Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...
Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ... Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...
32 Lineare und nichtlineare Gleichungen ⎡ ⎤ 1 −2 3 3 Qhat, Rhat := 2 −1 ⎢ 3 3 , ⎥ ⎣ 2 2 ⎦ 3 3 > Equal(Qhat.Rhat,A); true 3 6 0 15 > (Q,R):=QRDecomposition(A,fullspan); ⎡ ⎤ 1 −2 2 3 3 3 ⎡ Q, R := 2 −1 −2 3 6 ⎢ 3 3 3 , ⎣ 0 15 ⎥ ⎣ 2 2 1 ⎦ 0 0 3 3 3 > Equal(Q.R,A); true Im ersten Fall wird die sogenannte reduzierte QR-Zerlegung berechnet, also eine Matrix ˆQ ∈ R m×n (in unserem Beispiel ist m =3und n =2), deren Spalten ein Orthonormalsystem im R m bilden, für die also ˆQ T ˆQ = I, sowie eine obere Dreiecksmatrix ˆR ∈ R n×n mit A = ˆQ ˆR. Im zweiten Fall wird die oben beschriebene volle QR-Zerlegung berechnet. Allerdings ist dies nicht möglich, wenn A Gleitkommazahlen enthält. Und nun noch die entsprechenden Resultate mit MATLAB: A=[1,-8;2,-1;2,14]; format long; [Q,R]=qr(A) liefert eine volle QR-Zerlegung: ⎛ −0.33333333333333 0.66666666666667 0.66666666666667 ⎞ Q = ⎝ −0.66666666666667 0.33333333333333 −0.66666666666667 ⎠ −0.66666666666667 −0.66666666666667 0.33333333333333 und ⎛ −3 −6 ⎞ R = ⎝ 0 −15 ⎠ . 0 0 Eine reduzierte (economy size) QR-Zerlegung erhält man durch [Qhat,Rhat]=qr(A,0) nämlich ⎛ ˆQ = ⎝ −0.33333333333333 0.66666666666667 −0.66666666666667 0.33333333333333 −0.66666666666667 −0.66666666666667 ⎞ ⎤ ⎦ ⎠ , ˆR = −3 −6 0 −15 .
2.1 Lineare Gleichungssysteme 33 Es gibt diverse andere Optionen, auf die aber nicht eingegangen werden soll. Übrigens erkennt man, dass auch eine QR-Zerlegung nicht eindeutig bestimmt ist. Dies ist erst dann der Fall, wenn man die Vorzeichen der Diagonalelemente von R vorschreibt. ✷ • Cholesky-Zerlegung: In Maple kann man mit der Funktion LUDecomposition und einer speziellen Option die Cholesky-Zerlegung einer symmetrischen, positiv definiten Matrix bestimmen. In MATLAB gibt es die Funktion chol. Wirgeben ein Beispiel. Beispiel: Sei ⎛ A := ⎝ Zunächst gehen wir auf Maple ein: > with(LinearAlgebra): 4 −10 2 −10 34 −17 2 −17 18 ⎞ ⎠ . > A:=Matrix([[4,-10,2],[-10,34,-17],[2,-17,18]]): > L:=LUDecomposition(A,method=Cholesky); ⎡ ⎤ 2 0 0 L := ⎣ −5 3 0 ⎦ 1 −4 1 > Equal(L.Transpose(L),A); true Bei der Anwendung der Funktion chol in MATLAB muss man beachten, dass R=chol(A) eine obere Dreiecksmatrix mit R T R = A liefert. Durch A=[4,-10,2;-10,34,-17;2,-17,18];format long; L=chol(A)’ erhält man dieselbe Matrix L wie oben. Das ist auch kein Wunder, denn die Cholesky-Zerlegung ist eindeutig bestimmt. ✷ 2.1.3 LU-, QR- und Cholesky-Zerlegung: Existenz und numerische Berechnung Sei A ∈ R n×n nichtsingulär. Die Idee des Gaußschen Eliminationsverfahrens ohne Spaltenpivotsuche (welches nicht immer durchführbar ist!) zur Berechnung einer Zerlegung A = LU mit einer unteren Dreiecksmatrix L ∈ R n×n mit Einsen in der Diagonalen und einer oberen Dreiecksmatrix U ∈ R n×n besteht einfach darin, dass A in n − 1 Schritten durch Multiplikation mit sogenannten Gaußschen Matrizen in eine obere Dreiecksmatrix transformiert wird. Diese wohlbekannte Idee wollen wir an einem Beispiel demonstrieren.
- Seite 1 und 2: Kapitel 2 Lineare und nichtlineare
- Seite 3 und 4: 2.1 Lineare Gleichungssysteme 21 Is
- Seite 5 und 6: 2.1 Lineare Gleichungssysteme 23 Se
- Seite 7 und 8: 2.1 Lineare Gleichungssysteme 25 so
- Seite 9 und 10: 2.1 Lineare Gleichungssysteme 27
- Seite 11 und 12: 2.1 Lineare Gleichungssysteme 29 Da
- Seite 13: 2.1 Lineare Gleichungssysteme 31 >
- Seite 17 und 18: 2.1 Lineare Gleichungssysteme 35 Da
- Seite 19 und 20: 2.1 Lineare Gleichungssysteme 37 Da
- Seite 21 und 22: 2.1 Lineare Gleichungssysteme 39 un
- Seite 23 und 24: 2.1 Lineare Gleichungssysteme 41 fu
- Seite 25 und 26: 2.1 Lineare Gleichungssysteme 43 Di
- Seite 27 und 28: 2.1 Lineare Gleichungssysteme 45 x(
- Seite 29 und 30: 2.1 Lineare Gleichungssysteme 47 8
- Seite 31 und 32: 2.1 Lineare Gleichungssysteme 49
- Seite 33 und 34: 2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gl
- Seite 35 und 36: 2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gl
- Seite 37 und 38: 2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gl
- Seite 39 und 40: 2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gl
- Seite 41 und 42: 2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gl
- Seite 43 und 44: 2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gl
- Seite 45 und 46: 2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gl
- Seite 47 und 48: 2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gl
- Seite 49 und 50: 2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gl
- Seite 51 und 52: 2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gl
- Seite 53 und 54: 2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gl
- Seite 55 und 56: 2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gl
- Seite 57 und 58: 2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gl
2.1 <strong>Lineare</strong> Gleichungssysteme 33<br />
Es gibt diverse andere Optionen, auf die aber nicht eingegangen werden soll.<br />
Übrigens erkennt man, dass auch eine QR-Zerlegung nicht eindeutig bestimmt<br />
ist. Dies ist erst dann der Fall, wenn man die Vorzeichen der Diagonalelemente<br />
von R vorschreibt.<br />
✷<br />
• Cholesky-Zerlegung: In Maple kann man mit der Funktion LUDecomposition<br />
<strong>und</strong> einer speziellen Option die Cholesky-Zerlegung einer symmetrischen, positiv<br />
definiten Matrix bestimmen. In MATLAB gibt es die Funktion chol. Wirgeben<br />
ein Beispiel.<br />
Beispiel: Sei<br />
⎛<br />
A := ⎝<br />
Zunächst gehen wir auf Maple ein:<br />
> with(LinearAlgebra):<br />
4 −10 2<br />
−10 34 −17<br />
2 −17 18<br />
⎞<br />
⎠ .<br />
> A:=Matrix([[4,-10,2],[-10,34,-17],[2,-17,18]]):<br />
> L:=LUDecomposition(A,method=Cholesky);<br />
⎡<br />
⎤<br />
2 0 0<br />
L := ⎣ −5 3 0 ⎦<br />
1 −4 1<br />
> Equal(L.Transpose(L),A);<br />
true<br />
Bei der Anwendung der Funktion chol in MATLAB muss man beachten, dass<br />
R=chol(A) eine obere Dreiecksmatrix mit R T R = A liefert. Durch<br />
A=[4,-10,2;-10,34,-17;2,-17,18];format long;<br />
L=chol(A)’<br />
erhält man dieselbe Matrix L wie oben. Das ist auch kein W<strong>und</strong>er, denn die<br />
Cholesky-Zerlegung ist eindeutig bestimmt.<br />
✷<br />
2.1.3 LU-, QR- <strong>und</strong> Cholesky-Zerlegung: Existenz <strong>und</strong> numerische<br />
Berechnung<br />
Sei A ∈ R n×n nichtsingulär. Die Idee des Gaußschen Eliminationsverfahrens ohne Spaltenpivotsuche<br />
(welches nicht immer durchführbar ist!) zur Berechnung einer Zerlegung<br />
A = LU mit einer unteren Dreiecksmatrix L ∈ R n×n mit Einsen in der Diagonalen <strong>und</strong><br />
einer oberen Dreiecksmatrix U ∈ R n×n besteht einfach darin, dass A in n − 1 Schritten<br />
durch Multiplikation mit sogenannten Gaußschen Matrizen in eine obere Dreiecksmatrix<br />
transformiert wird. Diese wohlbekannte Idee wollen wir an einem Beispiel demonstrieren.
Change language