globaler Konvergenzsatz.
Satz 2.2 Sei f ∈ C 2 [a, b] mit f (x) > 0 und f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b], d.h.dieauf
[a, b] zweimal stetig differenzierbare Funktion f sei auf [a, b] streng monoton wachsend
und konvex. Ferner sei f(a) < 0