1. Ableitung wichtiger Funktionen - mathekurs.ch

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3. Ableitung von weiteren Funktionen
Exponentialfunktion:
Die Eulerschen Zahl e ist als Grenzwert definiert:
1
( )
n
e = lim 1+ = 2.18281828459045...
n→∞
n
x h x h
wegen e
0 + = e
0 ⋅ e gilt:
x0 + h x0
h
∆y
e − e x e −1
0
= = e ⋅
∆x
h
h
Die 1. Ableitung an einer beliebigen Stelle x 0 wird
damit auf die 1. Ableitung an der Stelle 0
zurückgeführt. Die Vorzugsrolle der Basis e ist
darin begründet, dass für diese Basis der
Grenzwert 1 ist.
(ohne Beweis, Test mit dem TR).
Damit gilt:
h
x e −1
0
f '( x0
) = e ⋅ lim = e
h→0
h
x x
e
′ = e
Ergebnis: ( )
x
0
Für die Eulersche Basis stimmen also an jeder Stelle Funktionswert und 1. Ableitung überein.
P x e erhält, indem
Geometrisch bedeutet dies, dass man die Kurventangente im Punkt ( , x 0
0 )
man den Punkt ( x0 − 1,0 ) auf der x-Achse mit P verbindet.
Unterscheide:
Potenzfunktionen werden nach der Potenzregel abgeleitet.
′ = ⋅
n
n 1
Der Exponent ist eine vorgegebene Zahl, die Basis ist variabel. ( x ) n x −
Bei Exponentialfunktionen ist die Basis eine vorgegebene Zahl, die Variable steht im
x x
e
′ = e
Exponenten: ( )
diffr4 24.10.2011/ul

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Logarithmusfunktion
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion
der Exponentialfunktion. Ihr
Graph ergibt sich aus dem Graphen der
Exponentialfunktion durch Spiegelung an
der 1. Winkelhalbierenden.
Mit der später besprochenen Regel zur
Berechnung der Ableitung der Umkehrfunktion
kann gezeigt werden, dass gilt:
( ln x)
′ 1 = x > 0
x
Herleitungsvariante:
1
Der Differenzenquotient der Funktion f ( x)
= wird geeignet umgeformt:
x
ln ( x0 + hn ) − ln x0 1 ⎛ x0
+ h ⎞
n
1 ⎛ h ⎞
n
= ⋅ ln ⎜ ⎟ = ⋅ ln ⎜1+
⎟ (*)
hn hn ⎝ x0 ⎠ hn
⎝ x0
⎠
Wir wählen nun die Folge h n so, dass gilt:
h n
1 x0
= bzw. hn
=
x0
n n
Diese Folge hat für n gegen unendlich den Grenzwert 0. Damit kann der Differenzenquotient
(*) in der folgenden Form geschrieben werden:
n
ln ( x0 + hn
) − ln x0
n ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞
= ⋅ ln ⎜1+ ⎟ = ⋅ ln ⎜1+
⎟
hn
x0 ⎝ n ⎠ x0
⎝ n ⎠
Nach der Definiton der 1. Ableitung gilt somit:
n
n
1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞ 1 1
f ′( x0
) = lim ⋅ ln ⎜1+ ⎟ = ⋅ ln lim ⎜1+ ⎟
= ⋅ ln e =
n→∞
x n
0
n x →∞
⎝ ⎠ ⎜
0
n ⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎠ x0 x0
Dabei wird verwendet, dass Logarithmus- und Grenzwertbildung vertauschbar sind.
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Trigonometrische Funktionen
Aus der geometrischen Interpretation der 1. Ableitung als Tangentensteigung des Graphen
ergeben sich unmittelbar Vermutungen für die Ableitung der Sinus- bzw. Cosinusfunktion
(die Graphen der Ableitungen sind grün gefärbt).
( sin x)
′ = cos x
( cos x)
′ = − sin x
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Für die Herleitung der 1. Ableitung nach Definition benötigt man den folgenden Grenzwert:
sin h′
lim = 1 (1)
h ′→ 0 h′
⎛ α + β ⎞ ⎛α
− β ⎞
und das Additionstheorem: sinα
− sin β = 2cos⎜
⎟sin⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ h ⎞ ⎛ h ⎞
⎛ h ⎞
cos⎜
x0
+ ⎟sin⎜
⎟
sin⎜
⎟
∆y
sin( x0
+ h) − sin( x0
)
2 2 ⎛ h ⎞ 2
=
= 2 ⋅
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= cos x
⎝ ⎠
⎜ 0
+ ⎟ ⋅ sei
∆x
h
h
⎝ 2 ⎠ h
2
Da der Grenzwert eines Produkts gleich dem Produkt der Grenzwerte ist gilt:
sin h′
f ′( x0 ) = lim cos ( x0 + h′
) ⋅ lim = cos x0 ⋅ 1 = cos x0
h′ →0 h′
→0
h′
h
h′ =
2
Die Cosinuskurve entsteht aus der Sinuskurve durch eine Verschiebung in negativer x-
π
cos x = sin x + . Später folgt nach der Kettenregel:
Richtung um π / 2 d.h. es gilt: ( )
( 2 )
cos x ′ = sin x + = − sin x
( ) ( )
π ′
0 2
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Beweis des Grenzwerts (1)
sin x
Es ist zu zeigen: lim = 1
x→
0 x
Beim Beweis geht man vom
folgenden Flächenvergleich aus.
Die doppelte Fläche des Dreiecks
OCB ist kleiner oder gleich
der doppelten Fläche des Sektors
OCB und kleiner oder gleich
der doppelten Fläche des Dreiecks
OCD.
sei 0 < x < π / 2
sin x ≤ x ≤ tan x
dividiere durch sin x > 0
x tan x 1
1 ≤ ≤ = bzw. für die Kehrwerte
sin x sin x cos x
(wechseln der Ungleichheitszeichen)
sin x
1 ≥ ≥ cos x
Grenzübergang
x
sin x
lim ≥ lim ≥ limcos x
x↓0 x↓0
x x↓0
sin x
sin x
1 ≥ lim ≥ 1
und damit lim = 1die Behauptung.
x ↓ 0 x
x↓
0 x
sin( − x)
sin x
sin x
Wegen = gilt auch lim = 1 und damit auch die Behauptung.
− x x
x↑
0 x
Folgerung:
1−
cos x
lim = 0
x→0
x
Dazu formt man den Term folgendermassen um:
2
1−
cos x ( 1− cos x) ⋅ ( 1+
cos x)
sin x sin x sin x
= = = ⋅
x x ⋅ 1+ cos x x ⋅ 1+ cos x x 1+
cos x
( ) ( )
Der erste Faktor hat den Grenzwert 1, der zweite den Grenzwert 0, woraus die Behauptung
folgt.
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Zusammenfassung
Die erste Ableitung einer Funktion f: D → R ist als Grenzwert des Differenzenquotienten
definiert:
( x + h) − f ( x )
f
0
0
f ′( x0 ) = lim
h→0
h
Man sagt auch: Die Funktion f ist an der Stelle x 0 differenzierbar.
Beachte die verschiedenen Interpretationen
Differenzenquotient Differentialquotient = Grenzwert des Differenzenquotienten
Sekantensteigung Tangentensteigung = Grenzwert der Sekantensteigungen
mittlere Geschwindigkeit Momentangeschwindigkeit = Grenzwert der mittleren G.
mittlere Änderungsrate momentane Änderungsrate = Grenzwert der mittleren Änd.rate
Geometrische Deutung:
Zwischen der Steigung der Tangente und dem Steigungswinkel ϕ besteht der Zusammenhang:
( )
f ′ x0 = tanϕ
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