Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

30 Lineare und nichtlineare Gleichungen
• Cholesky-Zerlegung: Sei A ∈ R n×n symmetrisch und positiv definit. Wie wir
zeigen werden, besitzt A dann eine Cholesky-Zerlegung, es existiert also eine
untere Dreiecksmatrix L ∈ R n×n mit positiven Diagonalelementen derart, dass
A = LL T .Umgekehrtgiltnatürlich:IstA = LL T mit einer nichtsingulären
Matrix L ∈ R n×n ,soistA symmetrisch und positiv definit. Ist eine Cholesky-
Zerlegung A = LL T der symmetrischen, positiv definiten Matrix A bekannt, so
kann ein lineares Gleichungssystem Ax = b wieder durch Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen
gelöst werden: Zunächst man y = L T x aus Ly = b durch Vorwärtseinsetzen,
danach die gesuchte Lösung x aus L T x = y durch Rückwärtseinsetzen.
Jetzt wollen wir kurz auf die Möglichkeiten von Maple und MATLAB zur Berechnung
dieser Zerlegungen eingehen.
• LU-Zerlegung: Im Package LinearAlgebra von Maple gibt es zur LU-Zerlegung
die Funktion LUDecomposition, in MATLAB die Funktion lu. Hilfenzudiesen
Funktionen erhält man durch ?LUDecomposition bzw. help lu. Es ist wichtig
sich zu informieren, weil der Gebrauch des Begiffes LU-Zerlegung nicht ganz
einheitlich ist. In Maple werden z. B. durch
(P,L,U)=LinearAlgebra[LUDecomposition](A);
eine Permutationsmatrix P ,eineuntereDreiecksmatrixL mit Einsen in der Diagonalen
und eine obere Dreiecksmatrix U mit PLU = A berechnet, in MATLAB
erhält man durch
[L,U,P]=lu(A)
eine Zerlegung PA = LU mit Matrizen P, L, U, die die üblichen Eigenschaften
haben.
Beispiel: Sei
A :=
⎛
⎜
⎝
0 1 1 −3
−2 3 1 4
0 0 0 1
3 1 0 0
⎞
⎟
⎠ .
Zu berechnen sei eine LU-Zerlegung. Zunächst verwenden wir Maple:
> with(LinearAlgebra):
> A:=Matrix([[0,1,1,-3],[-2,3,1,4],[0,0,0,1],[3,1,0,0]]):
> (P,L,U):=LUDecomposition(A);
⎡
⎤ ⎡
⎡
⎤ 1 0 0 0
0 1 0 0
P, L, U := ⎢ 1 0 0 0
⎥
⎣ 0 0 0 1 ⎦ , 0 1 0 0
−3 11
⎢ 1 0 ⎥
⎣ 2 2 ⎦ , ⎢
⎣
0 0 1 0
0 0 0 1
> P:=Transpose(P):
−2 3 1 4
0 1 1 −3
0 0 −4 45
2
0 0 0 1
⎤
⎥
⎦