OPTINUM - Fachrichtung Mathematik

TU Dresden · Fachrichtung Mathematik · Institut für Numerische Mathematik 1
Dr. S. Franz WiSe 13/14
OPTINUM
2. Übungsblatt: 04.11.2013
Aufgabe 1:
Betrachte die in der Vorlesung angegebenen Vektornormen ∥.∥ p , p ∈ {1, 2, ∞}.
(a) Zeige, dass diese Normen den Abschätzungen
∥x∥ 2 ≤ ∥x∥ 1 ≤ √ n∥x∥ 2
∥x∥ ∞ ≤ ∥x∥ 1 ≤ n∥x∥ ∞
∥x∥ ∞ ≤ ∥x∥ 2 ≤ √ n∥x∥ ∞
für alle Vektoren x ∈ IR n genügen und dass diese Abschätzungen nicht verbessert werden
können (d. h., dass für jeweils mindestens ein x ≠ 0 das Gleichheitszeichen gilt).
(b) Skizziere die zugehörigen sogenannten Einheitskugeln S p := {x ∈ R n : ∥x∥ p ≤ 1} für n = 2, 3
und p ∈ {1, 2, ∞}.
(c) Zeige: Für jeden festen Vektor x ∈ R n gilt
Hinweis:
∥x∥ p :=
{ n∑
i=1
lim ∥x∥ p = ∥x∥ ∞ .
p→∞
|x i | p } 1/p
für 1 ≤ p < ∞, ∥x∥ ∞ := max
i=1,...,n |x i|.
Aufgabe 2:
Mit den Bezeichnungen aus dem Beweis zum Newton-Verfahren definiere
∫ 1
[
RHS := ∥F ′ (x k ) −1 F ′ (x k + t(¯x − x k )) − F ′ (x k ) ] (¯x − x k )d t∥ und
LHS := L 2 ∥F ′ (x k ) −1 ∥∥¯x − x k ∥ 2 .
Überprüfen Sie, ob die Ungleichung
0
RHS(F ) ≤ LHS(F )
eine affin kontravariante Eigenschaft von F ist, d.h. ob für alle regulären Matrizen B die
Funktion G := F ◦ B eine entsprechende Ungleichung mit den Argumenten y k := B −1 x k und
ȳ := B −1¯x erfüllt.

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Aufgabe 3:
Betrachte Sie das Nullstellenproblem F (x) = 0 mit
( )
x1 − x
F (x) = F (x 1 , x 2 ) :=
1 x 2 − 1
.
x 2 + 2x 1 x 2 + 1
a) Bestimmen Sie analytisch eine Nullstelle x ∗ und zeigen Sie, dass F in einer Umgebung von
x ∗ lokal nach beiden Komponenten auflösbar ist.
b) Überprüfen Sie ob das hinreichende Kriterium für die Konvergenz der Fixpunktiteration
mittels eines Gesamt- bzw. Einzelschrittverfahrens erfüllt ist.
c) Wenden Sie je vier Schritte beider Verfahrens mit dem Startwert x 0 := (1, −1) T an. Welche
Beobachtungen lassen sich hinsichtlich der Konvergenzgeschwindigkeit machen?