9. Diskrete Zufallsvariable ... - mathekurs.ch
9. Diskrete Zufallsvariable ... - mathekurs.ch
9. Diskrete Zufallsvariable ... - mathekurs.ch
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
44<br />
<strong>9.</strong> <strong>Diskrete</strong> <strong>Zufallsvariable</strong>, Wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keitsverteilung, Erwartungswert, Varianz<br />
Bei Zufallsversu<strong>ch</strong>en interessieren oft ni<strong>ch</strong>t die Ergebnisse selbst, sondern Zahlen, die den<br />
mögli<strong>ch</strong>en Ergebnissen des Zufallsversu<strong>ch</strong>s zugeordnet sind. Diese Zahlen können als<br />
Gewinne bei einem Glücksspiel aufgefasst werden.<br />
B:<br />
Eine Münze wird dreimal geworfen. Das Werfen von Kopf sei ein Erfolg. Die Anzahl der<br />
Erfolge X sei der Gewinn.<br />
Dur<strong>ch</strong>führung eines Zufallsexperiments:<br />
Jede S<strong>ch</strong>ülerin wirft eine Münze dreimal und notiert si<strong>ch</strong>, wie oft Kopf ers<strong>ch</strong>eint. Sie<br />
wiederholt diesen Zufallsversu<strong>ch</strong> zehnmal.<br />
Die folgenden Zahlen wurden in einem Klassenexperiment (15.12.2000) mit insgesamt<br />
n = 179 Wurfserien ermittelt:<br />
X = xi 0 1 2 3<br />
ni 19 64 68 28<br />
h(X = xi) 19 /179 64 /179 68 /179 28 /179<br />
empiris<strong>ch</strong>er Mittelwert:<br />
19 64 68 28<br />
x =<br />
179<br />
⋅ 0 +<br />
179<br />
⋅ 1+ 179<br />
⋅ 2 +<br />
179<br />
⋅ 3 = 1.587<br />
empiris<strong>ch</strong>e Standarabwei<strong>ch</strong>ung:<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 19 ⋅ (0 − x)<br />
+ 64 ⋅ (1 − x)<br />
+ 68 ⋅ (2 − x)<br />
+ 28 ⋅ (3 − x)<br />
s =<br />
= 0.772<br />
179 −1<br />
Modell:<br />
Sti<strong>ch</strong>probenraum S = {KKK, KKZ, ......... , ZZZ}<br />
Die <strong>Zufallsvariable</strong> X ordnet z. B. KKZ → 2 zu.<br />
Def.<br />
Eine diskrete <strong>Zufallsvariable</strong> X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsversu<strong>ch</strong>s mit dem<br />
endli<strong>ch</strong>en Sti<strong>ch</strong>probenraum S eindeutig eine reelle Zahl zu. X: ei ∈ S → xi ∈ R<br />
Bem.<br />
<strong>Zufallsvariable</strong> sind also Funktionen. Die Funktionswerte können als Gewinne bei einem<br />
Glücksspiel aufgefasst werden. <strong>Zufallsvariable</strong> werden mit Grossbu<strong>ch</strong>staben z.B. X, die<br />
Werte der <strong>Zufallsvariable</strong> mit x 1 ,x 2 , ... x i bezei<strong>ch</strong>net. Wir betra<strong>ch</strong>ten zunä<strong>ch</strong>st den Fall, dass X<br />
nur endli<strong>ch</strong> viele Werte annehmen kann. In diesem Fall heisst X diskrete <strong>Zufallsvariable</strong>.<br />
zufvar_mue_sigma 08.11.13
45<br />
Die Werte der <strong>Zufallsvariable</strong>n treten mit bestimmten Wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keiten auf. Die<br />
zugehörige Funktion heisst Wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keitsverteilung. Sie ordnet den Werten xi der<br />
<strong>Zufallsvariable</strong>n die zugehörigen Wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keiten p(xi) zu, wobei Σ p(xi) = 1 gilt.<br />
Münzenbeispiel:<br />
Die <strong>Zufallsvariable</strong> X „Anzahl Erfolge“ kann<br />
die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen. Die zugehörige<br />
Wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keitsverteilung ist die<br />
Binomialverteilung::<br />
X = xi 0 1 2 3<br />
p(X = xi) 1 /8 3 /8 3 /8 3 /8<br />
Werfen eines L-Würfels:<br />
Die <strong>Zufallsvariable</strong> X „Augenzahl“ kann die Werte 1, 2, 3, 4, 5, 6 mit den Wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keiten<br />
p(xi) = 1 /6 annehmen. Die Wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keitsverteilung ist die Glei<strong>ch</strong>verteilung.<br />
Werfen von zwei Würfeln:<br />
Die <strong>Zufallsvariable</strong> X „Augensumme“ kann die Werte 2, 3, 4, 5, .... , 12 mit den folgenden<br />
Wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keiten annehmen:<br />
X = xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
p(xi)<br />
1<br />
36<br />
2<br />
36<br />
3<br />
36<br />
4<br />
36<br />
5<br />
36<br />
6<br />
36<br />
5<br />
36<br />
4<br />
36<br />
3<br />
36<br />
2<br />
36<br />
1<br />
36<br />
Mit der Idee der erzeugenden Polynome können die absoluten Häufigkeiten für die<br />
Augensumme einfa<strong>ch</strong> bestimmt werden.<br />
2 3 4 5 6 2<br />
Dazu ermittelt man die Koeffizienten des Polynoms ( x + x + x + x + x + x )<br />
Als Koeffizient von x 8 z.B. ergibt si<strong>ch</strong> 5, womit die Augensumme 8 genau fünfmal auftreten<br />
kann, nämli<strong>ch</strong> bei den Ergebnissen (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), 6,2).<br />
zufvar_mue_sigma 08.11.13
46<br />
Erwartungswert, Varianz, Standardabwei<strong>ch</strong>ung<br />
Analog zu den empiris<strong>ch</strong>en Häufigkeitsverteilungen <strong>ch</strong>arakterisieren wir Wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keitsverteilungen<br />
dur<strong>ch</strong> Masszahlen, sogenannte Parameter nämli<strong>ch</strong><br />
der Erwartungswert als Gegenstück zum empiris<strong>ch</strong>en Mittelwert und<br />
die Varianz bzw. Standardabwei<strong>ch</strong>ung als Gegenstück zur empiris<strong>ch</strong>en Varianz bzw.<br />
Standardabwei<strong>ch</strong>ung.<br />
Dabei treten im Modell an die Stelle der relativen Häufigkeiten n<br />
n i<br />
die Wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keiten<br />
p(xi).<br />
n<br />
µ = E( X ) = ∑ xi<br />
⋅ p( xi<br />
) Erwartungswert einer <strong>Zufallsvariable</strong>n<br />
i=<br />
1<br />
Bem.<br />
Der Erwartungswert einer <strong>Zufallsvariable</strong>n kann als mittlerer Gewinn auf lange Si<strong>ch</strong>t beim<br />
Glückspiel aufgefasst werden.<br />
Münzenbeispiel:<br />
µ = E X = 1 ⋅ 0 + ⋅ 1+ ⋅ 2 + 1 ⋅ 3 =<br />
( )<br />
3 3 3<br />
8 8 8 8 2<br />
Der Erwartungswert allein bes<strong>ch</strong>reibt eine Wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keitsverteilung nur unvollständig.<br />
Zwei Verteilungen mit glei<strong>ch</strong>em Erwartungswert können ganz vers<strong>ch</strong>ieden um den Erwartungswert<br />
streuen. Als Mass für die mittlere Abwei<strong>ch</strong>ung der Werte der <strong>Zufallsvariable</strong>n vom<br />
Erwartungswert definieren wir die Varianz V(X) bzw. die Standardabwei<strong>ch</strong>ung σ.<br />
n<br />
V ( x)<br />
= ∑ p(<br />
xi<br />
) ⋅ ( x<br />
i=<br />
1<br />
2<br />
σ = V ( x)<br />
σ ≥ 0<br />
i<br />
− µ )<br />
2<br />
V(X) Varianz, σ heisst Standardabwei<strong>ch</strong>ung.<br />
Bem.<br />
Die Abwei<strong>ch</strong>ungsquadrate vom Erwartungswert werden mit den Wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keiten<br />
gewi<strong>ch</strong>tet.<br />
Münzenbeispiel:<br />
1 1<br />
( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )<br />
2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3<br />
V X<br />
8 2 8 2 8 2 8 2 4<br />
1<br />
σ = = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − = σ =<br />
2<br />
⋅ 3 ≈ 0.866<br />
Uebungsaufgabe:<br />
Bere<strong>ch</strong>ne für die <strong>Zufallsvariable</strong> X den Erwartungswert und die Varianz:<br />
a) b)<br />
xi 2 3 11 xi 6 8 9 10<br />
p(xi) 1 /3 ½ 1 /6 p(xi) 0.4 0.1 0.2 0.3<br />
Lösung: a) E(X) = 4, V(X) = 10 b) E(X) = 8, V(X) = 3<br />
zufvar_mue_sigma 08.11.13
47<br />
Bea<strong>ch</strong>te die folgende Gegenüberstellung zwis<strong>ch</strong>en den empiris<strong>ch</strong>en und theoretis<strong>ch</strong>en Werten:<br />
empiris<strong>ch</strong>: rel. Häufigkeit h(xi) emp. Mittelwert x empiris<strong>ch</strong>e Varianz s 2<br />
Modell: Wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keit p(xi) Erwartungswert E(X) = µ Varianz V(X) = σ 2<br />
Im folgenden Beispiel werden die in einem Klassenversu<strong>ch</strong> ermittelten Daten mit den<br />
entspre<strong>ch</strong>enden Werten des Modells vergli<strong>ch</strong>en. Die angewandte Statistik lehrt, wie man<br />
S<strong>ch</strong>ätzwerte für die i.a. unbekannten Parameter z.B. Erwartungswert, Varianz s<strong>ch</strong>ätzen kann.<br />
Zufallsexperiment Werfen von 3 Münzen Apr 97<br />
Anzahl abs. H re. H. Wahrs<strong>ch</strong>.<br />
Kopf ni hi p(xi)<br />
0 27 0.129 0.125<br />
1 73 0.348 0.375<br />
2 83 0.395 0.375<br />
3 27 0.129 0.125<br />
Summe 210 1.000 1.000<br />
emp. Mittelwert 1.524 Erwart.wert 1.500<br />
Varianz empiris<strong>ch</strong> 0.767 Modell 0.750<br />
Stand.abw. empiris<strong>ch</strong> 0.876 0.866<br />
Die Bedeutung von Erwartungswert und Standardabwei<strong>ch</strong>ung liegt darin, dass für viele<br />
Wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keitsverteilungen (insbesondere für die später erwähnte Normalverteilung)<br />
gilt:<br />
P µ −σ ≤ X ≤ µ + σ =<br />
P<br />
( ) 66.7%<br />
( µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ) =<br />
2 2 94.4%<br />
d.h. in den angegebenen Intervallen liegen etwa 2 /3 bzw. 95% aller Werte der<br />
<strong>Zufallsvariable</strong>n. 3σ-Abwei<strong>ch</strong>ungen vom Erwartungswert kommen praktis<strong>ch</strong> ni<strong>ch</strong>t vor. Diese<br />
Aussage gilt ni<strong>ch</strong>t nur im Modell sondern in vielen Fällen au<strong>ch</strong> für die in der angewandten<br />
Statistik erfassten Daten.<br />
zufvar_mue_sigma 08.11.13
48<br />
Für Erwartungswert und Standardabwei<strong>ch</strong>ung gelten die folgenden Gesetze:<br />
(1) E ( k ⋅ X ) = k ⋅ E ( X ) k ∈ R<br />
(2) E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) und als Spezialfall: ( ) ( )<br />
2<br />
(3) V ( k ⋅ X ) = k ⋅ V ( X ) ( ) ( )<br />
(4) V ( X ± Y ) = V ( X ) ± V ( Y )<br />
Hingegen gilt i.a.:<br />
E X Y E X E Y<br />
V X + k = V X + k<br />
( ⋅ ) ≠ ( ) ⋅ ( ) bzw. V ( X ⋅Y ) ≠ V ( X ) ⋅ V ( Y )<br />
E X + k = E X + k k ∈ R<br />
Die Gesetze (1) und (2) bedeuten, dass der Erwartungswert ein lineares Funktional ist (ein<br />
Funktional ordnet einer Funktion eine reelle Zahl zu). Diese Gesetze spielen beim Beweis des<br />
folgenden, hin und wieder hilfrei<strong>ch</strong>en Satzes eine Rolle<br />
2 2 2<br />
Satz: V ( X ) = σ = E( X ) − µ<br />
(5)<br />
Illustration am Münzenbeispiel<br />
X: 0 1 2 2<br />
X 2 : 0 1 4 9<br />
p(xi) 1 /8 3 /8 3 /8 1 /8<br />
E( X ) = ⋅ 0 + ⋅ 1 + ⋅ 2 + ⋅ 3 = 3<br />
2 1 2 1 2 1 2 1 2<br />
8 8 8 8<br />
V ( X ) = E( X ) − µ = 3− =<br />
Beweis von (5):<br />
2 2 9 3<br />
4 4<br />
1,2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( X − µ ) ) = E( X − 2 µ X + µ ) = E( X ) − 2µ<br />
E( X ) E( µ )<br />
2<br />
σ = E +<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
( X ) − 2 µ + µ = E( ) − µ<br />
= E<br />
X<br />
zufvar_mue_sigma 08.11.13
49<br />
Spezielle Verteilungen:<br />
a) Glei<strong>ch</strong>verteilung<br />
Idealer Würfel:<br />
µ = E X = 1 ⋅ 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 1 ⋅ 1 ⋅6⋅ 7 =<br />
( ) ( )<br />
7<br />
6 6 6 2<br />
( )<br />
1<br />
( ) ( 1 ) 2 ( 2 ) 2<br />
... ( 6 )<br />
35<br />
σ = V X = ⋅ − + − + + − = σ =<br />
12<br />
≈ 1.72<br />
2 7 7 7 35<br />
6 2 2 2 12<br />
allg.<br />
Im Falle der Glei<strong>ch</strong>verteilung sind n glei<strong>ch</strong>wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>e Ergebnisse mögli<strong>ch</strong>. Es gilt dann:<br />
1<br />
2 1 2<br />
n σ = ⋅ n −<br />
µ =<br />
2<br />
⋅ ( + 1)<br />
und ( 1<br />
12 )<br />
Beweis: Uebungsaufgabe<br />
Beispiel: Augensumme zweier Würfel (Backgammon?)<br />
Erwartungswert und Standardabwei<strong>ch</strong>ung von X:<br />
X = xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
p(xi)<br />
1<br />
36<br />
2<br />
36<br />
3<br />
36<br />
4<br />
36<br />
5<br />
36<br />
6<br />
36<br />
5<br />
36<br />
4<br />
36<br />
3<br />
36<br />
2<br />
36<br />
1<br />
36<br />
µ = 7<br />
( ) ( ) ( ) ( )<br />
2 1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
210 35<br />
36 36 36 36 36 6<br />
σ = 2 − 7 + 3 − 7 + ... + ⋅ 11− 7 + 12 − 7 = = ≈ 5.83<br />
Die aufwändige Bere<strong>ch</strong>nung von Erwartungswert und Standardabwei<strong>ch</strong>ung vereinfa<strong>ch</strong>t si<strong>ch</strong><br />
mit Satz (5). Sie kann aber mit den Eigens<strong>ch</strong>aften (1) bis (4) auf den Fall des einfa<strong>ch</strong>en Wurfs<br />
zurückgeführt werden:<br />
Sei X die Augenzahl des ersten Würfels und Y die des zweiten.<br />
Dann gilt<br />
7 7<br />
E X + Y = E X + E Y = + = 7<br />
wegen (2): ( ) ( ) ( )<br />
35<br />
wegen (4): V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) =<br />
35 35<br />
12<br />
+<br />
12<br />
=<br />
6<br />
2<br />
b) Binomialverteilung<br />
Für eine binomialverteilte <strong>Zufallsvariable</strong> X können Erwartungswert und Standardabwei<strong>ch</strong>ung<br />
direkt angegeben werden:<br />
(6) E(X) = np (7) V(X) = npq Binomialverteilung<br />
Das Ergebnis für den Erwartungswert ist plausibel: Jeder der n Teilversu<strong>ch</strong>e hat die<br />
Erfolgswahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keit p; beim Gesamtversu<strong>ch</strong> sind daher im Mittel np Erfolge zu<br />
erwarten.<br />
Beispiel:<br />
Da die zum Münzenexperiment gehörige Zufallsveriable X binomialverteilt ist, erhält man<br />
wegen n = 3, p = q = 1 /2 direkt E(X) = 3 /2 und V(X) = 3 /4.<br />
2<br />
zufvar_mue_sigma 08.11.13
50<br />
Beweis von (6) und (7)<br />
Na<strong>ch</strong> Def. oder mit der folgenden passend gewählten Hilfsfunktion:<br />
n<br />
( q + pt) = P ( x) t<br />
x<br />
n<br />
∑<br />
f ( t)<br />
=<br />
Binomis<strong>ch</strong>er Lehrsatz<br />
f ′<br />
x=<br />
0<br />
n<br />
n<br />
n−1<br />
x−1<br />
( t)<br />
= n( q + pt) ⋅ p = ∑ x ⋅ Pn<br />
( x)<br />
t<br />
setze t = 1<br />
x=<br />
0<br />
n<br />
∑<br />
f ′( 1) = n ⋅ p = x ⋅ P ( x)<br />
= E(<br />
X ) = µ (6)<br />
f ′′<br />
x=<br />
0<br />
n<br />
n<br />
n−2<br />
2<br />
x−2<br />
( t)<br />
= n( n −1)( q + pt) ⋅ p = ∑ x ( x −1)<br />
⋅ Pn<br />
( x)<br />
t<br />
setze t = 1<br />
x=<br />
0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
f ′′(1)<br />
= n(<br />
n −1)<br />
⋅ p = E(<br />
X ) − E(<br />
X ) = E(<br />
X ) − µ<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
n p − np = µ − pµ<br />
= E(<br />
X ) − µ<br />
na<strong>ch</strong> E(X 2 ) aufgelöst<br />
+ µ<br />
2<br />
( 1−<br />
p ) = E(<br />
X )<br />
2<br />
µ wegen 1 – p = q<br />
E ( X<br />
2 ) = µ<br />
2 + npq<br />
2 2<br />
2<br />
V ( X ) = E(<br />
X<br />
2 ) − µ = µ + npq − µ = npq<br />
(7)<br />
Ein eleganter Beweis ergibt si<strong>ch</strong> au<strong>ch</strong>, indem man die <strong>Zufallsvariable</strong>n Xi (Erfolg an der i.ten<br />
Stelle) einführt.<br />
Wegen<br />
E(<br />
X<br />
i<br />
) = 0 ⋅ q + 1⋅<br />
p = p<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
V ( X<br />
i<br />
) = q ⋅ (0 − p)<br />
+ p ⋅ (1 − p)<br />
= q ⋅ (0 − p)<br />
+ p ⋅ q = pq ⋅ ( p + 1−<br />
p)<br />
=<br />
gilt wegen den Eigens<strong>ch</strong>aften (2) und (4):<br />
E( X<br />
1<br />
+ X<br />
2<br />
+ ... + X<br />
n<br />
) = np bzw. V ( X<br />
1<br />
+ X<br />
2<br />
+ ... + X<br />
n<br />
) = npq<br />
Uebungsaufgaben:<br />
a)<br />
Die <strong>Zufallsvariable</strong> X bezei<strong>ch</strong>ne die Anzahl der Mäd<strong>ch</strong>en in einer Familie mit fünf Kindern.<br />
Die Wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keit für eine Mäd<strong>ch</strong>engeburt nehmen wir als 0.5 an (ein genauerer Wert<br />
wäre 0.486). Bere<strong>ch</strong>ne E(X) und V(X) na<strong>ch</strong> Definition und mit (6) bzw. (7)<br />
Lösung: E(X) = 2.5, V(X) =1.25<br />
b)<br />
Eine Laplacemünze mit den Seiten 0 und 1 wird solange geworfen, bis eine Eins oder drei<br />
Nullen ers<strong>ch</strong>einen. Es bezei<strong>ch</strong>e X die Anzahl der Würfe. Bere<strong>ch</strong>ne E(X) und V(X).<br />
Lösung: Tip: Baumdiagramm<br />
E(X) = ½ + 2 /4 + ¾ = 7 /4<br />
V(X) = E(X 2 ) - (E(X)) 2 = 11 /16<br />
pq<br />
zufvar_mue_sigma 08.11.13
51<br />
Erwartungswert bei Glücksspielen<br />
Das folgende Problem spielt in der Ges<strong>ch</strong>i<strong>ch</strong>te der Wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keitsre<strong>ch</strong>nung eine grosse<br />
Rolle. Es geht um die gere<strong>ch</strong>te Aufteilung des Spieleinsatzes bei vorzeitigem Abbru<strong>ch</strong> eines<br />
Glückspiels. Pierre Fermat (1601 -1665) löste das Problem kombinatoris<strong>ch</strong>, Blaise Pascal<br />
(1623 – 1662) mit der Idee des erwarteten Erlöses.<br />
Problème des parti€s (vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Teilungsproblem)<br />
Zwei Spieler A und B leisten je einen Einsatz von S = 32 Fr. und vereinbaren folgendes<br />
Glückspiel: Fällt eine symmetris<strong>ch</strong>e Münze auf Kopf (K) erhält A einen Punkt, andernfalls B.<br />
Wer als Erster 7 Punkte errei<strong>ch</strong>t gewinnt 2S = 64 Fr.. Aus einem unbekannten Grund muss<br />
das Spiel zu dem Zeitpunkt abgebro<strong>ch</strong>en werden als A über 5 und B über 4 Punkte verfügen.<br />
In wel<strong>ch</strong>em Verhältnis ist der Gesamteinsatz 2S gere<strong>ch</strong>terweise zu verteilen?<br />
Lösung na<strong>ch</strong> Pascal:<br />
In der Abbildung ist das künftige Ges<strong>ch</strong>ehen für beide Spieler aus der Si<strong>ch</strong>t von A dargestellt.<br />
Dabei bezei<strong>ch</strong>net (i,j) den Zustand, indem Spieler A no<strong>ch</strong> i und Spieler B no<strong>ch</strong> j Punkte zum<br />
Gewinn benötigt-<br />
Im Zustand (0,j) erhält A den gesamten Einsatz 2S und B geht leer aus.<br />
Im Zustand (i,0) erhält B den gesamten Einsatz 2S und A geht leer aus.<br />
Für den erwarteten Erlös von A erhält man dann<br />
2 1 3 1 4<br />
E = ((<br />
1 ) + 2 ⋅ ( ) + 3⋅<br />
( ) ) ⋅ 64 = 44 und für den von Spieler B entspre<strong>ch</strong>end<br />
A<br />
2<br />
2<br />
2<br />
E<br />
B<br />
= 20<br />
E<br />
A 44 11<br />
Der totale Einsatz ist damit zwis<strong>ch</strong>en A und B im Verhältnis =<br />
20<br />
=<br />
5<br />
aufzuteilen.<br />
E<br />
B<br />
zufvar_mue_sigma 08.11.13
52<br />
Lösung von Fermat:<br />
Spätestens na<strong>ch</strong> 4 Würfen steht fest, wel<strong>ch</strong>er Spieler den Gesamteinsatz gewinnt. Errei<strong>ch</strong>t<br />
inskünftig A no<strong>ch</strong> einen und B zwei Punkte dann steht das Spiel unents<strong>ch</strong>ieden und beide<br />
benötigen zum Gewinn no<strong>ch</strong> einen Punkt.<br />
In der folgenden Liste sind die 2 4 = 16 künftig mögli<strong>ch</strong>en Spielverläufe aufgeführt, wobei der<br />
Bu<strong>ch</strong>stabe angibt, wel<strong>ch</strong>er Spieler den Punkt bekommt. In den mit * bezei<strong>ch</strong>neten Fällen<br />
gewinnt A:<br />
* AAAA * ABAA * BAAA * BBAA<br />
* AAAB * ABAB * BAAB BBAB<br />
* AABA * ABBA * BABA BBBA<br />
* AABB ABBB BABB BBBB<br />
Da A in 11 Fällen und B in 5 Fällen gewinnt ist der Gewinn im Verhältnis 11:5 aufzuteilen.<br />
Uebungsaufgaben:<br />
a)<br />
Erraten einer von drei verdeckten Karten<br />
(Reminiszenz von der Studienwo<strong>ch</strong>e einer Klasse na<strong>ch</strong> Paris)<br />
"Gewinne": x i 100 -100<br />
zugehörige Wahrs<strong>ch</strong>. p(x i ) 1 /3 2 /3<br />
100<br />
Mittlerer "Gewinn" pro Spiel (sogenannter Erwartungswert) µ = −<br />
3<br />
Da die Organisatoren das Spiel ni<strong>ch</strong>t fair dur<strong>ch</strong>führten, verloren die teilnehmenden S<strong>ch</strong>üler<br />
trotz vorgängiger Warnung des Klassenlehrers allesamt 100 Francs.<br />
b)<br />
Roulette<br />
Der Spieler setzt seinen Einsatz e > 0 auf eine der Zahlen 0, 1, 2, ... , 36<br />
Landet die Kugel auf dem gewählten Zahlenfeld, so erhält er 36e zurück (gewinnt also 35e),<br />
andernfalls verliert er seinen Einsatz.<br />
Der Gewinn ist eine <strong>Zufallsvariable</strong> mit der Wahrs<strong>ch</strong>einli<strong>ch</strong>keitsverteilung:<br />
"Gewinne" x i . 35e -e<br />
zugehörige Wahrs<strong>ch</strong> p(x i ) 1 /37 36 /37<br />
e<br />
Erwartungswert beim Roulette: µ = −<br />
37<br />
c)<br />
"Chuck-a-luck" (USA) "crown and an<strong>ch</strong>or" (engl.)<br />
Ein Spieler setzt auf eine der Augenzahlen. Es werden 3 Würfel geworfen. Ers<strong>ch</strong>eint seine<br />
Zahl 1, 2, 3 mal, so gewinnt er das 1-, 2-, 3- fa<strong>ch</strong>e seines Einsatzes, andernfalls verliert er<br />
seinen Einsatz. Wir wählen als Spezialfall für den Einsatz 1 Fr.<br />
xi -1 1 2 3<br />
p(xi) q 3 3pq 2 3p 2 q p 3 mit p = 1 /6 bzw. q = 5 /6<br />
17<br />
Erwartungswert µ = −<br />
216<br />
zufvar_mue_sigma 08.11.13