Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

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40 Lineare und nichtlineare Gleichungen i k wobei 1 ≤ i
2.1 Lineare Gleichungssysteme 41 function [Q,R]=QRGivens(A); %*************************************************** %Input-Parameter: % A m x n-Matrix mit m>=n. %Output-Parameter: % Q m x m orthogonale Matrix % R m x n obere Dreiecksmatrix % A = QR %*************************************************** [m,n]=size(A); Q=eye(m); for j=1:n for i=m:-1:j+1 %Annulliere A(i,j) [G,A(i-1:i,j)]=planerot(A(i-1:i,j)); A(i-1:i,j+1:n)=G*A(i-1:i,j+1:n); Q(:,i-1:i)=Q(:,i-1:i)*G’; end end R=triu(A); %*************************************************** Beispiel: Wie in einem früheren Beispiel sei ⎛ ⎞ 1 −8 A := ⎝ 2 −1 ⎠ . 2 14 Mit der eben angegebenen Funktion QRGivens erhalten wir in MATLAB nach A=[1,-8;2,-1;2,14];format long; [Q,R]=QRGivens(A) das Ergebnis ⎛ 0.33333333333333 −0.66666666666667 0.66666666666667 ⎞ ⎛ Q = ⎝ 0.66666666666667 −0.33333333333333 −0.66666666666667 ⎠ , R = ⎝ 0.66666666666667 0.66666666666667 0.33333333333333 3 6 0 15 0 0 Bis auf eine unterschiedliche Vorzeichenverteilung ist das genau das durch die MATLAB- Funktion qr erhaltene Ergebnis. ✷ Jetzt kommen wir noch zur Cholesky-Zerlegung einer symmetrischen, positiv definiten Matrix A ∈ R n×n ,alsoeinerDarstellungA = LL T mit einer unteren Dreiecksmatrix L ∈ R n×n ,dienurpositiveDiagonalelementebesitzt.DerfolgendeSatzsagtaus,dass jede symmetrische, positiv definite Matrix eine eindeutige Cholesky-Zerlegung besitzt. ⎞ ⎠ . Satz 1.3 Ist A ∈ R n×n symmetrisch und positiv definit, so existiert genau eine untere Dreiecksmatrix L ∈ R n×n mit positiven Diagonalelementen derart, dass A = LL T . Beweis: Die Behauptung wird durch vollständige Induktion nach n bewiesen. Für n =1ist die Aussage offenbar richtig. Wir nehmen an, dass jede symmetrische, positiv
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