Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

2.1 Lineare Gleichungssysteme 45
x(n)=b(n)/U(n,n);
for i=n-1:-1:1
x(i)=(b(i)-U(i,i+1:n)*x(i+1:n))/U(i,i);
end
Jetzt fügen wir noch alles zusammen, um eine Funktion zur Lösung eines linearen
Gleichungssystems bzw. eines linearen Least Squares Problems zu erhalten.
function x=LinGl(A,b);
%***********************************************************
%Input-Parameter:
% A n x n nichtsingulaere Matrix
% b n-Spaltenvektor
%Output-Parameter:
% x Ax=b
%Es werden GEpiv, Lsol und Usol benutzt.
%***********************************************************
[L,U,piv]=GEpiv(A);
y=Lsol(L,b(piv));
x=Usol(U,y);
%***********************************************************
Jetzt noch eine Funktion zur Lösung eines linearen Least Squares Problems. Es handelt
sich hier also um die Aufgabe, bei gegebenen A ∈ R m×n mit m ≥ n und b ∈ R m den
Defekt Ax−b 2 bezüglich der euklidischen Norm zu minimieren. Wenn A vollen Rang
hat, ist diese Aufgabe eindeutig lösbar.
function x=LSq(A,b);
%***********************************************************
%Input-Parameter:
% A m x n-Matrix mit m>=n und rang(A)=n
% b m-Spaltenvektor
%Output-Parameter:
% x Die Loesung des linearen Least Aquares Problems
% Minimiere ||Ax-b||_2.
%Es werden QRGivens und Usol benutzt.
%**********************************************************
[m,n]=size(A);
[Q,R]=QRGivens(A);
b=Q’*b; c=b(1:n); Rhat=R(1:n,:);
x=Usol(Rhat,c);
%**********************************************************
Beispiel: In einem See wird der Sauerstoffgehalt s (gemessen in mg/l) inAbhängigkeit
von der Tiefe t (gemessen in m) festgestellt.GemessenwerdendieWerte
i t i s i
1 15.0 6.50
2 20.0 5.60
3 30.0 5.40
4 40.0 6.00
5 50.0 4.60
6 60.0 1.40
7 70.0 0.10