Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

48 Lineare und nichtlineare Gleichungen
Das Dreifache dessen, was André hat, das Vierfache von dem, über das Jean verfügt,
und weitere 1200 Francs machen das Dreifache von dem aus, was Bernard und Paul
besitzen.
Wieviel haben Jean und Paul zusammen?
3. Seien reelle Zahlen α, β gegeben. Man zeige, dass sich jedes p ∈P 3 , also jedes kubische
Polynom, eindeutig darstellen lässt in der Form
p(x) :=a + b(x − α)+c(x − α) 2 + d(x − α) 2 (x − β),
dass also durch {v 0 ,v 1 ,v 2 ,v 3 } mit
v 0 (x) :=1, v 1 (x) :=x − α, v 2 (x) :=(x − α) 2 , v 3 (x) :=(x − α) 2 (x − β),
eine Basis von P 3 gegeben ist.
4. Sei mit ∆ n die Zerlegung x 0 < ··· < x n von [x 0 ,x n ] in n Teilintervalle [x j ,x j+1 ],
j =0,...,n− 1, bezeichnet. Gegeben seien f 0 ,...,f n und f0 ,...,f n. Man zeige, dass
es genau ein s ∈ C 1 [x 0 ,x n ] mit s| [xj ,x j+1 ] ∈P 3 , j =0,...,n − 1, unds(x j )=f j ,
s (x j )=fj , j =0,...,n, gibt und bestimme es.
Hinweis: Man berücksichtige Aufgabe 3 und mache für die Restriktion von s auf das
Intervall [x j ,x j+1 ] den Ansatz
s| [xj ,x j+1 ](x) =a j + b j (x − x j )+c j (x − x j ) 2 + d j (x − x j ) 2 (x − x j+1 )
mit noch zu bestimmenden a j ,b j ,c j ,d j , j =0,...,n− 1.
5. In Aufgabe 4 konnte gezeigt werden, dass es zu einer gegebenen Zerlegung ∆ n des
Intervalls [x 0 ,x n ] in n Teilintervalle [x j ,x j+1 ], j =0,...,n− 1, und gegebenen reellen
Zahlen f 0 ,...,f n sowie f 0 ,...,f n genau ein s ∈ C 1 [x 0 ,x n ] mit s| [xj ,x j+1 ] ∈P 3 , j =
0,...,n− 1, unds(x j )=f j , s (x j )=f j , j =0,...,n,gibt.
(a) Welchen Bedingungen müssen f 0 ,...,f n genügen, damit s sogar zweimal stetig
differenzierbar ist, also s ∈ S 3 (∆ n ) ein kubischer Spline zur Zerlegung ∆ n ist?
(b) Man zeige, dass f 0 ,...,f n eindeutig dadurch bestimmt sind, dass s ∈ S 3 (∆ n ) der
• Hermiteschen Randbedingung (hier sind f 0 und f n gegeben),
• natürlichen Randbedingung (hier sind f
0
und f
n gegeben, die Forderung ist
s (x 0 )=f
0 und s (x n )=f
n),
• not-a-knot Bedingung (die Zusatzforderung ist, dass der kubische Spline s in
x 1 und x n−1 dreimal stetig differenzierbar ist)
genügt.
Hinweis: Für den letzten Teil stelle man jeweils zur Bestimmung von f 1 ,...,f n−1 ein
lineares Gleichungssystem mit einer symmetrischen (n−1)×(n−1)-Koeffizientenmatrix
auf. Die Nichtsingularität der Koeffizientenmatrix folgt dann aus dem folgenden Resultat
(siehe z. B. J. Werner (1992, S. 170) 10 :
10 J. Werner (1992) Numerische Mathematik 1 .Vieweg,Braunschweig-Wiesbaden.