Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

54 Lineare und nichtlineare Gleichungen
Hier erhalten wir
k
z k
0 1.00000000000000 + 1.00000000000000i
1 0.41956978951242 + 1.08597257226218i
2 0.27943162439556 + 1.33130774424201i
3 0.31877394181938 + 1.33694557803917i
4 0.31813150923617 + 1.33723547391984i
5 0.31813150520475 + 1.33723570143070i
6 0.31813150520476 + 1.33723570143069i
Entsprechend kann man auch in Maple vorgehen, weil auch in Maple reelle Zahlen
nicht vor komplexen ausgezeichnet sind. Am einfachsten ist hier die Anwendung
von fsolve, allerding sollte man Maple sagen, dass man im Komplexen nach einer
Lösung sucht:
> fsolve(exp(z)=z,z);
fsolve(e z = z, z)
> fsolve(exp(z)=z,z,complex);
.3181315052 − 1.337235701 I
Die MATLAB-Funktion fzero geht von einer Nullstellenaufgabe für eine reellwertige
Funktion aus.
✷
2.2.2 Nichtlineare Gleichungen
In diesem Unterabschnitt betrachten wir den eindimensionalen Spezialfall, genauer eine
nichtlineare Gleichung
f(x) =0
in einer unabhängigen reellen Variablen x. DanichtlineareGleichungeninderRegel
nicht geschlossen gelöst werden können, ihre Lösungen also nicht in endlich vielen
Schritten berechenbar sind, ist man auf Iterationsverfahren zur Approximation der
Lösung angewiesen. Dies gilt natürlich erst Rrecht für den mehrdimensionalen Fall.
Wir werden auf drei Verfahren etwas genauer eingehen.
Sind a < b zwei Punkte, in denen f unterschiedliches Vorzeichen har, ist also
f(a)f(b) < 0, istferner:[a, b] −→ R stetig, so liefert der Zwischenwertsatz die Existenz
einer Nullstelle x ∗ von f in (a, b). DiesekannmitHilfedesBisektionsverfahrens
berechnet werden:
• Input: Reelle Zahlen a0, die die gewünschte Genauigkeit steuert. Ferner sei >0
die sogenannte Maschinengenauigkeit. In MATLAB ist eps der Abstand von 1.0
zur nächst größeren Gleitkommazahl, es ist eps=2.220446049250313e-16.
• Berechne f a := f(a), f b := f(b).
• Solange b − a>δ+ max(|a|, |b|):