Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

2.1 Lineare Gleichungssysteme 41
function [Q,R]=QRGivens(A);
%***************************************************
%Input-Parameter:
% A m x n-Matrix mit m>=n.
%Output-Parameter:
% Q m x m orthogonale Matrix
% R m x n obere Dreiecksmatrix
% A = QR
%***************************************************
[m,n]=size(A);
Q=eye(m);
for j=1:n
for i=m:-1:j+1
%Annulliere A(i,j)
[G,A(i-1:i,j)]=planerot(A(i-1:i,j));
A(i-1:i,j+1:n)=G*A(i-1:i,j+1:n);
Q(:,i-1:i)=Q(:,i-1:i)*G’;
end
end
R=triu(A);
%***************************************************
Beispiel: Wie in einem früheren Beispiel sei
⎛ ⎞
1 −8
A := ⎝ 2 −1 ⎠ .
2 14
Mit der eben angegebenen Funktion QRGivens erhalten wir in MATLAB nach
A=[1,-8;2,-1;2,14];format long;
[Q,R]=QRGivens(A)
das Ergebnis
⎛
0.33333333333333 −0.66666666666667 0.66666666666667
⎞ ⎛
Q = ⎝ 0.66666666666667 −0.33333333333333 −0.66666666666667 ⎠ , R = ⎝
0.66666666666667 0.66666666666667 0.33333333333333
3 6
0 15
0 0
Bis auf eine unterschiedliche Vorzeichenverteilung ist das genau das durch die MATLAB-
Funktion qr erhaltene Ergebnis.
✷
Jetzt kommen wir noch zur Cholesky-Zerlegung einer symmetrischen, positiv definiten
Matrix A ∈ R n×n ,alsoeinerDarstellungA = LL T mit einer unteren Dreiecksmatrix
L ∈ R n×n ,dienurpositiveDiagonalelementebesitzt.DerfolgendeSatzsagtaus,dass
jede symmetrische, positiv definite Matrix eine eindeutige Cholesky-Zerlegung besitzt.
⎞
⎠ .
Satz 1.3 Ist A ∈ R n×n symmetrisch und positiv definit, so existiert genau eine untere
Dreiecksmatrix L ∈ R n×n mit positiven Diagonalelementen derart, dass A = LL T .
Beweis: Die Behauptung wird durch vollständige Induktion nach n bewiesen. Für
n =1ist die Aussage offenbar richtig. Wir nehmen an, dass jede symmetrische, positiv