Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

2.1 Lineare Gleichungssysteme 43
Dies ergibt:
j−1
i = j : a jj = ljj 2 + ljk 2 bzw. l jj :=
k=1
j−1
i>j: a ij = l ij l jj + l ik l jk bzw. l ij :=
k=1
j−1
a jj −
k=1
j−1
a ij −
k=1
l 2 jk 1/2,
l ik l jk
l jj .
Wegen dieser Gleichungen kann man sukzessive spalten- oder zeilenweise die Matrix L
berechnen. So lautet z. B. eine Spaltenversion des resultierenden Cholesky-Verfahrens:
• Input: Gegeben sei die symmetrische, positiv definite Matrix A =(a ij ) ∈ R n×n .
Benutzt wird nur die untere Hälfte von A, d. h. Elemente a ij mit i ≥ j.
• Für j =1,...,n:
l jj := (a jj − j−1
k=1 l2 jk )1/2 .
Für i = j +1,...,n:
l ij := (a ij − j−1
k=1 l ikl jk )/l jj .
• Output: Nur die untere Hälfte von L (einschließlich der Diagonalen) ist definiert.
Bevor das Pivotelement durch Wurzelziehen gebildet wird, prüft man natürlich, ob
a kk − k−1
j=1 a2 kj ≥ ist, wobei >0 eine vorgegebene kleine Zahl ist. Eine Umsetzung8
in eine MATLAB-Funktion ist die folgende (wobei wir auf den oben angegebenen Test
verzichten):
function L=Chol(A);
%****************************************************
%Input-Parameter:
% A n x n symmerische, positiv definite Matrix
%Output-Parameter:
% L n x n untere Dreiecksmatrix mit positiven
% Diagonalelementen und A=L*L’.
%****************************************************
[n,n]=size(A);
L=zeros(n); s=zeros(n,1);
for j=1:n
s(j:n)=A(j:n,j);
for k=1:j-1
s(j:n)=s(j:n)-L(j:n,k)*L(j,k);
end
% s(i)=A(i,j)-sum_1^(j-1)L(i,k)L(j,k), i=j,...,n
L(j:n,j)=s(j:n)/sqrt(s(j));
end
8 Siehe C, F. van Loan (1997, S. 245).