Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

42 Lineare und nichtlineare Gleichungen
definite (n − 1) × (n − 1)-Matrix eine eindeutige Cholesky-Zerlegung besitzt. Die n × n-
Matrix denke man sich zerlegt:
A =
An−1
a T
Hierbei ist A n−1 ∈ R (n−1)×(n−1) symmetrisch und positiv definit (Beweis?). Für die
untere Dreiecksmatrix L mache man den Ansatz
Ln−1 0
L =
l T β
mit einer unteren Dreiecksmatrix L n−1 ∈ R (n−1)×(n−1) und einem Vektor l ∈ R n−1 .
Dann ist
LL T Ln−1 0 L
T
=
n−1 l Ln−1 L
l T β 0 T =
T n−1 L n−1 l An−1 a
β (L n−1 l) T l T l + β 2 =
a T = A
α
genau dann, wenn
a
α
.
L n−1 L T n−1 = A n−1 , L n−1 l = a, l T l + β 2 = α.
Also ist L n−1 notwendigerweise der nach Induktionsannahme eindeutig existierende
Cholesky-Faktor (untere Dreiecksmatrix mit positiven Diagonalelementen) von A n−1
und es bleibt die eindeutige Existenz eines Vektors l ∈ R n−1 und einer positiven Zahl
β mit
L n−1 l = a, l T l + β 2 = α
zu zeigen. Da L n−1 nichtsingulär ist, ist l durch L n−1 l = a eindeutig festgelegt. Zu
zeigen bleibt, dass α − l T l positiv ist, da dann genau ein positives β mit l T l + β 2 = α
existiert. Nun ist aber
α − l T l = α − a T L −T
n−1L −1
n−1a
= α − a T A −1
n−1a
−A
−1 T
=
n−1a An−1
1
a T
> 0 ,
a
α
−A
−1
n−1a
1
da A positiv definit ist, womit alles gezeigt ist.
✷
Ein Verfahren zur Berechnung des Cholesky-Faktors L erhält man sehr leicht aus der
Bestimmungsgleichung A = LL T durch Koeffizientenvergleich. Wegen der Symmetrie
genügt es, die unteren Hälften zu vergleichen. Für i ≥ j ist
a ij =(A) ij =(LL T ) ij =
j−1
j
l ik l jk = l ik l jk + l ij l jj .
k=1
k=1