Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

2.1 Lineare Gleichungssysteme 37
Da die Vertauschungsmatrizen P 1 ,...,P n−1 symmetrisch und orthogonal sind, kann
man die letzte Gleichung auch in der Form
schreiben, wobei
Dann ist aber
M n−1 ···M 1P n−1 ···P 1 A = U
M k := P n−1 ···P k+1 M k P k+1 ···P n−1 , k =1,...,n− 1.
ebenfalls eine Gauß-Matrix mit
M k = P n−1 ···P k+1 (I − l k e T k )P k+1 ···P n−1
= I − P n−1 ···P k+1 l k e T k P k+1 ···P n−1
=e T k
= I − l ke T k
l k := P n−1 ···P k+1 l k , k =1,...,n− 1.
Mit
ist daher
wobei
P := P n−1 ···P 1
PA =(I + l 1e T 1 ) ···(I + l n−1e T n−1)U =
n−1
L := I + lke T k .
k=1
n−1
I +
k=1
l ke T k
U = LU,
Dies bedeutet: Macht man im k-ten Schritt bei der Berechnung der Gauß-Matrix M k
die Zuweisung a ik := a ik /a kk , i = k +1,...,n,schreibtmanalsodierelevantenDaten
von M k in die gerade frei gewordenen Positionen in der k-ten Spalte von A unterhalb
des Diagonalelements, so steht nach Abschluss in der unteren Hälfte von A die untere
Hälfte von L, inderoberenHälftevonA (einschließlich der Diagonalen) steht die
obere Dreiecksmatrix U. Wir fassen das bisher zum Gaußschen Eliminationsverfahren
mit Spaltenpivotsuche gesagte in einer MATLAB-Funktion GEpiv zusammen 7 .
function [L,U,piv]=GEpiv(A);
%**************************************************************
%Input-Parameter:
% A n x n-Matrix
%Output-Parameter:
7 Siehe
C. F. van Loan (1997, S. 214) Introduction to Scientific Computing. A Matrix-Vector Approach using
MATLAB. PrenticeHall,UpperSaddleRiver.