Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

56 Lineare und nichtlineare Gleichungen
Beispiel: Als Resultat von x=Bisection(inline(’tan(x/4)-1’),2,4,1e-12); erhalten
wir (mit format long) x =3.14159265358967.
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Nachdem wir kurz die einfache Idee des Bisektionsverfahrens geschildert haben, kommen
wir nun zum Newton-Verfahren, einem der wichtigsten Verfahren der Numerischen
Mathematik. Auf die naheliegende Idee, die dem Newton-Verfahren zu grunde liegt,
sind wir schon in der Einführung eingegangen. Ist x k eine aktuelle Näherung für eine
Nullstelle von f, soapproximieremanf in der Nähe von x k durch die lineare Funktion
f k (x) :=f(x k )+f (x k )(x−x k+1 ), also die ersten beiden Terme einer Taylor-Entwicklung
von f in x k , und gewinne die neue Näherung x k+1 (für f (x k ) = 0)alsNullstellevon
f k . Dies führt auf die Iterationsvorschrift des (eindimensionalen) Newton-Verfahrens:
x k+1 := x k − f(x k)
, k =0, 1,....
f (x k )
Nun interessieren natürlich Konvergenzaussagen zu diesem Verfahren. Der folgende
Satz ist ein lokaler Konvergenzsatz.
Satz 2.1 Die Funktion f : R −→ R besitze in x ∗
f(x ∗ )=0. Es gelte:
∈ R eine Nullstelle, es sei also
1. Die Funktion f ist auf einem Intervall U ∗ ,welchesx ∗ im Inneren enthält, stetig
differenzierbar und f dort lipschitzstetig, d. h. es existiert eine Konstante L>0
mit |f (x) − f (y)| ≤L |x − y| für alle x, y ∈ U ∗ .
2. Es ist f (x ∗ ) = 0,d.h.x ∗ ist eine einfache Nullstelle von f.
Dann existiert ein δ>0 bzw. ein Intervall I ∗ =[x ∗ −δ, x ∗ +δ] ⊂ U ∗ mit der Eigenschaft,
dass für jeden Startwert x 0 ∈ I ∗ die durch die Newton-Vorschrift
x k+1 := x k − f(x k)
, k =0, 1,...,
f (x k )
gewonnene Folge {x k } definiert ist (d. h. f (x k ) existiert und ist von Null verschieden)
und gegen x ∗ konvergiert. Ferner existiert eine Konstante C>0 mit
|x k+1 − x ∗ |≤C |x k − x ∗ | 2 , k =0, 1,...,
d. h. die Folge {x k } konvergiert quadratisch gegen x ∗ .
Beweis: Man wähle δ>0 so klein, dass I ∗ := [x ∗ − δ, x ∗ + δ] ⊂ U ∗ , |f (x)| ≥ 1 2 |f (x ∗ )|
für alle x ∈ I ∗ und δ ≤|f (x ∗ )|/(2L). Seix 0 ∈ I ∗ beliebig. Wir werden die folgende
Implikationskette nachweisen:
x k ∈ I ∗ =⇒|x k+1 − x ∗ |≤
L
|f (x ∗ )| |x k − x ∗ | 2 ≤ 1 2 |x k − x ∗ | =⇒ x k+1 ∈ I ∗ .
Dies wird dann zeigen, dass die gesamte Folge {x k } im Intervall I ∗ bleibt, die Folge
{x k } wegen
|x k+1 − x ∗ |≤ 1 2 |x k − x ∗ |≤ 1
2 |x k+1 0 − x ∗ |≤ δ
2 k+1