Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

2.1 Lineare Gleichungssysteme 39
und
a k =
k
r ik q i ,
i=1
k =1,...,n.
2. Definiert man ˆQ := ( q 1 ··· q n ) ∈ R m×n und die obere Dreiecksmatrix ˆR ∈
R n×n mit r ik für i ≤ k als (i, k)-Eintrag, so ist ˆQ T ˆQ = I und A = ˆQ ˆR, d.h.
durch das Gram-Schmidt-Verfahren wird eine reduzierte QR-Zerlegung von A
berechnet.
Beweis: Durch vollständige Induktion nach k kann man leicht zeigen, dass {q 1 ,...,q k }
ein Orthonormalsystem mit span {q 1 ,...,q k } =span{a 1 ,...,a k } und a k = k
i=1 r ikq i
ist. Hieraus folgt sofort der zweite Teil des Satzes. Dies erkennt man sehr einfach, wenn
man auf beiden Seiten der behaupteten Gleichung A = ˆQ ˆR die k-te Spalte betrachtet.
Denn es ist
⎛ ⎞
ˆQ ˆRe k =( q 1 ··· q k q k+1 ··· q n )
⎜
⎝
Damit ist der Satz bewiesen.
r 1k
.
r kk
0
=
⎟
⎠
.
0
k
r ik q i = a k = Ae k .
Das klassische Gram-Schmidt-Verfahren ist für die Praxis unbrauchbar, da die Orthonormalität
der Spalten von ˆQ wegen Rundungsfehlern sukzessive verloren geht.
Außerdem erhält man nur eine reduzierte QR-Zerlegung und nicht eine volle. Dies ist
theoretisch zwar keine Einschränkung (man ergänze {q 1 ,...,q n } zu einer Orthonormalbasis
{q 1 ,...,q n ,q n+1 ,...,q m } des R m ), für die Praxis aber schon. In der Praxis
wird A durch sukzessive Multiplikation von links mit gewissen orthogonalen Matrizen
Q 1 ,...,Q p in eine obere Dreiecksmatrix R überführt:
Q p ···Q 1 A = R.
Mit Q := Q T 1 ···Q T p ist dann die gesuchte (volle) QR-Zerlegung gefunden. Im wesentlichen
spielen bei diesen Transformationen zwei Klassen spezieller orthogonaler Matrizen
eine Rolle, nämlich Householder-Spiegelungen und Givens-Rotationen. Wirbeschränken
uns auf die Beschreibung eines Verfahrens, welches Givens-Rotationen benutzt.
Dies sind Matrizen der Form
⎛
⎞
1 ··· 0 ··· 0 ··· 0
. . .. . . .
0 ··· c ··· s ··· 0
i
G ik =
. . . .. . .
0 ··· −s ··· c ··· 0
k
⎜
⎝
. ⎟
. . . .. . ⎠
0 ··· 0 ··· 0 ··· 1
i=1
✷