Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

36 Lineare und nichtlineare Gleichungen
also M −1
k
= I + l k e T k , k =1,...,n− 1, gilt.NachKonstruktionistU := A(n) eine obere
Dreiecksmatrix und
n−1
A = M1 −1 ···Mn−1U =(I + l 1 e T 1 ) ···(I + l n−1 e T n−1)U = I +
Die Gültigkeit von
n−1
(I + l 1 e T 1 ) ···(I + l n−1 e T n−1) = I + l k e T k
erkennt man hierbei folgendermaßen: Beide Matrizen haben dieselbe letzte Spalte, nämlich
e n .Dieerstenn−1 Spalten stimmen aber auch überein, wie man für j =1,...,n−1
aus
k=1
(I + l 1 e T 1 ) ···(I + l n−1 e T n−1)e j = (I + l 1 e T 1 ) ···(I + l j e T j )e j
erkennt. Offensichtlich ist
k=1
l k e T k
U.
= (I + l 1 e T 1 ) ···(I + l j−1 e T j−1)(e j + l j )
= e j + l j
n−1
= I + l k e T k
k=1
n−1
L := I + l k e T k
eine untere Dreiecksmatrix mit Einsen in der Diagonalen. Der Satz ist bewiesen.
Natürlich gibt es nichtsinguläre Matrizen, bei denen nicht alle Hauptabschnittsdeterminanten
von Null verschieden sind. Z. B. kann schon der (1, 1)-Eintrag verschwinden.
Dann ist man auf eine sogenannte Pivotsuche angewiesen, welche aus Stabilitätsgründen
sowieso angebracht ist. Die übliche Strategie ist eine Spaltenpivotsuche. Imk-ten
Schritt bestimmt man r = r(k) ∈{k, . . . , n} mit
k=1
|a (k)
rk | = max
i=k,...,n |a(k) ik |
und vertauscht in A (k) die k-te und die r-te Zeile. Anschließend multipliziert man die
durch (eventuelle) Vertauschung zweier Zeilen gewonnene Matrix mit der Gauß-Matrix
M k = I − l k e T k , um Einträge in der k-ten Spalte unterhalb des Diagonalelementes zu
annullieren. Die neue Matrix wird A (k+1) genannt. Hier ist also A (k+1) := M k P k A (k) ,
wobei P k eine spezielle Permutationsmatrix ist, nämlich eine Vertauschungsmatrix.
Diese gewinnt man aus der Einheitsmatrix, indem man die k-te und die r-te Zeile
(oder auch Spalte, denn sie ist symmetrisch) miteinander vertauscht. Es ist klar, dass
dieses Verfahren bei nichtsingulärem A = A (1) durchführbar ist und U := A (n) eine
obere Dreiecksmatrix ist. Es ist also
M n−1 P n−1 ···M 1 P 1 A = U.
e j
✷