Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

2.1 Lineare Gleichungssysteme 35
Dann gilt:
und anschließend
M k := I − l k e T k .
Hierbei bedeute e k den k-ten Einheitsvektor im R n . Die Matrix M k stimmt
außer in der k-ten Spalte, und hier auch nur in den Einträgen unterhalb des
Diagonalelements, mit der Einheitsmatrix überein. Danach berechne man
A (k+1) := M k A (k) .
Hierbei werden die ersten k Zeilen und ersten k − 1 Spalten von A (k) nicht
verändert. In der k-ten Spalte unterhalb des Diagonalelements werden Nullen
erzeugt. Den unteren (n − k) × (n − k)-Block in A (k+1) berechnet man
aus
a (k+1)
ij
:= a (k)
ij
− a(k) ik
a (k)
kk
a (k)
kj ,
i,j = k +1,...,n.
1. Das obige Verfahren ist genau dann durchführbar, d. h. es ist a (k)
kk
= 0, k =
1,...,n− 1, wenndieerstenn − 1 Hauptabschnittsdeterminanten von A nicht
verschwinden, wenn also
⎛
⎞
a 11 ··· a 1k
⎜
det ⎝ . .
a k1 ··· a kk
⎟
⎠ = 0, k =1,...,n− 1.
2. Ist das Verfahren durchführbar, so ist U := A (n) eine obere Dreiecksmatrix und
A = LU mit
n−1
L := I + l k e T k ,
k=1
einer unteren Dreiecksmatrix mit Einsen in der Diagonalen.
Beweis: Wegen A = A (1) und det(M k )=1ist det(A) =det(A (k) ), k =1,...,n.Das
entsprechende gilt auch für den linken oberen k × k-Block in A (k) ,d.h.esist
⎛
⎞
a 11 ··· a 1k
⎜
⎟
det ⎝ . . ⎠ = a (1)
11 ···a (k)
kk , k =1,...,n.
a k1 ··· a kk
Das Verfahren ist genau dann durchführbar, wenn a (k)
kk
=0, k =1,...,n− 1, bzw. die
ersten n − 1 Hauptabschnittsdeterminanten von Null verschieden sind. Damit ist der
erste Teil des Satzes bewiesen.
Für den zweiten Teil beachte man, dass die Matrizen M k nichtsingulär sind und
M k (I + l k e T k )=(I − l k e T k )(I + l k e T k )=I + l k e T k − l k e T k − e T k l
k e k e T k = I,
=0