Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

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48 Lineare und nichtlineare Gleichungen Das Dreifache dessen, was André hat, das Vierfache von dem, über das Jean verfügt, und weitere 1200 Francs machen das Dreifache von dem aus, was Bernard und Paul besitzen. Wieviel haben Jean und Paul zusammen? 3. Seien reelle Zahlen α, β gegeben. Man zeige, dass sich jedes p ∈P 3 , also jedes kubische Polynom, eindeutig darstellen lässt in der Form p(x) :=a + b(x − α)+c(x − α) 2 + d(x − α) 2 (x − β), dass also durch {v 0 ,v 1 ,v 2 ,v 3 } mit v 0 (x) :=1, v 1 (x) :=x − α, v 2 (x) :=(x − α) 2 , v 3 (x) :=(x − α) 2 (x − β), eine Basis von P 3 gegeben ist. 4. Sei mit ∆ n die Zerlegung x 0 < ··· < x n von [x 0 ,x n ] in n Teilintervalle [x j ,x j+1 ], j =0,...,n− 1, bezeichnet. Gegeben seien f 0 ,...,f n und f0 ,...,f n. Man zeige, dass es genau ein s ∈ C 1 [x 0 ,x n ] mit s| [xj ,x j+1 ] ∈P 3 , j =0,...,n − 1, unds(x j )=f j , s (x j )=fj , j =0,...,n, gibt und bestimme es. Hinweis: Man berücksichtige Aufgabe 3 und mache für die Restriktion von s auf das Intervall [x j ,x j+1 ] den Ansatz s| [xj ,x j+1 ](x) =a j + b j (x − x j )+c j (x − x j ) 2 + d j (x − x j ) 2 (x − x j+1 ) mit noch zu bestimmenden a j ,b j ,c j ,d j , j =0,...,n− 1. 5. In Aufgabe 4 konnte gezeigt werden, dass es zu einer gegebenen Zerlegung ∆ n des Intervalls [x 0 ,x n ] in n Teilintervalle [x j ,x j+1 ], j =0,...,n− 1, und gegebenen reellen Zahlen f 0 ,...,f n sowie f 0 ,...,f n genau ein s ∈ C 1 [x 0 ,x n ] mit s| [xj ,x j+1 ] ∈P 3 , j = 0,...,n− 1, unds(x j )=f j , s (x j )=f j , j =0,...,n,gibt. (a) Welchen Bedingungen müssen f 0 ,...,f n genügen, damit s sogar zweimal stetig differenzierbar ist, also s ∈ S 3 (∆ n ) ein kubischer Spline zur Zerlegung ∆ n ist? (b) Man zeige, dass f 0 ,...,f n eindeutig dadurch bestimmt sind, dass s ∈ S 3 (∆ n ) der • Hermiteschen Randbedingung (hier sind f 0 und f n gegeben), • natürlichen Randbedingung (hier sind f 0 und f n gegeben, die Forderung ist s (x 0 )=f 0 und s (x n )=f n), • not-a-knot Bedingung (die Zusatzforderung ist, dass der kubische Spline s in x 1 und x n−1 dreimal stetig differenzierbar ist) genügt. Hinweis: Für den letzten Teil stelle man jeweils zur Bestimmung von f 1 ,...,f n−1 ein lineares Gleichungssystem mit einer symmetrischen (n−1)×(n−1)-Koeffizientenmatrix auf. Die Nichtsingularität der Koeffizientenmatrix folgt dann aus dem folgenden Resultat (siehe z. B. J. Werner (1992, S. 170) 10 : 10 J. Werner (1992) Numerische Mathematik 1 .Vieweg,Braunschweig-Wiesbaden.
2.1 Lineare Gleichungssysteme 49 • Sei A =(a ij ) ∈ R n×n eine symmetrische Matrix mit positiven Diagonalelementen. Ist A strikt diagonal dominant, d. h. gilt n |a ij |
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