Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

46 Lineare und nichtlineare Gleichungen
Es wird ein linearer Zusammenhang s = x 1 + x 2 t zwischen Tiefe und Sauerstoffgehalt
vermutet und nach den “besten” Parametern x 1 ,x 2 gefragt. Diese werden nach der
Methode der kleinsten Quadrate als Lösung der Aufgabe
Minimiere
7
1/2
[(x 1 + x 2 t i ) − s i ] 2
bestimmt. Dies ist ein lineares Least Squares Problem mit den Daten
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 15
6.50
1 20
5.60
1 30
5.40
A :=
1 40
, b :=
6.00
.
⎜ 1 50
⎟ ⎜ 4.60
⎟
⎝ 1 60 ⎠ ⎝ 1.40 ⎠
1 70
0.10
i=1
Anwendung der obigen Funktion LSq liefert (nach format long) das Ergebnis
8.63101983002833
x =
.
−0.10813031161473
Natürlich können wir diese Aufgabe auch mit Maple lösen. Man erhält
> with(LinearAlgebra):
> A:=Matrix([[1,15],[1,20],[1,30],[1,40],[1,50],[1,60],[1,70]]):
> b:=:
> x:=LeastSquares(A,b);
x :=
8.63101983002832895
−.108130311614730870
Wir wollen uns das Ergebnis veranschaulichen. In Abbildung 2.3 links haben wir die
Least Squares Approximation der Daten durch eine Gerade, rechts durch eine Parabel
dargestellt. Man beachte, dass es wegen notwendiger Beobachtungsfehler keinen Sinn
machen würde, durch die (sieben) Datenpaare (t, s) ein Polynom sechsten Grades zu
legen, auch wenn man hierdurch eine wesentlich bessere Übereinstimmung mit den
Beobachtungen erhalten würde. Bei einem “richtigen” Modell haben die Parameter, die
aus den Beobachtungen und durch die Methode der kleinsten Quadrate zu bestimmen
sind, einen “interpretierbaren” Sinn, und das wäre bei einem Polynom sechsten Grades
in der Monomdarstellung i. Allg. nicht der Fall. Trotzdem geben wir eine Darstellung
des interpolierenden Polynoms in Abbildung 2.4 an.
✷
2.1.5 Aufgaben
1. Jeannot 9 spielt mit einer Waage, deren zwei Schalen sich im Gleichgewicht befinden,
wenn man auf die eine ein Gewicht von 100 g und auf die andere zwei gleiche Schlüs-
9 Diese Aufgabe haben wir wörtlich
J. C. Baillif (1985, S. 11) Denkpirouetten. Spiele aus Logik und Mathematik. Hugendubel,München
entnommen.