Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

Kerstin Franzrahe 

Theoretische Untersuchungen komplexer 

Modell−Kolloide: Computer−Simulationen 

struktureller und elastischer Eigenschaften

Theoretische Untersuchungen komplexer 

Modell-Kolloide: Computer-Simulationen 

struktureller und elastischer Eigenschaften 

Dissertation 

zur Erlangung des akademischen Grades 

Doktor der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) 

an der Universität Konstanz, 

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Sektion, 

Fachbereich Physik, 

vorgelegt von 

Kerstin Franzrahe 

Referenten: 

Prof. Dr. Peter Nielaba 

Prof. em. Dr. Wolfgang Dieterich 

Tag der mündlichen Prüfung: 8. Dezember 2008

Inhaltsverzeichnis 

1. Einleitung 1 

2. Monte Carlo Simulationen 7 

2.1. Monte Carlo Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

2.2. Simulation in anderen thermodynamischen Ensemblen . . . . . . . . . . . 11 

2.3. Technische Details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

3. Binäre Mischungen und ihre Charakterisierung 15 

3.1. Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

3.2. Geordnete Strukturen in binären Mischungen . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

3.2.1. Ergebnisse zur thermodynamischen Stabilität von Gitterstrukturen 28 

4. Kolloide in äußeren Lichtfeldern 37 

4.1. Monodisperse Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

4.2. Binäre Mischungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

4.2.1. Laser Induziertes Entmischen und Frieren . . . . . . . . . . . . . . 41 

4.2.2. Laser Induziertes Schmelzen und Rissbildung . . . . . . . . . . . . 43 

4.2.3. Experimentelle Realisierungsmöglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . 47 

5. Ergebnisse: binäre Mischungen in äußeren Feldern 51 

5.1. Details der Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

5.2. Die Modulierte Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

5.3. Die kontrollierte Entmischung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

5.4. Laser Induziertes Frieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

5.4.1. Ankopplung der kleinen Komponente an das äußere Feld . . . . . . 72 

5.4.2. Kommensurabilität und Inkommensurabilität des externen Feldes . 80 

5.4.3. Einfluß des Verhältnisses der Teilchendurchmesser . . . . . . . . . 85 

5.4.4. Einfluß der Konzentration der Mischung . . . . . . . . . . . . . . . 88 

i


5.4.5. Ankopplung beider Komponenten an das äußere Feld . . . . . . . . 92 

5.4.6. Einfluß der Stärke der Ankopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 

5.4.7. Ankopplung der großen Komponente an das äußere Feld . . . . . . 102 

6. Elastizitätstheorie 109 

7. Fluktuationsmethoden 119 

8. Landau Theorie 125 

9. Verzerrungskorrelationen im Festkörper 131 

9.1. Analytische Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 

9.2. Eigenschaften der Verzerrungskorrelationsfunktionen . . . . . . . . . . . . 140 

9.3. Summenregel der verallgemeinerten Suszeptibilität . . . . . . . . . . . . . 146 

9.4. Das eingebettete System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 

9.5. Korrelationen der lokalen, mikroskopischen Rotationen . . . . . . . . . . . 150 

9.6. Skalenanalyse der Verzerrungsfluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 

9.7. Technische Details der Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 

10.Ergebnisse der Korrelationsanalyse 167 

10.1. Simulationen im NpT Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 

10.2. Analyse im NV T Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 

10.3. Analyse im NV T Ensemble mit offenen Randbedingungen . . . . . . . . . 181 

11.’Finite size’ Effekte 187 

12.Ein kolloidaler Kristall 193 

12.1. Das Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 

12.2. Analyse des Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 

13.Die Nicht-Affinität der Abbildung 199 

14.Topologische Defekte 207 

15.Elastische Eigenschaften harter Scheiben 219 

16.Punktstörstellen in einem Harte Scheiben System 227 

16.1. Analytische Vorhersagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 

16.2. Die Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 

16.3. Analyse der Verzerrungskorrelationsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 236 

16.4. ’Finite size’ Skalierung des Nachgiebigkeits-Tensors . . . . . . . . . . . . . 245 

17.Zusammenfassung und Ausblick 251 

A. Herleitung der Fluktuationsformel 257 

ii


B. Herleitung der Verzerrungskorrelationsfunktionen mit finiten Differenzen 263 

C. Hydrostatischer Druck im binären Fluid 269 

D. Veröffentlichungen und Vorträge 273 

iii

KAPITEL 1 

Einleitung 

Das Gebiet der weichen Materie (soft matter) umfaßt die Beschreibung einer Vielzahl, 

auf den ersten Blick sehr unterschiedlicher Systeme. Da diese sich aufgrund ihrer strukturellen 

und elastischen Eigenschaften nicht eindeutig dem Bereich der gewöhnlichen 

Festkörper bzw. Flüssigkeiten zuordnen lassen, werden sie zum Teil auch als komplexe 

Flüssigkeiten bezeichnet. Gewöhnliche Festkörper und Flüssigkeiten stellen sich bereits 

auf Längenskalen von 1 nm als homogene, strukturlose Kontinua dar. Im Gegensatz dazu 

weisen Systeme der weichen Materie oft noch auf Skalen von bis zu 1000 nm eine 

Strukturierung auf. An die Stelle der in Festkörpern kovalent gebundenen Atome treten 

in der weichen Materie supramolekulare Aggregate, wie z.B. Polymere oder Kolloide. 

Diese bilden die elementaren Bausteine der Systeme und bestimmen sowohl die Strukturbildung 

auf mesoskopischen Skalen als auch deren elastische Eigenschaften. Der große 

Unterschied im elastischen Verhalten der weichen Materie im Vergleich zu gewöhnlichen 

Festkörpern wird durch die extremen Unterschiede in den relevanten Längenskalen hervorgerufen. 

Eine Abschätzung des Schermoduls durch das Verhältnis von Bindungsenergie 

zum Volumen der Einheitszelle der geordneten Struktur, für z.B. einen Ionenkristall 

wie Kochsalz, liefert Werte im Bereich von 1eV/(1Å)3 = 10 30 eV/m 3 . Im Vergleich dazu 

ist der Schermodul in geordneten Strukturen der weichen Materie, wie z.B. kolloidalen 

Kristallen, um ca. 12 Größenordnungen kleiner! In solchen kolloidalen Kristallen liegt 

die Bindungsenergie im Bereich der thermischen Energie k B T = (1/40)eV und die Gitterkonstante 

kann durch die Grösse der Kolloide auf ca. 1µm abgeschätzt werden [1]. 

Der Schermodul liegt somit bei ca. 10 18 eV/m 3 und macht deutlich, daß diese Systeme 

schon durch eine vergleichsweise leichte äußere Störung stark deformiert werden können. 

Sie sind weich. 

In der Vielzahl der Systeme der weichen Materie, wie z.B. Polymere, Flüssigkristalle, 

verschiedene biologische Systeme usw. nehmen die Kolloide eine besondere Stellung ein. 

1

Einleitung 

Als Kolloid werden laut der Definition der International Union of Pure and Applied 

Chemistry (IUPAC) von 1972 alle Objekte bezeichnet, die in mindestens einer ihrer Dimensionen 

eine räumliche Ausdehnung von 1 − 1000nm aufweisen [2]. Aufgrund dieser 

ausschließlichen Definiton der Kolloide über ihre Größe, bezeichnete Pierre-Gille de Gennes 

1 diese auch treffend als ’ultradiveded matter’ [4]. Im alltäglichen Leben treffen wir 

oft auf kolloidale Dispersionen. Sei es in Form von Aerosolen wie z.B. Rauch (Dispersion 

eines Festkörpers in einem Gas) oder Nebel (Dispersion einer Flüssigkeit in einem Gas) 

oder auch Emulsionen wie z.B. Milch (Dispersion einer Flüssigkeit in einer Flüssigkeit). 

Insbesondere Dispersionskolloide (ein einfaches Beispiel sind Polysteren-Kügelchen in 

Wasser) haben sich in den letzten Jahren als hervorragende Modellsysteme der Physik 

etabliert. Sie sind groß genug, um sich eindeutig von den molekularen Bestandteilen des 

Lösungsmittels abzugrenzen und gleichzeitig klein genug, um aufgrund der Stöße mit 

eben diesen Bestandteilen des Lösungsmittels eine Brown’sche Bewegung aufzuweisen. 

Seit J. Perrins 2 Experimenten an kolloidalen Systemen, die zeigten, daß die Verteilung 

kolloidaler Teilchen in einem Lösungsmittel im Schwerefeld der Erde der gleichen barometrischen 

Höhenformel genügt, wie Gasmoleküle in einer isothermen Atmosphere, 

werden Kolloide oft als direktes Modell für Atome verwendet [5]. In dieser Eigenschaft 

werden sie sehr erfolgreich zur Klärung grundlegender Fragen der Festkörperphysik, wie 

z.B. im Bereich der Kristallisation und des Schmelzens geordneter Strukturen [6, 7], 

eingesetzt. 

Was macht Kolloide für die Physik so attraktiv? Da sie mit ihrer Größe im Bereich des 

sichtbaren Lichts (ca. 380 − 780nm) liegen, bieten optische Mikroskope einen direkten 

Zugang zu den mikroskopischen Trajektorien der Kolloide im Ortsraum. Dieser direkte 

Zugang zu den mikroskopischen, thermischen Fluktuationen in der weichen Materie 

macht sie zu einem idealen Testfeld der Statistischen Physik, deren Ziel es ist aus den 

mikroskopischen Eigenschaften eines Systems sein makroskopisches Verhalten vorherzusagen. 

Insbesondere die Videomikroskopie [8, 9] zweidimensionaler, kolloidaler Suspensionen 

hat in den letzten Jahren u.a. viel zur Klärung fundamentaler Fragen im Bereich 

der Phasenübergänge in zweidimensionalen Systemen beigetragen [10, 11, 12, 13, 14, 15]. 

Was Kolloide aber zu einem solch faszinierenden und vielseitigen Modellsystem macht, ist 

die Tatsache, daß die Wechselwirkungen der Kolloide untereinander aber auch der Kolloide 

mit einem Substrat sehr exakt kontrolliert und manipuliert werden können (siehe 

z.B. [16, 17]). Kolloide weisen eine sehr große Oberfläche auf, die chemisch nach Belieben 

verändert werden kann. Des weiteren lassen sich die effektiven Wechselwirkungen durch 

Änderungen in der Zusammensetzung des Lösungsmittels variieren. Entropische Kräfte 

können z.B. durch die Zugabe von Polymeren in eine kolloidale Suspension, ausgenutzt 

werden, um attraktive Wechselwirkungen zwischen den Kolloiden zu bewirken. Ein weiterer 

Vorteil der kolloidalen Systeme liegt darin, daß sie sich hervorragend durch externe 

Felder manipulieren lassen [18, 19]. Sei es die gezielte Manipulation einzelner oder kleiner 

1 Nobelpreis für Physik 1991: ”for discovering that methods developed for studying order phenomena in 

simple systems can be generalized to more complex forms of matter, in particular to liquid crystals 

and polymers” [3] 

2 Nobelpreis für Physik 1926: ”for his work on the discontinuous structure of matter and especially for 

his discovery of sedimentation equilibrium” [3] 

2

Einleitung 

Gruppen von Kolloiden mittles Laser Tweezer [20] oder die Kontrolle des gesamten Systems 

durch die verschiedensten externen Felder. Gerade die beiden zuletzt genannten Eigenschaften 

der Kolloide geben ihnen eine Bedeutung über das bloße Modellsystem atomarer 

Systeme hinaus. Sie eröffnen den Weg zu neuen, maßgeschneiderten Materialien. 

Ein großes Interesse herrscht in diesem Zusammenhang an zweidimensionalen kolloidalen 

Systemen. Mit ihrer Hilfe können Oberflächen kontrolliert strukturiert werden, die dann 

direkt (z.B. [21, 22, 23]) oder auch indirekt als Template-Strukturen (z.B. [24, 25]) einen 

vielseitigen Einsatz finden können. So z.B. als lithographische Masken, Antireflexionsbeschichtungen 

oder auch optische Speichermedien. Als Modellsysteme fördern sie u.a. 

unser Verständnis adsorbierter Monolagen auf strukturierten Oberflächen. Die Strukturierung 

der Oberfläche läßt sich hervorragend durch externe Lichtfelder modellieren, da 

durch die Interferenz von Laserstrahlen nahezu jede beliebige zweidimensionale Struktur 

realisiert werden kann und zudem über die Stärke der Ankopplung der Kollloide an das 

Lichtfeld die Stärke des modellierten Substratpotentials kontinuierlich variiert werden 

kann. Umfangreiche Studien an monodispersen, zweidimensionalen Systemen in äußeren 

Lichtfeldern führten zur Entdeckung interessanter Phänomene wie dem Laser Induzierten 

Frieren (LIF) und Laser Induzierten Schmelzen (LIM) [26, 27, 28, 29, 30, 31, 32]. 

Im Hinblick auf die Bedeutung komplexer, zweidimensionaler Strukturen im technologischen 

Bereich wendet sich der erste Teil der hier vorliegenden Arbeit der Frage nach 

der thermodynamischen Stabilität komplexer Gitterstrukturen in zweidimensionalen Mischungen 

zu. Danach liegt der Fokus der Untersuchungen auf der Möglichkeit der kontrollierten 

Strukturierung solcher Mischungen, die der Einsatz eines äußeren Lichtfelds 

bietet. Die Analysen werden an einem etablierten Modellsystem der Statistischen Physik, 

dem Harte Scheiben System, vorgenommen. Dieses stellt den athermischen Grenzfall 

von Systemen mit sphärisch symmetrischen Teilchen endlicher Ausdehnung dar. Monte 

Carlo Computer-Simulationen erweisen sich hier einmal mehr als nützliches Werkzeug 

zur Vorhersage neuer physikalischer Phänomene. Mit ihrer Hilfe ist es einfacher als in 

Experimenten möglich, systematisch physikalisch interessante Parameter des Systems zu 

variieren und so neue Effekte aufzuspüren. Dieser Aspekt der Computer-Simulationen 

wird in den Simulationen zur Strukturbildung in einer zweidimensionalen binären Mischung 

unter Einfluß eines externen Feldes genutzt und ermöglichte die Vorhersage neuer 

laser-induzierter Phänomene, wie z.B. der Laser Induzierten Entmischung LID [33]. 

Computer-Simulationen werden zudem erfolgreich bei Vergleichen zwischen experimentellen 

Systemen und den zu deren Beschreibung entwickelten Modellsystemen der Statistischen 

Physik eingesetzt. Die Ergebnisse der direkten Simulation des Modellsystems 

zeigen im Vergleich mit den experimentellen Befunden deutlich, ob das analytische Modell 

bereits alle wichtigen Aspekte des Experiments ausreichend berücksichtigt. Sie helfen 

des weiteren die Tragweite eventuell gemachter Näherungen im analytischen Modell 

realistisch einzuschätzen. Im zweiten Teil der hier vorliegenden Arbeit werden Computer- 

Simulationen zu diesem Zwecke eingesetzt. Dieser wendet sich der detaillierten Analyse 

der elastischen Eigenschaften zweidimensionaler, kolloidaler Systeme zu. Zunächst wird 

analytisch eine nicht-lokale Landau Gitterfeldtheorie aufgestellt. Diese ermöglicht die 

analytische Berechnung der Verzerrungskorrelationsfunktionen zweidimensionaler Fest- 

3

Einleitung 

körper aus den mikroskopischen Positionsfluktuationen im Fourier Raum. Aus der Analyse 

dieser Korrelationsfunktionen können die elastischen Module aber auch die Korrelationslängen 

des Systems bestimmt werden. Die Korrelationslängen der Verzerrungsfluktuationen 

verdeutlichen bis zu welchen Längenskalen die Systeme die Eigenschaften 

eines elastischen Kontinuums aufweisen. Ein ausführlicher Vergleich der Gitterfeldtheorie 

mit Simulationen eines zweidimensionalen, harmonischen Festkörpers zeigt die Grenzen 

der analytischen Theorie auf und macht deutlich, wie die aus experimentellen Daten berechneten 

Korrelationsfunktionen korrekt zu interpretieren sind. Mit einer Anwendung 

der im zweiten Teil der vorliegenden Arbeit entwickelten nicht-lokalen Landau Gitterfeldtheorie 

auf ein Modellsystem einer Monolage mit Störstellen werden Monte Carlo 

Simulationen abschließend noch einmal zur Vorhersage der elastischen Eigenschaften des 

Systems bzw. ihrer Änderung durch die lokalen Störungen der Verzerrungsfluktuationen 

im System eingesetzt. 

Die vorliegende Arbeit ist wie folgt strukturiert. In Kapitel 2 ist eine kurze Einführung 

in die Methoden und Techniken der verwendeten Monte Carlo Computer-Simulationen 

gegeben. Es folgt eine Zusammenstellung der zur Analyse der binären Mischungen verwendeten 

Größen in Kapitel 3. Hier werden auch die Studien zur thermodynamischen 

Stabilität komplexer Gitterstrukturen in zweidimensionalen, binären Mischungen harter 

Scheiben vorgestellt. Diese verdeutlichen die Vorteile einer durch externe Felder kontrollierten 

Strukturbildung. Kapitel 4 gibt zunächst einen Überblick über die in monodispersen 

Systemen bekannten laser-induzierten Phänomene und stellt dann ausführlich 

das in dieser Arbeit untersuchte bidisperse System und seine relevanten Systemparameter 

vor. Die aus den Computer-Simulationen erhaltenen Ergebnisse werden in Kapitel 

5 vorgestellt und ausführlich diskutiert. Mit Kapitel 6 beginnt der zweite Teil der hier 

vorliegenden Arbeit. Es werden zunächst die relevanten Aspekte der Elastizitätstheorie 

zusammengestellt. Kapitel 7 stellt alternative Methoden zur Berechnung der elastischen 

Module aus den thermischen Fluktuationen in den Teilchenkonfigurationen vor. Eine 

kurze Zusammenfassung der Grundlagen der Landau Theorie in Kapitel 8 ermöglicht 

dann den Einstieg in die analytische Herleitung der Verzerrungskorrelationsfunktionen 

in Kapitel 9. Die Ergebnisse der Computer-Simulationen des harmonischen Modellsystems 

werden in Kapitel 10 besprochen. Der Einfluß von ’finite size’ Effekten auf die 

Ergebnisse der Simulationen wird in Kapitel 11 diskutiert. In Kapitel 12 werden die Verzerrungskorrelationsfunktionen 

in einem experimentellen System berechnet und mit ihrer 

Hilfe die elastischen Module des kolloidalen Kristalls ermittelt. Kapitel 13 geht auf den 

Einfluß nicht-affiner Anregungen im experimentellen System aber auch im simulierten 

harmonischen Modellsystem ein und erklärt so Abweichungen zwischen Gitterfeldtheorie 

und Experiment/Simulation. In Kapitel 14 werden die Auswirkungen von topologischen 

Defekten auf die Verzerrungskorrelationen anhand experimenteller Daten und anhand 

von Computer-Simulationen beleuchtet. Die letzten zwei Kapitel widmen sich der Untersuchung 

der Auswirkung, die zufällig verteilte, lokale Störungen bzw. die Unordnung 

auf das elastische Verhalten einer Monolage hat. Es wird ein Harte Scheiben System, 

welches zunächst in Kapitel 15 eingeführt wird, mit zufällig verteilten Punktstörstellen 

simuliert. Die Auswertung der Simulationen in Kapitel 16 erfolgt mit Hilfe der in Kapitel 

4

Einleitung 

9 entwickelten nicht-lokalen Landau Gitterfeldtheorie. Hier werden auch zwei verschiedene 

theoretische Ansätze zur Interpretation der erhalten Ergebnisse entwickelt und 

diskutiert. In Kapitel Kapitel 17 werden abschließend die Ergebnisse der vorgestellten 

Studien zusammengefaßt. Die Arbeit endet mit einem Ausblick auf weitere, interessante 

Fragestellungen im Umfeld dieser Studien. 

5

KAPITEL 2 

Monte Carlo Simulationen 

Viele interessante Eigenschaften physikalischer Systeme lassen sich bei Kenntnis der 

Zustandssumme des Systems im Rahmen der Statistischen Mechanik direkt berechnen. 

So auch der thermische Mittelwert einer Observablen A. Die kanonische Zustandssumme 

ist wie folgt definiert: 

Q N (V, T ) = 

∫ 

1 

h 3N N! 

d ⃗ Γe −βH(⃗ Γ) = 

1 

N!Λ 3N Z N(V, T ) 

mit β = 1/k B T , T der Temperatur im System, k B der Boltzmann Konstante und h dem 

planckschen Wirkungsquantum. Hierbei ist H( ⃗ Γ) = ∑ N ⃗p 2 i 

i=1 2m 

+U(⃗r) die Hamilton Funktion 

des betrachteten Systems und U(⃗r) das Wechselwirkungspotential zwischen den N 

Teilchen der Masse m im System. Nach der Integration über die Impulse bleibt noch das 

Konfigurationsintegral Z N (V, T ) = ∫ d⃗r N e −βU(⃗rN ) zu lösen. Λ = √ h 2 /2πmk B T ist die 

thermische de Broglie-Wellenlänge. Im kanonischen Ensemble gilt, sofern die Observable 

A keine Funktion der Impulse ist, d.h. A(Γ) = A(⃗r N ): 

〈A〉 NV T = 

∫ 

1 

h 3N N!Q N (V, T ) 

∫ 

d ⃗ d⃗r 

ΓAe −βH(⃗Γ) N Ae −βU(⃗rN ) 

= ∫ 

d⃗r N e −βU(⃗rN ) 

Die direkte numerische Evaluation solcher multidimensionaler Integrale auf einem Gitter 

von Stützstellen ist im Allgemeinen extrem aufwendig. Der 1953 von Metropolis et 

al. [34] eingeführte Monte Carlo Importance Sampling Algorithmus hingegen ermöglicht 

die numerische Berechnung thermischer Mittelwerte, da er den numerischen Aufwand 

erheblich reduziert. In Monte Carlo Simulationen wird an Stelle des exakten Integrals 

für die Zustandsfunktion die Summe über eine charakteristische Untermenge von Punkten 

⃗r i im Phasenraum ausgewertet. Werden die Stützstellen zufällig ausgewählt, ’Simple 

7


Sampling’, so wird ein Großteil der Stichproben einen sehr kleinen Beitrag (e −βU(⃗r i) ≈ 0) 

zu dem interessierenden Integral beitragen. Das führt dazu, daß extrem viele Stützpunkte 

⃗r i betrachtet werden müssen, um ein statistisch aussagekräftiges Ergebnis für das 

Integral zu erhalten. Dem sogenannten ’Importance Sampling’ liegt nun die Idee zugrunde, 

die Stützstellen gemäß einer Wahrscheinlichkeitsdichte N (⃗r N ) so auszuwählen, 

daß sich die Stichprobennahme auf die Punkte im Phasenraum konzentriert, an denen 

auch das Integral von Interesse bedeutende Beiträge liefert. D.h. bei Simulationen im 

kanonischen Ensemble idealer Weise gemäß der kanonischen Wahrscheinlichkeitsdichte 

N (⃗r N ) = e−βU(⃗rN ) 

Q N (V,T ) 

. Dann läßt sich der thermische Mittelwert wie folgt schreiben: 

〈A〉 ≈ 1 L 

L∑ 

A(⃗r N i ) 

i=1 

wobei L die Anzahl der Stützstellen ist. Für eine detailliertere Einführung siehe z.B. 

[35, 36]. Mit Hilfe des Metropolis Algorithmus kann nun, obwohl der Konfigurationsanteil 

der Zustandssumme a priori nicht bekannt ist, eine entsprechende Stichprobe L 

erzeugt werden. Unter Berücksichtigung der Bedingung der detaillierten Balance kann 

man die Übergangswahscheinlichkeit π(a → n) von einem alten Zustand a in einen 

neuen Zustand n herleiten. Die detaillierte Balance stellt sicher, daß in einem System 

im thermodynamischen Gleichgewicht die mittlere Anzahl von Übergängen (a → n) 

der mittleren Anzahl der entgegengesetzten Übergänge (n → a) entspricht und somit 

das System im Gleichgewicht bleibt. Die Übergangswahrscheinlichkeit π läßt sich in ein 

Produkt aus der Wahrscheinlichkeit, den neuen Zustand zu erzeugen α(a → n) (entspricht 

der Matrix einer Markovkette), und der Akkzeptanzwahrscheinlichkeit des neuen 

Zustands acc(a → n) zerlegen. Dann lautet die Bedingung der detaillierten Balance: 

N (a) π(a → n) = N (n) π(n → a) 

N (a) [α(a → n)) acc(a → n)] = N (n) [α(n → a) acc(n → a)] 

Wird die Wahrscheinlichkeit einen neue Zustand zu erzeugen symmetrisch gewählt, d.h. 

α(a → n) = α(n → a), so gilt: 

N (a) acc(a → n) = N (n) acc(n → a) 

Somit ist das Verhältnis der Akkzeptanzwahrscheinlichkeit acc(a→n) 

acc(n→a) = N (n) 

N (a) = e−β(U(n)−U(a)) 

unabhängig vom Konfigurationsanteil der Zustandssumme Z N . Metropolis et al. [34] 

wählten die Akkzeptanzwahrscheinlichkeit so, daß für die Übergangswahrscheinlichkeiten 

gilt: 

π(a → n) = 

{ α(a → n)) für N (n) ≥ N (a) 

α(a → n))e −β(U(n)−U(a)) für N (n) < N (a) 

π(a → a) = 1 − ∑ n≠a 

π(a → n) 

8


In der praktischen Durchführung einer Monte Carlo Simulation durchläuft man bei der 

Erzeugung eines neuen Zustands n folgende Schritte: 

1. Berechnung der Energieänderung ∆U = (U(n) − U(a)) 

2. Fallunterscheidung: 

a) ∆U ≤ 0 d.h. der neue Zustand ist energetisch günstiger und 

daher N (n) ≥ N (a). 

b) ∆U > 0 d.h. der neue Zustand ist energetisch ungünstiger und 

daher N (n) < N (a). 

3. Entscheidung über Annahme oder Ablehnung des neuen Zustands n: Im Falle a) 

wird die Verschiebung immer akzeptiert, wohingegen im Fall b) sie nur mit der 

Wahrscheinlichkeit N (n) 

N (n) 

N (a) 

akzeptiert wird. Dies realisiert man, indem 

N (a) 

mit einer 

Zufallszahl aus dem Intervall [0, 1] verglichen wird. Nur falls e −β∆U > Zufallszahl 

erfüllt ist, wird die Teilchenverschiebung angenommen. 

Des weiteren ist zu beachten, daß der gesamte relevante Phasenraum ergodisch durch 

die Stichprobe erfaßt wird, d.h. von jedem Punkt im Phasenraum muß jeder andere 

beliebige Punkt im Phasenraum in einer endlichen Anzahl von Monte Carlo Schritten 

erreichbar sein. Dies muß bei der Wahl der Vorschrift zur Erzeugung der Markovkette 

berücksichtigt werden. 

2.1. Monte Carlo Algorithmen 

Die einfachste Art eine neue Konfiguration zu erzeugen ist das Verschieben eines einzelnen 

Teilchens gemäß : 

x n = x a + r max (rand − 0.5) 

y n = y a + r max (rand − 0.5) 

wobei rand eine Zufallszahl aus dem Intervall [0, 1] ist und r max die maximale Verschiebung 

darstellt. N solche Versuche ein einzelnes Teilchen zu verschieben, werden als ein 

Mont-Carlo Schritt (MCS) bezeichnet. In der Literatur (z.B. [37]) werden die Vor- und 

Nachteile der Verschiebung eines einzelnen Teilchens im Vergleich zur gleichzeitigen Verschiebung 

mehrerer, zufällig ausgewählten Teilchen und die optimale Wahl der Größe von 

r max diskutiert. Je nach zu untersuchendem, physikalischen System sind unterschiedliche 

Konzepte erfolgreich. 

In den in dieser Arbeit untersuchten Harte Scheiben Mischungen wird wie folgt vorgegangen. 

Die maximale Verschiebung für Einteilchen-Verschiebungen wird während der 

Äquilibrierung des Systems so angepaßt, daß sich eine Akkzeptanzrate von ungefähr 

50% ergibt. Dabei hat es sich als hilfreich erwiesen, die beiden Teilchensorten getrennt 

9


zu behandeln, da die kleinere Komponente viel leichter den Phasenraum erkunden kann 

als die größere. Zusätzliche Verschiebungen um im Vergleich zu r max sehr große Distanzen 

können in der Simulation dazugeschaltet werden. Solche großen Verschiebungen 

ermöglichen es Teilchen, die eventuell in einem Käfig aus anderen Teilchen eingesperrt 

sind, diesen zu verlassen. Eine weitere Möglichkeit in Mischungen neue Konfigurationen 

zu erzeugen besteht darin Identitätsvertauschungen vorzunehmen. Dabei werden zwei 

Teilchen unterschiedlicher Sorte zufällig ausgewählt und ihre Identität vertauscht. Über 

die Akkzeptanz einer solchen neuen Konfiguration wird gemäß des Metropolis Kriteriums 

entschieden. Bei den Simulationen mit äußerem Laserfeld konnte von W. Strepp 

[29] gezeigt werden, daß zusätzliche, sogenannte ’trough moves’ die Äquilibrierung des 

monodispersen Systems erleichtern. Bei diesen Verschiebungen wird die x-Komponente 

der Teilchenposition um ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge des externen Potentials 

verschoben. Solche Teilchenverrückungen wurden daher auch bei der Simulation 

von Mischungen im externen Laserfeld eingesetzt. 

Wie effektiv die soeben vorgestellten Mechanismen zur Erzeugung neuer Konfigurationen 

sind, hängt insbesondere im Falle des Harte Scheiben Potentials stark von der Dichte 

des simulierten Systems und dem Radienverhältnis der Komponenten ab. Besonders bei 

hohen Dichten läßt sich das System auf diese Weise nur schlecht äquilibrieren und es 

ist daher nötig auch nicht-lokale Mechanismen zu verwenden, die sogenannten Cluster- 

Algorithmen. 

Cluster-Algorithmen 

Einen guten Überblick über die Entwicklung der Cluster-Algorithmen findet man z.B. in 

E. Luijten’s Übersichtsartikel in [38]. Für Harte Scheiben Systeme, die in dieser Arbeit 

von Interesse sind, ist z.B. der von C. Dress und W. Krauth [39] 1995 vorgestellte Geometrische 

Cluster Algorithmus (GCA) zur Simulation im NV T -Ensemble eine interessante 

Variante. Es handelt sich bei diesem um einen sogenannten ’rejection-free’ Algorithmus, 

d.h. neue Konfigurationen werden so erzeugt, daß sie immer angenommen werden. Dies 

erhöht die Effizienz des Algorithmus im Vergleich zu den lokalen Algorithmen weiter, da 

keine CPU Zeit auf die Konstruktion von Konfigurationen verwendet wird, die später 

wieder verworfen werden. In sehr dichten Systemen kann jedoch das System nicht mehr 

in mehrere einzelne ’Cluster’ zerlegt werden. Tritt dies ein, so wird der Phasenraum 

durch den Algorithmus nicht mehr ergodisch abgetastet. So effektiv der GCA auch in 

Simulationen von Harter Scheiben Mischungen bei mittleren Dichten eingesetzt wurde 

[39], ist er daher für die hier angestrebten Untersuchungen bei hohen Dichten und im 

Festkörper nicht gut einsetzbar. Aus diesem Grund wurde für die Studien in dieser Arbeit 

hauptsächlich ein nicht-lokaler Cluster-Algorithmus von Lue und Woodcock [40] verwendet, 

der zur Untersuchung der Gelation in binären Harte Kugel Systemen erstmals eingesetzt 

wurde. Dieser verbindet den bekannten Metropolis-Einzelteilchen-Algorithmus 

für die kleinere Komponente (B) im System mit einem nicht-lokalen Algorithmus für die 

Verschiebung der größeren Komponente (A). Dieser nicht-lokale Algorithmus folgt dem 

unten angegebenen Schema: 

10


1. Ein A-Teilchen wird gemäß des Metropolis Algorithmus verschoben. 

2. Führt die Verschiebung zu einem Überlapp mit einem weiteren A-Teilchen, so wird 

sie abgelehnt. 

3. Führt die Verschiebung zu einem Überlapp mit einem oder mehreren B-Teilchen, 

so geht man wie folgt vor: 

a) Der Mittelpunkt der Verbindungslinie zwischen der alten und der neuen Position 

des A-Teilchens wird bestimmt. 

b) Der Mittelpunkt dient nun als Inversionszentrum für eine Punktspiegelung 

der vom Überlapp betroffenen B-Teilchen. 

c) Falls dies keinen Überlapp der B-Teilchen mit anderen Teilchen erzeugt, wird 

die so erzeugte neue Konfiguration angenommen, ansonsten wird diese Verschiebung 

des A-Teilchens abgelehnt. 

Der Vorteil dieses Konzepts liegt darin, daß der Algorithmus bei hohen lokalen Dichten 

sich automatisch auf den Metropolis Algorithmus reduziert und somit immer eine gewisse 

Abtastung des Phasenraums garantiert. 

2.2. Simulation in anderen thermodynamischen Ensemblen 

Die bisher vorgestellten Algorithmen dienen der Simulation im kanonischen Ensemble 

(NV T ). Je nach physikalischer Fragestellung, ist es aber von Vorteil in anderen thermodynamischen 

Ensemblen zu simulieren. 

Isotherm-isobarisches Ensemble 

Monte Carlo Simulationen im isotherm-isobarischen Ensemble (NpT ) wurden erstmals 

von Wood [41] an einem monodispersen Harte Scheiben System vorgenommen. Das 

isotherm-isobarisches Ensemble zeichnet sich durch sein in Form und Größe variables 

Simulationsvolumen aus. Dies ist bei der Untersuchung der Stabilität von Kristallstrukturen, 

aber auch bei Untersuchungen zur Kristallisation wichtig. So wird eine künstliche 

Stabilisierung von Gitterstrukturen durch eine fest vorgegebene Geometrie des Simulationsvolumens 

vermieden. Ein weiterer Vorteil dieses Ensembles liegt darin, daß oft ein 

direkter Vergleich mit dem Experiment möglich ist, da häufig Messungen in experimentellen 

Systemen bei konstantem Druck vorgenommen werden. 

Zur Konstruktion eines Monte Carlo Algorithmus in einem bestimmten statistischen 

Ensemble benötigt man die diesem Ensemble entsprechende Wahrscheinlichkeitsdichte 

der möglichen Konfigurationen. Der Darstellung von [37, 35] folgend betrachtet man 

daher zur Realisierung des NpT -Ensembles zunächst ein System aus N Teilchen im 

Volumen V in einem Reservoir aus (M − N) idealen Gasteilchen im Volumen (V 0 − V ). 

11


Die Volumina sind über einen beweglichen Kolben aneinander gekoppelt. Die kanonische 

Zustandssumme des Gesamtsystems ist: 

Q(N, M, V, V 0 , T ) = V N (V 0 − V ) (M−N) 

Λ 3M N!(M − N)! 

∫ 

d⃗s (M−N) ∫ 

d⃗s N e −βU(⃗sN ;L) 

Dabei wird von einem quadratischen Simulationsvolumen mit linearer Dimension L ausgegangen 

und über skalierte Koordinaten ⃗s i (mit ⃗r i = L · ⃗s i ) integriert. Im thermodynamischen 

Gleichgewicht wird der frei bewegliche Kolben um eine Position fluktuieren, 

die einem Volumen V entspricht, so daß die Freie Energie des Gesamtsystems 

F ges = −k B T ln (Q(N, M, V, V 0 , T )) minimal ist. Die Wahrscheinlichkeitsdichte, daß das 

N-Teilchen System ein Volumen V einnimmt, ist dann 

N (V ) = 

V N (V 0 − V ) (M−N) ∫ d⃗s N e −βU(⃗sN ;L) 

∫ V0 

0 

dV ′ (V ′ ) N (V 0 − V ′ ) ∫ (M−N) d⃗s N e −βU(⃗sN ;L) 

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen und den Druck p einzuführen, betrachtet man den 

Limes V 0 → ∞, M → ∞ unter der Nebenbedingung, daß M−N 

V 0 

→ ϱ. In diesem Grenzfall 

hat eine kleine Volumenänderung des N-Teilchen Systems keinen Einfluß auf den Druck 

im idealen Gas Reservoir. Es gilt für V V 0 

→ 0 : 

( 

(V 0 − V ) (M−N) = V (M−N) 

0 1 − V ) (M−N) 

→ V (M−N) 

0 e −(M−N) V V 0 

V 0 

und für (M − N) → ∞: e −(M−N) V V 0 → e −ϱV = e −βpV . Im letzten Schritt wurde zur 

Einführung des Drucks das ideale Gasgesetz pV = Nk B T verwendet. Nach weiteren 

Umformungen (siehe [37, 35]) erhält man: 

V N e −βpV ∫ d⃗s N e −βU(⃗sN ;L) 

N NpT (V ) = ∫ V0 

0 

dV ′ (V ′ ) N e ∫ −βpV ′ d⃗s N e −βU(⃗sN ;L) 

Für die Formulierung der Akkzeptanzbedingung des Monte Carlo Algorithmus im NpT - 

Ensemble ist nun die folgende Proportionalität wichtig. Die Wahrscheinlichkeitsdichte 

eine bestimmte Konfiguration der N Teilchen in einem bestimmten Volumen V zu finden 

ist gegeben durch: 

N (V ; ⃗s N ) ∝ V N e −βpV e −βU(⃗sN ;V ) = e −β h 

U(⃗s N ;V )+pV − N β ln V i 

Volumenänderungen können daher analog den Teilchenverschiebungen im Metropolis- 

Algorithmus behandelt werden. Die Akkzeptanzwahrscheinlichkeit für eine Volumenänderung 

ist dann: 

i) 

hU(⃗s 

acc(a → n) = min 

(1, e −β N ;V n)−U(⃗s N ;V a)+p(V n−V a)− N β ln (Vn/Va) 

12


In der praktischen Durchführung ist die Berechnung der durch eine Volumenänderung 

bewirkten Energieänderung sehr viel aufwendiger als die Behandlung einer Einteilchen- 

Verschiebung, da die Wechselwirkung zwischen allen N im System befindlichen Teilchen 

neu berechnet werden muß. Daher wird in der Regel nur einmal pro Monte Carlo Schritt 

ein solcher Versuch unternommen das Volumen zu ändern. 

2.3. Technische Details 

Randbedingungen Das Ziel von Computer-Simulationen ist es Informationen über das 

Verhalten des betrachteten Systems im thermodynamischen Limes zu erhalten. Die 

Simulation eines unendlich ausgedehnten Systems ist aber technisch nicht möglich. 

Stattdessen wird versucht aus möglichst kleinen Systemen (minimal nötiger Rechenzeitaufwand) 

akkurate Information über das System im thermodynamischen 

Limes zu extrahieren. Dabei stellt sich zunächst die Frage, wie der Rand des Simulationsvolumens 

behandelt werden soll. In relativ kleinen Systemen liegt der 

Großteil der Teilchen am Rande des Simulationsvolumens. Ein Randteilchen sieht 

bezüglich der auf es wirkenden Kräfte eine andere Umgebung als ein Teilchen im 

Inneren des Simulationsvolumens. D.h. eine Simulation mit offenen Randbedingungen 

wird starke Oberflächeneffekte aufweisen, die die Interpretation der Daten 

erschweren wird. Um der Situation im unendlichen System näher zu kommen werden 

daher oft periodische Randbedingungen eingesetzt. Dabei wird das Simulationsvolumen 

in alle Richtungen periodisch durch Bilder desselben fortgesetzt. Da 

die Teilchenzahl im Simulationsvolumen konstant ist, ist auch die Teilchenzahl des 

unendlichen Gesamtsystems konstant. Aber es muß beachtet werden, daß je nach 

Reichweite des verwendeten Potentials und je nach betrachtetem Phänomen das 

periodisch fortgesetzte System nicht unbedingt die gleichen Eigenschaften aufweist, 

wie das unendliche Modellsystem. Die Ergebnisse von Simulationen eines harmonischen 

Systems unter Verwendung unterschiedlicher Randbedingungen werden u.a. 

in Kapitel 11 diskutiert. 

Minimum Image Konvention Zur Berechnung der Energie im System muß die Wechselwirkung 

eines Teilchens i mit allen übrigen N − 1 Teilchen und infolge der 

periodischen Randbedingungen auch die Wechselwirkung mit den Bildteilchen ermittelt 

werden. D.h. man müßte Summen mit unendlich vielen Summanden berechnen. 

Dies läßt sich durch die Minimum Image Konvention vermeiden, falls das 

betrachtete Potential kurzreichweitig ist. Man betrachtet nur die Wechselwirkung 

der Teilchen mit dem ausgewählten Teilchen i, die sich in einer Box mit dem gleichen 

Volumen wie die Simulationsbox und dem Mittelpunkt in i befinden. Dieses 

Vorgehen führt dazu, daß nur noch eine Summe über 1 2N(N − 1) Summanden 

gebildet werden muß. 

Verlet-Listen Auch unter Verwendung der Minimum Image Konvention muß man noch 

für jedes der N Teilchen den Abstand zu seinen N − 1 Nachbarteilchen berechnen 

13


um die Energie im System ermitteln zu können. D.h. die Simulationszeit für diesen 

zentralen Teil des Monte Carlo Algorithmus ist proportional zu N 2 . Zur Beschleunigung 

dieses wichtigen Teils der Simulation wurde 1967 von Verlet [42] ein Verfahren 

zur Verwaltung der Nachbarteilchen in Listen eingeführt. Bei dem hier verwendeten 

’linked cell’ Verfahren ist die benötigte Simulationszeit nur noch proportional 

zu N. Dies wird wie folgt erreicht: Die Simulationsbox wird in Subboxen mit einem 

Durchmesser, der mindestens so groß wie der ’cutoff ’ des Potentials sein muß unterteilt. 

Während der Simulation muß dann nur in den aneinandergrenzenden Unterboxen 

nach Teilchen gesucht werden, die mit dem Probeteilchen wechselwirken 

können. Nur diese enthalten Teilchen innerhalb der Reichweite des Potentials. Zu 

Beginn der Simulation wird daher eine Liste erstellt, die unter Berücksichtigung 

periodischer Randbedingungen diese Nachbarboxen zu jeder Unterbox aufführt. 

Zusätzlich wird eine Liste angelegt, die angibt, welche Teilchen sich momentan in 

welcher Unterbox befinden (diese muß nach jeder erfolgreichen Teilchenverschiebung 

aktualisiert werden). Für Details zur Implementierung der Verlet-Listen siehe 

z.B. [43]. 

14

KAPITEL 3 

Binäre Mischungen und ihre Charakterisierung 

3.1. Fluide 

Fluide lassen sich durch die Paarkorrelationsfunktion g(⃗r) bzw. durch ihre Fourier Transformierte, 

den statischen Strukturfaktor charakterisieren. In einem ungeordneten System 

ist g(⃗r) eine radialsymmetrische Funktion (siehe z.B. [44, 45]). Die Position des ersten 

Maximums definiert die sogenannte erste Koordinationsschale. Aus der Fläche unterhalb 

dieses ersten Maximums läßt sich die Koordinationszahl eines typischen fluiden 

Teilchens berechnen. Für große Abstände vom analysierten, zentralen Teilchen können 

einzelne Koordinationsschalen im ungeordneten System nicht mehr klar voneinander abgegrenzt 

werden. Dieser strukturlose Bereich der Paarkorrelationsfunktion bezeichnet 

man als Kontinuum. In diesem Bereich geht die Paarkorrelationsfunktion gegen 1. Eine 

weitere Korrelationsfunktion, die sogenannte totale Korrelationsfunktion h(⃗r) erhält 

man, indem man den gleichmäßigen Hintergrund des Kontinuums von der Paarkorrelationsfunktion 

subtrahiert: h(⃗r) = g(⃗r) − 1. Diese Korrelationsfunktion eignet sich besonderes, 

um Abweichungen vom gleichmäßigen Kontinuum aufzudecken. So schätzt man 

z.B. die Reichweite der lokalen Ordnung durch die Länge L ab, auf welcher h(⃗r) auf Null 

abfällt. 

Die Analyse der Paarkorrelationsfunktion g(⃗r) hat sich u.a. als sehr nützlich in der Charakterisierung 

der Phasen bei sogenannten laser-induzierten Phänomenen (siehe Kapitel 

4) in zweidimensionalen Systemen erwiesen. In diesen Systemen induziert ein externes, 

periodisches Feld Ordnung in der Flüssigkeit. Dies hat zur Folge, daß die Paarkorrelationsfunktion 

anstelle der konzentrischen Kreise der isotropen Flüssigkeit ein der Periodizität 

und Form des äußeren Feldes entsprechendes Muster aufweist (siehe z.B. [28]). 

15


a) 

8 

d) 

g (r) 

AA 

g AA 

(r) 

6 

4 

Z AA 

∼ 5.2 

h AA 

(r) 

2 

0 

0 1 2 3 4 5 6 

r 

b) c) 

8 

0 

6 

-5 

4 

L ∼ 4.5 σ -10 

2 

A 

-15 

0 

0 1 2 3 4 5 6 -20 

0 2 4 6 

r 

r 

8 10 12 

ln |g AA 

(r)-1| 

Abbildung 3.1: a) Die Paarkorrelationsfunktion der großen Teilchensorte g AA(r) einer äquimolaren 

Mischung harter Scheiben mit einem Verhältnis der Teilchendurchmesser von σ B/σ A = 0.414 bei einer 

Anzahldichte ϱ ∗ = 1.6. Die Koordinationszahl eines großen Teilchens bezüglich weiterer großer Teilchen 

berechnet sich zu Z AA ≈ 5.2. b) Zweidimensionale Grauskalen-Darstellung der Paarkorrelationsfunktion 

g AA(⃗r). Die Skala ist so gewählt, daß das Maximum der Funktion in weiß und das Minimum schwarz 

dargestellt ist. c) Die totale Paarkorrelationsfunktion h AA(r) der großen Teilchensorte. Die Reichweite 

lokaler Ordnung läßt sich auf L ≈ 4.5σ A abschätzen. d) Die logarithmische Darstellung des Betrags der 

totalen Paarkorrelationsfunktion ln |g AA(r) − 1| zeigt im asymptotischen Verhalten ein oszillatorisches 

Verhalten, dessen Periodizität durch σ A/2 bestimmt ist. 

In der hier vorliegenden Arbeit werden binäre Mischungen und der Einfluß eines externen, 

periodischen Feldes auf diese untersucht. Zur näheren Untersuchung von Mischungen 

definiert man weitere Paarkorrelationsfunktionen (siehe z.B. [46]), die Auskunft über 

Korrelationen zwischen den einzelnen Komponenten der Mischung geben. 

〈 

g AA (r) = N ∑ NA 

ϱNA 

2 〈 

N ∑ NB 

g BB (r) = 

g AB (r) = 

ϱN 2 B 

i=1,j≠i 

i=1,j≠i 

i=1 j=1 

δ(r − |⃗r i − ⃗r j |) 

δ(r − |⃗r i − ⃗r j |) 

〈 NA 

〉 

N ∑ ∑N B 

δ(r − |⃗r i − ⃗r j |) 

ϱN A N B 

Hierbei gibt N = N A + N B die gesamte Anzahl der Teilchen im System an, wohinge- 

〉 

〉 

16


a) 

8 

d) g (r) 

BB 

g BB 

(r) 

6 

4 

Z BB 

∼ 2.3 

h BB 

(r) 

2 

0 

0 1 2 3 4 5 6 

r 

b) c) 

5 

4 

3 

ln |g BB 

(r)-1| 

L ∼ 3.8σ A 

2 

1 

-10 

0 

-15 

-1 

0 1 2 3 4 5 6 -20 

0 2 4 6 

r 

r 

8 10 12 

0 

-5 

Abbildung 3.2: a) Die Paarkorrelationsfunktion der kleinen Teilchensorte g BB(r) einer äquimolaren 

Mischung harter Scheiben mit einem Verhältnis der Durchmesser von σ B/σ A = 0.414 bei einer Anzahldichte 

ϱ ∗ = 1.6. Die Koordinationszahl eines kleinen Teilchens bezüglich weiterer kleiner Teilchen 

berechnet sich zu Z BB ≈ 2.3. b) Zweidimensionale Grauskalen-Darstellung der Paarkorrelationsfunktion 

g BB(⃗r). Die Skala ist so gewählt, daß das Maximum der Funktion in weiß und das Minimum schwarz 

dargestellt ist. c) Die totale Paarkorrelationsfunktion h BB(r) der kleinen Teilchensorte. Die Reichweite 

lokaler Ordnung läßt sich auf L ≈ 3.8σ A abschätzen. d) Die logarithmische Darstellung des Betrags der 

totalen Paarkorrelationsfunktion ln |g BB(r) − 1| zeigt im asymptotischen Verhalten ein oszillatorisches 

Verhalten, dessen Periodizität durch σ A/2 bestimmt ist. 

gen N A die Anzahl der großen Teilchen und N B die der kleinen Teilchen im System 

angibt. Die Anzahldichte des Systems ist ϱ = N/V . Die Positionen der ersten Maxima 

definieren auch hier jeweils die erste Koordinationsschale bezüglich der jeweiligen 

betrachteten Teilchensorte. Aus der Fläche unter diesen lassen sich die jeweiligen Koordinationszahlen 

bezüglich der betrachteten Teilchensorte berechnen. Dieser Bereich und 

die jeweilige, so berechnete Koordinationszahl ist in den Abbildungen 3.1 a), 3.2 a) und 

3.3 a) für die einzelnen Korrelationsfunktionen dargestellt. Es wurde als Beispiel eine 

äquimolare Mischung harter Scheiben mit einem Verhältnis der Teilchendurchmesser von 

σ B /σ A = 0.414 bei einer dimensionslosen Anzahldichte ϱ ∗ = (N/V )σA 2 = 1.6 ausgewertet. 

Hierbei ist, wie in allen weiteren Simulationen binärer Mischungen, der Durchmesser 

der größeren Teilchensorte σ A = 1. Die Abbildungen 3.1 b), 3.2 b) und 3.3 b) zeigen in 

Form einer Grauskalen-Darstellung die kompletten zweidimensionalen Paarkorrelationsfunktionen. 

Man erkennt in allen drei Funktionen deutlich die Signatur des ungeordneten 

Systems: konzentrische Kreise im Bereich kleiner Abstände vom zentralen Teilchen, welche 

die Maxima bzw. Minima in der Funktion kennzeichnen. Analog zum Vorgehen in 

17


a) 

8 

d) g (r) 

AB 

g AB 

(r) 

6 

4 

Z AB 

∼ 3.6 

h AB 

(r) 

2 

0 

0 1 2 3 4 5 6 

r 

b) c) 

5 

4 

3 

ln |g AB 

(r)-1| 

L ∼ 4.5σ A 

2 

1 

-10 

0 

-15 

-1 

0 1 2 3 4 5 6 -20 

0 2 4 6 

r 

r 

8 10 12 

0 

-5 

Abbildung 3.3: a) Die Paarkorrelationsfunktion g AB(r) einer äquimolaren Mischung harter Scheiben 

mit einem Verhältnis der Durchmesser von σ B/σ A = 0.414 bei einer Anzahldichte ϱ ∗ = 1.6. Die Koordinationszahl 

eines Teilchens bezüglich der jeweils anderen Teilchensorte berechnet sich zu Z AB ≈ 3.6. b) 

Zweidimensionale Grauskalen-Darstellung der Paarkorrelationsfunktion g AB(⃗r). Die Skala ist so gewählt, 

daß das Maximum der Funktion in weiß und das Minimum schwarz dargestellt ist. c) Die totale Paarkorrelationsfunktion 

h AB(r). Die Reichweite lokaler Ordnung läßt sich auf L ≈ 4.5σ A abschätzen. d) 

Die logarithmische Darstellung des Betrags der totalen Paarkorrelationsfunktion ln |g AB(r) − 1| zeigt im 

asymptotischen Verhalten ein oszillatorisches Verhalten, dessen Periodizität durch σ A/2 bestimmt ist. 

monodispersen Fluiden lassen sich mit Hilfe dieser Paarkorrelationsfunktionen auch die 

zugehörigen totalen Paarkorrelationsfunktionen definieren: 

h AA (⃗r) = g AA (⃗r) − 1 , h BB (⃗r) = g BB (⃗r) − 1 und h AB (⃗r) = g AB (⃗r) − 1. 

Diese sind in den Abbildungen 3.1 c), 3.2 c) und 3.3 c) wiedergegeben. Man erkennt, 

daß die totalen Korrelationsfunktionen je nach Teilchensorte auf eine Länge von ca. 

3 − 5σ A auf Null abfallen. Das System zeigt somit in diesem lokalen Bereich ein gewisses 

Maß an Ordnung. Betrachtet man den Betrag der totalen Korrelationsfunktionen auf 

einer logarithmischen Skala (siehe die Teilbilder d) der Abbildungen 3.1, 3.2 und 3.3), so 

werden im asymptotischen Verhalten aller drei Funktionen Oszillationen einer bestimmten 

Periodizität sichtbar. Lediglich in der logarithmischen Darstellung des Betrags der 

totalen Paarkorrelationsfunktion der kleineren Komponente ln |g BB (r) − 1| verschwinden 

die Oszillationen für Abstände größer 8σ A . In der hier als Beispiel betrachteten 

binären Mischung ist diese Periodizität durch den Radius der größeren Komponente der 

Mischung σ A /2 bestimmt. D.h. die Struktur der Mischung wird durch die große Teilchensorte 

festgelegt. Wie man im Abschnitt zur Voronoi Konstruktion sehen wird, weist 

18


eine Mischung, die ein solches asymptotisches Verhalten der totalen Korrelationsfunktionen 

zeigt, ein Delaunay-Netzwerk auf, in dem das Netzwerk der großen Teilchensorte 

durch das gesamte System reicht (siehe Abbildung 3.6 c)). Für die Interpretation der in 

binären Mischungen auftretenden Phänomene ist es auch hilfreich die folgenden Linearkombinationen 

der Paarkorrelationsfunktionen zu betrachten [46]: 

g nn (r) = x 2 Ag AA (r) + 2x A x B g AB (r) + x 2 Bg BB (r) 

g cc (r) = x 2 Ax 2 B [g AA (r) + g BB (r) − 2g AB (r)] 

g nc (r) = x A x B [x A g AA (r) − x B g BB (r) + (x B − x A )g AB (r)] 

Die Korrelationsfunktion g nn (r) beschreibt Korrelationen in der Anzahldichte im System; 

g cc (r) beschreibt Korrelationen in der Konzentration und g nc (r) Kreuzkorrelationen zwischen 

Anzahldichte und Konzentration. In den in dieser Arbeit betrachteten äquimolaren 

Mischungen gilt für die Konzentrationen der Komponenten x A = N A /N = 0.5 = x B = 

N B /N. Die Korrelationsfunktionen reduzieren sich für eine solche Mischung auf: 

g nn (r) = g AA (r)/4 + g AB (r)/2 + g BB (r)/4 

g cc (r) = [g AA (r) + g BB (r) − 2g AB (r)] /16 

g nc (r) = [x A g AA (r) − x B g BB (r)] /8 

Sie sind zur Veranschaulichung in Abbildung 3.4 für die binäre, äquimolare Mischung 

harter Scheiben mit σ B /σ A = 0.414 bei einer Anzahldichte ϱ ∗ = 1.6 dargestellt. Die 

Grauskala für die zweidimensionale Darstellung der Korrelationsfunktionen g nn (⃗r), g cc (⃗r) 

und g nc (⃗r) ist so gewählt, daß die Extremwerte der Funktionen gekappt sind. Minima 

sind in schwarz, Maxima in weiß dargestellt. Die Kappung erfolgt für g nn (⃗r) und g nc (⃗r) 

bei 0.3 · g nn 

(max) 

bzw. 0.3 · g nc 

(max) 

und für g cc (⃗r) bei 0.3 · g cc 

(min) 

. Die Korrelationsfunktion der 

Anzahldichte (siehe Abbildung 3.4 a)) zeigt drei ausgeprägte Maxima an den Positionen 

r 1 ≈ 0.414σ A , r 2 ≈ 0.707σ A und r 3 ≈ 1.0σ A . Das erste Maximum wird durch die 

Anhäufung kleiner Teilchen um ein kleines Teilchen bewirkt. Analog entsteht das dritte 

Maximum durch die Anhäufung großer Teilchen um ein großes Teilchen. Das mittlere 

Maximum wird durch solche Teilchen hervorgerufen, welche als nächste Nachbarn 

Teilchen der jeweils anderen Sorte haben. Wie man in der zweidimensionalen Grauskalengraphik 

der Korrelationsfunktion erkennt, ist diese radialsymmetrisch. Sie zeigt 

neben den ersten drei Maxima kaum eine Strukturierung und fällt innerhalb von ca. 

3σ A auf den Kontinuumswert 1 ab. Auch die Korrelationsfunktion der Konzentration 

g cc (r) (siehe Abbildung 3.4 b)) ist radialsymmetrisch. Sie weist starke Korrelationen in 

den Maxima r 1 ≈ 0.414σ A und r 3 ≈ 1.0σ A auf, welche auf die Anhäufung der jeweils 

gleichen Teilchensorte um ein zentrales Teilchen zurückzuführen sind. Zusätzlich weist 

sie ein Minimum in r 2 ≈ 0.707σ A auf. Diese entspricht einer starken Antikorrelation in 

der Konzentration der Teilchensorten, die darin begründet ist, daß dies der minimale 

Abstand zweier Teilchen unterschiedlicher Sorte ist. In Abbildung 3.4 c) ist die Kreuzkorrelationsfunktion 

der Anzahldichte und Konzentration dargestellt. Für symmetrische 

19


a) 

4 

3 

g (r) nn 

g nn 

(r) 

2 

1 

b) 

g cc 

(r) 

c) 

g nc 

(r) 

0 

0 1 2 3 4 5 6 

r 

0.6 

0.3 

0 

-0.3 

-0.6 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

0 1 2 3 4 5 6 

r 

0 1 2 3 4 5 6 

r 

g (r) cc 

g (r) nc 

Abbildung 3.4: Die Linearkombinationen der Paarkorrelationsfunktionen einer binären, äquimolaren 

Mischung harter Scheiben mit einem Verhältnis der Teilchendurchmesser σ B/σ A = 0.414 bei einer Anzahldichte 

von ϱ ∗ = 1.6. Abgebildet sind jeweils der radiale Verlauf und eine zweidimensionale Darstellung 

als Grauskalengraphik. Die Grauskala für die Funktionen ist gekappt. Minima sind in schwarz, 

Maxima in weiß dargestellt. Die Kappung erfolgt für g nn(⃗r) und g nc(⃗r) bei 0.3·g nn 

(max) bzw. 0.3·g nc 

(max) und 

für g cc(⃗r) bei 0.3 · g cc 

(min) . a) Die Korrelationsfunktion der Anzahldichte g nn(r). b) Die Korrelationsfunktion 

der Konzentration und c) die Kreuzkorrelationsfunktion der Anzahldichte mit der Konzentration. 

20


Mischungen (bezüglich der Konzentration und der Wechselwirkungspotentiale) ist diese 

gleich Null. Da jedoch in der hier betrachteten Mischung die Reichweite der Teilchenwechselwirkungen 

der beiden Teilchensorten unterschiedlich groß sind, ist dies hier nicht 

der Fall. Man erkennt eine starke Antikorrelation in r 1 ≈ 0.414σ A und eine starke Korrelation 

in r 3 ≈ 1.0σ A . Die Zuordnung der Extremwerte der Kreuzkorrelationsfunktion 

zu Maxima bzw. Minima ist eine reine Definitionssache. Neben der Struktur aufgrund 

der jeweiligen ersten nächsten Nachbar Schalen der Teilchensorten weist sie keine weitere 

Strukturierung auf und fällt auch innerhalb von ca. 3σ A auf Null ab. 

Die Analyse des asymptotischen Verhaltens der totalen Paarkorrelationsfunktionen ermöglicht 

die Bestimmung eines sogenannten strukturellen Übergangs im Fluid. Auf diesen 

wird im nächsten Abschnitt näher eingegangen. 

Struktureller Übergang 

Die sogenannte Fisher-Widom Linie im Phasendiagramm eines monodispersen Fluids, 

beschreibt einen wohl definierten Übergang im asymptotischen Verhalten der totalen 

Paarkorrelationsfunktion h(r). Ihr langreichweitiges Abfallverhalten geht von monoton 

in ein exponentiell gedämpftes oszillatorische Verhalten über. Da dieser strukturelle Übergang 

nicht mit einer Singularität in der Freien Energie verbunden ist, handelt es sich jedoch 

nicht um einen Phasenübergang. In bidispersen Systemen kann man einen weiteren 

solchen strukturellen Übergang innerhalb des oszillatorischen Verhaltens in Abhängigkeit 

von der Konzentration der Komponenten beobachten. Die Wellenlänge der Oszillation 

wird in einem Bereich der Konzentration der Mischung durch den Radius der 

großen Komponente, im anderen hingegen durch den Radius der kleinen Komponente 

bestimmt. Dieser strukturelle Übergang wurde von C. Gordon et al. [47, 48] mittels 

Dichtefunktional-Rechnungen und Monte Carlo Simulationen für homogene und inhomogene 

Harte Kugel Mischungen untersucht. Die Autoren gehen auch auf das Harte 

Scheiben System ein, da dieses wichtig für die Interpretation von videomikroskopischen 

Aufnahmen kolloidaler Systeme ist. Baumgartl et al. [49] gelang es diesen Übergang experimentell 

zu beobachten. Die beiden Regime der Oszillation lassen sich perkolierenden 

Netzwerken der jeweiligen Kolloidsorte zuordnen. Dieses kann mit Hilfe der Delaunay 

Triangulation sichtbar gemacht werden. Wie bereits im vorherigen Abschnitt gezeigt, 

gehört die äquimolare Mischung harter Scheiben mit einem Verhältnis der Teilchendurchmesser 

von σ B /σ A = 0.414 zu dem Bereich, in dem die Wellenlänge der Oszillation 

durch σ A /2 bestimmt ist. Die großen Kolloide bilden das perkolierende Netzwerk. 

Voronoi Diagramme 

Strukturelle Eigenschaften von Fluiden lassen sich mittels Voronoi Diagrammen oder 

Delaunay Triangulation anschaulich sichtbar machen. Eine Teilchenkonfiguration entspricht 

einer Punktmenge P = {p 1 , p 2 , ..., p n } im zweidimensionalen euklidischen Raum. 

Zerlegt man diese Ebene in Regionen, so daß jeder Raumpunkt dem ihm am nächsten 

21


a) b) a c) 

a 

ζ = 1 

S = π a 2 

C = 2 πa 

ζ = 16/4π 

S = a 2 

C = 4a 

a 

25 

ζ = 

π 25+10 5 

2 

S = 25+10 5a /4 

C = 5a 

d) 

a 

ζ = 2 3/π 

S = 3 3a 2 /2 

C = 6a 

Abbildung 3.5: Einige geometrische Grundformen und die Berechnung ihres Formfaktors ζ aus dem 

Verhältnis von Umfang C der Grundform zu ihrer Fläche S. 

liegenden Teilchen zugeordnet ist, so erhält man sogenannte Voronoi Zellen V (p i ), die 

in der Physik auch Wigner-Seitz Zellen genannt werden. 

V (p i ) = {x : |p i − x| ≤ |p j − x|∀j ≠ i} 

Die Voronoi Zelle läßt sich wie folgt konstruieren. Man bestimmt die Mittelsenkrechte auf 

die Verbindungslinie zweier Teilchen p i , p j . Durch dieses Vorgehen teilt man die Ebene 

in Halbebenen. Alle Punkte innerhalb derjenigen Halbebene, die p i enthält, sind nächste 

Nachbarn zu nur einem Teilchen nämlich p i . Raumpunkte auf der Mittelsenkrechten hingegen 

sind nächste Nachbarn zu zwei Teilchen. Die Schnittmenge aller Halbebenen, die 

das Teilchen p i enthalten, ergibt die Voronoi Zelle. Die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten 

bezeichnet man als Voronoi Vertices. Diese Punkte sind nächste Nachbarn zu 

mindestens drei Teilchen. Die Verbindungslinien zwischen den Voronoi Vertices sind die 

sogenannten Voronoi Kanten. Der dem Voronoi Diagramm duale Graph ist die Delaunay 

Triangulation und kann z.B. erhalten werden, indem man das Voronoi Diagramm der 

Punktmenge der Vertices des gegebenen Voronoi Diagramms berechnet. Bei der direkten 

Triangulation der betrachteten Teilchenmenge, zerlegt man die Ebene so in Dreiecke, 

daß deren Innenwinkel maximiert werden und es zu keinen Überschneidungen kommt. 

Zur Berechnung der Voronoi Diagramme wurde ein einfacher Algorithmus, wie er in [43] 

vorgestellt wird, aber auch das Programm ”qhull” [50] verwendet. Dieses wurde auch 

für die Delaunay Triangulation benutzt. Einen detaillierteren Einblick in die Feinheiten 

der Berechnung von Voronoi Diagrammen und Delaunay Triangulation bieten die 

”Numerical Recipies” [51]. 

Formfaktor 

Die in den Voronoi Diagrammen enthaltene Information läßt sich quantitativ weiter auswerten, 

indem man ihren sogenannten Formfaktor berechnet. Die Geometrie der Voronoi 

Zelle ist charakteristisch für die Struktur der zu analysierenden Teilchenkonfiguration. 

Diese Tatsache kann man sich zu Nutze machen, um Strukturen in beliebigen Teilchenkonfigurationen 

aufzuspüren. So verwenden F. Moučka und I. Nezbeda [52] einen 

Formfaktor ζ um strukturelle Veränderungen beim Schmelzen eines zweidimensionalen 

22


a) b) c) 

15 

10 

P(ζ) 

5 

0 

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 

ζ 

Abbildung 3.6: a) Voronoi Diagram, b) Delaunay Triangulation und c) Wahrscheinlichkeitsverteilung 

des Formfaktors einer äquimolaren, binären Mischung mit einem Verhältnis der Teilchendurchmesser von 

σ B/σ A = 0.414 in der flüssigen Phase bei ϱ ∗ = 1.6. 

monodispersen Dreiecksgitters zu charakterisieren. Der Formfaktor setzt den Umfang C 

der Voronoi Zelle ins Verhältnis zu ihrer Fläche S : 

ζ = C2 

4πS 

Er quantifiziert die Abweichung von der Kreisform. Eine imaginäre perfekt kreisförmige 

Zelle hätte ζ = 1. Alle übrigen Zellformen liefern Werte ζ > 1. Abbildung 3.5 zeigt 

einige regelmäßige Vielecke und die Berechnung des zugehörigen Formfaktors ζ. Aus 

den Simulationsdaten werden zunächst die Voronoi Diagramme der einzelnen Teilchenkonfigurationen 

berechnet und danach der Formfaktor der Voronoi Zellen. Es wird ein 

Histogramm über die auftretenden Formfaktoren aufgenommen, aus dem sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung 

des Formfaktors bestimmt läßt. Aus dieser kann dann die dominierende 

Zellform abgelesen werden. Die so bestimmten Verteilungen sind relativ breite 

Verteilungen. Sie ermöglichen in der Analyse der Simulationsdaten dennoch eine Abgrenzung 

der einzelnen auftretenden Phasen. Abbildung 3.6 a) zeigt das Voronoi Diagramm 

einer aus der Simulation der schon betrachteten binären Mischung bei ϱ ∗ = 1.6 erhaltenen 

Teilchenkonfiguration. Da es in der Auswertung der Simulationsdaten wichtig 

sein wird, das Auftreten von quadratischen Strukturen gegenüber dem Auftreten von 

Dreiecksstrukturen abzugrenzen, werden in der Darstellung der Voronoi Diagramme immer 

Voronoi Zellen mit 4 Eckpunkten grün, solche mit 5 Eckpunkten blau und solche 

mit 6 Eckpunkten rot dargestellt. Alle weiteren möglichen Zellformen sind grau dargestellt. 

Die Darstellung zeigt deutlich, daß die Anzahl der Eckpunkte der Voronoi Zelle 

zur Charakterisierung der vorliegenden Strukturen nicht ausreicht. Man würde aus der 

Häufigkeit der rot und blau eingefärbten Voronoi Zellen hier eventuell auf das Vorliegen 

regelmäßiger Sechs- oder Fünfeck - Strukturen schließen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung 

des Formfaktors der Voronoi Zellen in Abbildung 3.6 c) zeigt jedoch, daß es sich 

bei der betrachteten Konfiguration tatsächlich um eine strukturlose Flüssigkeitskonfiguration 

handelt. Sie zeigt keine ausgeprägten Maxima für ζ = 1.1026 (regelmäßiges 

23


Sechseck), ζ = 1.156 (regelmäßiges Fünfeck) oder ζ = 1.273 (Quadrat). In Abbildung 

3.6 b) ist zusätzlich die Delaunay Triangulation einer Konfiguration dargestellt. Verbindungslinien 

zwischen Teilchen gleicher Sorte sind für große Teilchen in schwarz und 

für kleine Teilchen in rot eingezeichnet. Die Verbindungslinien zwischen Teilchen unterschiedlicher 

Sorte sind in grün wiedergegeben. Man erkennt, daß die kleinen Teilchen nur 

lokal Netzwerke bilden, wohingegen das Netzwerk der großen Teilchen durch die gesamte 

Konfiguration verläuft. 

Ordnungsparameter 

Der Formfaktor eignet sich dazu auftretende geordnete Regionen im System aufzufinden 

und zu charakterisieren. Phasenübergänge von einem Fluid in einen geordneten 

Festkörper beschreibt man üblicherweise mit Hilfe sogenannten Translations- und Rotationsordnungsparametern. 

Diese nehmen in der ungeordneten Phase Werte nahe Null 

an, wohingegen sie in der geordneten Phase gegen 1 gehen. 

Translationsordnungsparameter Die Existenz einer Translationsordnung entlang einer 

vorgegebenen Kristallrichtung kann mittels des Translationsordnungsparameters 

Ψ Gk sichtbar gemacht werden. Dieser ist als die Fouriertransformation der Anzahldichte 

der Teilchen definiert: 

∣ 

Ψ Gk = 1 ∣∣∣∣∣ 

N∑ 

N 

e i G ⃗ k· ⃗r j 

∣j=1 Dabei ist ⃗ G k ein reziproker Gittervektor der zu analysierenden Struktur. 

Rotationsordnungsparameter Für das Auffinden einer m-fachen Symmetrieachse in einer 

gegebenen Konfiguration benötigt man den Rotationsordnungsparameter Ψ m . 

Zur Bestimmung der vorliegenden Rotationssymmetrie wird zunächst die lokale 

Orientierung von Strukturen bestimmt, indem der von der Verbindungslinie eines 

Teilchens j mit einem seiner nächsten Nachbarn k und z.B. der x-Achse eingeschlossene 

Winkel θ kj berechnet wird. Der lokale Rotationsordnungsparameter des 

Teilchens j ist dann wie folgt definiert: 

Ψ m,j = 1 N b 

N b 

∑ 

k=1 

e i(m·θ kj) 

Hier ist N b die Anzahl der nächsten Nachbarn, welche berücksichtigt werden. Den 

globalen Rotationsordnungsparameter der Konfiguration berechnet man aus den 

lokalen Werten durch: 

∣ 1 

N∑ ∣∣∣∣ 

Ψ m = 

Ψ m,j 

∣N 

j=1 

24


Diese Definition stellt sicher, daß Ψ m eine reelle Zahl aus dem Intervall [0, 1] ist. 

Im monodispersen System, aber auch im phasenseparierten, bidispersen System, 

ist vor allem Ψ 6 von Interesse, der auf die 6-fache Symmetrieachse des Dreiecksgitters 

anspricht. In der hier untersuchten binären Mischung, welche einem äußeren 

Feld ausgesetzt wird, werden quadratische Strukturen induziert. In der geordneten 

Quadratstruktur des bidispersen Systems liegt eine 4-fache Symmetrieachse vor, 

so daß in diesem Fall Ψ 4 betrachtet wird. Diese beiden Rotationsordnungsparameter 

werden in der hier vorliegenden Arbeit dazu verwendet ausschließlich die 

Struktur der großen Komponente der Mischung zu untersuchen. Die beiden Rotationsordnungsparameter 

werden speziell für das Untersystem der großen Teilchen 

definiert. D.h. in den Definitionen wird N durch N A ersetzt und N b ist die Anzahl 

der großen nächsten Nachbarn, die berücksichtigt werden. Ohne Rücksicht auf die 

Teilchensorte zu nehmen, kann man statt Ψ 4 im Quadratgitter auch Ψ 8 berechnen, 

um Informationen über das Maß der Rotationsordnung zu gewinnen. Dieser Rotationsordnungsparameter 

testet, ob um ein zentrales Teilchen 8 weitere regelmäßig 

angeordnet sind. 

Der Phasenübergangspunkt kann unter Verwendung solcher Ordnungsparameter, sofern 

sie normalverteilte Wahrscheinlichkeitsverteilungen aufweisen, aus einer Blockanalyse 

der Binder Kumulanten gewonnen werden (für eine detaillierte Beschreibung dieser Methode 

siehe z.B. [53]). Die Binder Kumulante eines Ordnungsparameters Ψ ist wie folgt 

definiert: 

U L = 1 − < Ψ4 > L 

3 < Ψ 2 > 2 L 

L gibt hier die lineare Ausdehnung des analysierten Systems an. In der Blockanalyse wird 

die Binder Kumulante gleichzeitig für viele verschiedene Untersystemgrößen L B berechnet. 

Die Eigenschaft, der Binder Kumulante, welche sie zu einem nützlichen Werkzeug 

in der Bestimmung des Phasenübergangspunktes bei kontinuierlichen Phasenübergängen 

macht, ist die Tatsache, daß sie aufgrund der Divergenz der Korrelationslängen am Phasenübergang, 

dort einen universellen, d.h. Systemgrößen unabhängigen Wert annimmt. 

Die Binder Kumulanten der einzelnen Untersysteme der Blockanalyse schneiden sich daher 

im Phasenübergangspunkt und ermöglichen es dadurch ihn zu ermitteln [54, 55]. 

Wie Vollmayr et al.[56] zeigten, weicht das Verhalten der Binder Kumulanten bei Phasenübergängen 

erster Ordnung von dem soeben skizzierten ab. In diesem Fall ist der 

Schnittpunkt der Binder Kumulanten nicht mehr scharf, kann jedoch auch hier noch 

zur Bestimmung des Phasenübergangspunktes eingesetzt werden. Beim Übergang aus 

der geordneten Phase in die ungeordnete folgt auf den Bereich, in dem sich die Binder 

Kumulanten der Untersysteme schneiden, ein Minimum. Dieses wird umso tiefer und 

schmaler je größer das betrachtete Untervolumen ist. 

Wie die Auswertung der Simulationen zeigen wird, treten in den binären Mischungen unter 

Einfluß eines externen Felds Phänomene auf, die dazu führen, daß die Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

der Translations- und Rotationsordnungsparameter nicht mehr normalverteilt 

sind. Der Schnittpunkt der Binder Kumulanten kann daher in diesen Systemen 

25


nicht zuverlässig zur Ermittlung des Phasenübergangspunkts eingesetzt werden. Aus diesem 

Grund wurden zwei weitere Ordnungsparameter definiert, welche eine Bestimmung 

der Phasengrenzen ermöglichen. Diese speziell auf das System angepaßten Ordnungsparameter 

werden in Kapitel 4 vorgestellt, in dem auch die neuen, laser-induzierten 

Phänomene diskutiert werden (siehe speziell Abschnitt 4.2.2). 

3.2. Geordnete Strukturen in binären Mischungen 

Die vorliegende Arbeit konzentriert sich auf die Analyse eines Modellsystems: einer 

binären Mischung harter Scheiben. Im Hinblick auf die Tatsache, daß eine Mischung 

aus harten Scheiben unterschiedlicher Durchmesser bei der Strukturbildung nicht selektive 

in der Wahl der nächsten Nachbarn (eine solche Selektion findet in Ionenkristallen 

= 0.082 

= 0.101 

= 0.216 

= 0.233 

= 0.349 

= 0.386 

= 0.620 

"Gittergas" 

"zufällige Kachelung" 

x B 

Koexistenz 

unbekannt 

= 0.155 

= 0.281 

= 0.414 

= 0.533 

= 0.637 

r B 

Abbildung 3.7: Phasendiagramm binärer Harter Scheiben Mischungen nach Likos und Henley [57]. 

Der Radius der großen Komponente der Mischung ist auf eins normiert (r A = 1). Von links nach rechts 

nimmt der Radius der kleineren Komponente der Mischung r B zu. Die verschiedenen Mischungen können 

zum einen auf der linken Achse durch ihr stöchiometrisches Verhältnis oder aber rechts durch die Konzentration 

der kleinen Teilchen x B = N B/N identifiziert werden. Phasen reiner Gitterstrukturen sind 

durch horizontale Striche gekennzeichnet und gemäß der Nomenklatur von Likos und Henley bezeichnet. 

Die in NpT -Simulationen untersuchten Mischungen bzw. Gitterstrukturen sind rot im Phasendiagramm 

markiert. 

26


statt), und auch nicht selektive in der Anzahl der nächsten Nachbarn (eine solche Selektion 

existiert in molekularen Kristallen) ist, ist eine Mischung harter Scheiben ein gutes 

Modell für Mischungen einfacher Metalle. Insbesondere der Grundzustand von solchen 

atomaren Systemen mit kurzreichweitigen Wechselwirkungen läßt sich gut durch das 

Harte Scheiben System modellieren. Es ist der Grenzfall für Systeme, in denen das Radienverhältnis 

der Komponenten ausschlaggebend für die Stabilisierung von Strukturen 

ist. Likos und Henley [57] führten eine Analyse der möglichen, raumfüllenden Packungen 

in solchen Harte Scheiben Mischungen durch und berechneten das in Abbildung 3.7 

dargestellte Grundzustands-Phasendiagramm (Die Darstellung wurde ergänzt, um die 

Nomenklatur an die in dieser Arbeit verwendeten Bezeichnungen anzupassen). Die Hamilton 

Funktion des von Likos und Henley verwendeten Modellsystems ist H = p·V , mit 

p der hydrostatische Druck auf das System und V sein zweidimensionales Volumen (d.h. 

seine Fläche). Mögliche Teilchenkonfigurationen sind solche, die nicht zur Überlappung 

von Teilchen führen. Ansonsten wechselwirken die Teilchen nicht untereinander. Ohne 

Einschränkung der Allgemeinheit setzen Likos und Henley p = 1. Den Einfluß der Entropie 

auf die Stabilität der Strukturen vernachlässigen sie zunächst. Dies entspricht dem 

Grenzfall T → 0. Likos und Henley analysieren eine Vielzahl von möglichen Strukturen 

im Hinblick auf ihre raumfüllenden Eigenschaften. Diese Kandidaten-Strukturen werden 

erraten durch die folgenden Mechanismen neue Strukturen zu erzeugen: 

• Füllen der Zwischenräume monodisperser, geordneter Strukturen der großen Komponente 

mit der kleineren Komponente. 

• Ersetzen einzelner großer Teilchen einer geordneten Struktur durch mehrere 

kleine Teilchen. 

• Scherung bereits gefundener Gitterstrukturen. 

• Kombination verschiedener bereits gefundenen Gitterstrukturen. 

Eine solche Herangehensweise kann nicht garantieren, daß alle möglichen Gitterstrukturen 

berücksichtigt bzw. aufgefunden werden. Die verwendete Methode beruht ausschließlich 

auf einer Maximierung der Packungsdichte. In machen Regionen des Phasendiagramms 

sind die Packungsdichten von Gittergas-Strukturen, zufälligen Kachelungen 

(’random tilings’) und koexistierenden, geordneten Strukturen gleich. Für solche Fälle 

argumentieren Likos und Henley [57], daß die ungeordnetere Struktur aufgrund ihrer 

höheren Entropie für T > 0 die bevorzugte Anordnung sein wird. 

Eine andere erfolgversprechende Strategie bei der Suche bzw. Vorhersage thermodynamisch 

stabiler Gitterstrukturen in Systemen der weichen, kondensierten Materie ist der 

Einsatz von sogenannten Genetischen Algorithmen (siehe z.B. [58, 59]). Hierbei handelt 

es sich um Optimierungsverfahren, welche Konzepte der Evolutionstheorie, wie z.B. 

die Rekombination, Mutation und das Prinzip des ’survival of the fittest’ bei der Optimierung 

einsetzen. Angewandt bei der Suche nach neuen Gitterstrukturen wird die 

Einheitszelle einer möglichen Gitterstruktur als ein Individuum betrachtet. Die Informationen 

über die Eigenschaften dieser Einheitszelle (Kantenlängen und Winkel) werden in 

27


einem binären String kodiert. Es werden parallel viele Individuen, d.h. eine sogenannte 

Generation betrachtet. Der Genetische Algorithmus evaluiert die Fitness der Individuen 

und verwendet nur solche zur Bildung einer neuen Generation, welche eine hohe Fitness 

aufweisen. Bei der Suche nach Gitterstrukturen wird dieses Konzept in Form der 

Minimierung der Gibbs’schen Freien Energie des betrachteten Systems umgesetzt. Für 

weitere Details siehe [58, 59] und Referenzen darin. 

3.2.1. Ergebnisse zur thermodynamischen Stabilität von Gitterstrukturen 

Aufgrund des von Likos und Henley [57] berechneten Phasendiagramms erwartet man die 

Existenz einer große Zahl von Gitterstrukturen in zweidimensionalen, binären Mischungen. 

Die Fragen, wie einfach sich diese Strukturen in Experimenten erzeugen lassen bzw. 

von alleine ausbilden und wie stabil diese Gitterstrukturen sind, sind jedoch noch offen. 

In der hier vorliegenden Arbeit wird die Frage nach der thermodynamischen Stabilität 

der Strukturen beispielhaft an einigen der von Likos und Henley [57] vorgeschlagenen 

Gitterstrukturen für binäre Harte Scheiben Mischungen diskutiert. Es wurden additive 

Mischungen simuliert, d.h. das Wechselwirkungspotential V (r kl ) lautet: 

V (r kl ) = 

{ 

∞ , für r kl ≤ σ kl 

0 , für r kl > σ kl 

mit r kl = |⃗r k − ⃗r l | und σ kl = σ A für k, l ∈ N A , σ kl = σ B für k, l ∈ N B und σ kl = 

0.5(σ A + σ B ) für k ∈ N A und l ∈ N B (bzw. umgekehrt). Die Simulationen wurden im 

NpT -Ensemble durchgeführt. Die jeweilige Struktur von Interesse wurde im System mit 

N ≈ 1000 aufgesetzt und zunächst einem hohen, hydrostatischen Druck p ∗ = pσA 2 /k BT 

ausgesetzt. Dieser wurde dann sukzessive verringert und der Verlauf der Packungsdichte 

η = ϱ ∗ π(N A rA 2 + N BrB 2 )/N) (ϱ∗ = ϱσA 2 ist die dimensionslose Anzahldichte) mit 

p ∗ aufgenommen. Im Unterschied zu Likos und Henley wird in den Simulationen der 

Durchmesser der großen Teilchen auf eins festgelegt: σ A = 1. Die Systeme wurden für 

10 6 MCS äquilibriert. Danach wurden über weitere 2 · 10 6 MCS Daten aufgenommen. 

Zu dem in diesen Studien im NpT -Ensemble verwendeten Monte Carlo Algorithmus ist 

anzumerken, daß pro MCS ein Versuch unternommen wurde, das Simulationsvolumen 

zu ändern. Hierbei bezieht sich diese Änderung des Volumens ausschließlich auf eine 

Längenänderung der Kanten. Eine Änderung der Winkel der Simulationsbox wird nicht 

versucht. Diese Realisierung des NpT -Ensembles reicht aus, um einen Eindruck von der 

Stabilität der untersuchten Gitterstrukturen zu bekommen. Es wird im Folgenden die 

Nomenklatur von Likos und Henley [57] verwendet. Hier werden die großen Teilchen als 

A Teilchen und die kleinen als B Teilchen bezeichnet. Die Namen der Gitterstrukturen 

sind von der Einheitszelle abgeleitet, aus der die neue Struktur abgeleitet wurde. So steht 

z.B. S 1 (AB) für eine Gitterstruktur, bei der eine quadratische Einheitszelle aus großen 

Teilchen (A) mit einem kleinen Teilchen (B) gefüllt wurde. Das Mischungsverhältnis ist 

hier x A = N A /N = 50.0%. 

Zunächst wird ein Konsistenztest der NpT Simulationen durchgeführt. In der Flüssigkeit 

28


10 

8 

j = AA 

j = BB 

j = AB 

g j 

(r) 

6 

4 

2 

0 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 

r 

Abbildung 3.8: Die Paarkorrelationsfunktionen einer äquimolaren, binären Mischung harter Scheiben 

mit σ B/σ A = 0.414 wie sie sich aus der Analyse der Simulationsdaten einer Monte Carlo Simulation im 

NpT -Ensemble bei einem vorgegebenen hydrostatischen Druck von p ∗ = 19.0 ergeben. Die jeweiligen 

Kontaktwerte der Paarkorrelationsfunktionen sind mit Pfeilen markiert. 

kann der im System herrschende isotrope Druck aus den Kontaktwerten der Paarkorrelationsfunktionen 

g AA (r), g AB (r) und g BB (r) berechnet werden. 

p 

k B T = ϱ + π ( 

) 

ϱ 2 

2 

AσAg 2 (2)A 

N 

(σ A+) + ϱ 2 BσBg 2 (2)B 

N 

(σ B+) + 2ϱ A ϱ B σABg 2 (1+1)AB 

N 

(σ AB +) (3.1) 

Eine Herleitung der verwendeten Zusammenhänge ist in Anhang C gegeben. Für den 

Konsistenztest wird eine äquimolare Mischung mit σ B /σ A = 0.414 bei einem vorgegebenem, 

hydrostatischen Druck von p ∗ = 19.0 simuliert. Die aus den Simulationsdaten 

berechneten Paarkorrelationsfunktionen sind in Abbildung 3.8 dargestellt. Aus einer Extrapolation 

erhält man die folgenden Kontaktwerte: 

g (2)A 

N (σ A+) = 9.33 , g (2)A 

N (σ B+) = 6.17 und g (1+1)AB 

N 

(σ AB +) = 7.12 

Die mittlere Anzahldichte ist ϱ ∗ = 1.57 ± 0.01. Aus diesen Kontaktwerten berechnet sich 

mit Hilfe der Gleichung 3.1 der während der Simulation im System herrschende Druck 

zu p ∗ = pσ 2 A /k BT = 18.5. Dieser Wert liegt innerhalb einer Schwankungsbreite von 

2.5% des von außen vorgegebenen Drucks. Mit einer feineren Auflösung ließen sich die 

Kontaktwerte noch genauer bestimmen, was die Konsistenz weiter verbessern würde. 

Mittels der Monte Carlo Simulationen im NpT Ensemble konnten für einige der vorhergesagten 

Gitterstrukturen Druckbereiche identifiziert werden, in denen diese stabil 

sind. Im folgenden werden die im Phasendiagramm (siehe Abbildung 3.7) rot markierten 

Mischungen bzw.Gitterstrukturen vorgestellt. Zur Übersicht über die betrachteten 

Gitterstrukturen sind in Abbildung 3.9 und Abbildung 3.10 a) und d) Beispielkonfigurationen 

aus den Simulationen zu sehen. 

29


a) T (AB ) 

b) 

H (A B ) 

2 6 

3 2 

7 

c) 

p ∗= 71 σ Β= 0.349 p ∗= 54 σ Β= 0.400 

T 1(AB 2) 

d) 

H 1(AB 2 ) 

e) 

p ∗= 90 σ Β= 0.312 

H (AB) 2 

f) 

p ∗= 32 σ Β= 0.520 

S (AB) 1 

p ∗= 22 σ Β= 0.638 

p ∗= 36 σ Β= 0.414 

Abbildung 3.9: Die verschieden Gitterstrukturen, welche mit Hilfe von Monte Carlo Simulationen im 

NpT -Ensemble auf ihre thermodynamische Stabilität getestet wurden. Gezeigt sind Konfigurationen 

nach 3 · 10 6 MCS bei dem jeweils angegebenden äußeren Druck p ∗ . 

30


a) S (AB ) 

b) 

2 

4 2 

S (AB ) 

4 

p ∗= 240, MCS = 0, σ Β= 0.193 

c) 

p ∗= 240, MCS = 3 . 

6 

10 , 

σ = 0.193 

Β 

0.88 

η 

0.86 

0.84 

0.82 

σ B 

= 0.193 

σ B 

= 0.216 

σ B 

= 0.225 

σ B 

= 0.245 

2 

100 120 140 160 180 200 

p * 

d) S (AB ) 

e) 

4 

S 2(AB 4) 

p ∗= 160 σ Β= 0.225 

p ∗= 200 σ Β= 0.245 

Abbildung 3.10: Die S 2(AB 4) Gitterstruktur für Mischungen mit x B = 4/5 = 80%. In a) ist die nach 

Likos und Henley [57] aufgesetzte Struktur für eine Mischung mit σ B = 0.193 dargestellt. b) zeigt die 

stabile Struktur dieser Mischung nach 3 · 10 6 MCS. Grün eingekreist sind die Bereiche im Subgitter der 

kleinen Teilchen, die nicht perfekt geordnet sind. c) Der Verlauf der Packungsdichte für die verschiedenen 

x B = 4/5 = 80% Mischungen bei sinkendem äußeren Druck. d) Die stabile S 2(AB 4) Gitterstruktur der 

Mischung mit σ B = 0.225 bei p ∗ = 160 und e) die instabile Struktur der Mischung mit σ B = 0.245 bei 

p ∗ = 200. 

31


a) b) 

0.82 σ B 

= 0.315 

σ B 

= 0.340 

0.8 

0.8 σ B 

= 0.345 

σ B 

= 0.349 

0.78 

0.78 

η 

0.76 

η 

0.76 

σ B 

= 0.400 

58 60 62 64 66 68 70 

p * 

0.74 

38 40 42 44 46 48 50 52 54 

p * 

Abbildung 3.11: Der Verlauf der Packungsdichte η mit sinkendem, äußeren Druck p ∗ . a) zeigt vergleichend 

die verschiedenen, simulierten Mischungen mit x B = 6/7 ≈ 85.7% und b) die einzelne Mischung 

mit x B = 7/9 ≈ 77.8%, welche simuliert wurde. 

Als Mischung mit dem kleinsten Verhältnis der Durchmesser wurde eine x B = 4/5 = 80% 

Mischung simuliert. Für diese Mischung ist von Likos und Henley [57] eine S 2 (AB 4 ) Gitterstruktur 

im Intervall σ B /σ A ∈ [0.193, 0.245] vorhergesagt. Es wurden die Verhältnisse 

der Durchmesser σ B /σ A = 0.193, 0.216, 0.225 und 0.245 simuliert. Abbildung 3.10 a) 

zeigt die vorgeschlagene, aufgesetzte Struktur für σ B = 0.193 (σ A = 1) und Abbildung 

3.10 b) die Struktur nach 3 · 10 6 MCS. Das Quadratgitter der großen Teilchen ist stabil. 

Die Anzahl der kleinen Teilchen in den Lücken des Quadratgitters der großen Teilchen 

kann jedoch bei diesem Teilchendurchmesser der kleineren Komponente der Mischung 

zwischen 3 und 5 fluktuieren (in Abbildung 3.10 b) grün markiert). Abbildung 3.10 

d) zeigt die stabile S 2 (AB 4 ) Gitterstruktur der Mischung mit σ B = 0.225 bei einem 

äußeren Druck von p ∗ = 160. Für die Mischung mit σ B = 0.245 konnte im simulierten 

Druckbereich p ∗ ≤ 200 keine stabile Struktur gefunden werden. Das Subgitter der 

kleinen Teilchen schmilzt und stört dabei die Quadratgitterstruktur der großen Teilchen 

(vergleiche Abbildung 3.10 e)). Das unterschiedliche Verhalten dieser Mischungen wird 

auch im Verlauf der Packungsdichte η mit dem Druck p ∗ in Abbildung 3.10 c) sichtbar. 

Die Mischungen mit σ B = 0.193, 0.216 und 0.225 zeigen einen deutlichen Sprung in η 

beim Übergang in die ungeordnete, flüssige Phase, wohingegen die Packungsdichte für 

die Mischung mit σ B = 0.245 kontinuierlich über den gesamten simulierten Druckbereich 

abnimmt. Zusammenfassend läßt sich schließen, daß die S 2 (AB 4 ) Gitterstruktur für die 

simulierten Mischungen mit σ B ≤ 0.245 durch äußere Drücke von p ∗ ≥ 160 stabilisiert 

werden kann. Sie bleiben bis zu einer Packungsdichte von ca. 87% thermodynamisch 

stabil. 

Als nächstes wird eine Mischung mit x B = 6/7 ≈ 85.7% betrachtet. Für diese erwartet 

man nach Likos und Henley [57] in den Intervallen σ B /σ A ∈ [0, 0.157] und σ B /σ A ∈ 

[0.315, 0.354] das T 2 (AB 6 ) Gitter (vergleiche Abbildung 3.7). Vier solcher Mischungen 

mit σ B /σ A aus dem zweiten Intervall wurden simuliert. Eine Beipielkonfiguration der 

T 2 (AB 6 ) Struktur ist in Abbildung 3.9 a) für σ B = 0.349 bei p ∗ = 71 gezeigt. Der Verlauf 

32


der Packungsdichte η mit fallendem Druck p ∗ ist in Abbildung 3.11 a) vergleichend für 

die vier Mischungen aufgetragen. Oberhalb eines Durchmessers der kleinen Teilchen von 

σ B = 0.340 wird diese Gitterstruktur umso instabiler, je größer der Durchmesser der 

kleinen Teilchen wird. Ab einem Druck von p ∗ = 71 ist jedoch die T 2 (AB 6 ) Struktur 

für alle vier simulierten Mischungen aus dem Intervall σ B /σ A ∈ [0.315, 0.354] stabil. Sie 

schmilzt sobald eine Packungsdichte von ca. 81% erreicht ist. 

Für eine Konzentration der kleinen Teilchen von x B = 7/9 ≈ 77.8% wurde nur eine 

einzige Mischung mit σ B = 0.400 simuliert. Diese Mischung liegt im Intervall σ B /σ A ∈ 

[0.378, 0.408], für das Likos und Henley [57] eine H 3 (A 2 B 7 ) Gitterstruktur erwarten. Eine 

Beispielkonfiguration dieser Struktur ist in Abbildung 3.9 b) für σ B = 0.400 bei p ∗ = 54 

gezeigt. Der Verlauf der Packungsdichte mit dem äußeren Druck in Abbildung 3.11 b) 

zeigt einen deutlichen Sprung, sobald die Struktur schmilzt. Die H 3 (A 2 B 7 ) Struktur ist 

in der betrachteten Mischung für p ∗ ≥ 48 stabil und weist dann eine Packungsdichte von 

η ≥ 80% auf. 

Für die x B = 2/3 ≈ 66.7% Mischungen sind im Phasendiagramm von Likos und Henley 

in Abbildung 3.7 zwei mögliche Gitterstrukturen eingetragen. Im Intervall σ B /σ A ∈ 

[0, 0.312] eine T 1 (AB 2 ) Struktur und im Intervall σ B /σ A ∈ [0.517, 0.546] eine H 1 (AB 2 ) 

Struktur. Es wurden zu beiden Strukturen Simulationen durchgeführt. Für die T 1 (AB 2 ) 

Struktur wurden zwei Mischungen an der oberen Grenze des von Likos und Henley vorgeschlagenen 

Existenzintervalls der Struktur, nämlich eine Mischung mit σ B = 0.300 und 

eine mit σ B = 0.312 simuliert. Für die H 1 (AB 2 ) Struktur wurden die fünf Mischungen 

mit Teilchendurchmessern σ B = 0.517, 0.520, 0.530, 0.540 und 0.546 betrachtet. Beispielkonfigurationen 

dieser beiden Strukturen aus den Simulationen sind in Abbildung 

3.9 c) und d) abgebildet. Die Änderung der Packungsdichte mit fallendem Druck ist in 

Abbildung 3.12 a) für Mischungen mit σ B /σ A aus dem Intervall der T 1 (AB 2 ) Struktur 

und in Abbildung 3.12 b) für die simulierten Mischungen mit σ B /σ A aus dem Inter- 

a) b) 

0.81 

η 

0.85 

0.8 

0.75 

σ B 

= 0.300 

σ B 

= 0.312 

η 

0.78 

0.75 

0.72 

0.69 

σ B 

= 0.517 

σ B 

= 0.520 

σ B 

= 0.530 

σ B 

= 0.540 

σ B 

= 0.546 

40 60 80 100 120 140 

p * 

18 21 24 27 30 33 

p * 

Abbildung 3.12: Der Verlauf der Packungsdichte η mit sinkendem, äußeren Druck p ∗ für die simulierten 

x B = 2/3 ≈ 66.7% Mischungen. a) zeigt vergleichend die Mischungen mit σ B/σ A aus dem Bereich der 

T 1(AB 2) Struktur und b) die Mischungen aus dem Bereich von σ B/σ A, in dem die H 1(AB 2) Struktur 

vorhergesagt ist. 

33


vall der H 1 (AB 2 ) Struktur aufgetragen. Das T 1 (AB 2 ) Gitter kann in den simulierten 

Mischungen nur durch sehr hohe äußere Drücke stabilisiert werden und der Sprung im 

Verlauf der Packungsdichte mit p ∗ ist nicht so deutlich aufgelöst wie in den übrigen 

Simulationen. Für σ B = 0.300 liegt das System bei p ∗ = 80 geordnet vor und beginnt 

dann zu schmelzen. Für σ B = 0.312 tritt das Schmelzen bereits für p ∗ < 90 ein. Die 

T 1 (AB 2 ) Struktur hat dann in beiden Mischungen eine Packungsdichte von η ≈ 85% erreicht. 

Die H 1 (AB 2 ) Struktur in den simulierten Mischungen bei größeren Verhältnissen 

der Durchmesser ist stabiler. Alle simulierten Mischungen aus diesem Bereich schmelzen 

erst ab äußeren Drücken p ∗ von unter 26 bis 27 (vergleiche Abbildung 3.12 b)). Die 

Packungsdichte liegt für diese Struktur dann bei ca. 78%. 

Zuletzt werden äquimolare Mischungen (d.h. x B = x A = 50%) betrachtet. Auch für 

diese sind im Phasendiagramm von Likos und Henley [57] (siehe Abbildung 3.7) zwei 

mögliche Gitterstrukturen vorhergesagt. Im Intervall σ B /σ A ∈ [0.392, 0.414] eine S 1 (AB) 

Quadratgitterstruktur und in den Intervallen σ B /σ A ∈ (0.414, 0.438] und σ B /σ A ∈ 

[0.627, 0.646] eine H 2 (AB) Struktur. Es wurden beide Gitterstrukturen aufgesetzt und 

auf ihre thermodynamische Stabilität getestet. Für die S 1 (AB) Quadratgitterstruktur 

wurden Mischungen mit σ B = 0.392, 0.396, 0.400 und 0.414 simuliert. Die H 2 (AB) 

Struktur wurde für Mischungen mit Teilchendurchmessern σ B = 0.627, 0.638, 0.640 und 

0.646 betrachtet. Beispielkonfigurationen der simulierten Mischungen sind in Abbildung 

3.9 e) für die H 2 (AB) Struktur bei σ B = 0.638 und in Abbildung 3.9 f) für die S 1 (AB) 

Struktur bei σ B = 0.414 dargestellt. Den jeweiligen Verlauf der Packungsdichte bei sinkendem 

Druck p ∗ zeigen Abbildung 3.13 a) und b). Die H 2 (AB) Struktur in Abbildung 

3.13 a) zeigt eine systematische Zunahme der Stabilität mit wachsendem Durchmesser 

der kleinen Teilchen σ B . Dies ist zu erwarten, da die H 2 (AB) Struktur für σ B → 1 direkt 

in das monodisperse Dreiecksgitter übergeht. Dieses weist z.B. bei einer Packungsdichte 

von η ≈ 78.5% (ϱ ∗ = 1.0) einen Druck von p ∗ = 13.8 auf (vergleiche Simulationen des 

a) b) 

0.84 

0.78 

0.81 

0.75 

η 

0.72 

0.69 

0.66 

σ B 

= 0.627 

σ B 

= 0.638 

σ B 

= 0.640 

σ B 

= 0.646 

12 15 18 21 

p * 

η 

0.78 

0.75 

σ B 

= 0.392 

σ B 

= 0.396 

σ B 

= 0.400 

σ B 

= 0.414 

0.72 

21 24 27 30 33 36 

p * 

Abbildung 3.13: Der Verlauf der Packungsdichte η mit sinkendem, äußeren Druck p ∗ für die simulierten 

x B = 1/2 = 50% Mischungen. a) zeigt vergleichend die Mischungen mit großem Verhältnis der 

Durchmesser σ B/σ A aus dem Bereich der H 2(AB) Struktur und b) die Mischungen aus dem Bereich von 

σ B/σ A, in dem die S 1(AB) Struktur vorhergesagt ist. 

34


monodispersen Harte Scheiben Systems im NV T -Ensemble in Kapitel 15). 

Um in den x B = 50% Mischungen eine S 1 (AB) Quadratgitterstruktur stabilisieren zu 

können muß der äußere Druck höher sein als für die H 2 (AB) Struktur. Der Verlauf der 

Packungsdichte mit p ∗ in Abbildung 3.13 b) zeigt, daß die simulierten Mischungen mit 

σ B /σ A ∈ [0.392, 0.414] bis zu Drücken von p ∗ = 32 bis 31 stabil bleiben und unterhalb 

schmelzen. Sie weisen dann eine Packungsdichte von ca. 82% auf. 

Abbildung 3.14 zeigt in einer Übersicht noch einmal die Informationen über die thermodynamische 

Stabilität, welche mit Hilfe der Monte Carlo Simulationen im NpT -Ensemble 

gewonnen werden konnten. Rot eingezeichnet sind die simulierten Systeme, für die ein 

∗ 

p > 160 

∗ 

p > 69 

∗ 

p > 48 

η > 87 % η > 81 % η > 80 % 

AB 6 

B 

AB 

A 2 

B 4 

7 

AB 2 

AB 

T 2 

S 2 

H 3 

T 1 

H 1 

S H 2 

1 

H 2 

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 

σ B 

1 

6/7 

4/5 

7/9 

x B 

2/3 

1/2 

∗ 

p > 90 

∗ 

p > 32 

∗ 

p > 27 

∗ 

p > 20 

η > 85 % η > 82 % η > 78 % η > 78 % 

Abbildung 3.14: Übersicht über die verschiedenen untersuchten Mischungen bzw. Gitterstrukturen. 

In rot sind die thermodynamisch stabilen Mischungen und in blau die im simulierten Druckbereich 

instabile Mischung eingetragen. Für die einzelnen Strukturen ist jeweils der Druck angegeben, für den 

die Gitterstruktur für alle simulierten Verhältnisse der Durchmesser σ B/σ A noch stabil ist. 

35


Druckbereich identifiziert werden konnte, in dem die Strukturen stabil sind. Blau eingetragen 

ist die x B = 4/5 Mischung mit σ B = 0.245, für die im simulierten Druckbereich 

von p ∗ ≤ 200 keine stabile Struktur gefunden wurde. Für die einzelnen Strukturen angegeben 

ist immer derjenige Druck, für den die Gitterstruktur für alle simulierten Verhältnisse 

der Durchmesser σ B /σ A noch stabil ist. Allgemein läßt sich aus diesen Studien 

schließen, daß je stärker die Struktur von der Dreiecksgitterstruktur des monodispersen 

Systems abweicht, umso höher ist der hydrostatische, äußere Druck, der nötig ist, um 

die Struktur zu stabilisieren. Gleiches gilt auch für die Packungsdichte η, bei der die 

Systeme anfangen zu schmelzen. 

An den hier vorgestellten Beispielen erkennt man zudem, daß die Gitterstrukturen des 

binären Harte Scheiben Systems nur bei relativ hohen äußeren Drücken thermodynamisch 

stabil sind. Zum Vergleich: in einem monodispersen Dreiecksgitter harter Scheiben 

herrscht bei einer Dichte von ϱ ∗ = 1.0 ein Druck von p ∗ = 13.8 (siehe Kapitel 15). 

Diese Erkenntnis wirft die Frage auf, ob solche Gitterstrukturen nicht auf einem anderen 

Weg erfolgreich stabilisiert werden können. Die Tatsache, daß experimentelle, kolloidale 

Mischungen lokal zum Teil eine klare Tendenz zur Bildung komplexerer Gitterstrukturen 

zeigen (siehe z.B. [60]), global jedoch nicht kristallisieren, verstärkt den Wunsch 

eine Möglichkeit zu finden durch eine kontrollierte, äußere Wechselwirkung mit solchen 

Systemen die Kristallisation zu induzieren. 

In monodispersen, zweidimensionalen Systemen kann durch die Wechselwirkung mit einem 

einfachen, in einer Dimension, periodisch modulierten, äußeren Feld eine Kristallisation 

des Dreiecksgitters induziert werden. Ist dies auch in binären Mischungen möglich? 

Die folgenden zwei Kapitel gehen ausführlich auf diese Frage ein. Zunächst wird eine 

kurze Einführung in die sogenannten Laser Induzierten Phänomene in monodispersen 

Systemen gegeben. Danach wird der Einfluß eines solchen Feldes auf eine x A = 50% Mischung 

untersucht. Wie sich zeigt, weist ein solches System eine Fülle von neuen Laser 

Induzierten Phänomenen auf. 

36

KAPITEL 4 

Kolloide in äußeren Lichtfeldern 

4.1. Monodisperse Systeme 

Setzt man ein zweidimensionales monodisperses Fluid einem externen Feld aus, welches 

in einer Raumrichtung periodisch moduliert ist, so erwartet man, eine Modulation der 

Teilchendichte entsprechend der des externen Feldes zu beobachten. Für kleine Amplituden 

des äußeren Feldes, bei nicht zu hohen Dichten, ist genau dies der Fall. Einen solchen 

Zustand nennt man eine Modulierte Flüssigkeit, kurz ML für ’modulated liquid’. Erstaunlicherweise 

zeigt ein solches System ein weitaus komplexeres Phasenverhalten. Wie 

Chowdhury et al. 1985 [26] experimentell nachweisen konnten, erzeugt eine solche extern 

getriebene, eindimensionale Teilchenmodulation bei stärkeren äußeren Feldern zusätzlich 

Dichtemodulationen in der zweiten Raumrichtung. D.h. das System gefriert. Diesen 

Vorgang bezeichnet man als Laser Induziertes Frieren, kurz LIF. In der experimentellen 

Realisierung wurde ein stark wechselwirkendes Kolloidsystem einem in einer Dimension 

modulierten Laserfeld ausgesetzt. Dieses induziert einen Phasenübergang in das geordnete 

Dreiecksgitter. Den induzierten, geordneten Zustand bezeichnet man auch als ’locked 

floating solid’ (LFS), da dieser ungehindert entlang der Minima des äußeren Feldes gleiten 

kann. Der experimentelle Nachweis dieses neuen Zustands erfolgte indirekt durch 

Streuexperimente [26]. 1992 gelang es Loudiyi et al. [61, 62] mittels Videomikroskopie 

diese Phase direkt sichtbar zu machen. Ein weiterer Durchbruch in der Analyse dieser 

Systeme gelang Chakrabarti et al. [27], die mit Hilfe von Computer-Simulationen die 

Existenz eines weiteren Phasenübergangs vorhersagten, dem Laser Induzierten Schmelzens 

(LIM), welches bei noch stärkeren äußeren Feldern eintritt. Das System zeigt einen 

Wiedereintritt in eine fluide Phase (eine Modulierte Flüssigkeit) bei einer Erhöhung der 

Stärke des modulierenden Feldes. Dieser Phasenübergang konnte 1998 von Wei et al. 

37


[63] experimentell nachgewiesen werden. Systematische Studien monodisperser, zweidimensionaler 

Systeme in eindimensional modulierten, externen Feldern erfolgten experimentell 

2001 durch Bechinger et al. [28] und 2001 durch Strepp et al. [29, 64] mittels 

Computer-Simulationen durch die Aufnahme kompletter Phasendiagramme. Die reiche 

Phänomenologie dieses relativ einfachen, physikalischen Systems hat eine Vielzahl an 

Studien bewirkt. Sowohl die Strukturbildung an sich als auch das Wiedereintrittsverhalten 

in die Modulierte Flüssigkeit hängen empfindlich von dem gewählten Kommensurabilitätsverhältnis, 

d.h. dem Verhältnis des Wellenvektors des externen Feldes zu einem 

der reziproken Gittervektoren der induzierten Struktur, ab (siehe z.B. [65, 66]). So sagen 

z.B. Chaudhuri et al. [67] aufgrund von Computer-Simulationen einen LIF Übergang in 

eine quadratische Struktur in attraktive wechselwirkenden, kolloidalen Systemen voraus. 

Nach ersten Anläufen einer theoretischen Beschreibung der Phänomene im Rahmen der 

Landau Theorie (Chowdhury et al. [26] bereits 1985) und Dichtefunktional-Theorie (Chakrabarti 

et al.[68]), gelang es 2001 Radzihovsky et al. [69, 30, 31] eine umfassende Theorie 

im Rahmen der KTHNY-Theorie 1 des Schmelzens in zwei Dimensionen aufzustellen und 

in Abhängigkeit von den Systemparametern Phasendiagramme vorherzusagen. Chaudhuri 

und Sengupta [32] überprüften 2006 mittels Computer-Simulationen diese Theorie 

des Schmelzens in zwei Dimensionen unter Einfluß eines externen Laserfelds. 

Nach diesem kurzen historischen Abriss werden im Folgenden zunächst einige der für 

monodisperse Systeme typischen Phasen und die zu ihrer Beschreibung verwendete übliche 

Nomenklatur vorgestellt. 

Kommensurabilitätsverhältnis Als kommensurabel bezeichnet man die Situation, in der 

die Minima einer ebenen Welle e i ⃗ K⃗r mit der Periodizität der Gitterebenen einer 

geordneten Struktur zusammenfallen. D.h. die Menge der Bragg Ebenen senkrecht 

zu ⃗ G ⃗m = m 1 

⃗ G1 +m 2 

⃗ G2 mit ⃗ G ⃗m || ⃗ K ist eine Untermenge der durch die Potentialminima 

definierten Ebenen, somit gilt ⃗ K = p ⃗ G ⃗m . Das Kommensurabilitätsverhältnis 

p ist das Verhältnis der Periodizität der ebenen Welle d = 2π/| ⃗ K| zum Gitterebenenabstand 

a ′ m = 2π/| ⃗ G ⃗m |. 

modulated liquid (ML) Die Modulierte Flüssigkeit ist eine ungeordnete Phase in dem 

Sinne, daß in ihr keine spontane Symmetriebrechung auftritt. Die induzierte Symmetriebrechung 

aufgrund des externen Potentials bewirkt eine Translationsordnung 

der Flüssigkeit entlang der Modulationsrichtung, mit der der ebenen Welle 

entsprechenden Periodizität d = 2π/| ⃗ K|. Dies führt zur Bildung von Bragg Maxima 

im statischen Strukturfaktor entlang der Richtung der Modulation. Die zweidimensionale 

Paarkorrelationsfunktion g(⃗r) zeigt anstelle der für den isotropen Fall 

typischen konzentrischen Ringen eine Streifenstruktur mit der Periodizität d. 

locked floating solid (LFS) Diese Bezeichnung für die induzierte komplett geordnete 

Struktur beschreibt die Eigenschaften der Phase. Der Kristall wird durch das 

äußere Potential in seiner Beweglichkeit senkrecht zu den Potentialrinnen stark 

1 nach J.M. Kosterlitz und D.J. Thouless [70], B.I. Halperin und D. R. Nelson [71] und A.P. Young [72] 

38


eingeschränkt, d.h. er ist an eine feste Position gebunden (= ’locked’). Bewegungen 

entlang der Potentialrinnen erfolgen jedoch ungehindert. Der Kristall kann in 

dieser Richtung ungehindert gleiten (= ’floating’). 

locked smectic (LSm) Die smektische Phase zeichnet sich dadurch aus, daß in ihr nur 

jede zweite Potentialrinne von Teilchen besetzt wird. Sie hebt sich insofern von der 

Modulierten Flüssigkeit ab, daß die induzierte Translationsordnung die Periodizität 

p · d aufweist anstelle der in der Modulierten Flüssigkeit vorliegenden Periodizität 

d. Ihre Existenz wurde für das Kommensurabilitätsverhältnis p = 2 von Radzihovsky 

et al. [30] vorhergesagt. Experimentell wurde diese Phase von Baumgartl et 

al. [73] nachgewiesen. Monte Carlo Computer-Simulationen von Bürzle et al. [74] 

ermöglichten die Angabe des kompletten Phasendiagramms für ein monodisperses 

Harte Scheiben System. 

4.2. Binäre Mischungen 

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Fragestellungen zum Einfluß äußerer Felder 

auf binäre Mischungen. Angesichts der vorliegenden detaillierten Untersuchungen 

monodisperser Systeme können die in bidispersen Systemen auftretenden Phänomene 

im Kontrast zu den monodispersen Befunden diskutiert werden. Ein solcher Blickwinkel 

offenbart den Einfluß, den das Einführen einer weiteren Längenskala auf das System hat 

und ermöglicht es die physikalischen, Ordnung induzierenden Mechanismen im binären 

System gegen die im monodispersen System vorhandenen abzugrenzen. 

Die betrachtete äquimolare Mischung hat ein Verhältnis der Teilchendurchmesser von 

σ B /σ A = 0.414 und ist somit nahe der oberen Grenze des von Likos et al. [57] vorhergesagten 

Existenzintervalls des S 1 (AB) Quadratgitters, d.h. der dichtesten Packung, in der 

die kleinere Komponente die Lücken des Quadratgitters der größeren Komponente komplett 

ausfüllt ((σ B /σ A ) max 

= ( √ 2 − 1.0)). Für ein solches System in dichtester Packung 

fanden Watanabe et al. [75] in Computer-Simulationen einen metastabilen Zustand, wobei 

eine eindeutige Klärung der Existenz eine stabilen Quadratphase bisher noch nicht 

gelang. Die untersuchte binäre Mischung phasensepariert im feldfreien Fall nicht. Dies 

ist in Einklang mit experimentellen Ergebnissen von Baumgartl et al. [49], die in binären 

Fluiden unterschiedlicher Mischungsverhältnisse mit Radienverhältnis r B /rA = 0.4 bei 

niedrigen Gesamtpackungsdichten für ein System mit rein repulsiver Wechselwirkung 

keine Phasenseparation fanden. Das in der vorliegenden Arbeit verwendete System zeichnet 

sich im fluiden Bereich dadurch aus, daß Oszillationen der Paarkorrelationsfunktion 

durch die Längenskala der größeren Komponente dominiert werden. Dies spiegelt sich im 

Ortsraum durch die Existenz von systemumfassenden Netzwerken der großen Komponente 

wieder, welche z.B. mit Hilfe der Delaunay Triangulation sichtbar gemacht werden 

können (siehe Kapitel 3). Setzt man eine binäre Mischung einem eindimensional modulierten 

Substratpotential aus, so muß man vorab verschiedene Parameter wie z.B. die 

Periodizität der externen Modulation, das Kommensurabilitätsverhältnis und die Ankopplung 

der Kolloide an das externe Feld festlegen. Da das S 1 (AB) Quadratgitter, die 

39


a 

2V 0 

y 

x 

Abbildung 4.1: Schematische Darstellung des Substratpotentials im Vergleich zum S 1(AB) Quadratgitter 

der untersuchten 50% Mischung mit einem Verhältnis der Teilchendurchmesser von σ B/σ A = 0.414. 

maximale Packung ermöglicht, wurde es als Referenz zur Festlegung dieser Parameter 

gewählt. 

Periodizität Im Quadratgitter befinden sich nächste Nachbarn in x-Richtung im Abstand 

a/2 = 1/ √ 2ϱ ∗ voneinander. a ist der Gitterabstand im S 1 (AB) Kristall. 

Eine maximale Stabilisierung eines Quadratgitter erreicht man bei der Wahl von 

λ = 1/ √ 2ϱ ∗ , da in diesem Fall die Position eines jeden Teilchens mit einem Minimum 

des externen Feldes zusammenfällt (siehe Abbildung 4.1). 

Potential Der Einfluß des Substrats wird durch das folgende Potential modelliert. 

( ) 

V (⃗r) = V 0 sin ⃗K · ⃗r 

mit 

K ⃗ 

4π = (1, 0) 

a 

Eine schematische Darstellung der so definierten Energielandschaft ist in Abbildung 

4.1 zur Veranschaulichung abgebildet. Im Folgenden wird die Stärke des 

externen Potentials in Einheiten der kinetischen Energie k B T , d.h. dimensionslos, 

durch V ∗ 

0 = V 0/k B T angegeben. 

Kommensurabilitätsverhältnis Im kommensurablen Fall liegt bei den gewählten Parametern 

ein Kommensurabilitätsverhältnis von 

p = | ⃗ K|/| ⃗ G 0 | = 2 

vor. In monodispersen Systemen wird für diese Kommensurabilitätsverhältnis die 

smektische Phase LSm beobachtet. Für p = 2 liegen im monodispersen System 

nämlich doppelt so viele Minima des externen Potentials vor, wie parallele Bragg 

40


Ebenen der geordneten Struktur vorhanden sind. Da das betrachtete S 1 (AB) Quadratgitter 

aber keine primitive Einheitszelle besitzt, gibt es in der betrachteten 

Orientierung gleichviele Gitterebenen, wie Potentialminima, d.h. in der geordneten 

Struktur ist jede Potentialrinne mit Teilchen besetzt. Des weiteren ist zu beachten, 

daß der Wellenvektor des äußeren Potentials K ⃗ = 2π λ 

= 2π√ 2ϱ ∗ bei der gewählten 

Periodizität eine Funktion der Anzahldichte ϱ ∗ ist. Man muß daher, um Aussagen 

bei einem festen Kommensurabilitätsverhältnis machen zu können, in Simulationen 

bei Änderungen der Anzahldichte auch immer die Wellenlänge λ des externen 

Feldes nachregeln. Durch dieses Vorgehen, erhält man aus kommensurablen Simulationsläufen 

die Kommensurabilitätsebene des Phasendiagramms für p = 2. 

Im Gegensatz dazu liefern inkommensurable Simulationsläufe, d.h. Simulationen 

mit fester Periodizität unabhängig von der gewählten Anzahldichte, Phasendiagramme 

zu variablen Kommensurabilitätsverhältnissen p, welche die Kommensurabilitätsebene 

schneiden. Dies kann als Konsistenztest der erhaltenen Ergebnisse 

verwendet werden. 

Ankopplung an das äußere Feld Im binären System sind prinzipiell drei mögliche Fälle 

der Ankopplung der Kolloide an das Substratpotential zu unterscheiden: 

Ausschließlich die kleinere Kolloidsorte wechselwirkt mit dem Substrat. 

Ausschließlich 

die größere Kolloidsorte wechselwirkt mit dem Substrat. 

Beide Kolloidsorten wechselwirken mit dem Substrat. 

Eine genauere Analyse der vorliegenden geometrischen Verhältnisse ermöglicht es Vorhersagen 

über das Verhalten des binären Fluids unter Einfluß des gewählten Substratpotentials 

und über die möglich Existenz einzelner Phasen zu machen. In den nächsten 

Abschnitten werden daher die verschiedenen möglichen Ordnung induzierenden Mechanismen 

unter Berücksichtung der Geometrie diskutiert. 

4.2.1. Laser Induziertes Entmischen und Frieren 

Die Gesamtenergie des Systems wird dadurch minimiert, daß die an das Potential ankoppelnde 

Kolloidsorte, in die Potentialminima gezogen wird. Das System strebt eine 

optimale Ausrichtung der mit dem externen Feld wechselwirkenden Kolloide entlang der 

Rinnen der Potentialminima an. Für den Fall, daß nur eine Kolloidsorte mit dem externen 

Feld wechselwirkt, ist daher in einem offenen System theoretisch eine komplette 

Phasenseparation zu erwarten. Im geschlossenen System mit konstanter Teilchenzahl N 

und konstantem Volumen V hingegen konkurriert mit der Energieminimierung die Maximierung 

der Entropie. Das Wechselspiel zwischen diesen beiden Tendenzen führt zur 

Bildung geordneter Strukturen in dichten Systemen. Für die drei unterschiedlichen Ankopplungssituationen 

sind verschiedene Strukturbildungen im Grenzfall hoher Dichten 

möglich. 

41


a) b) 

Abbildung 4.2: Schematische Darstellung der möglichen, Energie minimierenden Anordnungen der 

Kolloide relativ zu den als gestrichelte Linien eingezeichneten Potentialminima. a) Für den Fall, daß nur 

die kleinere Komponente an das externe Feld ankoppelt, ist bei geringen Anzahldichten eine Kettenbildung 

entlang der Minima zu erwarten. Bei hohen Anzahldichten bietet das Quadratgitter eine optimale 

Anordnung. b) Für den Fall, daß nur die größere Komponente an das externe Feld ankoppelt, ist bei 

geringen Anzahldichten eine Anordnung dieser Komponente in einem rhombischen Gitter energetisch 

günstig. Auch hier bietet bei hohen Anzahldichten das Quadratgitter eine optimale Anordnung. Für 

den Fall, daß beide Komponenten an das externe Feld ankoppeln konkurrieren diese drei möglichen 

Anordnungen miteinander. 

Ausschließlich die kleinere Kolloidsorte wechselwirkt mit dem Substrat: 

Bei der gewählten Periodizität berühren sich Kolloide der kleineren Sorte nicht, 

wenn sie sich in aneinandergrenzenden Minima befinden. Die kleineren Kolloide 

bilden daher Ketten entlang der Minima, die voneinander entkoppelte, d.h. quasieindimensionale 

Systeme sind (siehe Abbildung 4.2 a)). Da eine solche Anordnung 

in Ketten sehr viel Platz benötigt, wird bei hohen Dichten die Tendenz zur Kettenbildung 

durch die Anwesenheit der zweiten Kolloidsorte stark behindert. Solange 

die Anzahldichte es zuläßt, wird die Kettenbildung dominieren, und den effektiv 

der größeren Kolloidsorte zur Verfügung stehenden Raum einschränken. Diese 

wird dadurch gezwungen eine dicht gepackte Struktur anzunehmen. Eine Kondensation 

ins Dreiecksgitter ist zu erwarten. Bei noch höheren Dichten bietet jedoch 

ausschließlich die Anordnung im S 1 (AB) Gitter eine optimale Ausrichtung der 

kleineren Komponente bezüglich des externen Feldes. Aufgrund dieser beiden Mechanismen 

erwartet man einen Bereich im Phasendiagramm zu finden, in dem ein 

Laser Induziertes Entmischen eintritt. Es bildet sich ein monodisperses Dreiecksgitter 

der größeren Komponente aus. Des weiteren ist ein Laser Induziertes Frieren 

in ein S 1 (AB) Quadratgitter zu erwarten. 

Ausschließlich die größere Kolloidsorte wechselwirkt mit dem Substrat: 

In diesem Fall berühren sich die Kolloide der größeren Sorte bei der gewählten 

Periodizität, wenn sie versuchen sich in aneinandergrenzenden Minima anzuordnen. 

Eine Kettenbildung ist daher nicht möglich. Das Dreiecksgitter bietet die dichteste 

Packung, ist aber nicht kommensurabel zur Periodizität des Substrats. Die Bildung 

42


von rhombischen monodispersen Gittern der größeren Kolloidsorte ist zu erwarten 

(siehe Abbildung 4.2 b)). Auch dieser Ordnung induzierende Mechanismus führt 

somit zu einer Laser Induzierten Entmischung. Für den Grenzfall ϱ ∗ → 2.0 ist 

aber auch in diesem Fall das S 1 (AB) Quadratgitter die einzige Möglichkeit eine 

maximale Packungsdichte mit einer optimalen Ausrichtung entlang der Minima 

des externen Feldes zu vereinen. 

Beide Kolloidsorten wechselwirken mit dem Substrat: 

In diesem Fall versuchen alle Komponenten sich optimal bezüglich des Substratpotentials 

anzuordnen. Solange die Anzahldichte des System es erlaubt, ist daher eine 

Kettenbildung in der kleineren Komponente und gleichzeitig eine Kondensation 

der größeren Komponente in ein monodisperses, rhombisches Gitter zu erwarten. 

Bei hohen Anzahldichten bietet nur das Quadratgitter ein maximales Packungsverhältnis 

bei gleichzeitiger Optimierung der Anordnung bezüglich der Minima des 

externen Feldes. 

Aufgrund dieser energetischen Vorüberlegungen erwartet man in allen drei Fällen das 

neue Phänomen eines Laser Induziertes Entmischens (LID = ’laser induced demixing’) 

zu beobachten. Die die Entmischung treibenden und Ordnung induzierenden Mechanismen 

sind aber unterschiedlich in den einzelnen Fällen. Eine solche Phasenseparation ist 

im feldfreien Fall nicht zu erwarten. Für binäre Mischungen harter Scheiben wird eine 

Phasenseparation nur für σ B /σ A ≤ 1/100 erwartet (siehe Buhot und Krauth [39]). Die 

hier betrachtete Mischung mit σ B /σ A = 0.414 liegt weit oberhalb dieser Grenze. Was 

die Fragestellung, ob durch ein solch einfaches äußeres Feld eine Phasenseparation induziert 

werden kann, sehr interessant macht. Des weiteren erwartet man, im Bereich 

relativ hoher Dichten ein Laser Induziertes Frieren (LIF) in das S 1 (AB) Quadratgitter 

zu beobachten. 

4.2.2. Laser Induziertes Schmelzen und Rissbildung 

In monodispersen Systemen wurde, wie schon erwähnt, bei starken äußeren Feldern das 

Phänomen des Laser Induzierten Schmelzens (LIM) beobachtet. Anschaulich läßt es sich 

wie folgt erklären. Die Positionsfluktuationen in x-Richtung, d.h. entlang der Modulation 

des äußeren Feldes, werden stark eingeschränkt indem die Amplitude der Modulation 

größer wird. Sobald diese Einschränkung der Fluktuationen dazu führt, daß Kolloide in 

angrenzenden Minima sich nicht mehr berühren, zerfällt das zweidimensionale System in 

voneinander entkoppelte eindimensionale Systeme. Da dann die Fluktuationen entlang 

der Minima nicht mehr eingeschränkt sind, schmilzt das System entlang der Minima. 

Es liegt eine Modulierte Flüssigkeit vor. Formal wurde von Radzihovsky et al. [30] im 

Rahmen der Kontinuum-Elastizitätstheorie ein effektives Hamilton Funktional hergeleitet, 

das den Einfluß des Substrats beinhaltet. Verschiedene Grenzfall Betrachtungen 

und eine renormalisierungstheoretische Behandlung ermöglichen die Vorhersage der Phasendiagramme 

für verschiedene Kommensurabilitätsverhältnisse. Für die Studien in der 

43


a) 

b) 

Abbildung 4.3: Schematische Darstellung des Substratpotentials im Vergleich zum S 1(AB) Quadratgitter 

der untersuchten 50% Mischung mit σ B/σ A = 0.414. a) Das monodisperse LIM Szenario ist in 

diesem System geometrisch blockiert. b) Neuer Schmelzmechanismus senkrecht zu den Potentialminima, 

der die Rissbildung im System ermöglicht. 

hier vorliegenden Arbeit von Interesse ist eine Abschätzung der Schmelztemperatur des 

’locked floating solids’ (LF S) beim Übergang in die Modulierte Flüssigkeit bei starken, 

externen Feldern, d.h. dem Laser Induzierten Schmelzen (LIM). In diesem Fall läßt sich 

das zweidimensionale System als ein System schwach gekoppelter, eindimensionaler Rinnen 

der Breite d beschreiben. Das Hamilton Funktional ist dann darstellbar als diskrete 

Summe über die Rinnen (Zählindex: n), wobei Auslenkungen senkrecht zu den Rinnen 

als vernachlässigbar angenommen werden. Auslenkungen von der Referenzgitterposition 

entlang der y-Richtung werden durch u n (y) beschrieben. 

H = d ∑ ∫ { ( ) 

1 

dy 

2 K dun (y) 2 ( a 

) [ ] } 

2 2π 

− µ cos 

dy 2πd a [u n+1(y) − u n (y)] 

n 

Hier ist a die Gitterkonstante des Dreiecksgitters, K der Kompressionsmodul innerhalb 

der Rinne und µ die mikroskopische Kopplung benachbarter Rinnen. Diese Kopplung 

der Rinnen über den Schermodul läßt sich in dem betrachteten Modellsystem, welches 

entlang der Modulationsrichtung diskretisiert ist durch einen Term proportional zu 

cos [ 2π 

a [u n+1(y) − u n (y)] ] ausdrücken. Bei starken externen Potentialen geht die Kopplung 

der Rinnen gegen Null, so daß der zweite Summand vernachlässigt werden kann. 

Wendet man das Äquipartitionstheorem auf das verbleibende Hamilton Funktional an, 

so erhält man 

〈|u n (y) − u n (0)| 2 〉 = k BT 

Kd y 

Wählt man nun y so, daß das mittlere Schwankungsquadrat der Fluktuationen ungefähr 

der Gitterkonstante a entspricht, so läßt sich als Korrelationslänge entlang der 

Rinnen ξ T (T ) = Kd 

k B T a2 angeben. Diese Korrelationslänge ermöglicht eine Abschätzung 

der Schmelztemperatur. Der LFS bleibt so lange fest wie die thermische Energie k b T 

kleiner ist als die nötige Energie um die Korrelation der Rinnen aufzubrechen. Diese ist 

von der Größenordnung dξ T (T )µ(a/2πd) 2 , wobei die Größe der korrelierten Regionen 

44


in den Rinnen mit ξ T (T ) abgeschätzt wurden. Man erhält daher folgenden funktionalen 

Zusammenhang als Abschätzung der Schmelztemperatur 

k B T = const × a 2√ µK 

Diese Abschätzung wurde hier im Detail wiedergegeben, da sie erkennen läßt, daß das 

Phänomen des Laser Induzierten Schmelzens von der schwächer werdenden mikroskopischen 

Kopplung der Potentialrinnen bei hohen Potentialstärken lebt. Bzw. der LFS ist 

allein durch Teilchenfluktuationen senkrecht zur Potentialrinne stabilisiert. In dieser Hinsicht 

unterscheidet sich das monodisperse System fundamental von dem in dieser Arbeit 

betrachteten bidispersen System. In diesem ist der LFS ein Quadratgitter. Die Kopplung 

benachbarter Potentialminima nimmt zwar auch mit stärker werdendem Potential 

ab, kann aber aufgrund der Geometrie des Systems niemals vernachlässigbar werden. 

Ein dem monodispersen Szenario analog verlaufender LIM Übergang ist daher in einem 

solchen bidispersen System prinzipiell nicht möglich. Auch die Mechanismen, die zur 

Stabilisierung des LFS führen sind andere. Sie führen u.a. dazu, daß eine Koexistenz 

zwischen LFS und ML auftritt, welche im monodispersen Fall nicht auftritt. 

Die vorliegenden, geometrischen Verhältnisse im binären Fluid, blockieren somit das aus 

den monodispersen Systemen bekannte LIM Schmelzszenario für das S 1 (AB) Quadratgitter. 

Die gewählte Kombination aus Verhältnis der Teilchendurchmesser und Periodizität 

des Substratpotentials, verhindert ein Entkoppeln aneinandergrenzender Minima 

(siehe Abbildung 4.3 a)). Die ausgeprägte Anisotropie der Positionsfluktuationen bei 

starken äußeren Feldern, ermöglicht aber einen neuen Schmelzmechanismus im binären 

Fluid. Die starken Fluktuationen entlang der Minima führen dazu, daß sich im Sub- 

Gitter der großen Kolloidsorte Lücken bilden können, die von der kleineren Kolloidsorte 

besetzt werden kann (siehe Abbildung 4.3 b)). Daher ist im Gegensatz zum monodispersen 

Szenario bei starken äußeren Feldern ein Schmelzen des Sub-Gitters der kleineren 

Kolloidsorte senkrecht zu den Minima des Externen Feldes zu erwarten! Es bilden sich 

Risse parallel zur modulierten Richtung im Sub-Gitter der großen Kolloidsorte. 

Spezielle Ordnungsparameter Die auftretende Rissbildung senkrecht zu den Potentialminima 

des externen Feldes, bei der sich die kleinere Teilchensorte in den Rissen 

ansammeln, wohingegen das Quadratgitter der großen Teilchen nur lokal gestört 

ist, wird durch die Translations - und Rotationsordnungsparameter nicht korrekt 

erfaßt. Der Rotationsordnungsparameter Ψ 4 des Teilgitters der großen Kolloide 

fällt erst beim Eintritt in den Koexistenzbereich ab. Daß die Translationsordnung 

entlang der Potentialrinnen und entlang der Diagonalen der Quadratstruktur durch 

die Rissbildung gestört wird, macht sich in einem leichten Abfall der zugehörigen 

Translationsordnungsparameter bemerkbar. Die Änderung in der Wahrscheinlichkeitsverteilung 

dieser Ordnungsparameter ist aber nicht signifikant genug, um eine 

Analyse mittels Binder Kumulanten zu ermöglichen. Zudem muß beachtet werden, 

daß bei einer Blockanalyse einer solchen Struktur sichergestellt sein muß, daß der 

Riss während der Simulation ergodisch den gesamten Konfigurationsraum abtastet. 

Um das Einsetzen der Rissbildung zu bestimmen wurde daher ein weiterer 

45


a) 

λ 

b) λ 

λ 

c) 

j 

j 

k 

k 

j 

Z B= 0, S B= 0.0 

Z B = / 0, S B= −0.5 

Z B = / 0, S B= 1.0 

Abbildung 4.4: Schematische Darstellung der Funktionsweise des Ordnungsparameters S B zur Ermittlung 

des Einsetzens der Rissbildung. a) Im perfekten Quadratgitter gilt S B = 0. b) und c) zwei 

ausgezeichnete Anordnungen der kleineren Teilchensorte, die zu Werten von S B ungleich Null führen. 

Ordnungsparameter definiert. Die Rissbildung zeichnet sich dadurch aus, daß die 

kleinere Kolloidsorte nicht mehr nur vier große Kolloide als nächste Nachbarn hat, 

sondern auch kleine Kolloide. Sobald also ein kleines Kolloid ein weiteres kleines 

Kolloid als nächsten Nachbarn hat, beginnt die Rissbildung. Für den Fall, daß die 

kleinen Kolloide mit dem Substrat wechselwirken, versuchen diese sich entlang der 

Potentialrinnen auszurichten. Der entstehende Riss zeichnet sich dann zusätzlich 

dadurch aus, daß sich in ihm entlang der Potentialminima ausgerichtete Dimere 

kleiner Kolloide bilden. Um nun durch einen Ordnungsparameter diese beiden 

Charakteristiken zu erfassen, wurde der Ordnungsparameter zur Analyse nematischer 

Strukturen in Flüssigkristallen (siehe z.B. [76]) auf die vorliegende Situation 

angepaßt. Die lokale Definition lautet somit: 

{ 

S B,j = 

0 für Z B = 0 

P 2 (cos θ) = 3 cos θ2 −1 

2 

für Z B ≠ 0 

Z B ist die Anzahl der nächsten Nachbarn eines kleinen Kolloid j, die auch kleine 

Kolloide sind. Als solche werden alle kleinen Kolloide innerhalb eines Radius r c = λ 

definiert. θ ist der Winkel zwischen der Verbindungslinie zwischen dem Kolloid j 

und seinem nächsten Nachbarn und der Vorzugsrichtung. Diese ist im hier vorliegenden 

Fall durch die Orientierung der Potentialminima festgelegt. Den globalen 

Ordnungsparameter erhält man, indem man den Ensemblemittelwert bildet: 

〈 

〉 

1 ∑N B 

S B = S B,j 

N B 

Dieser neue Ordnungsparameter ist auf dem Intervall [−0.5, 1] definiert. Er weist insofern 

ein diskontinuierliches Verhalten auf, daß er beim Einsetzen der Rissbildung 

von Null auf einen beliebigen Wert aus diesem Intervall springt. Die ersten Risse 

haben neben perfekt ausgerichteten Dimeren, die einen Beitrag S B = 1 liefern, auch 

Dimere, die senkrecht zu den Rinnen stehen, d.h. kleine Kolloide in benachbarten 

j=1 

46


Potentialrinnen. Diese liefern einen Beitrag S B = −0.5. Zur Veranschaulichung ist 

eine schematische Darstellung der Funktionsweise des Ordnungsparameters S B in 

Abbildung 4.4 gegeben. Dimere, die nicht perfekt ausgerichtet sind führen zu einer 

breiten Verteilung der berechneten Werte von S B . Bildet sich eine Koexistenz 

mit der Modulierten Flüssigkeit aus, so verschwinden die Anteile bei S B = 1 und 

S B = −0.5 in der Wahrscheinlichkeitsverteilung P (S B ). Es bleibt anzumerken, 

daß der Ordnungsparameter S B nicht zwischen einer statistischen Verteilung von 

Dimeren im System und einer Anordnung der Dimere in Form eines Risses unterscheiden 

kann. Die Analyse der Teilchenkonfigurationen zeigt jedoch, daß derartige 

Dimere nur beim Einsetzten der Rissbildung im System auftreten. 

Ein analog definierter Ordnungsparameter für die großen Kolloide ist S A . Als 

nächste Nachbarn werden in diesem Fall große Kolloide innerhalb eines Radius 

r c = 1.3σ A definiert, die einen Abstand in x-Richtung kleiner λ aufweisen. Die 

Wahrscheinlichkeitsverteilung von S A zeigt ein deltaförmiges Maximum nahe 1.0 

in der geordneten Quadratgitter-Struktur. Das Einsetzen der Rissbildung führt 

zu einer geringen Verschiebung dieses Maximums zu niedrigeren Werten. Dieser 

Ordnungsparameter eignet sich daher nicht zur Ermittlung des Einsetzens der 

Rissbildung. Wie die Auswertung der Simulationen jedoch zeigen wird, tritt für 

den Fall, daß nur die kleinen Kolloide mit dem externen Potential wechselwirken 

eine Koexistenz des Quadratgitters mit der Modulierten Flüssigkeit auf. Dieser 

Übergang läßt sich durch den Ordnungsparameter S A erfassen, da der Eintritt in 

den Koexistenzbereich durch die Unordnung der großen Kolloide in der Modulierten 

Flüssigkeit zu einer signifikanten Verbreitung der Wahrscheinlichkeitsverteilung 

P (S A ) und Verschiebung des Mittelwerts führt. 

Bevor die Vorhersagen für das Verhalten der binären Mischung im modulierten, äußeren 

Feld mit den Ergebnissen von Monte Carlo Simulationen verglichen werden, wird im 

nächsten Abschnitt noch kurz auf Möglichkeiten der experimentellen Realisierung der 

betrachteten Systeme eingegangen. 

4.2.3. Experimentelle Realisierungsmöglichkeiten 

Zweidimensionale Systeme können auf verschiedene Arten experimentell realisiert werden. 

Der direkteste Weg, der in den Experimenten zur Erforschung der laser-induzierten 

Phänomene verwendet wird, ist das Aufbringen eines dünnen Films auf eine möglichst 

strukturlose Oberfläche (siehe z.B. [28]). Man kann jedoch auch, um den Einfluß der 

Oberfläche komplett auszuschalten, einen frei hängenden Tropfen einer kolloidalen Suspension 

verwenden (siehe z.B. [77, 78]). Die Kolloide bewegen sich innerhalb der Wasser- 

Luft Grenzfläche, deren Krümmung akkurat kontrolliert werden kann. In einem solchen 

Aufbau muß jedoch darauf geachtet werden, daß ein zusätzliches, externes Potential die 

Tropfenform nicht beeinflußt. Durch das Ausnutzen von Verarmungseffekten kann auch 

ein großkanonisches Ensemble µpT verwirklicht werden. Lin et al. [79] verwenden dazu 

ein Polymer-Kolloid Gemisch. Wird ein solches Gemisch auf ein Substrat gebracht, so 

47


r A 

d 

r A,eff 

θ 

r B,eff 

θ 

r B 

Abbildung 4.5: Schematische Darstellung der geometrischen Verhältnisse in einer binären Monolage 

auf einer Oberfläche. In einer solchen zweidimensionalen Realisierung sind die effektiven Radien für die 

Wechselwirkung ausschlaggebend. 

erfahren Kolloide nahe des Substrats eine attraktive Kraft zum Substrat. Dies führt zu 

selbstorganisierter Kondensation einer zweidimensionalen Lage auf das Substrat. Die in 

den Studien von Lin et al. [79] verwendeten strukturierten Substrate bilden durch die so 

induzierte Wechselwirkung eine neue Klasse periodischer Oberflächenpotentiale. 

Bei der Realisierung des in dieser Arbeit untersuchten zweidimensionalen binären Systems 

gilt es folgendes zu beachten. Wählt man eine Variante, die das System gravitativ 

auf dem Substrat hält, so sind die effektiven Radien ausschlaggebend. D.h. die Ebene 

in der die zweidimensionale Fragestellung wohl definiert ist, ist diejenige, in der sich die 

Kugeln mit ihren effektiven Radien berühren. Stark asymmetrische Radienverhältnisse 

können so nicht realisiert werden, da sobald die großen Teilchen sich direkt berühren 

können das System effektiv monodispers wird. Für das in dieser Arbeit betrachtete 

Verhältnis der Teilchendurchmesser σ B /σ A = 0.414, welches einem Radienverhältnis 

von r B /r A = 0.414 entspricht, ist dies aber nicht der Fall. Die Situation ist in Bild 4.5 

dargestellt. Wie man anhand der geometrischen Verhältnisse sehen kann, lassen sich die 

effektiven Radien wie folgt berechnen: 

r A,eff = r A cos Θ und r B,eff = r B cos Θ 

Der Winkel Θ kann aus den Radien direkt berechnet werden. 

d 

= r ( ) 

A − r B 

rA − r B 

= sin Θ ⇒ Θ = arcsin 

r A + r B r A + r B r A + r B 

Die Ebene, in der das zweidimensionale System definiert ist, liegt damit r B (1 + sin Θ) = 

r B (1 + r A−r B 

r A +r B 

) oberhalb des Substrats. Das System ist nicht effektive monodispers, da 

folgende Ungleichung für ein Radienverhältnis von r B /r A = 0.414 erfüllt ist: 

r A,eff + 2r B,eff + r A,eff = 2 cos Θ(r A + r B ) > 2r A 

48


In diesem Fall ist Θ = 24.48 ◦ C, cos Θ = 0.91 und somit 2 cos Θ(r A + r B ) = 2.57. Im 

Gegensatz dazu muß bei einer Realisierung in einer Tropfengeometrie darauf geachtet 

werde, daß beide Kolloidsorten bis zu ihrem Mittelpunkt in die Luft-Wasser Grenzfläche 

eindringen. Realisierungen im großkanonischen Ensemble, haben den Nachteil, daß das 

Mischungsverhältnis der Komponenten fluktuiert. In wie weit ein Abweichen von der 

50% Mischung die Ergebnisse beinflußt, wird im folgenden Ergebnisteil im Abschnitt 

5.4.4 diskutiert. 

49

KAPITEL 5 

Ergebnisse: binäre Mischungen in äußeren Feldern 

5.1. Details der Simulationen 

Bevor die Ergebnisse der Simulationen im Einzelnen vorgestellt werden, werden zunächst 

noch ein paar technische Details, die allen Simulationen der Mischungen in externen 

Feldern gemeinsam sind angegeben. Die ersten Studien an diesen Systemen wurden in 

quadratischen Simulationsboxen mit N = 800 und N = 1800 durchgeführt. Da in diesen 

Systemen jedoch die Phasenkoexistenz des Dreiecksgitters bzw. des rhombischen Gitters 

mit der binären Mischung gefunden wurde, d.h. der Bereich der kontrollierten Entmischung, 

wurde eine Form der Simulationsbox gesucht, die auch einem unverzerrten Dreiecksgitter 

prinzipiell die Möglichkeit gibt in allen Richtungen einen das gesamte System 

durchziehenden Kristalliten zu bilden. Dies ermöglicht für ein System mit N = 1848 eine 

Simulationsbox mit Seitenverhältnis L y /L x = ( √ 1568 + 10/ √ 2)/ √ 1568 ≈ 1.178. Bei der 

Simulation in einer solchen Simulationsbox wird sichergestellt, daß der laser-induzierte 

Übergang in das S 1 (AB) Quadratgitter nicht durch die Form der Simulationsbox künstlich 

begünstigt wird. Die Vorstudien in den quadratischen Simulationsboxen werden hier 

nicht ausführlich vorgestellt. Stattdessen werden die verschiedenen Aspekte der gefundenen 

laser-induzierten Phänomene und der Einfluß der verschiedenen Systemparameter 

auf diese vergleichend an dem System mit N = 1848 in der angepaßten Simulationsbox 

vorgestellt. 

Die Systeme werden jeweils 10 · 10 6 Monte Carlo Schritte äquilibriert und danach für 

weitere 10 · 10 6 Monte Carlo Schritte simuliert. Bei einer direkten Auswertung der interessierenden 

Größen während der Simulationsläufe wird jede zehnte Konfiguration ausgewertet, 

so daß solche Ergebnisse eine Statistik über 10 6 Datensätze aufweisen. Direkt 

ausgewertet wurden vor allem in den Simulationen des Systems mit kommensurabler, 

51


ausschließlicher Ankopplung der kleinen Teilchen an das externe Potential die Paarkorrelationsfunktionen 

und die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Ordnungsparameter S A 

und S B und der Rotationsordnungsparameter Ψ 6 , Ψ 4 und Ψ 8 . In Simulationsläufen mit 

sukzessiv ansteigender Potentialstärke V0 ∗ wurde alle 2500 MCS (in Simulationsläufen 

mit sukzessiv sinkender Anzahldichte ϱ ∗ alle 5000 MCS) eine Konfiguration zur späteren 

Auswertung gespeichert. Dies liefert für die nachträglich ausgewerteten Größen eine 

Statistik über 4000 bzw. 2000 Datensätze. Dies trifft auch auf die für die übrigen Systeme 

vorgestellten Ergebnisse zu. Die Voronoi Diagramme und Delaunay Netzwerke und 

damit auch der Formfaktor und seine Wahrscheinlichkeitsverteilungen wurden in allen 

Systemen aus je 200 Konfigurationen berechnet. Abweichungen von diesen Zahlenwerten 

werden sofern sie vorliegen angegeben. 

5.2. Die Modulierte Flüssigkeit 

In diesem Abschnitt wird zunächst auf den Bereich nicht zu hoher Anzahldichten eingegangen. 

Das externe, in einer Raumrichtung periodisch modulierte Feld bricht die 

Translationssymmetrie der fluiden Phase. Die vorliegende Modulierte Flüssigkeit weist 

je nachdem, welches der drei möglichen Ankopplungsszenarien der Teilchen an das Feld 

vorliegt, unterschiedliche Charakteristiken auf. 

Im feldfreien Fall gehört die betrachtete äquimolare Mischung zu den binären Mischungen, 

in denen die große Teilchensorte das systemüberspannende Netzwerk bildet. Der 

Durchmesser der großen Teilchen gibt die Periodizität im asymptotischen, oszillatorischen 

Verhalten der totalen Paarkorrelationsfunktionen h(r), h AA (r), h AB (r) und h BB (r) 

vor. Dies kann man deutlich in der logarithmischen Darstellung dieser Korrelationsfunktionen 

in Abbildung 5.1 erkennen. Durch die Einwirkung des modulierten, externen 

Feldes wird ein struktureller Übergang in der Mischung induziert. Bei einer Stärke von 

= 2.1 weisen für den Fall, daß ausschließlich die kleinen Teilchen an das externe Feld 

koppeln, alle totalen Paarkorrelationsfunktionen der Mischung bei ϱ ∗ = 1.6 eine Periodizität 

von λ/2 statt σ A /2 auf. Dies gilt insbesondere auch für ln |h AA (r)| = ln |g AA (r) − 1| 

(siehe Abbildung 5.1 a) ), obwohl die großen Teilchen nicht direkt mit dem äußeren Feld 

wechselwirken. Zum Vergleich sind in Abbildung 5.2 die totalen Paarkorrelationsfunktionen 

der Komponenten h AA (r) und h BB (r) für die beiden verbleibenden Ankopplungsmöglichkeiten 

der Teilchensorten bei der gleichen Anzahldichte ϱ ∗ = 1.6 und den 

V ∗ 

0 

Potentialstärken V0 ∗ = 0.0 und V 

∗ 

0 = 2.1 dargestellt. Für den Fall, daß beide Komponenten 

mit dem externen Feld direkt wechselwirken, sieht man, wie zu erwarten, die vom 

äußeren Feld vorgegebene Periodizität in beiden Korrelationsfunktionen. Dagegen zeigt 

im Fall, daß nur die großen Teilchen durch das externe Feld beeinflußt werden, die totale 

Paarkorrelationsfunktion ln |h BB (r)| = ln |g BB (r) − 1| keine Signatur des externen Feldes. 

D.h. in der Modulierten Flüssigkeit ist die kleinere Komponente, sofern sie alleine an 

das externe Feld ankoppelt, in der Lage die Translationssymmetrie der großen Komponente 

zu brechen. Der umgekehrte Fall tritt jedoch nicht ein. Der durch das äußere Feld 

modulierten großen Komponente gelingt es nicht, die ihr aufgezwungene Translations- 

52


a) b) 

ln|g AA 

(r)-1| 

0 

-5 

-10 

0.5λ 

V 0 

* 

= 0.0 

ln|g AB 

(r)-1| 

0 

-5 

-10 

0.5σ Α 

0.5λ 

V 0 

* 

= 0.0 

V 0 

* 

= 2.1 

V 0 

* 

= 2.1 

0 2 4 6 8 10 

-15 

0 2 4 6 8 10 

r 

c) d) 

0 

0.5σ Α 

V 0 

* 

= 0.0 

V 0 

* 

= 2.1 

-15 

0 

r 

V 0 

* 

= 0.0 

V 0 

* 

= 2.1 

ln|g BB 

(r)-1| 

-5 

-10 

0.5λ 

ln|g(r)-1| 

-5 

-10 

0.5σ Α 

0.5λ 

0.5σ Α 

-15 

0 2 4 6 8 10 

r 

-15 

0 2 4 6 8 10 

r 

Abbildung 5.1: Die totalen Paarkorrelationsfunktionen der einzelnen Komponenten der binären Mischung 

a) ln |h AA(r)| = ln |g AA(r) − 1|, b) ln |h AB(r)| = ln |g AB(r) − 1|, c) ln |h BB(r)| = ln |g BB(r) − 1| 

und die totale Paarkorrelationsfunktion des gesamten, fluiden Systems d)ln |h(r)| = ln |g(r) − 1|. In dem 

System wechselwirken ausschließlich die kleinen Teilchen mit dem externen Feld. Zum Vergleich sind die 

Verläufe der Funktionen bei ϱ ∗ = 1.6 bei Potentialstärken von V0 ∗ = 0.0 in der isotropen Flüssigkeit und 

V0 ∗ = 2.1 in der Modulierten Flüssigkeit abgebildet. 

ordnung indirekt auf die kleine Komponente der Mischung zu übertragen. Bei der bisher 

betrachteten Anzahldichte ϱ ∗ = 1.6 weisen auch die Paarkorrelationsfunktionen g AA (⃗r), 

g AB (⃗r) und g BB (⃗r) ein recht unterschiedliches Verhalten auf. Abbildung 5.3 zeigt zum 

Vergleich jeweils die Korrelationsfunktionen für die isotrope Flüssigkeit bei V0 ∗ = 0.0 

und für die Modulierte Flüssigkeit bei V0 ∗ = 2.1 für die ausschließliche Ankopplung der 

kleinen Komponente an das Feld. Die Grauskala ist so gewählt, daß jeweils das Maximum 

der Funktion weiß und ihr Minimum schwarz dargestellt ist. Während g AA (⃗r) noch 

wie für V0 ∗ = 0.0 die Signatur der isotropen Flüssigkeit, konzentrische Kreise für kleine 

Abstände r, aufweist, zeigen g AB (⃗r) und vor allem g BB (⃗r) deutlich die Signatur einer 

Modulierten Flüssigkeit, Streifen entlang der Minima des äußeren Feldes. 

Vergleicht man die Teilchenkonfigurationen, die bei den drei Ankopplungsmöglichkeiten 

der Teilchensorten in diesem Punkt des Phasenraums (ϱ ∗ = 1.6 und V0 ∗ = 2.1) vorliegen 

direkt, so erkennt man, daß die in Abbildung 5.4 gezeigten Beispielkonfigurationen der 

Simulationen sich stark unterscheiden. In Abbildung 5.4 a) ist eine Konfiguration für 

den Fall der Wechselwirkung der kleine Teilchen mit dem externen Feld dargestellt. Wie 

53


a) b) 

ln|g AA 

(r)-1| 

0 

-5 

-10 

0.5λ 

V 0 

* 

= 0.0 

ln|g BB 

(r)-1| 

0 

-5 

-10 

V 0 

* 

= 0.0 

V 0 

* 

= 2.1 

0.5σ Α 

-15 

0 2 4 6 8 10 

r 

V 0 

* 

= 2.1 

0 2 4 6 8 10 

-15 

r 

0.5σ Α 

c) d) 

0 

0.5λ 

V 0 

* 

= 0.0 

V 0 

* 

= 2.1 

0 

0.5λ 

V 0 

* 

= 0.0 

V 0 

* 

= 2.1 

ln|g AA 

(r)-1| 

-5 

-10 

ln|g BB 

(r)-1| 

-5 

-10 

0.5σ Α 

-15 

0 2 4 6 8 10 

r 

0.5σ Α 

-15 

0 2 4 6 8 10 

r 

Abbildung 5.2: Die totalen Paarkorrelationsfunktionen der einzelnen Komponenten der binären Mischung 

a) ln |h AA(r)| = ln |g AA(r) − 1| und b) ln |h BB(r)| = ln |g BB(r) − 1| in einem System mit ausschließlicher 

Wechselwirkung der großen Teilchen mit dem externen Feld. Analog in c) und d) die totalen 

Paarkorrelationsfunktionen ln |h AA(r)| = ln |g AA(r) − 1| und ln |h BB(r)| = ln |g BB(r) − 1| in einem System, 

in dem beide Teilchensorten an das externe Feld koppeln. In beiden Fällen sind zum Vergleich die 

Verläufe der Funktionen bei ϱ ∗ = 1.6 bei Potentialstärken von V0 ∗ = 0.0 in der isotropen Flüssigkeit und 

V0 ∗ = 2.1 abgebildet. 

man nach der Analyse der Korrelationsfunktionen erwartet, sieht die Konfiguration auf 

den ersten Blick ungeordnet aus. Im Gegensatz dazu zeigen die Konfigurationen für den 

Fall, daß beide Teilchensorten mit dem Feld wechselwirken sichtbar in Abbildung 5.4 b) 

und für den Fall, daß nur die großen Teilchen mit dem Feld wechselwirken (siehe Abbildung 

5.4 c)) eine lokale Ordnung. In Abbildung 5.4 b) überwiegt die Anordnung der 

Teilchen in einem S 1 (AB) Quadratgitter, so daß man sich auch auf den Standpunkt stellen 

kann, daß ein Quadratgitter mit lokalen Störungen vorliegt. Abbildung 5.4 c) weist 

hingegen große Bereiche auf, in denen ausschließlich große Teilchen ein monodisperses, 

rhombisches Gitter bilden. Zusätzlich zu den Beispielkonfigurationen sind in Abbildung 

5.4 jeweils auch die durch die Delaunay Triangulation gewonnenen Netzwerke und die 

Zerlegung einer Konfiguration in Voronoi Zellen dargestellt. Wie bereits in Kapitel 3, 

in dem die verschiedenen Analyse-Methoden vorgestellt wurden, ausgeführt sind in der 

Darstellung der Netzwerke, Verbindungen zwischen großen Teilchen schwarz, Verbindung 

zwischen kleinen Teilchen rot und solche zwischen unterschiedliche Teilchensorten grün 

54


a) g AA(r) 

b) g AB(r) 

c) 

g (r) BB 

V 

* 

= 0.0 

0 

* 

V = 0.0 

0 

V 

* 

= 0.0 

0 

V 

* 

0 = 2.1 V 

* 

0 = 2.1 V 

* 

0 = 2.1 

Abbildung 5.3: Grauskalendarstellung der Paarkorrelationsfunktionen a) g AA(⃗r), b) g AB(⃗r) und c) 

g BB(⃗r) in einem System mit ausschließlicher Wechselwirkung der kleinen Teilchen mit dem externen 

Feld bei einer Anzahldichte von ϱ ∗ = 1.6. Zum Vergleich der isotropen Flüssigkeit mit der Modulierten 

Flüssigkeit sind jeweils zwei Potentialstärken abgebildet. 

dargestellt. Voronoi Zellen mit 4 Ecken sind in grün, solche mit 5 in blau und sechseckige 

in rot abgebildet. Alle übrigen Voronoi Zellen sind grau dargestellt. Vor allem 

die monodispersen, rhombischen Regionen im dritten Fall werden in der Darstellung der 

Voronoi Zellen sichtbar. Die quantitative Auswertung der Voronoi Zellen erfolgt über die 

Berechnung des Formfaktors und dessen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Diese sind in 

Abbildung 5.5 für die drei Fälle bei einer Anzahldichte von ϱ ∗ = 1.60 und verschiedenen 

Stärken des äußeren Potentials zu sehen. Im System mit Ankopplung der kleinen 

Teilchen an das Feld (Abbildung 5.5 a)) bleibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung des 

Formfaktors P (ζ) auch noch bei Potentialstärken von V0 ∗ = 6.0 die breite Verteilung, 

welche regelmäßige Sechsecke, Fünfecke und Quadrate umfaßt, die sie auch in der isotropen 

Flüssigkeit ist. Im Gegensatz dazu zeigen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die 

beiden anderen Fälle deutlich eine Änderung der Strukturen im System mit steigender 

Potentialstärke. Sie zeigt, wenn beide Teilchensorten mit dem externen Feld wechselwirken, 

für V0 ∗ = 2.1 ein breites Maximum nahe den Werten eines Quadrates ζ = 1.273. 

Dieses nähert sich mit ansteigendem V0 ∗ immer mehr dem Wert des Quadrats. Zusätzlich 

entwickelt sich ein deltaförmiges Maximum für die Quadratstruktur selbst. Bei kleineren 

Potentialstärken V0 ∗ hingegen erkennt man ein scharfes Maximum bei ζ = 1.1026. Dies 

55


a) b) c) 

Abbildung 5.4: Vergleich der vorliegenden Phase für die drei möglichen Szenarien der Ankopplung der 

Teilchensorten an das externe Feld bei einer Anzahldichte von ϱ ∗ = 1.6 und einer Potentialstärke von 

V0 ∗ = 2.1. a) Nur die kleine Teilchensorte, b) beide Teilchensorten und c) nur die große Teilchensorte 

wechselwirkt mit dem externen Potential. Dargestellt sind jeweils als Beispiel eine Konfiguration, eine 

Delaunay Triangulation und eine Darstellung der Voronoi Zellen. 

56


a) 

P(ζ) 

15 

10 

5 

* 

V 0 = 0.3 

* 

V 0 = 0.9 

* 

V 0 = 2.1 

* 

V 0 = 6.0 

b) 

P(ζ) 

0 

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 

ζ 

15 

10 

5 

V 0 

* 

= 0.3 

V 0 

* 

= 0.9 

V 0 

* 

= 2.1 

V 0 

* 

= 8.1 

c) 

P(ζ) 

0 

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 

ζ 

15 

10 

5 

V 0 

* 

= 0.3 

V 0 

* 

= 0.9 

V 0 

* 

= 2.1 

V 0 

* 

= 11.4 

0 

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 

ζ 

Abbildung 5.5: Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Formfaktors P (ζ) bei einer Anzahldichte von 

ϱ ∗ = 1.6 für verschiedene Potentialstärken von V0 ∗ . Für ein System, in dem a) ausschließlich die kleine 

Komponente der Mischung mit dem externen Feld wechselwirkt, b) beide Komponenten mit dem externen 

Feld wechselwirken und c) ausschließlich die große Komponente mit dem externen Feld wechselwirkt. 

57


a) 

g (r) AA 

g (r) AB 

g (r) BB 

b) 

g (r) AA 

g (r) AB 

g (r) BB 

Abbildung 5.6: Die Paarkorrelationsfunktionen g AA(⃗r), g AB(⃗r) und g BB(⃗r) bei ϱ ∗ = 1.6 und a) V0 ∗ = 

0.6 in einem System, in dem beide Teilchensorten mit dem externen Feld wechselwirken, b) V0 ∗ = 0.6 in 

einem System, in dem nur die großen Teilchen mit dem externen Feld wechselwirken. 

ist ein erster Hinweis auf das Laser Induzierte Entmischen (LID). Indem das Signal 

für die Quadratstruktur anwächst, verschwindet das Signal des regelmäßigen Sechsecks. 

Im Fall, daß nur die großen Teilchen an das externe Feld koppeln (siehe Abbildung 5.5 

c)) bleibt die breite Verteilung von ζ als Untergrund nahezu erhalten. Mit Ansteigen 

der Potentialstärke V0 ∗ entwickelt sich jedoch ein Maximum nahe ζ = 1.1026. Dies ist 

ein Hinweis auf das Laser Induzierte Entmischen. In diesem Fall steigt der Anteil an 

quadratischen Strukturen im System nicht, so daß auch bei hohen Potentialstärken kein 

Signal für Quadratgitterstrukturen sichtbar wird. Wie die Analyse gezeigt hat, befindet 

man sich nur für die ausschließliche Ankopplung der kleinen Teilchen an das externe 

Feld, im Bereich eines Modulierten Fluids. Dies wirft die Frage auf, ob die beiden anderen 

Situationen prinzipiell überhaupt bei der betrachteten Anzahldichte ϱ ∗ = 1.6 eine 

solche Phase aufweisen. Abbildung 5.6 a) zeigt die Paarkorrelationsfunktionen für die Situation, 

daß beide Teilchensorten mit dem Feld wechselwirken bei einer Potentialstärke 

= 0.6. In diesem Punkt des Phasenraums zeigen alle drei Paarkorrelationsfunktionen 

die für die Modulierte Flüssigkeit typischen Streifen entlang der Minima des externen 

Feldes. Diese sind jedoch im Vergleich zu denen in Abbildung 5.4 c) schwach ausgeprägt 

und von konzentrischen Kreisen überlagert. Auch zeigt g AA (⃗r) bereits bei dieser geringen 

Potentialstärke ein zusätzliches, diskretes Signal des entstehenden rhombischen Gitters. 

Bezüglich der kleinen Komponente des Mischung liegt eine Modulierte Flüssigkeit vor, 

V ∗ 

0 

58


a) 

g (r) 

nn 

g (r) cc 

g (r) 

nc 

* 

V = 0.0 

0 

b) 

g (r) 

nn 

g (r) cc 

g (r) 

nc 

c) 

g (r) 

nn 

g (r) cc 

g (r) 

nc 

d) 

g (r) 

nn 

g (r) cc 

g (r) 

nc 

Abbildung 5.7: Vergleich der Korrelationsfunktionen der Anzahldichte g nn(⃗r), der Konzentration g cc(⃗r) 

und der Kreuzkorrelationen g nc(⃗r) in Systemen mit Anzahldichte ϱ ∗ = 1.6 und Potentialstärke V0 ∗ = 2.1 

für die drei möglichen Ankopplungsszenarien der Teilchensorten an das äußere Feld. Die Grauskala für 

die Funktionen ist gekappt. Minima sind in schwarz, Maxima in weiß dargestellt. Die Kappung erfolgt 

für g nn(⃗r) und g nc(⃗r) bei 0.3 · g nn 

(max) bzw. 0.3 · g nc 

(max) und für g cc(⃗r) bei 0.3 · g (min) 

cc . 

59


bezüglich der großen ist dies aber bereits keine reine Phase mehr. Die Situation ist ähnlich 

im Fall, daß nur die großen Teilchen an das externe Feld koppeln. Abbildung 5.6 

b) zeigt die Paarkorrelationsfunktionen bei V0 ∗ = 0.6. Hier verhält sich g AA(⃗r) wie im 

gerade diskutierten Fall und liegt daher nicht als reine Modulierte Flüssigkeit vor. Die 

kleine Komponente wechselwirkt nicht mit dem Feld und zeigt daher die Signatur einer 

isotropen Flüssigkeit. 

Wie wirkt sich der Einfluß des äußeren Feldes auf die Korrelationen in der Anzahldichte, 

der Konzentration und der Kreuzkorrelation dieser Größen aus? Diese sind in 

Abbildung 5.7 b)-d) für die verschiedenen Ankopplungsmöglichkeiten der Teilchensorten 

vergleichend für ϱ ∗ = 1.6 und V0 ∗ = 2.1 dargestellt. Um einen guten Kontrast in den 

einzelnen Bildern zu erhalten wurde jeweils die Grauskala für die Funktionen gekappt. 

Minima sind in schwarz, Maxima in weiß dargestellt. Die Kappung erfolgt für g nn (⃗r) und 

g nc (⃗r) bei 0.3 · g nn 

(max) 

bzw. 0.3 · g nc 

(max) 

und für g cc (⃗r) bei 0.3 · g cc 

(min) 

. Um die Unterschiede 

in den Korrelationsfunktionen zu denen in der isotropen Flüssigkeit zu verdeutlichen, 

zeigt Abbildung 5.7 a) diese für den Fall V0 ∗ = 0.0. Vor allem in den Korrelationsfunktionen 

der Anzahldichte g nn (⃗r) wird die Ankopplung an das modulierte, externe Feld 

direkt durch ein Streifenmuster im Bereich größerer Abstände r sichtbar. In diesem Bereich 

ist g nn (⃗r) in der isotropen Flüssigkeit bereits auf das Kontinuum, d.h. Werte nahe 

1 abgefallen. Besonders an der Änderung der ersten drei Maxima lassen sich die drei 

möglichen Ankopplungen der Teilchensorten an das Feld unterscheiden. Koppeln nur 

die kleinen Teilchen an (Abbildung 5.7 b)), so zeigt das erste Maximum deutlich die 

Vorzugsausrichtung der kleinen Teilchen entlang der y-Achse. Dies ist auch im ersten 

Maximum der Korrelationsfunktion der Konzentrationen g cc (⃗r) und im Minimum der 

Kreuzkorrelationen g nc (⃗r) zu erkennen. Koppelt nun zusätzlich auch die große Komponente 

an das äußere Feld Abbildung 5.7 c)), so geht das erste Maximum in g nn (⃗r) stark 

zurück, da kleine Teilchen selten nächste Nachbarn von kleinen Teilchen sind. Statt dessen 

wächst das zweite Maximum stark an und wird zu vier diskreten Maxima. Diese und 

das Aufbrechen des Streifenmusters zeigen das sich bildenende S 1 (AB) Quadratgitter 

an, welches auch sehr deutlich in den Korrelationen der Konzentration g cc (⃗r) sichtbar 

wird. Im Gegensatz dazu zeigen die Korrelationsfuntktionen für eine ausschließliche Ankopplung 

der großen Komponente an das externe Feld ein diskretes, sechsfaches Signal. 

Die Signatur des rhombischen Gitters. Dabei bleibt das erste Maximum der Korrelationsfunktionen 

g nn (⃗r) und g cc (⃗r), bzw. Minimun in der Kreuzkorrelationsfunktion g nc (⃗r) 

von der Modulation des externen Felds unbeeinflußt ein konzentrischer Ring. Es ist das 

dritte Maximum, welches durch die Beiträge der Paarkorrelationsfunktion g AA (⃗r) dominiert 

wird, welches das diskrete Signal aufweist. Auch hier wird das Streifenmuster der 

Modulierten Flüssigkeit in der Korrelationsfunktion der Anzahldichte g nn (⃗r) durch das 

diskrete Signal aufgebrochen. Ein Zeichen für die Anwesenheit der rhombischen Kristallite. 

60


5.3. Die kontrollierte Entmischung 

Das Laser Induzierte Entmischen (LID) der binären, äquimolaren Mischung läßt sich 

gut mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Formfaktors sichtbar machen. Dazu 

betrachtet man zunächst die feldfreie Situation in Abbildung 5.8. Abbildung 5.8 c) zeigt 

P (ζ) für verschiedene Anzahldichten ϱ ∗ . Die Verteilung bildet mit steigender Dichte 

Maxima in ζ = 1.1026 und ζ = 1.273 aus. Diese sind durch regelmäßige Sechsecke der 

großen Teilchen und quadratische Strukturen bedingt, welche eine optimale Packung 

der Teilchen erlauben. Wie zu erwarten steigt die Häufigkeit solcher lokaler, dichter 

Packungen mit steigender Anzahldichte an. Zur Veranschaulichung sind in Abbildung 

5.8 a) und b) typische Voronoi Diagramme, wie man sie bei ϱ ∗ = 1.6 und ϱ ∗ = 1.71 findet, 

gezeigt. Besonders auffällig sind in Abbildung 5.8 b) die lokalen Sechseckstrukturen, die 

jedoch während des Simulationslaufs auftauchen und wieder verschwinden und daher 

keine Koexistenz eines rhombischen Kristalls mit einer binären Flüssigkeit darstellen. 

Die im Bereich der kontrollierten Entmischung aufgenommenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

P (ζ) müssen immer im Vergleich zu der jeweiligen im feldfreien Fall aufgenommenen 

Verteilung betrachtet werden. Abbildung 5.9 zeigt diese für vier verschiedene 

Potentialstärken V0 ∗ für Systeme mit einer Anzahldichte von ϱ∗ = 1.71. Die für 

V ∗ 

0 

= 0.0 erhaltene Verteilung ist jeweils zum Vergleich auch eingezeichnet. Verglichen 

werden die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die ausschließliche Ankopplung der kleinen 

Komponente an das modulierte, äußere Feld (rot) mit dem Fall der Ankopplung 

beider Teilchensorten (blau) und dem der ausschließlichen Ankopplung der großen Komponente 

an das Feld (grün). Bei einer geringen Potentialstärke von V0 ∗ = 0.1 zeigt sich 

noch keine signifikante Veränderung der Verteilungen. Der Anteil der Strukturen nahe 

des regelmäßigen Sechsecks ist für die Systeme, in denen die kleinen Teilchen, aber auch 

in dem System, in dem beide Teilchensorten an das Feld ankoppeln, leicht erhöht. Eine 

signifikante Abweichung der Verteilungen von der des feldfreien Falls erkennt man 

∗ 

a) ρ = 1.60 b) ρ = 1.71 c) 

∗ 

P(ζ) 

20 

15 

10 

ρ * = 1.60 

ρ * = 1.64 

ρ * = 1.66 

ρ * = 1.68 

ρ * = 1.71 

5 

0 

1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 

ζ 

Abbildung 5.8: Das System bei V ∗ 

0 = 0.0. Gezeigt werden Voronoi Diagramme, wie man sie aus 

typischen Teilchenkonfigurationen bei a) ϱ ∗ = 1.60 und b) ϱ ∗ = 1.71 berechnet. c) Gezeigt ist die 

Wahrscheinlichkeitsverteilung des Formfaktors P (ζ) in Abhängigkeit von der Anzahldichte ϱ ∗ . 

61


a) b) 

P(ζ) 

50 

40 

30 

20 

* 

V = 0.1 

0 

V 0 

* = 0.0 

BB 

AB 

AA 

P(ζ) 

50 

40 

30 

20 

* 

V = 0.9 

0 

V 0 

* = 0.0 

BB 

AB 

AA 

10 

10 

P(ζ) 

0 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

1.1 1.2 1.3 

ζ 

c) d) 

V = 2.1 

V 0 

* = 0.0 

* 

0 

BB 

AB 

40 

* 

0 

AA 

1.1 1.2 1.3 

ζ 

P(ζ) 

0 

50 

30 

20 

10 

0 

1.1 1.2 1.3 

ζ 

V = 3.0 

V 0 

* = 0.0 

BB 

AB 

AA 

1.1 1.2 1.3 

ζ 

Abbildung 5.9: Vergleichende Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Formfaktors ζ in 

Systemen mit ϱ ∗ = 1.71 bei unterschiedlicher Ankopplung der Teilchensorten an das äußere Feld. Zur 

Orientierung ist jeweils auch in schwarz die Verteilung für den feldfreien Fall eingezeichnet. a) Sehr niedrige 

Potentialstärken V0 ∗ = 0.1 bewirken kaum eine Änderung in den Verteilungen. b) Bei V0 ∗ = 0.9 weisen 

alle Systeme einen starken Zuwachs im Bereich der regelmäßigen, sechseckigen Voronoi Zellen auf. c) Im 

System mit Ankopplung der kleinen Teilchen an das Feld ist das Maximum der hexagonalen Strukturen 

verschwunden und ein breites Maximum nahe des Bereichs der Quadratstrukturen entstanden. Auch 

das System mit Ankopplung beider Teilchensorten an das externe Feld zeigt eine solche Änderung der 

Verteilung, die aber noch nicht vollständig abgeschlossen ist. d) Bei V0 ∗ = 3.0 zeigt nur noch das System 

mit ausschließlicher Wechselwirkung der großen Teilchen mit dem modulierten Potential ein breites 

Maximum für Sechseckstrukturen. Eine ausführlichere Diskussion ist im Text gegeben. 

bei V0 ∗ = 0.9 in Abbildung 5.9 b). Der Anteil der regelmäßigen Sechsecke ist für den 

Fall, daß nur die kleinen Teilchen mit dem externen Feld wechselwirken, stark gestiegen 

(rot). Ein solcher Anstieg, wenn auch nicht ganz so stark, ist auch zu beobachten, 

wenn zusätzlich die großen Teilchen mit dem Feld wechselwirken (blau). In diesem Fall 

wächst jedoch gleichzeitig der Anteil der quadratischen Strukturen auch leicht an. Ein 

komplett anderes Verhalten zeigt das in grün abgebildete System mit ausschließlicher 

Ankopplung der großen Teilchen an das Feld. Das Maximum der quadratischen Strukturen 

wird unterdrückt und ein breites Maximum nahe ζ = 1.1026 entwickelt sich. Dieses 

ist breiter als das im ersten Fall (rot) auftretende Maximum und ist ein Zeichen dafür, 

daß sich ein monodisperses rhombisches Gitter der großen Teilchen bildet, da das regelmäßige 

Dreiecksgitter nicht kommensurabel mit der Modulation des äußeren Feldes 

62


ist. Die Voronoi Zellen dieses Gitters sind keine regelmäßigen Sechsecke, was zu einer 

Verschiebung und auch Verbreiterung des Maximums in der Wahrscheinlichkeitsverteilung 

der Formfaktors der Voronoi Zellen P (ζ) führt. Abbildung 5.9 c) zeigt die Systeme 

bei V0 ∗ = 2.1. Bei dieser Stärke des externen Potentials hat im System mit Ankopplung 

der kleinen Teilchen an das Feld bei der vorliegenden Anzahldichte bereits der laserinduzierte 

Übergang in das S 1 (AB) Quadratgitter (LIF) stattgefunden. Die Verteilung 

zeigt ein breites Maximum, welches zu Werten nahe der Quadratstruktur verschoben 

ist. Das Maximum der Sechseckstrukturen ist dagegen komplett verschwunden. Bei der 

zusätzlichen Ankopplung der großen Komponente an das äußere Feld (blau) ist dieser 

Übergang hingegen noch nicht komplett vollzogen worden. Rhombische Strukturen der 

großen Teilchen, welche sich einmal in diesem System gebildet haben, werden durch das 

externe Feld stabilisiert. Der Anteil der Sechseckstrukturen ist zwar deutlich gegenüber 

dem feldfreien Fall reduziert, das Quadratgitter hat sich aber noch nicht defektfrei ausbilden 

können. Im Kontrast zu diesen Änderungen in den Wahrscheinlichkeitsverteilungen, 

zeigt das System mit ausschließlicher Ankopplung der großen Teilchen an das externe 

Feld keine signifikante Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Formfaktors 

(grün) mehr mit ansteigender Potentialstärke. Das breite Maximum nahe ζ = 1.1026 der 

rhombischen Struktur bleibt auch bei V0 ∗ = 3.0 in Abbildung 5.9 d) erhalten. Bei dieser 

Potentialstärke hat sich das Quadratgitter für den Fall, daß beide Teilchensorten mit 

dem Feld wechselwirken, weiter ausgebildet. Das Maximum der Sechseckstrukturen ist 

verschwunden. Dennoch zeigt die Verteilung weiterhin ein zweites breites Maximum im 

Bereich der regelmäßigen Fünfecke. Dies deutet darauf hin, daß das System noch immer 

stark defektbelastet ist. 

Da das System mit ausschließlicher Ankopplung der kleinen Komponente der Mischung 

an das modulierte, externe Feld den Übergang von der Flüssigkeit in den Bereich der 

Laser Induzierten Entmischung und daraufhin in den ’locked floating solid’, d.h. das 

S 1 (AB) Quadratgitter, am deutlichsten zeigt, ist die Abfolge der einzelnen Phasen in 

diesem System noch einmal in einer Übersicht in Abbildung 5.10 zusammengestellt. 

Abbildung 5.10 a) zeigt die bereits diskutierte Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

des Formfaktors P (ζ) mit zunehmender Potentialstärke V0 ∗ . Zur Verdeutlichung 

der Veränderung in den Verteilungen ist in Abbildung 5.10 b) die Differenz der 

Verteilungen ∆P (ζ) = P (ζ; V0 ∗) 

− P (ζ; V 0 ∗ = 0.0) aufgetragen. Dies verdeutlicht den 

starken Anstieg des Anteils der regelmäßigen Sechsecke in den Voronoi Diagrammen 

bei kleinen Potentialstärken und hebt das breite Maximum, welches sich beim Übergang 

in das S 1 (AB) Quadratgitter ausbildet deutlich vom Hintergrund der Verteilung 

hervor. Zusätzlich sind in Abbildung 5.10 c)-f) für verschiedene Potentialstärken V0 

∗ 

exemplarisch die Überlagerung der Teilchenpositionen der großen Teilchen (korrigiert 

gegen mögliche Bewegungen des Schwerpunkts des Systems) und typische Voronoi Diagramme 

dargestellt. Im Entmischungsbereich in Abbildung 5.10 d) erkennt man in beiden 

Darstellungen den tropfenförmigen, phasenseparierten Bereich des Dreiecksgitters. 

Besonders die Überlagerung der Teilchenkonfigurationen verdeutlicht, daß der Tropfen 

während der gesamten Simulation stabil bleibt. Im Übergangsbereich (Abbildung 5.10 

e)) bei V ∗ 

0 

= 1.2 konkurrieren Domänen mit Quadratgitterstruktur mit solchen mit Drei- 

63


a) 

60 

P(ζ) 

50 

40 

30 

20 

10 

V* 

0 

= 0.0 

V* 

0 

= 0.1 

V* 

0 

= 0.3 

V* 

0 

= 0.6 

V* 

0 

= 0.9 

V* 

0 

= 1.2 

V* 

0 

= 1.3 

V* 

0 

= 1.4 

V* 

0 = 1.5 

V* 

0 = 2.1 

V* 

0 = 3.0 

V* 

0 

= 4.8 

0 

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 

ζ 

c) d) 

b) 50 

∆P(ζ) 

40 

30 

20 

10 

0 

V* 

0 

= 0.1 

V* 

0 

= 0.3 

V* 

0 

= 0.6 

V* 

0 

= 0.9 

V* 

0 

= 1.2 

V* 

0 

= 4.8 

1.1 1.2 1.3 

ζ 

e) f) 

V = 0.0 

* * 

0 

0 

V = 0.6 

* 

V = 1.2 

0 

* 

V = 4.8 

0 

Abbildung 5.10: Das System bei ϱ ∗ = 1.71 bei ausschließlicher Wechselwirkung der kleinen Teilchen 

mit dem Substratpotential. a) Wahrscheinlichkeitsverteilung des Formfaktors ζ. b) Die Differenz der 

Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Formfaktors ∆P (ζ) = P (ζ; V0 ∗ ) − P (ζ; V0 ∗ = 0.0) zeigt die Veränderungen 

in den Verteilungen im Vergleich zum feldfreien Fall. c)-f) Zeigen jeweils die Überlagerung der 

Teilchenpositionen der großen Teilchen und die Voronoi Diagramme (rot: Sechsecke, blau: Fünfecke und 

grün: Vierecke) einer typischen Teilchenkonfiguration für verschiedene Potentialstärken V0 ∗ . 

ecksgitterstruktur. Das Quadratgitter setzt sich bei höheren Potentialstärken durch. Die 

Überlagerung der Teilchenkonfigurationen in Abbildung 5.10 f) zeigt dies deutlich. Da 

der ’locked floating solid’ nur durch die Wechselwirkung der kleinen Teilchen mit dem 

externen Potential stabilisiert wird, können sich die großen Teilchen lokal relativ leicht 

wieder umordnen. Dies führt zu dem leicht grauen Bereich im oberen Abschnitt der Abbildung. 

Betrachtet man das Voronoi Diagramm, so erkennt man, daß dieses nicht etwa 

von grün dargestellten Vierecken dominiert wird, sondern die meisten Voronoi Zellen 

Sechsecke (in rot dargestellt) sind. Diese haben jedoch einen nahezu quadratischen Umriss, 

was erklärt, warum P (ζ) statt eines einzelnen, ausgeprägten Maximums in ζ = 1.273 

64


g (r) 

cc 

g (r) 

nn 

g (r) 

AA 

g (r) 

BB 

* 

V 0 = 0.0 

V = 0.5 0 * 

V = 1.2 0 * 

V = 4.8 0 * 

Abbildung 5.11: Die Korrelationsfunktionen der Anzahldichte g nn(⃗r) und der Konzentration g cc(⃗r) und 

die Paarkorrelationsfunktionen g AA(⃗r) und g BB(⃗r) in einen System mit ausschließlicher Ankopplung der 

kleinen Teilchen an das externe Feld bei ϱ ∗ = 1.71 und zunehmender Potentialstärke V0 ∗ . 

zusätzlich ein Breites Maximum nahe dieses Wertes in der Quadratgitter-Phase aufweist. 

Auch die Paarkorrelationsfunktionen und die Korrelationsfunktionen der Anzahldichte 

und der Konzentration zeigen die Signaturen der Phasen, welche das System mit steigender 

Potentialstärke durchläuft. Die Korrelationsfunktionen sind in Abbildung 5.11 

zusammengestellt. In dieser Übersicht erkennt man auch den Vorteil, welchen die Betrachtung 

der Korrelationsfunktionen der Anzahldichte g nn (⃗r) und der Konzentration 

g cc (⃗r) gegenüber der direkten Betrachtung der Paarkorrelationsfunktionen der einzelnen 

Komponenten der Mischung mit sich bringt. Die auftretenden Strukturen treten in diesen 

Korrelationsfunktionen deutlicher hervor. Besonders deutlich wird die Dreiecksstruktur 

65


im Entmischungsbereich durch das diskrete, sechsfache Signal der Korrelationsfunktion 

der Anzahldichte g nn (⃗r) für V0 ∗ = 0.5, welches im für V 

∗ 

0 = 0.0 strukturlosen Kontinuumsbereich 

der Korrelationsfunktion und im durch g AA (⃗r) hervorgerufenen dritten 

Maximum der Korrelationsfunktion sichtbar ist. Im Übergangsbereich bei V0 ∗ = 1.2 

kommt ein diskretes, vierfaches Signal im zweiten Maximum der Korrelationsfunktion 

hinzu, welches durch das mit den Dreiecksgitterdomänen konkurrierenden Quadratgitter 

erzeugt wird. Im Bereich des S 1 (AB) Quadratgitters bei z.B. V0 ∗ = 4.8 zeigt die Korrelationsfunktion 

der Anzahldichte g nn (⃗r) über den gesamten aufgenommenen Bereich 

klar die Qudratgitterstrukur an. Die Paarkorrelationsfunktionen g AA (⃗r) und g BB (⃗r) zeigen 

die auftretenden Strukturen zwar auch. In ihnen macht sich jedoch die Mittelung 

über verschiedene Positionierungen des Ursprungs der Korrelationsfunktionen bei deren 

Berechnung stärker bemerkbar. So ist im Bereich der Entmischung das diskrete 

Signal der Dreiecksgitterstruktur in g AA (⃗r) mit dem grauen, strukturlosen Untergrund 

des Kontinuums aus der fluiden Phase überlagert. Im Bereich der Koexistenz des S 1 (AB) 

Quadratgitters mit der fluiden Phase sorgt diese auch für die Überlagerung zueinander 

verschobener Signale des Quadratgitters und des Kontinuums in g AA (⃗r) und g BB (⃗r). 

Die Grenzen des Bereichs der Laser Induzierten Entmischung lassen sich nur schwer 

exakt gegenüber der Modulierten Flüssigkeit und dem Übergangsbereich in den ’locked 

floating solid’ abgrenzen. Das Phänomen tritt grob abgeschätzt in einem Bereich von 

1.65 < ϱ ∗ ≤ 1.725 und 0.1 < V0 ∗ < 1.5 auf. Dies entspricht einem Bereich der Packungsdichte 

η ca. 75−80%. Abbildung 5.12 zeigt eine etwas genauere Abschätzung der Phasengrenzen, 

welche durch die Auswertung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Formfaktors 

P (ζ) und der Betrachtung der Überlagerung der Teilchenkonfigurationen der großen 

Teilchen gewonnen wurde. Die blau eingezeichneten, horizontalen Linien, stehen für Simulationsläufe, 

für die keine Laser Induzierte Entmischung festgestellt werden konnten. 

Für niedrigere Dichten bleibt das System eine Modulierte Flüssigkeit, während für höhere 

Dichten, direkt Dreiecksgitterdomänen mit Quadratgitterdomänen konkurrieren. 

Der Fall, in dem nur die großen Teilchen mit dem äußeren Feld wechselwirken, unterscheidet 

sich stark von dem eben vorgestellten Szenario. In Abbildung 5.13 ist eine Übersicht 

für dieses System bei einer Anzahldichte von ϱ ∗ = 1.71 bei ansteigender Potentialstärke 

analog zu der in Abbildung 5.10 gezeigten Übersicht für das System mit ausschließlicher 

Ankopplung der kleinen Komponente an das externe Feld gezeigt. In der Differenz 

der Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Formfaktors ∆P (ζ) = P (ζ; V0 ∗ )−P (ζ; V 

∗ 

0 = 0.0) 

in Abbildung 5.13 b) tritt das breite Maximum der phasenseparierten, rhombischen 

V ∗ 

0 

Struktur deutlich hervor. Es entwickelt sich mit steigendem V0 ∗ jedoch kein Maximum, 

welches das Entstehen von quadratischen Strukturen anzeigen würde. Die rhombische 

Struktur wird auch in den Überlagerungen der Teilchenkonfigurationen der großen Teilchen 

in den Abbildungen 5.13 d)-f) gut sichtbar. Auffallend ist jedoch, daß im Gegensatz 

zu dem zuvor diskutierten Fall, der rhombische Kristall nicht tropfenförmig ist. Die 

Grenzfläche zwischen Kristallit und binärer Flüssigkeit ist sehr unregelmäßig, d.h. das 

System versucht nicht die Grenzfläche zwischen den Phasen zu minimieren. Dieses Verhalten 

ist ungewöhnlich, da die Bildung einer Grenzfläche das System zumeist Energie 

kostet. In keiner der Simulationen mit ausschließlicher Ankopplung der großen Kompo- 

66


1.74 

80.0 

1.71 

Übergangs− 

78.7 

ρ * 

1.68 

Entmischung 

bereich 

77.3 

η [%] 

1.65 

Modulierte Flüssigkeit 

75.9 

0 0.5 1 1.5 2 

V 0 

* 

Abbildung 5.12: Das Phasendiagramm des Systems mit ausschließlicher Wechselwirkung der kleinen 

Teilchen mit dem externen Potential im Bereich der kontrollierten Entmischung. Die Phasengrenzen 

wurden durch die Auswertung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Formfaktors P (ζ) und die 

Betrachtung der Überlagerung der Teilchenkonfigurationen der großen Teilchen gewonnen. In den Bereichen 

unterhalb (bzw. oberhalb) der durchgezogenen, horizontalen Linien wurde keine kontrollierte 

Entmischung gefunden. 

nente der Mischung an das modulierte Feld wurde die Ausbildung eines tropfenförmigen 

Kristallits beobachtet. Die Ursache für dieses Verhalten liegt in der Tatsache, daß die 

rhombische Struktur nicht durch attraktive Wechselwirkungen der großen Teilchen untereinander, 

sondern ausschließlich durch die Wechselwirkung mit dem Substratpotential 

stabilisiert wird. Da die Anzahldichte im System fest vorgegeben ist, kann dieses die 

großen Teilchen nur dann optimal bezüglich des Substratpotentials anordnen, wenn es 

diese in eine möglichst dichte Packung bringt. Dadurch entsteht mehr Platz für die fluide 

Phase, in der die verbleibenden großen Teilchen sich auch ungehindert von den kleineren 

Teilchen optimal zum Substratpotential ausrichten können. Die Form der Grenzfläche 

spielt für diesen Mechanismus in der Minimierung der Energie keine Rolle. Daß das 

System mit ausschließlicher Ankopplung der kleinen Teilchen an das Substratpotential 

einen tropfenförmigen Kristallit des Dreiecksgitters zeigt, liegt daran, daß in diesem 

Fall die kleinen Teilchen versuchen Ketten entlang der Potentialminima zu bilden. Diese 

Anordnung benötigt sehr viel Platz, so daß die großen Teilchen in eine möglichst 

dichte Packung gezwungen werden. Dies ist die Dreiecksgitterstruktur. Der Kristallit 

67


a) 

50 

40 

30 

20 

10 

P(ζ) 

V 0 

= 0.0 

V 0 

= 0.1 

* 

V 0 

= 0.3 

* 

V 0 

= 0.9 

* 

V 0 

= 2.1 

* 

* V 0 

= 3.0 

* 

b) 40 

∆P(ζ) 

30 

20 

10 

V 0 

= 0.1 

V 0 

= 0.3 

* V 0 

= 0.9 

* 

V 0 

= 2.1 

* 

V 0 

= 3.0 

* 

* 

0 

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 

ζ 

c) d) 

0 

1.1 1.2 1.3 

ζ 

e) f) 

* 

* 

* 

* 

V 0= 0.0 

V 0= 0.9 

V 0= 2.1 

V 0= 3.0 

Abbildung 5.13: Das System bei ϱ ∗ = 1.71 bei ausschließlicher Wechselwirkung der großen Teilchen 

mit dem Substratpotential. a) Wahrscheinlichkeitsverteilung des Formfaktors ζ. b) Die Differenz der 

Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Formfaktors ∆P (ζ) = P (ζ; V0 ∗ ) − P (ζ; V0 ∗ = 0.0) zeigt die Veränderungen 

in den Verteilungen im Vergleich zum feldfreien Fall. c)-f) Zeigen jeweils die Überlagerung der 

Teilchenpositionen der großen Teilchen und die Voronoi Diagramme (rot: Sechsecke, blau: Fünfecke und 

grün: Vierecke) einer typischen Teilchenkonfiguration für verschiedene Potentialstärken V0 ∗ . 

muß möglichst wenig von den Potentialminima überdecken. Dies ist durch die Bildung 

eines Tropfens gewährleistet. 

Daß die entmischte Phase der großen Teilchen in den drei möglichen Ankopplungsszenarien 

der Teilchensorten an das externe Feld nicht identisch ist, läßt sich wie folgt nachweisen. 

In Abbildung 5.14 sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Rotationsordnungsparameters 

P (Ψ 6 ) vergleichend für die drei Szenarien abgebildet. Diese wurden im 

Rahmen einer Blockanalyse über Untersysteme der Größe L B = L/9 berechnet. Der Rotationsordnungsparameter 

Ψ 6 ist so definiert, daß er auf die Existenz von Strukturen der 

großen Teilchen mit sechsfacher Rotationsachse anspricht. Es wurden dazu Datensätze 

68


4 

3 

BB 

AB 

AA 

V = 0.3 0 

P(Ψ 6 

) 

2 

1 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Ψ 6 

Abbildung 5.14: Vergleichende Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Rotationsordnungsparameters 

Ψ 6 für die drei betrachteten Ankopplungsmöglichkeiten der Teilchensorten an das äußere 

Feld. Die Verteilungen wurden bei einer Anzahldichte von ϱ ∗ = 1.71 und V0 ∗ = 0.3 aufgenommen. 

In allen drei Fällen befindet man sich im Bereich der kontrollierten Entmischung. Bei auschließlicher 

Ankopplung der kleinen Teilchen an das äußere Feld (in schwarz dargestellt) liegt die beste sechs-fache 

Rotationssymetrie vor. In den beiden anderen Fällen zeigen sich zusätzliche Nebenmaxima bei niedrigeren 

Werten von Ψ 6. 

bei einer Anzahldiche von ϱ ∗ = 1.71 ausgewertet. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

zeigen durch ihre Doppelpeak-Struktur deutlich die Koexistenz der Phasen an. Alle drei 

Verteilungen zeigen, daß die entmischte Phase jeweils eine recht gute sechsfache Rotationssymmetrie 

aufweist. Es zeigt sich jedoch ein Unterschied in den Verteilungen der 

drei Szenarien. Die sechsfache Rotationssymmetrie ist am besten im System mit Wechselwirkung 

der kleinen Teilchen mit dem modulierten Feld (schwarz). Das Maximum der 

geordneten Phase der Verteilung ist in diesem Fall gegenüber den übrigen Verteilungen 

leicht zum Maximalwert des Ordnungsparameters Ψ 6 = 1 hin verschoben. Daß dieses 

Maximum in den beiden anderen Fällen bei etwas niedrigeren Werten liegt, deutet darauf 

hin, daß zwar eine Struktur mit sechsfacher Koordination vorliegt, die Verteilung der 

nächsten Nachbarn, jedoch nicht regelmäßig ist. Auch zeigen sich bei einer Ankopplung 

der großen Teilchen an das externe Potential zusätzliche Nebenmaxima bei niedrigeren 

Werten von Ψ 6 , die auf eine größere Unordnung innerhalb der geordneten Struktur 

hinweisen. 

Zur weiteren, vergleichenden ∣ Auswertung betrachtet man nun den Translationsordnungsparameter 

Ψ Gφ = 1 ∣∣ ∑ ∣ 

NA 

N A j=1 ei G ⃗ φ ⃗r j∣∣. Hier ist NA die Anzahl der großen Teilchen im System 

und der reziproke Gittervektor G ⃗ φ wird mit Hilfe des in Abbildung 5.15 a) rot 

eingezeichneten Basisvektors berechnet. Bei einer Ankopplung der großen Teilchen an 

das externe Feld, können sich die in der entmischten Phase bildenden Kristallstrukturen 

nicht mehr beliebig im Raum orientieren. Die Orientierung der Gitterebenen kann durch 

den zugehörigen reziproken Gittervektor G ⃗ φ spezifiziert werden. Der Translationsordnungsparameter 

Ψ Gφ dient zur Untersuchung dieser Ausrichtung der Gitterebenen. Der 

69


P(Ψ Gφ 

) 

a) b) 

4 

2 

y 

x 

φ 

a 

Gφ 

G 1 

G 0 

G 2 

φ = 56.48 

φ = 57.50 

φ = 58.00 

φ = 58.50 

φ = 59.00 

φ = 59.50 

φ = 60.00 

P(Ψ Gφ 

) 

c) d) 

P(Ψ Gφ 

) 

4 

2 

φ = 56.48 

φ = 57.50 

φ = 58.00 

φ = 58.50 

φ = 59.00 

φ = 59.50 

φ = 60.00 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Ψ Gφ 

4 

2 

φ = 56.48 

φ = 57.50 

φ = 58.00 

φ = 58.50 

φ = 59.00 

φ = 59.50 

φ = 60.00 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Ψ Gφ 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Ψ Gφ 

Abbildung 5.15: a) Schematische Darstellung zur Verdeutlichung der Definition des Translationsordnungsparameters 

Ψ Gφ . b)-d) Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen P (Ψ Gφ ) bei ϱ ∗ = 1.71 für verschiedene 

Winkel φ und die drei untersuchten Ankopplungsmöglichkeiten der Teilchensorten an das äußere Feld. 

b) Im Bereich der kontrollierten Entmischung im System mit ausschließlicher Ankopplung der kleinen 

Teilchen an das externe Feld bei V0 ∗ = 0.6 spricht Ψ Gφ für keinen der betrachteten Winkel φ an. c) Im 

Bereich der Koexistenz des rhombischen Gitters mit der Modulierten Flüssigkeit bei V0 ∗ = 0.3 für die 

Ankopplung beider Teilchensorten an das modulierte Feld. Die Ausrichtung des Kristallits ist an der 

Doppelpeak-Struktur zu erkennen. d) Im Koexistenzbereich des rhombischen Gitters mit der Modulierten 

Flüssigkeit bei V0 ∗ = 0.9 bei Ankopplung der großen Teilchen an das externe Feld. Auch hier zeigt 

die Doppelpeak-Struktur die Ausrichtung des Kristallits bezüglich des modulierten Feldes an. 

minimale Winkel, welcher bei einer zum S 1 (AB) kommensurabel gewählten Periodizität 

des externen Potentials auftreten kann, ist φ min = 56.48 ◦ . Dies entspricht der Situation, 

in der Teilchen in benachbarten Potentialminima in Kontakt sind. Ein Winkel von 

φ = 60 ◦ steht für die Ausbildung eines regelmäßigen Dreiecksgitters. Abbildung 5.15 b) 

zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung verschiedener Winkel φ für das System mit Ankopplung 

der kleinen Teilchen an das Substratpotential bei V0 ∗ = 0.6. In diesem Punkt 

des Phasenraums hat sich in diesem System, wie in Abbildung 5.10 d) zu sehen, ein 

monodisperser Tropfen der großen Teilchen gebildet. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

P (Ψ Gφ ) zeigen jedoch für alle betrachteten Winkel φ nur ein Maximum im ungeordneten 

Bereich. D.h. der entstandene Kristallit ist nicht bezüglich des externen Potentials 

in seiner Orientierung ausgerichtet. Abbildungen 5.15 c) und d) zeigen die Verteilungen 

70


Abbildung 5.16: Die Überlagerung der Teilchenpositionen der großen Teilchen bei ϱ ∗ = 1.71 und 

V0 ∗ = 0.3 zeigt eine Dreiecksgitterdomäne in Koexistenz mit der Modulierten Flüssigkeit, aber zusätzlich 

auch eine smektische Domäne, in der die großen Teilchen nur jedes zweite Minimum des externen Feldes 

(in rot eingezeichnet) besetzen. 

für die beiden Fälle, in denen die großen Teilchen direkt mit dem Feld wechselwirken 

und daher eine Ausrichtung des Kristallits zu erwarten ist. Abbildung5.15 c) zeigt den 

Fall, in dem beide Teilchensorten an das externe Potential koppeln. Hier bildet sich für 

V0 ∗ = 0.3 eine eindeutig entmischte Domäne im System aus. Für die Winkel φ = 58.5 

◦ 

und φ = 59.0 ◦ ist eine Doppelpeak-Struktur deutlich in den Verteilungen zu erkennen. 

Der Kristallit ist somit bezüglich des externen Potentials ausgerichtet und weicht leicht 

von der perfekten Dreiecksgitterstruktur ab. Für φ = 60.0 ◦ ist die Doppelpeak-Struktur 

in der Verteilung nicht mehr vorhanden. Wechselwirken nur die großen Teilchen mit 

dem Substrat wie in Abbildung 5.15 d) für V0 ∗ = 0.9 so ist die Situation ähnlich. Die 

Verteilungen des Translationsordnungsparameters zeigen für φ = 58.5 ◦ das ausgeprägteste 

Maximum nahe ψ Gφ = 1. Bei dieser Potentialstärke ist der Anteil der rhombischen 

Struktur, wie z.B. in Abbildung 5.13 d) zu sehen, bereits sehr hoch, so daß der Peak der 

ungeordneten Phase schon recht stark abgeflacht ist. Es bleibt anzumerken, daß es für die 

Fälle in denen auch die großen Teilchen mit dem Feld wechselwirken, auch vorkommen 

kann, daß sich eine monodisperse smektische Phase ausbildet. Diese wurde in den Simulationen 

mit Ankopplung beider Teilchensorten an das Feld, bei kleinen Potentialstärken 

in Koexistenz mit dem rhombischen Gitter beobachtet. In der smektischen Phase sind 

die Teilchen nur auf jedem zweiten Potentialminimum angeordnet. Diese Anordnung 

benötigt daher sehr viel mehr Platz als die rhombische Struktur. Benachbarte große 

Teilchen in unterschiedlichen Potentialminima sind in dieser Anordnung geometrisch 

voneinander entkoppelt, so daß sie in diesem Spezialfall frei entlang der Minima fluktuieren 

können. Die beiden unterschiedlichen Phasen sind deutlich in der Überlagerung 

der Teilchenkonfigurationen der großen Komponente der Mischung in Abbildung 5.16 zu 

71


a) b) c) 

Abbildung 5.17: Übersicht über die mit steigender Potentialstärke V0 ∗ bei ϱ ∗ = 1.68 durchlaufenen 

Phasen. Gezeigt werden die Überlagerungen der Teilchenpositionen der großen Teilchen. a) Der Bereich 

der kontrollierten Entmischung. Es ist die Koexistenz des Dreiecksgitters mit der Modulierten Flüssigkeit 

bei V0 ∗ = 1.0 gezeigt. b) Der Übergangsbereich bei V0 ∗ = 1.9 mit konkurrierenden Dreiecksgitter- und 

Quadratgitterdomänen. c) Der Bereich der Koexistenz des Quadratgitters (LFS) mit der Modulierten 

Flüssigkeit bei V0 ∗ = 2.5. 

erkennen. Zur Verdeutlichung wurde sowohl im Bereich der rhombischen Struktur, als 

auch im Bereich der smektischen Phase jedes zweite Potentialminimum rot eingezeichnet. 

Da im Bereich der smektischen Phase benachbarte Teichen in unterschiedlichen 

Potentialminima aneinander vorbeigleiten können, liefert eine solche Phase, so sie denn 

auftritt, in der Analyse mit dem Translationsordnungsparameter Ψ Gφ einen zusätzlichen 

gleichmäßigen Untergrund in den Wahrscheinlichkeitsverteilungen und stört diese nicht. 

5.4. Laser Induziertes Frieren 

Das Laser Induzierte Frieren (LIF) wird, da es sich in den dabei auftretenden Phänomenen 

stärker unterscheidet, getrennt für die drei betrachteten Ankopplungsmöglichkeiten 

der Teilchensorten an das externe Feld diskutiert. Zunächst wird auf das System mit 

ausschließlicher Ankopplung der kleinen Teilchen an das äußere Feld eingegangen. 

5.4.1. Ankopplung der kleinen Komponente an das äußere Feld 

Der Koexistenzbereich 

In diesem System tritt für höhere Potentialstärken V0 ∗ im Bereich mittlerer Dichten 

(ϱ ∗ > 1.57 bzw. η > 72%) eine Koexistenz des S 1 (AB) Quadratgitters mit der binären, 

äquimolaren Flüssigkeit auf. Abbildung 5.17 zeigt den Übergang von der Koexistenz des 

monodispersen Dreiecksgitters mit der nicht äquimolaren, binären Flüssigkeit (Abbildung 

5.17 a)) bei V0 ∗ = 1.0 , in den Bereich der konkurrierenden Dreiecks- und Quadratgitterdomänen 

(Abbildung 5.17 b)) bei V0 ∗ = 1.9 und danach in den Koexistenzbereich 

des Quadratgitters mit der äquimolaren Flüssigkeit (Abbildung 5.17 c)) bei V0 ∗ = 2.5 

72


a) 

P(Ψ 6 

) 

6 

4 

2 

V* 

0 

= 1.0 

V* 

0 = 1.9 

V* 

0 = 2.5 

V* 

0 = 5.8 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Ψ 6 

b) 

P(Ψ 4 

) 

25 

20 

15 

10 

5 

V* 

0 = 1.0 

V* 

0 = 1.9 

V* 

0 = 2.5 

V* 

0 = 5.8 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Ψ 4 

c) 

P(Ψ 8 

) 

6 

4 

2 

V* 

0 

= 1.0 

V* 

0 = 1.9 

V* 

0 = 2.5 

V* 

0 = 5.8 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Ψ 8 

Abbildung 5.18: Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Rotationsordnungsparameter Ψ 6 in a), Ψ 4 

in b) und Ψ 8 in c) bei einer Anzahldichte von ϱ ∗ = 1.68. Im Bereich der kontrollierten Entmischung bei 

V0 ∗ = 1.0 zeigt P (Ψ 6) eine deutliche Doppelpeak-Struktur. Im Übergangsbereich bei V0 ∗ = 1.9 treten 

konkurrierende Dreiecksgitter- und Quadratgitterdomänen auf, die in den Verteilungen von Ψ 4 und Ψ 8 

sichtbar werden. Für V0 ∗ = 2.5 und V0 ∗ = 5.8 zeigen diese die Doppelpeak-Struktur der Koexistenz des 

Quadratgitters mit der Modulierten Flüssigkeit, wobei der relative Anteil der Phasen unterschiedlich ist. 

anhand der Überlagerungen der Teilchenkonfigurationen der großen Teilchen in einem 

System der Anzahldichte ϱ ∗ = 1.68. Die Koexistenzen werden auch in den Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

der Rotationsordnungsparameter P (Ψ 6 ), P (Ψ 4 ) und P (Ψ 8 ) sichtbar. 

Es ist zu beachten, daß gemäß ihrer Definition (siehe Kapitel 3.1) Ψ 6 und Ψ 4 nur die 

strukturellen Eigenschaften der großen Teilchen, hingegen Ψ 8 die strukturellen Eigenschaften 

aller Teilchen im System, analysiert. In Abbildung 5.18 sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

wiedergegeben. Man erkennt deutlich die Doppelpeak-Strukturen der 

Koexistenzbereiche für V0 ∗ = 1.0 in P (Ψ 6) und für V0 ∗ = 2.5 in P (Ψ 4) und P (Ψ 8 ). Bei 

noch größeren Potentialstärken (V0 ∗ = 5.8 in orange eingezeichnet) nimmt der relative 

Anteil der ungeordneten Phase ab. Es liegt aber immer noch eine Phasenkoexistenz, wie 

besonders P (Ψ 8 ) deutlich zeigt, vor. 

Interessant ist es auch sich die Grenzfläche zwischen dem Quadratgitter und der Flüssigkeit 

genauer anzusehen. Diese ist in ihrer Form auffallend flexibel, wie man in Abbildung 

5.19 an der dargestellten Abfolge von Überlagerungen der Teilchenpositionen der großen 

Teilchen bei einer Anzahldichte von ϱ ∗ = 1.68 im Koexistenzbereich erkennen kann. Die 

Grenzfläche geht von einer Streifenform in eine Tropfenform und danach wieder in eine 

Streifenform über. Es scheint somit, daß beide Anordnungen für das System energetisch 

gleichwertig sind. 

Rissbildung 

Zusätzlich zu den Simulationsläufen bei konstanter Anzahldichte ϱ ∗ , in denen bei ansteigender 

Potentialstärke V0 ∗ der LIF-Übergang untersucht wurde, werden nun Simulationsläufe 

bei konstanter Potentialstärke und variabler Anzahldichte betrachtet. Diese 

starten jeweils aus der geordneten S 1 (AB) Quadratgitterstruktur bei hohen Dichten. Abbildung 

5.20 zeigt eine Übersicht der Veränderungen der Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

der Rotationsordnungsparameter Ψ 4 und Ψ 8 und der Translationsordnungsparameter 

73


a) b) c) 

V = 2.5 

V = 2.6 

* * * 

0 

0 

0 

d) e) f) 

V = 2.7 

V 

* 

= 2.8 

0 

V 

* 

= 2.9 

0 

V 

* 

= 3.0 

0 

Abbildung 5.19: Zur Veranschaulichung der Flexibilität der Grenzfläche zwischen dem S 1(AB) Quadratgitter 

und der koexistierenden Modulierten Flüssigkeit sind die Überlagerungen der Teilchenpositionen 

der großen Teilchen von Simulationsläufen bei ϱ ∗ = 1.68 und verschiedenen Potentialstärken V0 

∗ 

abgebildet. 

Ψ G1 und Ψ G2 bei abfallender Dichte in einem System mit V0 ∗ = 5.0. Die Verteilungen 

wurden im Rahmen einer Blockanalyse in Subsystemen der linearen Ausdehnung 

L B = L/9 (L: Länge der Simulationsbox) berechnet. Der in Abbildungen 5.20 d) untersuchte 

Translationsordnungsparameter Ψ G2 testet das System auf die durch das externe 

Feld vorgegebene Translationsordnung, d.h. der reziproke Gittervektor G ⃗ 2 entspricht 

dem Wellenvektor der externen Modulation K ⃗ = 2π λ 

(1, 0). Bei niedrigen Anzahldichten 

ϱ ∗ gehen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen P (Ψ G2 ) daher nicht gegen Null, sondern 

zeigen ein breites Maximum nahe Ψ G2 = 0.5. Dies ist die Signatur der Modulierten 

Flüssigkeit. Daß die Verteilung nicht unabhängig von ϱ ∗ ihr Maximum nahe Ψ G2 = 1.0 

beibehält liegt daran, daß der Translationsordnungsparameter beide Teilchensorten im 

System auf Ordnung untersucht. Es wechselwirken jedoch nur die kleinen Teilchen mit 

dem modulierten Feld. Bei hohen Dichten gelingt es den kleinen Teilchen ihre Ordnung 

den großen Teilchen aufzuzwingen. Bei niedrigen Dichten gelingt dies nicht mehr, 

so daß die Hälfte der Teilchen im System nur eine geringe, bis gar keine Translationsordnung 

aufweisen und Werte von Ψ G2 nahe Null liefern. Die andere Hälfte liefert 

hingegen Werte von Ψ G2 = 1. Der im Rahmen der Blockanalyse betrachtete Mittelwert 

des Ordnungsparameters über Subboxen der linearen Ausdehnung L/9, aus welchem die 

Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet wird, liefert somit eine Verteilung mit breitem 

74


a) 

P(Ψ 4 

) 

60 

45 

30 

ρ * = 1.75 

ρ * = 1.73 

ρ * = 1.71 

ρ * = 1.69 

ρ * = 1.67 

ρ * = 1.63 

ρ * = 1.61 

ρ * = 1.57 

b) 

P(Ψ 8 

) 

15 

10 

ρ * = 1.75 

ρ * = 1.73 

ρ * = 1.71 

ρ * = 1.69 

ρ * = 1.67 

ρ * = 1.63 

ρ * = 1.61 

ρ * = 1.57 

15 

5 

c) 

P(Ψ G1 

) 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Ψ 4 

10 

8 

6 

4 

2 

ρ * = 1.75 

ρ * = 1.73 

ρ * = 1.71 

ρ * = 1.69 

ρ * = 1.67 

ρ * = 1.63 

ρ * = 1.61 

ρ * = 1.57 G 2 

ρ = 1.69 

15 

ρ * = 1.67 

G 1 ρ * = 1.63 

G 1 

ρ * = 1.61 

ρ * = 1.57 

10 

G 2 

d) 

P(Ψ G2 

) 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Ψ 8 

20 

5 

ρ * = 1.75 

ρ * = 1.73 

ρ * = 1.71 

* 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Ψ G1 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Ψ G2 

Abbildung 5.20: Dargestellt sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Rotationsordnungsparameter 

Ψ 4 (in a)) und Ψ 8 (in b)) und der Translationsordnungsparameter Ψ G1 (in c)) und Ψ G2 (in d)) für immer 

kleiner werdende Anzahldichten ϱ ∗ bei V0 ∗ = 5.0. Die Richtungen der reziproken Gittervektoren sind zur 

Orientierung in Abbildung c) und d) schematische eingezeichnet. Die Rissbildung führt zu Abweichungen 

der Verteilungen von der Normalverteilung. Der Koexistenzbereich wird in den Doppelpeak-Strukturen 

der Verteilungen sichtbar. Der in d) dargestellte Ordnungsparameter Ψ G2 testet das System auf die 

durch das externe Feld vorgegebenen Translationsordnung (siehe Diskussion im Text). 

Maximum nahe Ψ G2 = 0.5. 

Die Koexistenz des Quadratgitters mit der flüssigen Phase ist besonders gut für ϱ ∗ = 1.63 

in Form einer Doppelpeak-Struktur in den Verteilungen P (Ψ 4 ), P (Ψ 8 ) und P (Ψ G1 ) sichtbar. 

Die Verteilungen gehen beim Verlassen der geordneten Phase jedoch nicht direkt 

in eine Superposition zweier getrennter Gaußverteilungen (die der geordneten und die 

der ungeordneten Phase) über. Statt dessen bilden sie zunächst eine unsymmetrische 

Schulter aus (siehe z.B. die in grün dargestellte Verteilung für ϱ ∗ = 1.71 in den Abbildungen 

5.20 a)-c)). Aus diesem Grunde lassen sich im Rahmen der Blockanalyse keine 

aussagekräftigen Schnittpunkte der jeweiligen Binder Kumulanten (siehe Kapitel 3.1) zur 

Ermittlung des Phasenübergangspunktes berechnen. Diese setzt die Momente der Gaußverteilung 

zueinander ins Verhältnis. Die vorliegenden Verteilungen im Übergangsbereich 

weichen durch die langgezogenen Schultern jedoch zu stark von der Normalverteilung ab. 

Was ist die Ursache dieser Schulter in den Verteilungen? In Abbildung 5.21 a) ist eine 

typische Teilchenkonfiguration eines Systems in diesem Bereich (ϱ ∗ = 1.71 und V ∗ 

0 = 5.0) 

75


a) b) c) 

Abbildung 5.21: Der Bereich der Rissbildung bei ϱ ∗ = 1.71 und V ∗ 

0 = 5.0. a) Eine typische Teilchenkonfiguration 

aus diesem Bereich. Überlagerungen aller Teilchenkonfigurationen eines Simulationslaufs 

sind in b) (die der großen Teilchen) und c) (die der kleinen Teilchen) dargestellt. b) zeigt die perfekte 

Anordnung der großen Teilchen in jedem zweiten Minimum des externen Feldes gemäß der Anordnung im 

S 1(AB) Quadratgitter. c) zeigt die Mobilität der kleinen Teilchen senkrecht zu den Minima des externen 

Feldes. 

gezeigt. Wie man sofort erkennt, hat sich ein Riss senkrecht zu den Minima des externen 

Feldes in der Quadratgitterstruktur der großen Teilchen gebildet. Dieser ist mit kleinen 

Teilchen aufgefüllt. Die Quadratgitterstruktur ist somit lokal gestört, obwohl global das 

Quadratgitter noch nicht geschmolzen ist. Die in Abbildung 5.21 b) und c) dargestellten 

Überlagerungen der Teilchenkonfigurationen (Abbildung 5.21 b) die der großen Teilchen 

und c) die der kleinen Teilchen) verdeutlichen die Situation weiter. Während die großen 

Teilchen ihre Positionierung in jedem zweiten Potentialminimum, gemäß der Quadratstruktur 

beibehalten, fängt das Sub-Gitter der kleinen Teilchen zu schmelzen an. Die 

kleinen Teilchen zeigen eine Mobilität senkrecht zu den Potentialminima des externen 

Feldes! Dies steht im starken Kontrast des aus den monodispersen Systemen bekannten 

Szenarios des Laser Induzierten Schmelzens (LIM) [27, 63], bei dem das System entlang 

der Potentialminima schmelzen kann. 

Das Phasendiagramm 

Die neuen, gefundenen Phasen in einer binären Mischung unter Einfluß eines eindimensional 

modulierten, äußeren Potentials bei ausschließlicher Wechselwirkung der kleineren 

Komponente der Mischung mit diesem lassen sich in einem Phasendiagramm zusammenstellen 

[33]. Da eine Ermittlung des Phasendiagramms aus den Rotations- und Translationsordnungsparametern 

durch die Berechnung der Schnittpunkte der Binder Kumulanten 

durch die Rissbildung und das darauf anschließende Koexistenzgebiet erschwert ist, 

untersucht man statt dessen die spezielle für das System definierten Ordnungsparameter 

S A und S B (siehe Kapitel 4.2.2). Diese Ordnungsparameter nehmen Werte zwischen −0.5 

und 1 an. Zur Ermittlung der Phasengrenzen werden die Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

dieser Ordnungsparameter P (S B ) und P (S A ) ausgewertet. Diese sind in Abbildung 

76


a) b) 

12 ρ * = 1.77 

ρ * = 1.76 

300 

ρ * = 1.74 

9 ρ * = 1.70 

6 

ρ * = 1.51 

200 

3 

100 

0 

P(S B 

) 

P(S A 

) 

ρ * = 1.77 

ρ * = 1.76 

ρ * = 1.70 

ρ * = 1.69 

ρ * = 1.68 

ρ * = 1.61 

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

S B 

0 

0.8 0.85 0.9 0.95 1 

S A 

Abbildung 5.22: Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Ordnungsparameter bei einer Potentialstärke 

V0 ∗ = 20.0 für die jeweiligen, interessanten Bereiche der Anzahldichte ϱ ∗ . a) P (S B) zeigt für ϱ ∗ = 

1.76 das charakteristische Verhalten bei Einsetzen der Rissbildung. b) P (S A) zeigt für ϱ ∗ = 1.69 das 

charakteristische Verhalten beim Übergang in den Koexistenzbereich. 

5.22 für V ∗ 

0 = 20.0 bei verschiedenen Anzahldichten ϱ∗ gezeigt. Die Verteilungen zeigen 

in der geordneten S 1 (AB) Phase (LFS) jeweils einen delta-förmigen Peak bei S B = 0 

in Abbildung 5.22 a) und bei S A = 1 in Abbildung 5.22 b). Diese sind nicht in ihrer 

gesamten Höhe abgebildet, da sonst die Struktur der übrigen Verteilungen nicht mehr 

sichtbar wäre. Zudem wurden in Abbildung 5.22 a) die Verteilungen der geordneten 

Phase (ϱ ∗ = 1.77 (rot) und ϱ ∗ = 1.76 (grün) im Übergangsbereich) auf der y-Achse 

nach unten verschoben, um die das Einsetzen der Rissbildung anzeigenden möglichen 

Abweichungen von S B = 0 sichtbar zu machen. Die Rissbildung setzt, wie man erkennt, 

bei ϱ ∗ = 1.76 ein. Der Peak bei S B = −0.5 zeigt die Existenz von kleinen Teilchen in 

direkt benachbarten Minima des externen Feldes an (siehe auch die schematische Darstellung 

der Funktionsweise des Ordnungsparameters in Kapitel 4.2.2 Abbildung 4.4). 

Bei ϱ ∗ = 1.74 haben sich zusätzlich ein Peak in S B = 1.0 und Abweichungen von Null im 

Bereich um S B = 0.5 gebildet. In der Modulierten Flüssigkeit wie z.B. bei ϱ ∗ = 1.51 zeigen 

die Wahrscheinlichkeitsverteilungen P (S B ) eine Gaußverteilung um S B = 0.5. Aus 

der Analyse der Wahrscheinlichkeitsverteilungen P (S A ) in Abbildung 5.22 b) wird die 

Phasengrenze zwischen dem Bereich der Rissbildung und der Phasenkoexistenz ermittelt. 

Dieser Übergang tritt ein, sobald die Verteilungen anfangen ihren delta-förmigen Charakter 

zu verlieren. Dies geschieht in Abbildung 5.22 b) für ϱ ∗ = 1.69. Die Abgrenzung 

des Koexistenzbereichs gegenüber der Modulierten Flüssigkeit und dem Bereich der kontrollierten 

Entmischung erfolgt durch die Auswertung der Wahrscheinlickeitsverteilung 

des Formfaktors ζ. Diese wurden bereits im Abschnitt zur Entmischung 5.3 diskutiert. 

Zur Ermittlung der Phasengrenzen wurden Simulationen bei festen Potentialstärken V0 

∗ 

und sukzessiv kleineren Dichten ϱ ∗ durchgeführt. Dabei wurde die Periodizität des externen 

Feldes kommensurabel gehalten. D.h. die Wellenlänge wurde jeweils gemäß λ = 

1/ √ 2ϱ ∗ angepaßt. Des weiteren wurden Simulationen bei konstanter Dichte und damit 

auch konstanter Wellenlänge λ des externen Feldes und sukzessiv ansteigender Potentialstärke 

V0 ∗ durchgeführt. Das so ermittelte Phasendiagramm ist in Abbildung 5.23 

77


1.8 

1.75 

Locked Floating Solid: S (AB) 

1 

82.8 

80.5 

1.7 

Rissbildung 

78.2 

ρ * 

1.65 

1.6 

Koexistenzbereich: 

S (AB) & Modulierte Flüssigkeit 

1 

75.9 

73.6 

η [%] 

1.55 


71.3 

1.5 

10 20 30 40 50 

V 0 

* 

69.0 

Abbildung 5.23: Die ϱ ∗ -V ∗ 

0 Ebene des Phasendiagramms, wie man sie aus der Analyse der Ordnungsparameter 

S B und S A und der Auswertung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Formfaktors ζ erhält 

[33]. 

dargestellt. Der Bereich der kontrollierten Entmischung ist hier nicht extra eingezeichnet, 

da er nur für V0 ∗ < 1.5 vorliegt. Er wurde im Abschnitt zur kontrollierten Entmischung 

bereits gegenüber den anderen Phasen abgegrenzt und diskutiert. Wie man am 

Phasendiagramm erkennt, umfaßt der Koexistenzbereich bei höheren Potentialstärken 

V0 ∗ ≥ 20 einen recht großen Dichtebereich. Dieser entspricht einer Packungsdichte von 

ca. 72% ≤ η ≤ 78%. Des weiteren wird deutlich, daß der Übergang vom LFS, dem Quadratgitter, 

zum Bereich der Rissbildung nahezu unabhängig von der Stärke des äußeren 

Potentials ist. Er setzt bei einer Dichte von ca. ϱ ∗ = 1.75 ein. Auch die Phasengrenzen 

zum Koexistenzbereich und zu der Modulierten Flüssigkeit zeigen für höhere Potentialstärken 

keine starke Dichteabhängigkeit. Wie die bisherige Diskussion gezeigt hat wird 

die Stabilität des S 1 (AB) Quadratgitters durch die Rissbildung und der damit verbundenen 

Mobilität der kleinen Teilchen senkrecht zu den Minima des modulierten Feldes 

zerstört. In diesem System sind es die kleinen Teilchen, welche über ihre Wechselwirkung 

mit dem äußeren Feld einen Käfig für die großen Teilchen bilden. Dadurch wird 

das Quadratgitter stabilisiert. Die Frage ist nun, bei welchen Dichten im kommensurablen 

Fall (d.h. λ = 1/ √ 2ϱ ∗ ) durch Fluktuationen der großen Teilchen innerhalb ihres 

Käfigs eine Fluktuation der kleinen Teilchen zwischen benachbarten Potentialminima 

78


λ = 0.5656 => ρ * = 1.563 

H 

σ B 

σ A λ 

Abbildung 5.24: Schematische Darstellung der geometrischen Verhältnisse, bei denen eine lokale Fluktuation 

der großen Teilchen innerhalb des von den kleinen Teilchen gebildeten Käfigs, diesen aufbrechen 

können. Die Minima des modulierten, externen Feldes sind durch gestrichelte Linien dargestellt. 

erstmals möglich wird. D.h. bei welcher Dichte kann durch solche lokale Fluktuationen 

der Käfig aufgebrochen werden? Dieser Grenzfall tritt ein, wenn die folgende Bedingung 

erfüllt ist: 

H = σ A + σ B + 2x 

Die Situation ist schematisch in Abbildung 5.24 wiedergegeben. H = 4λ ist die Höhe 

zweier Einheitszellen des Quadratgitters und für den Abstand x gilt bei Kontakt des 

großen Teilchens mit einem kleinen Teilchen: x = √ 0.25 ∗ (σ A + σ B ) 2 − λ 2 . Aus dieser 

Bedingung erhält man eine Bestimmungsgleichung für die Wellenlänge: 

( 

λ λ − 2 ) 

5 (σ A + σ B ) = 0 

Somit kann der von den kleinen Teilchen gebildete Käfig ab einer Dichte von ϱ ∗ = 

1/(2λ 2 ) ≈ 1.56 aufgebrochen werden. Die aus diesen geometrischen Überlegungen bestimmte 

Anzahldichte liegt ungefähr in dem Bereich, in dem das System vom Koexistenzbereich 

in die Modulierte Flüssigkeit übergeht. Doch auch diese Phasengrenze 

tritt bereits bei leicht höheren Dichten auf (siehe Abbildung 5.23). Dies macht deutlich, 

daß langwellige Anregungen im Kristallgitter die Rissbildung hervorrufen. Durch diese 

wird das Quadratgitter instabil, lange bevor lokale Fluktuationen der großen Teilchen 

innerhalb ihres Käfigs dies bewirken könnten. Der Vollständigkeit halber sei noch angemerkt, 

daß eine komplette geometrische Entkopplung der Teilchen in benachbarten 

Minima des externen Feldes erst ab λ = 1 2 (σ A + σ B ) und somit ϱ ∗ ≈ 1.0 eintritt. 

79


5.4.2. Kommensurabilität und Inkommensurabilität des externen Feldes 

Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit der Frage, wie wichtig die Kommensurabilität des 

modulierten, äußeren Feldes zur S 1 (AB) Struktur für das Auftreten der gefundenen, neuen 

Phänomene ist. Die Klärung dieser Frage ist vor allem im Bezug auf experimentelle 

Realisierungsmöglichkeiten wichtig, da es experimentell zumeist leichter ist, die Dichte 

im System zu variieren und dabei die Wellenlänge des externen, modulierten Feldes (z.B. 

durch interferierende Laserstrahlen realisiert) konstant zu halten. Zu diesem Zweck wurden 

Simulationsläufe bei fester Wellenlänge λ und fester Potentialstärke V0 ∗ mit sukzessiv 

sinkender Anzahldichte durchgeführt. Gibt man die Wellenlänge in diesen Simulationen 

fest vor, so ist dadurch die Länge der Simulationsbox in x-Richtung L x festgelegt. Die 

Dichte kann nur durch Änderung der Länge der Simulationsbox in y-Richtung L y variiert 

werden. Es wird jeweils aus der geordneten Phase bei hohen Dichten (ϱ ∗ = 1.83) 

gestartet. In den Startkonfigurationen liegt daher im inkommensurablen Fall anfangs 

V 

* 

0= 5.0 

λ = 0.5455 

g (r) 

BB 

g (r) 

AA 

ρ * = 1.83 

ρ * = 1.77 

Abbildung 5.25: Die Paarkorrelationsfunktionen g AA(⃗r) und g BB(⃗r) in einem System unter Einfluß eines 

inkommensurablen, externen Potentials mit Wellenlänge λ = 0.541 bei V0 ∗ = 5.0 für verschiedene 

Anzahldichten ϱ ∗ . Vor allem g AA(⃗r) zeigt bei hohen Dichten deutlich die Rechteckstruktur des LFS im 

inkommensurablen Fall. 

80


λ 

0.536 

0.541 

0.546 

0.549 

LFS Riss LFS & ML 

? 

? 

Schnittpunkt mit der 

Kommensurabilitätsebene 

ρ * = 1.74 

LFS / Riss 

ρ * = 1.71 

Riss 

ρ * = 1.68 

LFS & ML 

ρ * = 1.66 

LFS & ML 

Abbildung 5.26: Zusammenstellung der in den vier verschiedenen inkommensurablen Systemen auftretenden 

Phasen. Eine ausführliche Diskussion ist im Text zu finden. 

ein Rechtecksgitter statt eines Quadratgitters vor. D.h. insbesondere, daß der ’locked 

floating solid’ eine andere Struktur hat. Dies wird z.B. sehr anschaulich wenn man die 

Paarkorrelationsfunktionen g AA (⃗r) und g BB (⃗r) betrachtet. Diese sind für zwei Dichten im 

Bereich des LFS bei V0 ∗ = 5.0 in Abbildung 5.25 gezeigt. In Abbildung 5.25 links erkennt 

man deutlich die Ankopplung der kleinen Teilchen an das externe Feld, da die Maxima 

in g BB (⃗r) Ellipsen sind, welche entlang der Minima des externen Feldes ausgerichtet 

sind. Diese Signatur ist unabhängig von der betrachteten Dichte im LFS. Dagegen zeigt 

sich eine starke Dichteabhängigkeit in der Form der Maxima in g AA (⃗r). Da die großen 

Teilchen nicht an das externe Feld ankoppeln, erwartet man isotrope Maxima in der 

Paarkorrelationsfunktion. Bei hohen Dichten sind die Fluktuationen der großen Teilchen 

in y-Richtung jedoch stark eingeschränkt. Sie können nur noch fast ausschließlich entlang 

der x-Richtung fluktuieren. Erst bei niedrigeren Dichten im Bereich des LFS erkennt man 

wieder die erwarteten, isotropen Maxima. Es wurden Simulationen mit vier verschiedenen, 

konstanten Wellenlängen λ durchgeführt. Abbildung 5.26 zeigt in einer Übersicht, 

welche der neuen, laser-induzierten Phänomene auch in diesen inkommensurablen Situationen 

beobachtet werden. Die letzte Spalte der Tabelle gibt die Anzahldichte an, bei der 

für die konstant vorgegebene Wellenlänge die kommensurable Situation vorliegt. D.h. in 

diesem Punkt schneiden die Simulationsläufe das in Abbildung 5.23 gezeigte Phasendiagramm, 

welches in der Kommensurabilitätsebene aufgenommen wurde. In dieser Spalte 

der Tabelle ist zusätzlich vermerkt, welche Phase im kommensurablen Phasendiagramm 

vorliegt und, ob diese auch in den inkommensurablen Läufen in diesen Punkten des 

Phasenraums gefunden wurden. Wie man sieht schneiden die inkommensurabel geführten 

Simulationsläufe für alle betrachteten konstanten Wellenlängen die Kommensurabilitätsebene 

konsistent. Des weiteren erkennt man, daß alle laser-induzierten Phänomene 

auch in diesen Simulationen aufgefunden werden. Lediglich der ’locked floating solid’ 

wurde für die beiden letzten Wellenlängen (λ = 0.546 und λ = 0.549) mit einem Fragezeichen 

versehen. In diesen beiden Fällen ist die Einheitszelle des aufgesetzten LFS ein 

Rechteck mit einer durch λ vorgegebenen, recht stark gestreckten Basis in x-Richtung. 

Die Paarkorrelationsfunktionen in Abbildung 5.25 zeigen dies für λ = 0.546 bei V0 ∗ = 5.0. 

81


a) ρ 

* 

= 1.79 b) ρ 

* 

= 1.73 

Abbildung 5.27: Typische Teilchenkonfigurationen in einem System unter Einfluß eines inkommensurablen, 

externen Potentials mit konstanter Wellenlänge λ = 0.546 bei einer Potentialstärke von V0 ∗ = 2.5. 

a) Bei hohen Dichten ϱ ∗ = 1.79 treten Sprünge im LFS auf. b) Bei niedrigeren Dichten ϱ ∗ = 1.73 sind 

die Sprünge im LFS fast komplett verschwunden. 

Die stark gestreckte Basis macht den LFS instabil gegen das Auftreten von Sprüngen im 

Kristall bei hohen Dichten. Zur Stabilisierung des LFS muß das externe Feld hoch sein. 

In diesem System wurde ein stabiler LFS nur für V0 ∗ ≥ 5.0 beobachtet. Bei geringeren 

Dichten und niedrigeren Potentialstärken ist das System jedoch in der Lage die Sprünge 

wieder fast komplett auszuheilen. Zur Veranschaulichung zeigt Abbildung 5.27 typische 

Konfigurationen einer Simulation mit λ = 0.546 und V0 ∗ = 2.5. Abbildung 5.27 a) zeigt 

die bei einer Anzahldichte von ϱ ∗ = 1.79 auftretenden Sprünge im LFS und Abbildung 

5.27 b) den bei ϱ ∗ = 1.73 wieder fast komplett ausgeheilten Kristall. Somit existiert 

auch für die in der Tabelle in Abbildung 5.26 mit einem Fragezeichen gekennzeichneten 

Wellenlängen der LFS, jedoch im Gegensatz zum kommensurablen System nur im 

Bereich starker äußerer Felder. Die genaue Abhängigkeit der minimal nötigen Potentialstärke 

V0 ∗ zur Stabilisierung des LFS von λ wurde nicht systematisch untersucht. Das 

Auftreten von Sprüngen im LFS macht sich auch in den Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

des Formfaktors P (ζ) bemerkbar. In Abbildung 5.28 sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

des Formfaktors für verschiedene Dichten ϱ ∗ vergleichend dargestellt. Abbildung 

5.28 a) zeigt das System mit Sprüngen bei λ = 0.546 und V0 ∗ = 2.5, Abbildung 5.28 

b) das gleiche System bei V0 ∗ = 5.0 ohne Sprünge. Im System mit Sprung (Abbildung 

5.28 a)) zeigen die Verteilungen einen deutlichen Anteil von Voronoi Zellen mit Formfaktoren 

ζ > 1.273 (Quadrat). Dieser verschwindet, wenn die Sprünge bei niedrigeren 

Dichten wieder ausheilen. Ist der LFS hingegen stabil (Abbildung 5.28 b)) nähert sich 

seine Struktur mit kleiner werdender Anzahldichte immer mehr der Quadratstruktur, 

die in dem hier gezeigten Fall für ϱ ∗ = 1.68 erreicht würde. Das breite Maximum in der 

Verteilung wandert daher mit sinkendem ϱ ∗ auf ζ = 1.273 (quadratische Voronoi Zellen) 

82


a) b) 

V = 2.5 

P(ζ) 

20 

10 

* ρ * = 1.81 

* 

0 

20 0 

ρ * = 1.79 

ρ * = 1.77 

ρ * = 1.73 

ρ * = 1.67 

ρ * = 1.51 

P(ζ) 

10 

V = 5.0 

ρ * = 1.81 

ρ * = 1.79 

ρ * = 1.77 

ρ * = 1.73 

ρ * = 1.67 

ρ * = 1.51 

0 

1.1 1.2 1.3 1.4 

ζ 

0 

1.1 1.2 1.3 1.4 

ζ 

Abbildung 5.28: Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Formfaktors P (ζ) für verschiedene Anzahldichten 

ϱ ∗ in einem System unter Einfluß eines inkommensurablen, externen Potentials mit konstanter Wellenlänge 

λ = 0.546. a) Ein System bei V0 ∗ = 2.5, das bei hohen Dichten Sprünge im LFS aufweist. b) 

Ein System bei V0 ∗ = 5.0, in dem der LFS auch bei hohen Dichten stabil ist. 

zu. Der kommensurable Fall wird hier im Koexistenzbereich erreicht. 

Es ist anzumerken, daß bei den Vergleichen der verschiedenen, inkommensurablen Simulationsläufe 

untereinander, aber auch mit den kommensurablen Simulationsläufen, 

beachtet werden muß, daß nur die Phänomene miteinander verglichen werden können. 

Die jeweils vorliegenden LFS haben unterschiedliche Kristallstrukturen und auch die 

Modulierten Flüssigkeiten haben per Definition unterschiedliche Periodizitäten. Die Unterschiede 

in den Strukturen des LFS werden in den Wahrscheinlichkeitsverteilungen des 

Formfaktors direkt sichtbar. Abbildung 5.29 zeigt diese für Systeme bei V0 ∗ = 20.0 für 

einen kommensurablen Simulationslauf (Abbildung 5.29 a)) und für einen inkommen- 

a) b) 

P(ζ) 

20 

10 

ρ * = 1.79 

λ = 1/ 2ρ* 

λ = 0.546 

ρ * = 1.77 

ρ * = 1.75 

ρ * = 1.73 

ρ * = 1.71 

ρ * = 1.69 

ρ * = 1.67 

ρ * = 1.65 

ρ * = 1.63 

ρ * = 1.53 

P(ζ) 

20 

10 

ρ * = 1.79 

ρ * = 1.77 

ρ * = 1.75 

ρ * = 1.73 

ρ * = 1.71 

ρ * = 1.69 

ρ * = 1.67 

ρ * = 1.65 

ρ * = 1.63 

ρ * = 1.53 

0 

1.1 1.2 1.3 1.4 

ζ 

0 

1.1 1.2 1.3 1.4 

ζ 

* 

Abbildung 5.29: Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Formfaktors P (ζ) für verschiedene Anzahldichten 

ϱ ∗ bei konstanter Potentialstärke V0 ∗ = 20.0. a) Dargestellt ist die Veränderung der Verteilung mit 

sinkender Dichte in einem kommensurabel geführten Simulationslauf. b) Zum Vergleich ist ein System 

unter Einfluß eines inkommensurablen, externen Potentials mit konstanter Wellenlänge λ = 0.546 gezeigt. 

83


surablen Simulationslauf bei konstanter Wellenlänge λ = 0.546 (Abbildung 5.29 b)) im 

direkten Vergleich. Im kommensurablen Fall wandert das breite Maximum der Verteilung 

mit sinkender Dichte von ζ = 1.273 weg. D.h. die Voronoi Zellen weichen immer stärker 

von der quadratischen Form ab. Hingegen wandert dieses Maximum im inkommensurablen 

Fall auf ζ = 1.273 zu, da wie bereits diskutiert die Einheitszelle der Kristallstruktur 

sich dem Quadrat annähert und damit auch die Voronoi Zellen. Bei Dichten unterhalb 

der kommensurablen Dichte behält das Maximum des LFS in der Verteilung seine Position 

bei. Da man sich in diesem Phasenraum-Punkt im Koexistenzbereich des LFS 

mit der Modulierten Flüssigkeit befindet, wächst der Anteil der ungeordneten Phase in 

den Verteilungen an. Zum Vergleich ist in beiden Fällen die Verteilung der Modulierten 

Flüssigkeit bei ϱ ∗ = 1.51 eingezeichnet. Auch für diese Simulationen wurden Analysen 

der Systeme mit den Ordnungsparametern S A und S B vorgenommen. Diese und die Aus- 

1.8 

LFS 

82.8 

1.75 

Rissbildung 

80.5 

1.7 

78.2 

ρ * 

1.65 

Koexistenzbereich: 

LFS & Modulierte Flüssigkeit 

75.9 

η [%] 

1.6 

73.6 

1.55 

1.5 

λ = 0.536 

λ = 0.541 

λ = 0.546 

λ = 0.549 


5 10 15 20 

V 0 

* 

71.3 

69.0 

Abbildung 5.30: ϱ ∗ -V ∗ 

0 Ebene der Phasendiagramme von Systemen unter Einfluß inkommensurabler, 

externer, modulierter Potentiale. Phasengrenzen zwischen dem LFS und dem Bereich der Rissbildung 

sind in schwarz, die zwischen dem Bereich der Rissbildung und dem Koexistenzbereich des LFS und 

der Modulierten Flüssigkeit in rot und die Phasengrenzen zwischen dem Koexistenzbereich und der 

Modulierten Flüssigkeit in blau eingezeichnet. Gefüllte Kreise kennzeichnen die Phasengrenzen im System 

unter Einfluß des Potentials mit Wellenlänge λ = 0.536. Offene Quadrate stehen für die Phasengrenzen 

im System mit λ = 0.541, offene Dreiecke für die Phasengrenzen im System mit λ = 0.546. Sternchen 

kennzeichnen die Phasengrenzen im System mit Wellenlänge λ = 0.549. Die gestrichelten Linien sind 

nur zur besseren Orientierung eingezeichnet. 

84


wertung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Formfaktors wurden in Abbildung 5.30 

in einem Phasendiagramm zusammengefaßt. Auf den ersten Blick setzt die Rissbildung 

bei großen λ tendenziell bereits bei höheren Dichten ein als bei kleineren Wellenlängen. 

Beim Übergang in den Koexistenzbereich und auch beim Übergang von diesem in die 

Modulierte Flüssigkeit liegen die Grenzen der Phasen für große Wellenlängen jedoch 

tendenziell bei niedrigeren Dichten als bei kleinen Wellenlängen. Betrachtet man das 

Phasendiagramm genauer so erkennt man, daß die Position der einzelnen Phasengrenzen 

von der Position des Schnittpunkts mit der Kommensurabilitätsebene abzuhängen 

scheint. Man betrachte z.B. V0 ∗ = 10.0 genauer. Im System mit λ = 0.536 ist der LFS für 

ϱ ∗ = 1.75 noch stabil, hingegen liegt ϱ ∗ = 1.73 im Bereich der Rissbildung. Für ϱ ∗ = 1.74 

schneidet das System die Kommensurabilitätsebene. D.h. hier liegt eine Quadratgitterstruktur 

vor, die stabiler gegen die horizontale Rissbildung ist als die stark gestreckten 

Rechteckstrukturen für λ = 0.546 und λ = 0.549. Das System geht jedoch für Dichten 

unterhalb ϱ ∗ = 1.74 in eine Kristallstruktur aus Rechtecken, die entlang der y-Richtung 

gestreckt sind, über. Dies begünstigt die Rissbildung und läßt diese in y-Richtung breiter 

werden. Der Übergang in den Koexistenzbereich setzt daher sehr früh ein. Auch die Position 

der Phasengrenze zwischen dem Koexistenzbereich und der Modulierten Flüssigkeit 

wird durch die Form der Einheitszelle beeinflußt. Die Systeme mit großen Wellenlängen 

haben erst bei ϱ ∗ = 1.68 und ϱ ∗ = 1.66 ihre Quadratform erreicht. Sie weisen daher noch 

bis zu niedrigeren Dichten einen koexistierenden LFS-Anteil auf. 

Zusammenfassend läßt sich somit sagen, daß die Phänomene des Laser Induzierten Frierens 

in den LFS, der Laser Induzierten Rissbildung, sowie der Laser Induzierten Koexistenz 

auch in inkommensurablen Systemen auftreten. Dabei scheint zur Beobachtung 

aller Phasen die Wahl einer festen Wellenlänge günstig zu sein, welche die Kommensurabilitätsebene 

im Koexistenzbereich des LFS mit der Modulierten Flüssigkeit schneidet. 

5.4.3. Einfluß des Verhältnisses der Teilchendurchmesser 

Eine weitere wichtige Frage ist, wie empfindlich die gefundenen Phänomene von dem betrachteten 

Verhältnis der Teilchendurchmesser σ B /σ A = 0.414 abhängen. Das Verhältnis 

der Durchmesser legt bei gegebener Anzahldichte ϱ ∗ die Packungsdichte η im System fest. 

Die beiden Größen sind in der äquimolaren Mischung wie folgt miteinader verknüpft: 

η = π [ (σ A /2) 2 + (σ B /2) 2] N 

2 

V 

= π 2 

[ 

(σA /2) 2 + (σ B /2) 2] ϱ ∗ 

Zum Vergleich von Systemen mit unterschiedlichen Verhältnissen der Teilchendurchmesser 

wurden Simulationen bei konstanter Dichte ϱ ∗ = 1.71 mit sukzessiv ansteigender 

Potentialstärke V0 ∗ durchgeführt. Wie in den vorangegangenen Simulationen ist auch hier 

der Durchmesser der großen Teilchen auf σ A = 1 festgesetzt. Um den Einfluß des Verhältnisses 

der Teilchendurchmesser zu bestimmen, wurden die folgenden Durchmesser der 

kleinen Teilchen betrachtet: σ B = 0.154, 0.300, 0.400, 0.420 und 0.430. Für den kleinsten 

betrachteten Teilchendurchmesser passen die kleinen Teilchen in die Zwischenräume 

85


σ = 0.154, η= 0.687 σ = 0.300, η= 0.732 

B 

B 

σ = 0.400, η= 0.779 

B 

σ = 0.414, η= 0.787 σ = 0.420, η= 0.790 

B 

B 

σ = 0.430, η= 0.796 

B 

Abbildung 5.31: Typische Teilchenkonfigurationen bei V ∗ 

0 = 0.0 in Systemen mit unterschiedlichen 

Verhältnissen der Teilchendurchmesser und dadurch unterschiedlichen Packungsdichten η bei einer Anzahldichte 

von ϱ ∗ = 1.71. 

eines dicht gepackten Dreiecksgitters der großen Teilchen. Der maximale Teilchendurchmesser, 

mit dem ein kleines Teilchen noch in den Zwischenraum eines dicht gepackten 

Quadratgitters der großen Teilchen paßt, ist σ B = √ 2 − 1. Bei der betrachteten Anzahldichte 

ϱ ∗ = 1.71 passen kleine Teilchen mit einem Durchmesser von bis zu σ B = 0.529 

in das kommensurable Quadratgitter der großen Teilchen. Da aber bei V ∗ 

0 = 0 Systeme 

mit σ B > 0.430 nicht mehr komplett schmelzen, wenn man von der geordneten Struktur 

startet, wurden nur Systeme mit Teilchendurchmessern bis σ B = 0.430 zum Vergleich 

herangezogen. In Abbildung 5.31 sind für die einzelnen Systeme bei V0 ∗ = 0 typische 

Teilchenkonfigurationen abgebildet. Zudem ist jeweils die in dem System vorliegende 

Packungsdichte η angegeben. Wie man erkennt, bewegt man sich innerhalb des Vergleichs 

im Bereich von Packungsdichten von 68.7 − 79.6%. Die Systeme lassen sich gut 

mit Hilfe einer Analyse des Formfaktors ζ vergleichen. Dazu sind in Abbildung 5.32 die 

Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen ∆P (ζ) = P (ζ; V0 ∗) 

− P (ζ; V 0 ∗ 

Bezug auf die jeweilige Verteilung bei V ∗ 

0 

= 0.0) im 

= 0.0 für die Systeme mit unterschiedlichen 

86


a) 

∆P(ζ) 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

10 

5 

* 

V = 0.30 

σ B = 0.154 

* 

0 V 0= 0.90 

30 

1.1 1.12 1.14 

ζ 

σ B = 0.300 

σ B = 0.400 

σ B = 0.414 

σ B = 0.420 

σ B = 0.430 

∆P(ζ) 

c) d) 

b) 

20 

10 

0 

5 

1.1 1.12 1.14 

ζ 

σ B = 0.154 

σ B = 0.300 

σ B = 0.400 

σ B = 0.414 

σ B 

= 0.420 

σ B = 0.430 

* 

V = 2.1 10 

* 

0 V 0= 3.0 

∆P(ζ) 

0 

-5 

-10 

σ B = 0.154 

σ B = 0.300 

σ B 

= 0.400 

σ B = 0.414 

σ B = 0.420 

σ B = 0.430 

∆P(ζ) 

0 

-5 

-10 

σ B = 0.154 

σ B = 0.300 

σ B = 0.400 

σ B = 0.414 

σ B = 0.420 

σ B = 0.430 

1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 

ζ 

1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 

ζ 

Abbildung 5.32: Die Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen ∆P (ζ) = P (ζ; V0 ∗ ) − P (ζ; V0 ∗ = 

0.0) im Bezug auf die jeweilige Verteilung bei V0 ∗ = 0.0 für die Systeme mit unterschiedlichen Teilchendurchmessern 

σ B bei einer Anzahldichte von ϱ ∗ = 1.71. a) und b) zeigen die Systeme in einem Bereich 

der Potentialstärke, in dem das Referenzsystem mit σ B = 0.414 die kontrollierte Entmischung zeigt. 

In c) und d) befindet sich das Referenzsystem bereits im Bereich der Phasenkoexistenz des S 1(AB) 

Quadratgitters mit der Modulierten Flüssigkeit. 

Teilchendurchmessern σ B dargestellt. Bei kleinen Potentialstärken, wie z.B. V0 ∗ = 0.3, 

erwartet man, eine kontrollierte Entmischung in ein Dreiecksgitter der großen Teilchen 

und eine Modulierte Flüssigkeit zu finden. Abbildung 5.32 a) zeigt, daß in Systemen mit 

einer geringeren Packungsdichte als der des Systems mit σ B = 0.414 der Anteil der Voronoi 

Zellen mit regelmäßiger Sechseckstruktur nicht zunimmt. Nur die beiden Systeme 

mit größeren Teilchendurchmessern, und damit größerer Packungsdichte zeigen bereits 

bei dieser Potentialstärke eine kontrollierte Entmischung. Für V0 ∗ = 0.9 befindet man 

sich noch immer im Bereich der kontrollierten Entmischung. Jetzt reicht die Stärke des 

äußeren Feldes aus, um auch in einem System mit einem kleineren Teilchendurchmesser 

(σ B = 0.400) als im Referenzsystem eine kontrollierte Entmischung zu induzieren (siehe 

Abbildung 5.32 b)). Die Systeme mit σ B = 0.300 und σ B = 0.154 bleiben bezüglich der 

Struktur ihrer Voronoi Zellen vom äußeren Feld unbeeinflußt. In Abbildung 5.32 c) ist 

die Situation für V0 ∗ = 2.1 dargestellt. Bei dieser Potentialstärke befindet sich das Referenzsystem 

mit σ B = 0.414 bereits im Koexistenzbereich des S 1 (AB) Quadratgitters mit 

der Modulierten Flüssigkeit. Der Anteil der hexagonalen Voronoi Zellen ist komplett aus 

87


dem System verschwunden und das typische breite Maximum nahe der quadratischen 

Voronoi Zellen bei ζ = 1.273 ist vorhanden. Hier zeigt sich nun der Unterschied im Verhalten 

der Systeme mit kleineren Teilchendurchmessern zu dem der Systeme mit größeren 

Teilchendurchmessern als σ B = 0.414. Während das System mit σ B = 0.400 sich analog 

dem Referenzsystem verhält und den Übergang in den Koexistenzbereich vollzogen hat, 

zeigen die Systeme mit σ B = 0.420 und σ B = 0.430 noch einen starken Anteil an hexagonalen 

Voronoi Zellen. In diesen Systemen mit einer höheren Packungsdichte lösen sich die 

bei der kontrollierten Entmischung entstandenen Dreiecksgitterstrukturen nur schlecht 

wieder auf. Bei V0 ∗ = 3.0 (siehe Abbildung 5.32 d)) befinden sich auch diese beiden Systeme 

im Koexistenzbereich des S 1 (AB) Quadratgitters mit der Modulierten Flüssigkeit. 

Die beiden Systeme zeigen jedoch mehr Defektstrukturen im koexistierenden Quadratgitter. 

Auch bei den höheren Potentialstärken zeigen die Systeme mit σ B = 0.300 und 

σ B = 0.154 keine signifikante Änderung in der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Formfaktors 

ihrer Voronoi Zellen. 

Vergleicht man die Packungsdichte im System mit σ B = 0.300 mit der an der Phasengrenze 

zwischen dem Koexistenzbereich und der Modulierter Flüssigkeit im Phasendiagramm 

des Systems mit σ B = 0.414 (Abbildung 5.23) vorherrschenden Packungsdichte, so ist es 

nicht verwunderlich, daß man bei σ B = 0.300, d.h. η = 73.2% noch keine Veränderung 

der Verteilungen bei V0 ∗ = 3.0 feststellt. Bei dieser Potentialstärke liegt der Übergang in 

den Koexistenzbereich im Systems mit σ B = 0.414 bei ca. ϱ ∗ = 1.66, d.h. einer Packungsdichte 

von η = 76.4%. Nur diejenigen der betrachteten Systeme mit σ B ≥ 0.400 liegen 

mit ihrer Packungsdichte oberhalb dieser Grenze. Die untere Grenze des Koexistenzbereichs 

bei höheren Potentialstärken verläuft im Bereich von ca. ϱ ∗ = 1.59. Dies entspricht 

einer Packungsdichte von ca. 73.1%. Das System mit σ B = 0.300 liegt somit genau in 

diesem Übergangsbereich. Es wurde bis zu einer Potentialstärke von V0 ∗ = 8.4 simuliert. 

Zwar wird ein Anstieg der lokalen, quadratischen Ordnung im System beobachtet, das 

System ist jedoch nicht dicht genug, um eine Koexistenz des S 1 (AB) Quadratgitters 

mit der Modulierten Flüssigkeit zu zeigen. Der Vergleich mit dem Phasendiagramm des 

Systems mit σ B = 0.414 bei niedrigen Potentialstärken (siehe Abbildung 5.12) zeigt 

auch, daß das System mit σ B = 0.300 und damit einer Packungsdichte von η = 73.2% 

bei der betrachteten Anzahldichte unterhalb des Bereichs (η > 75%) liegt, für den die 

kontrollierte Entmischung beobachtet wird. 

Zusammenfassend kann man somit feststellen, daß sich in Abhängigkeit vom betrachteten 

Verhältnis der Teilchendurchmesser die Potentialstärken, bei denen die Laser Induzierte 

Entmischung und das Laser Induzierte Frieren auftreten, variiert. Wie sich gezeigt 

hat, ist das Packungsverhältnis der Mischung ausschlaggebend dafür, ob die Phänomene 

prinzipiell in dem System gefunden werden können. 

5.4.4. Einfluß der Konzentration der Mischung 

Um einen Eindruck davon zu bekommen, wie stark das Auftreten der laser-induzierten 

Phänomene davon abhängt, daß eine 50% Mischung untersucht wird, werden in diesem 

Abschnitt Simulationsläufe bei konstanter Anzahldichte und steigender Potentialstärke 

88


a) 

30 

20 

x = 46.9% 

A 

* 

V 0 = 0.3 

* 

V 0 = 0.9 

* 

V 0 = 1.2 

∆P(ζ) 

10 

* 

V 0 = 2.1 

* 

V 0 = 4.8 

0 

-10 

b) 

30 

20 

10 

0 

-10 

∆P(ζ) 

c) 

∆P(ζ) 

40 

30 

20 

1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 

ζ 

x = 50.0% 

A 

V 0 

* 

= 0.3 

V 0 

* 

= 0.9 

V 0 

* 

= 1.2 

V 0 

* 

= 2.1 

V 0 

* 

= 4.8 

1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 

ζ 

x = 53.1% 

A 

V 0 

* 

= 0.3 

V 0 

* 

= 0.9 

V 0 

* 

= 1.2 

V 0 

* 

= 2.1 

10 

0 

1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 

ζ 

Abbildung 5.33: Die Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen ∆P (ζ) = P (ζ; V0 ∗ ) − P (ζ; V0 ∗ = 

0.0) im Bezug auf die jeweilige Verteilung bei V0 ∗ = 0.0 für Systeme mit unterschiedlicher Konzentration 

der großen Teilchen x A = N A/N in der Mischung. a) Für x A = 46.9% und damit einer Packungsdichte 

von η = 75.2% zeigt das System keine Laser Induzierte Entmischung und geht direkt in den Koexistenzbereich 

des S 1(AB) Quadratgitters mit der Modulierten Flüssigkeit über. b) Das Referenzsystem mit 

x A = 50.0% und η = 78.7%. c) Eine Mischung mit x A = 53.1% bei der gleichen Packungsdichte wie im 

Referenzsystem. 

89


für unterschiedliche Konzentrationen der großen Teilchen x A = N A /N in der Mischung 

miteinander verglichen. Das Referenzsystem ist die 50% Mischung mit σ B /σ A = 0.414 

bei ϱ ∗ = 1.71. Dies entspricht einer Packungsdichte von η = 78.7%. Wie man den 

Phasendiagrammen in Abbildung 5.12 und 5.23 des Systems mit ausschließlicher Wechselwirkung 

der kleinen Teilchen an das externe Potential entnehmen kann, wird bei 

dieser Packungsdichte mit ansteigender Potentialstärke zunächst die kontrollierte Entmischung 

und danach die Koexistenz des S 1 (AB) Quadratgitters mit der Modulierten 

Flüssigkeit beobachtet. Eine Änderung der Konzentration der großen Teilchen in der 

Mischung um nur 3% führt zu einer starken Veränderung im Phasenverhalten des Sytems. 

Senkt man den Anteil der großen Teilchen auf x A = 46.9%, so verringert sich bei 

konstanter Anzahldichte die Packungsdichte von η = 78.7% (x A = 50%) auf η = 75.2%. 

Das System befindet sich damit in einem Bereich des Phasendiagramms der 50% Mischung, 

in dem keine kontrollierte Entmischung auftritt (vergleiche Abbildung 5.12). Die 

Simulation der 46.9% Mischung ergibt ein konsistentes Bild. Es wird keine Entmischung 

in ihr gefunden. Abbildung 5.33 zeigt die Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

des Formfaktors ∆P (ζ) = P (ζ; V0 ∗) 

− P (ζ; V 0 ∗ = 0.0) im Bezug auf die jeweilige Verteilung 

bei V0 ∗ = 0.0 für die verschiedenen, betrachteten Mischungen. In Abbildung 5.33 

a) ist die 46.9% Mischung dargestellt. Im Gegensatz zu der in Abbildung 5.33 b) zum 

Vergleich gezeigten 50% Mischung, zeigt sich kein Zuwachs in den hexagonalen Voronoizellen 

für kleine Potentialstärken. Das System geht direkt aus der Modulierten Flüssigkeit 

in den Koexistenzbereich mit dem S 1 (AB) Quadratgitter über. Die Unterschiede 

im Verhalten der beiden betrachteten Mischungen werden auch gut in den Korrelationsfunktionen 

der Anzahldichte g nn (⃗r) sichtbar. Diese sind in Abbildung 5.34 für die beiden 

Mischungen abgebildet. Bei einer Potentialstärke von V0 ∗ = 0.6 zeigt nur die äquimolare 

Mischung die durch den koexistierenden Dreiecksgitter-Kristallit hervorgerufenen, 

diskreten Maxima mit einer sechsfachen Symmetrie. Die Korrelationsfunktion der Mischung 

mit x A = 46.9% zeigt noch die strukturlosen konzentrischen Ringe der flüssigen 

Phase. Bei V0 ∗ = 2.1 wird in ihr das externe Potential in Form eines Streifenmusters 

sichtbar. Die 50% Mischung ist hier bereits in den Koexistenzbereich des S 1 (AB) Kristalls 

mit der Modulierten Flüssigkeit übergegangen und weist ein diskretes Signal mit 

vierfacher Symmetrie auf. Dieses ist auch für die Mischung mit x A = 46.9% bei höheren 

Potentialstärken wie z.B. V0 ∗ = 4.8 in der Korrelationsfunktion der Anzahldichte zu 

erkennen. 

Erhöht man den Anteil der großen Teilchen in der Mischung hingegen um 3.1% von 

x A = 50.0% auf x A = 53.1% bei konstanter Anzahldichte ϱ ∗ = 1.71, so steigt die 

Packungsdichte auf η = 82.1% Man befindet sich im Phasendiagramm des Referenzsystems 

nun bereits im Bereich des LFS, so daß ein direkter Vergleich der Systeme bezüglich 

des Phasenverhaltens bei ansteigender Potentialstärke nicht sinnvoll erscheint. Stattdessen 

wird ein System bei konstanter Anzahldichte ϱ ∗ = 1.64 simuliert. Dieses weist eine 

Packungsdichte von η = 78.7% auf und kann daher direkt mit dem Referenzsystem 

verglichen werden. Abbildung 5.33 c) zeigt die Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

des Formfaktors ∆P (ζ) = P (ζ; V0 ∗) 

− P (ζ; V 0 ∗ = 0.0) im Bezug auf die Verteilung 

bei V0 ∗ = 0.0 für die 53.1% Mischung bei ϱ∗ = 1.64. In dieser Mischung ist der Zuwachs 

90


V 0 * = 0.6 

V 0 * = 2.1 V 0 * = 4.8 

x = 46.9% 

A 

x = 50.0% 

A 

Abbildung 5.34: Die Korrelationsfunktionen der Anzahldichte g nn(⃗r) für eine Mischung mit einer Konzentration 

von x A = 46.9% der großen Komponente im Vergleich zu den in einer äquimolaren Mischung 

aufgenommenen Korrelationsfunktionen. Diese Referenzmischung zeigt für V 0 = 0.6 die Signatur des 

monodispersen Dreiecksgitter-Kristallits und für die gezeigten höheren Potentialstärken die Signatur des 

S 1(AB) Quadratgitters. Die Mischung mit x A = 46.9% zeigt erst bei hohen Potentialstärken wie z.B. 

bei V0 ∗ = 4.8 die diskreten Maxima eines S 1(AB) Kristallits. 

an Voronoizellen mit hexagonaler Struktur bei niedrigen Potentialstärken ausgeprägter 

als in der Referenzmischung mit x a = 50.0%. Auch löst sich der gebildete Dreiecksgitter- 

Kristallit langsamer auf als in der Refenzmischung. Bei V 0 = 2.1 (blau dargestellt) zeigt 

sich in dieser Mischung noch ein Maximum im Bereich der hexagonalen Strukturen bei 

ζ = 1.1026 welches in der 50% Mischung bereits verschwunden ist. Trotzdem erkennt 

man am breiten Maximum nahe ζ = 1.273, daß das S 1 (AB) Gitter sich bereits bildet. 

Zum weiteren Vergleich ist auch für diese Mischung die Korrelationsfunktion der Anzahldichte 

g nn (⃗r) in Abbildung 5.35 für verschiedene Potentialstärken im Vergleich zu der 

50% Mischung dargestellt. Aufgrund der gleichen Packungsdichte in den betrachteten 

Mischungen zeigt g nn (⃗r) bei V0 ∗ = 0.0 für beide Mischungen die konzentrischen Kreise 

der flüssigen Phase. Im Bereich der kontrollierten Entmischung bei V0 ∗ = 0.6 weisen beide 

Systeme in der Korrelationsfunktion der Anzahldichte das diskrete, sechsfache Signal des 

koexistierenden Dreiecksgitter-Kristallits auf. Dieses geht für höhere Potentialstärken in 

beiden Mischungen in das vierfache Signal des koexistierenden S 1 (AB) Kristalliten über. 

Hierbei ist die S 1 (AB) Struktur jedoch bei V ∗ 

0 = 2.1 für die Mischung mit x A = 53.1% 

noch etwas weniger deutlich ausgeprägt als für die 50% Mischung. 

Die neu gefundenen, laser-induzierten Phänomene erweisen sich nach diesen Studien als 

91


V 0 * = 0.0 

V 0 * = 0.6 V 0 * = 2.1 

x = 53.1% 

A 

x = 50.0% 

A 

Abbildung 5.35: Die Korrelationsfunktionen der Anzahldichte g nn(⃗r) für eine Mischung mit einer Konzentration 

von x A = 53.1% der großen Komponente im Vergleich zu den in einer äquimolaren Mischung 

aufgenommenen Korrelationsfunktionen. Die Packungsdichten der beiden Mischungen sind gleich, so 

daß g nn(⃗r) bei V0 ∗ = 0.0 für beide Mischungen die konzentrischen Kreise der flüssigen Phase zeigt. Beide 

Systeme zeigen für V0 ∗ = 0.6 das diskrete sechsfache Signal des koexistierenden Dreiecksgitters. Bei 

V0 ∗ = 2.1 ist dieses in das diskrete vierfache Signal des S 1(AB) Kristallits übergegangen. 

robust gegen kleine Änderungen in den, die Mischung definierenden Parametern σ B /σ A 

und x A , sofern die Systeme durch diese Abweichungen nicht den interesanten Bereich der 

Packungsdichte η verlassen. In experimentellen Systemen tritt bei der Präparation von 

Mischungen immer eine gewisse Streuung in diesen Systemparametern auf. Das Wissen 

um die Robustheit der neuen, laser-induzierten Phänomene gegenüber kleineren Abweichungen 

in diesen Systemparametern bestärkt daher die Vorhersage der Beobachtbarkeit 

dieser neuen Phänomene auch in experimentellen Systemen. 

5.4.5. Ankopplung beider Komponenten an das äußere Feld 

Wie gestaltet sich das Laser Induzierte Frieren für eine 50% Mischung mit σ B /σ A = 

0.414, wenn beide Teilchensorten mit dem kommensurablen, äußeren Feld wechselwirken? 

Die Unterschiede im Bereich der kontrollierten Entmischung wurden bereits im Abschnitt 

5.3 ausführlich diskutiert. An den Bereich der kontrollierten Entmischung schließt 

sich auch in diesem System bei höheren Potentialstärken ein Übergangsbereich an, in 

dem rhombische Domänen mit Quadratgitterdomänen konkurrieren. Da die rhombischen 

Domänen direkt vom externen Potential stabilisiert werden, lösen sie sich nur schwer wie- 

92


der auf. Als Beispiel wird ein Simulationslauf bei ϱ ∗ = 1.68 mit sukzessiv ansteigender 

Potentialstärke V0 ∗ betrachtet. In Abbildung 5.36 sind für den direkten Vergleich typische 

Teilchenkonfigurationen abgebildet. Abbildung 5.36 a) zeigt die Veränderungen mit 

zunehmender Potentialstärke im System mit einer Ankopplung beider Teilchensorten an 

das Substratpotential. In Abbildung 5.36 b) sind die korrespondierenden Teilchenkonfigurationen 

im System mit ausschließlicher Wechselwirkung der kleinen Teilchen mit 

dem äußeren Feld zu sehen. Die kontrollierte Entmischung setzt in Abbildung 5.36 a) 

bereits bei niedrigeren Werten von V0 ∗ ein. Auch der Übergangsbereich ist zu niedrigeren 

Potentialstärken hin verschoben. Während in Abbildung 5.36 a) für V0 ∗ = 1.2 die 

Quadratgitterdomänen die Teilchenkonfiguration bereits dominieren, setzt in Abbildung 

5.36 b), im System mit ausschließlicher Wechselwirkung der kleinen Teilchen mit dem 

äußeren Feld, gerade erst die Bildung von Quadratgitterdomänen ein. Der wichtigste 

Unterschied zwischen den beiden Systemen mit unterschiedlicher Ankopplung der Teilchensorten 

an das externe Potential, besteht jedoch darin, daß in dem System mit Wechselwirkung 

beider Teilchensorten mit dem modulierten Feld keine Phasenkoexistenz des 

S 1 (AB) Quadratgitters mit der Modulierten Flüssigkeit auftritt (siehe Abbildung 5.36 

a) V0 ∗ = 2.1 und V 

∗ 

0 = 4.8). Dieses System geht mit ansteigender Potentialstärke direkt 

in einen defektbehafteten S 1 (AB) Kristall über. Die Defekte im System verschwinden 

a) * * * 

V 

0= 0.3 

V 

0= 1.2 

V 

* 

0= 2.1 

V 

0= 4.8 

b) 

* 

* 

* 

* 

V = 0.3 

V = 1.2 

V = 2.1 

V = 4.8 

0 0 0 0 

Abbildung 5.36: Typische Teilchenkonfigurationen einer 50% Mischung mit σ B/σA = 0.414 bei 

ϱ ∗ = 1.68 unter Einfluß eines modulierten, externen Potentials. a) Die Entwicklung bei einer Wechselwirkung 

beider Teilchensorten mit dem äußeren Feld. b) Im Vergleich dazu die Entwicklung bei einer 

ausschließlichen Ankopplung der kleinen Teilchen an das äußere Feld. 

93


a) 

P(ζ) 

25 

20 

15 

10 

AB 

BB 

* 

V = 0.30 

0 

b) 

P(ζ) 

25 

20 

15 

10 

AB 

BB 

* 

V = 0.90 

0 

5 

5 

c) 

P(ζ) 

0 

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 

ζ 

15 

10 

AB 

BB 

V = 2.1 

d) 

P(ζ) 

0 

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 

ζ 

15 

10 

* * 

0 

0 

AB 

BB 

V = 5.5 

5 

5 

0 

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 

ζ 

0 

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 

ζ 

Abbildung 5.37: Vergleichende Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Formfaktors im 

System mit einer Wechselwirkung beider Teilchensorten mit dem modulierten, externen Potential (in 

schwarz) und im System bei einer ausschließlichen Ankopplung der kleinen Teilchen an das äußere Feld 

(in rot). 

zum Teil bei höheren Potentialstärken, heilen aber nicht komplett aus. Es bleibt ein 

Streifen mit Defekten und Domänengrenzen im System zurück. Dieser kann jedoch nicht 

mit dem im System mit ausschließlicher Ankopplung der kleinen Teilchen an das externe 

Feld auftretenden Streifen der ungeordneten Modulierten Flüssigkeit gleichgesetzt werden. 

Diese augenfälligen Unterschiede in den Teilchenkonfigurationen zeigen sich auch 

deutlich im Vergleich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Formfaktors in den beiden 

Systemen. Abbildung 5.37 zeigt für vier verschiedene Potentialstärken die Verteilungen 

P (ζ) jeweils für die beiden betrachteten Ankopplungsszenarien der Teilchensorten an 

das äußere Feld. Abbildung 5.37 a) und b) verdeutlichen noch einmal die Dominanz der 

kontrollierten Entmischung im System mit einer Wechselwirkung beider Teilchensorten 

mit dem Substratpotential bei niedrigeren Potentialstärken und das frühe Auftreten von 

Quadratgitterdomänen (sichtbar im Anstieg des Maximums in 5.37 b) in ζ = 1.273). 

Generell ist der Anteil der Voronoi Zellen mit Formen nahe dem Quadrat in diesem 

System größer, da hier beide Teilchensorten versuchen sich entlang der Potentialminima 

optimal zu positionieren. Das breite Maximum in den Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

94


ρ * = 1.73 ρ * = 1.63 ρ * = 1.61 

ρ * = 1.41 ρ * = 1.33 ρ 

* 

= 1.15 

Abbildung 5.38: Typische Teilchenkonfigurationen bei einer Potentialstärke von V ∗ 

0 = 20.0 in einem 

System mit Ankopplung beider Teilchensorten an das äußere Feld. Mit sinkender Anzahldichte ϱ ∗ tritt 

eine breite Region mit Rissbildung im System auf. Der darauffolgende, defektbehaftete kristalline Bereich 

ist durch eine breite Übergangszone von der Modulierten Flüssigkeit getrennt. 

des Formfaktors in Abbildung 5.37 c) und d) ist daher im Vergleich zum System mit 

ausschließlicher Wechselwirkung der kleinen Teilchen mit dem äußeren Feld zu ζ = 1.273 

hin verschoben. Daß der defektbehaftete Streifen bei V0 ∗ = 4.8 (siehe Abbildung 5.36 a)) 

sich in seiner Charakteristik stark von der Modulierten Flüssigkeit (siehe Abbildung 5.36 

a)) unterscheidet wird in Abbildung 5.37 d) sichtbar. Die Modulierte Flüssigkeit zeigt 

sich in Form einer langgezogenen Flanke in P (ζ), die auch deutliche Anteile hexagonaler 

Voronoi Zellen umfaßt. Dieser Anteil ist im defektbehafteten S 1 (AB) Kristall stark 

unterdrückt und das breite Maximum zeigt statt dessen eine Schulter im Bereich von 

ζ = 1.156. 

Zur Bestimmung des Phasendiagramms dieses Systems werden Simulationsläufe mit konstanter 

Potentialstärke V0 ∗ und sukzessiv sinkender Anzahldichte ausgewertet. Abbildung 

95


a) b) 

15 

P(S B 

) 

12 

9 

6 

3 

0 

ρ * = 1.77 

ρ * = 1.75 

ρ * = 1.73 

ρ * = 1.15 

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

S B 

 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

V 0 

* = 2.0 

V 0 

* = 5.0 

V 0 

* = 10.0 

V 0 

* = 20.0 

* 

V 0 = 50.0 

1 

1.6 1.7 1.8 

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 

ρ 

Abbildung 5.39: a) Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Ordnungsparameters S B zeigen deutlich 

das Einsetzen der Rissbildung an. Hier ist als Beispiel ein System bei V0 ∗ = 20.0 abgebildet. b) Der Mittelwert 

des Ordnungsparameters S A weicht innerhalb des Bereichs der Rissbildung nur schwach von 1 ab 

(siehe die eingeblendete, vergrößerte Darstellung). Erst bei Eintritt in den Bereich des defektbehafteten 

S 1(AB) Kristalls, tritt eine deutliche Änderung in der ϱ ∗ -Abhängigkeit des Mittelwertes < S A > auf. 

Diese kann zur Ermittlung der Phasengrenze des Rissbildungs-Regimes verwendet werden. 

5.38 zeigt ein paar typische Teilchenkonfigurationen aus solch einem Simulationslauf 

bei V0 ∗ = 20.0 und verschiedenen, interessanten Anzahldichten ϱ∗ . Die Abgrenzung des 

Regimes der Rissbildung vom LF S erfolgt wieder durch die Auswertung der Wahrscheinlichkeitsveteilungen 

P (S B ). Diese sind für das betrachtete Beispiel in Abbildung 

5.39 a) gezeigt. Für die Abgrenzung dieses Bereichs gegen den defektbehafteten S 1 (AB) 

Kristall, kann wiederum der Ordnungsparameter S A herangezogen werden. Da jedoch 

in diesem System auch die großen Teilchen mit dem externen Feld wechselwirken und 

sich daher entlang der Minima ausrichten, ist die Abweichung von seinem Maximalwert 

S A = 1 beim Eintritt in den defektbehafteten S 1 (AB) Kristall nicht ganz so deutlich wie 

beim Eintritt in den Koexistenzbereich im System mit ausschließlicher Wechselwirkung 

der kleinen Teilchen mit dem externen Potential. Die ϱ ∗ -Abhängigkeit des Mittelwertes 

< S A > ändert sich jedoch beim Eintritt in den defektbehafteten S 1 (AB) Kristall, 

so daß aus der Analyse von < S A > die Grenzlinie gewonnen werden kann (vergleiche 

Abbildung 5.39 b)). Die Abgrenzung des defektbehafteten S 1 (AB) Kristalls von 

der Modulierten Flüssigkeit gestaltet sich schwierig. Der Kristall zerfällt in immer mehr 

konkurrierende Domänen (vergleiche Abbildung 5.38 die Konfigurationen bei ϱ ∗ = 1.41 

und ϱ ∗ = 1.33). Die Grenze, welche im Phasendiagramm angegeben wird, bezieht sich 

auf den Bereich, in dem die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Rotationsordnung ihren 

Charakter signifikant ändern. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen P (Ψ 4 ) und P (Ψ 8 ) 

wurden im Rahmen einer Blockanalyse in Subsystemen der Größe L B = L/9 berechnet. 

Abbildung 5.40 a) zeigt die Verteilungen von Ψ 8 für ein System mit V0 ∗ = 50.0. Der Rotationsordnungsparameter 

Ψ 8 testet das System auf eine 8-fache Rotationssymmetrie, 

d.h. auf eine gleichmäßige Verteilung von 8 Teilchen um ein zentrales Teilchen, wie dies 

im S 1 (AB) Quadratgitter der Fall ist. Im Bereich des defektbehafteten S 1 (AB) Kristalls 

sind die Verteilungen P (Ψ 8 ) asymmetrisch und weisen eine langgezogene Schulter auf. 

96


a) b) 

V 0= 50.0 

P(Ψ 8 

) 

6 

4 

2 

ρ = 1.49 

ρ = 1.47 

ρ = 1.45 

ρ = 1.43 

ρ = 1.41 

ρ = 1.39 

ρ = 1.11 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Ψ 8 

 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

V 0 

= 2.0 

V 0 

= 5.0 

V 0 

= 10.0 

V 0 

= 20.0 

V 0 

= 50.0 

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 

ρ 

Abbildung 5.40: Mit sinkender Anzahldichte verliert der Kristall seine Rotationsordnung. In a) ist die 

Wahrscheinlichkeitsverteilung von Ψ 8 gezeigt, welche auf eine gleichmäßige Verteilung von 8 Teilchen 

um ein zentrales Teilchen, wie dies im S 1(AB) Quadratgitter der Fall ist, anspricht. Die Verteilungen 

zeigen im Bereich des defektbehafteten S 1(AB) Kristalls eine langgezogenen Schulter. Der Wechsel von 

diesen asymmetrischen Verteilungen der geordneten Struktur (ϱ ∗ ≥ 1.63) zu den breiten Verteilungen 

konkurrierender Domänen wird als Grenze zwischen dem defektbehafteten S 1(AB) Kristall und der Modulierten 

Flüssigkeit im Phasendiagramm eingetragen. b) Auch der Mittelwert des Ordnungsparameters 

S B zeigt ab diesem Bereich der Anzahldichte einen monotonen Anstieg, der durch die Kettenbildung 

der kleinen Teilchen in der Modulierten Flüssigkeit bedingt ist. Der Bereich der Modulierten Flüssigkeit 

ist durch die gefüllten Symbole gekennzeichnet. (Der diskontinuierliche Sprung bei hohen Anzahldichten 

zeigt das Einsetzen der Rissbildung an.) 

Das Maximum dieser Verteilungen ist jedoch eindeutig zu identifizieren und liegt bei 

hohen Werten des Ordnungsparameters. Der Wechsel von diesen asymmetrischen Verteilungen 

der geordneten Struktur (ϱ ∗ ≥ 1.63) zu den breiten Verteilungen konkurrierender 

Domänen wird als Grenze zwischen dem defektbehafteten S 1 (AB) Kristall und der 

Modulierten Flüssigkeit im Phasendiagramm eingetragen. Die Analyse des Rotationsordnungsparameters 

Ψ 4 , welcher auf eine 4-fache Rotationssymmetrie des Sub-Gitters 

der großen Teilchen testet, gibt konsistente Ergebnisse. Betrachtet man zudem das Verhalten 

des Mittelwerts des Ordnungsparameters S B genauer (siehe Abbildung 5.40 b)), 

so erkennt man auch in diesem Fall eine grundlegende Änderung des Verhaltens im Bereich 

der aus den Verteilungen der Rotationsordnungsparameter bestimmten Grenzlinie. 

< S B > springt zunächst diskontinuierlich im Bereich hoher Dichten beim Eintritt in das 

Regime der Rissbildung von Null auf Werte ungleich Null. In diesem Regime und dem 

defektbehafteten S 1 (AB) Kristall sinken die Werte von < S B > . Erst ab der Grenzlinie 

zur Modulierten Flüssigkeit ist im System so viel Platz, daß kleine Teilchen, welche 

nah beieinander sind, immer optimaler in Ketten angeordnet sind. < S B > strebt daher 

in diesem Bereich monoton gegen hohe Werte. Dieser Bereich ist in Abbildung 5.40 b) 

durch die gefüllten Symbole gekennzeichnet. Aus diesen Analysen erhält man das in Abbildung 

5.41 wiedergegebene Phasendiagramm einer binären, äquimolaren Mischung mit 

σ B /σ A = 0.414 unter dem Einfluß eines kommensurabel modulierten, äußeren Feldes, 

an welches beide Teilchensorten ankoppeln. 

97


1.8 

Locked Floating Solid: S (AB) 

1 

82.8 

ρ * 

1.7 

1.6 

1.5 

Rissbildung 

S (AB) mit Defekten 

1 

78.2 

73.6 

69.0 

η [%] 

1.4 

1.3 


10 20 30 40 50 

V 0 

* 

64.4 

59.8 

Abbildung 5.41: Die ϱ ∗ -V ∗ 

0 Ebene des Phasendiagramms für eine binäre, äquimolare Mischung mit 

σ B/σ A = 0.414 unter Einfluß eines kommensurabel modulierten, äußeren Feldes, an welches beide Teilchensorten 

ankoppeln. 

5.4.6. Einfluß der Stärke der Ankopplung 

Wie der vorangegangene Abschnitt gezeigt hat, wird es schwieriger einen perfekten 

S 1 (AB) Kristall durch Einwirkung eines äußeren Feldes auf eine Mischung zu erzeugen, 

wenn beide Teilchensorten an das modulierte Feld ankoppeln, als wenn nur die 

kleinere Komponente der Mischung mit dem externen Potential wechselwirkt. Es stellt 

sich daher die Frage, bis zu welchem Maß der Ankopplung der großen Teilchen an das 

modulierende Feld, eine Koexistenz des nahezu defektfreien S 1 (AB) Quadratgitters mit 

der Modulierten Flüssigkeit auftritt. Um auf diese Frage eine Antwort geben zu können 

werden nun Systeme mit unterschiedlich starker Ankopplung der großen Teilchen an 

das externe, modulierte Feld verglichen. Es wurden Simluationsläufe bei konstanter Anzahldichte 

ϱ ∗ = 1.68 und sukzessiv ansteigender Potentialstärke durchgeführt. In diesen 

an das Feld. Für 

die großen Teilchen wurden zusätzlich zu den bereits bekannten Fällen VA,0 ∗ = 0.0 · V 0,B 

∗ 

und VA,0 ∗ = 1.0 · V 0,B ∗ , die Fälle V A,0 ∗ = 0.1 · V 0,B ∗ , V A,0 ∗ = 0.25 · V 0,B ∗ , V A,0 ∗ = 0.5 · V 0,B 

∗ 

Simulationen koppeln die kleinen Teilchen mit der Stärke V ∗ B,0 = V ∗ 

0 

und V ∗ A,0 

= 0.75 · V ∗ 

0,B 

simuliert. Abbildung 5.42 zeigt zunächst einen Vergleich der 

98


a) 

V = 0.00V 

b) 

V = 0.10V 

* * 

* 

* 

* 

A,0 B,0 

A,0 B,0 

A,0 

c) 

V = 0.25V 

* 

B,0 

d) 

* 

* 

* * 

V e) 

A,0= 0.50VB,0 

V 

A,0= 0.75VB,0 

f) V 

A,0= 1.00V 

* * 

B,0 

Abbildung 5.42: Vergleich der Überlagerungen der Teilchenpositionen der großen Teilchen in Systemen 

mit unterschiedlich starker Ankopplung der großen Teilchen an das äußere Feld. Die kleinen Teilchen 

wechselwirken mit einer Stärke von VB,0 ∗ = 0.9 mit dem äußeren Feld. Bei der betrachteten Anzahldichte 

von ϱ ∗ = 1.68 befindet sich das System mit VA,0 ∗ = 0.0 · V0,B ∗ in a) daher im Bereich der kontrollierten 

Entmischung, in dem das monodisperse Dreiecksgitter mit der binären Flüssigkeit koexistiert. 

Überlagerungen der Teilchenpositionen der großen Teilchen in den Systemen bei einer 

niedrigen Potentialstärke von V0 ∗ = 0.9. Im System mit V A,0 ∗ = 0.0 · V 0,B ∗ befindet man 

sich im in Abschnitt 5.3 diskutierten Fall der kontrollierten Entmischung. Es liegt eine 

Koexistenz eines monodispersen Dreiecksgitters mit einer binären Flüssigkeit vor. Der 

Dreiecksgitter-Kristallit ist in Abbildung 5.42 a) deutlich zu erkennen. Wechselwirken 

die großen Teilchen nun nur mit einem Zehntel der Stärke der kleinen Teilchen mit dem 

externen Feld, so wird diese Phasenseparation zunächst unterdrückt! Das System mit 

VA,0 ∗ = 0.1 · V 0,B ∗ in Abbildung 5.42 b) zeigt keinen, während der gesamten Simulation 

stabilen Kristallit. Die Ursache für dieses Verhalten liegt darin, daß sobald die großen 

Teilchen an das externe Feld koppeln, sie nicht mehr ein beliebig orientiertes Dreiecksgitter 

bilden können, um der Kettenbildung der kleinen Teilchen Raum zu geben, sondern 

sich auf einem am externen Feld ausgerichteten, rhombischen Gitter anordnen müssen. 

Der Energiegewinn im System durch die Kettenbildung der kleinen Teilchen entlang der 

Potentialminima reicht daher hier noch nicht dazu aus, das System in eine Phasenseparation 

zu treiben. Dagegen wird bereits bei VA,0 ∗ = 0.25 · V 0,B ∗ (siehe Abbildung 5.42 

99


a) 

* 

* 

* 

* 

V = 0.00V b) V = 0.10V c) V = 0.25V 

A,0 B,0 

A,0 

B,0 

* * 

A,0 

B,0 

d) 

V = 0.50V 

e) 

* * 

* 

A,0 B,0 

A,0 

V = 0.75V 

* 

B,0 

f) 

V = 1.00V 

* 

A,0 

* 

B,0 

Abbildung 5.43: Vergleich der Überlagerungen der Teilchenpositionen der großen Teilchen in Systemen 

mit unterschiedlich starker Ankopplung der großen Teilchen an das äußere Feld. Die kleinen Teilchen 

wechselwirken mit einer Stärke von VB,0 ∗ = 2.1 mit dem äußeren Feld. Bei der betrachteten Anzahldichte 

von ϱ ∗ = 1.68 befindet das System mit VA,0 ∗ = 0.0 · V0,B ∗ in a) sich daher im Bereich der Koexistenz des 

S 1(AB) Quadratgitters mit der binären Flüssigkeit. 

c)) die Gesamtenergie des Systems durch die optimale Anordnung beider Teilchensorten 

bezüglich des externen, modulierten Feldes minimiert. Dies führt zur direkten Stabilisierung 

des am externen Feld ausgerichteten, rhombischen Gitters in Koexistenz mit der 

binären Flüssigkeit. Abbildung 5.42 d)-f) zeigen, wie mit stärker werdender Ankopplung 

der großen Teilchen an das äußere Potential Domänen des Quadratgitters sich bilden und 

immer stärker mit den Domänen des rhombischen Gitters konkurrieren. Das System mit 

kompletter, Ankopplung beider Teilchensorten (siehe Abbildung 5.42 f)) befindet sich 

bei dieser Potentialstärke V0 ∗ = 0.9 bereits im Übergangsbereich in den defektbehafteten 

S 1 (AB) Kristall. Es lassen sich keine eindeutig von einer fluiden Phase abgegrenzten 

Kristallite mehr in der Überlagerung der Teilchenpositionen der großen Teilchen identifizieren. 

Man erkennt somit, daß durch die zusätzliche Ankopplung der großen Teilchen 

an das externe Potential zunächst die Entstehung des phasenseparierten Dreiecksgitters 

unterdrückt wird. Sobald jedoch die Wechselwirkung der großen Teilchen mit dem äußeren 

Feld stark genug ist, um eine Koexistenz des rhombischen Gitters mit der binären 

Flüssigkeit zu stabilisieren, tritt diese ein. 

100


a) 6 

b) 6 

V 

* 

= 0.9 V* 

A,0 

= 0.00V* B,0 

V* 

0 A,0 

= 0.00V* 

B,0 

V 

* 

0 = 2.1 

5 

* * 5 * * 

P(Ψ 8 

) 

4 

V A,0 

= 0.10V B,0 

V* 

A,0 

= 0.25V* 

B,0 

V* 

A,0 

= 0.50V* 

B,0 

V* 

A,0 

= 0.75V* 

B,0 

* * 

P(Ψ 8 

) 

V A,0 

= 1.00V B,0 

3 

3 V* A,0 

= 1.00V* 

B,0 

2 

2 

1 

1 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

0 

0 

Ψ 8 

0.2 0.4 

Ψ 8 

0.6 0.8 1 

4 

V A,0 

= 0.10V B,0 

V* 

A,0 

= 0.25V* 

B,0 

V* 

A,0 

= 0.50V* 

B,0 

V* 

A,0 

= 0.75V* 

B,0 

Abbildung 5.44: Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Rotationsordnungsparameters Ψ 8 berechnet über 

Sub-Boxen der Größe L B = L/9 in Systemen bei ϱ ∗ = 1.68 mit unterschiedlich starker Ankopplung der 

großen Teilchen an das externe Potential. Der Grenzfall der ausschließlichen Wechselwirkung der kleinen 

Teilchen mit dem äußeren Feld ist in schwarz, der der Wechselwirkung beider Teilchensorten mit dem 

externen Potential in orange dargestellt. 

Analog läßt sich der Einfluß der Stärke der Wechselwirkung der großen Teilchen mit dem 

modulierten Feld im Bereich der Phasenkoexistenz des S 1 (AB) Quadratgitters mit der 

binären Flüssigkeit an den Überlagerungen der Teilchenpositionen der großen Teilchen 

sichtbar machen. Abbildung 5.43 zeigt diese in Systemen mit V0 ∗ = 2.1. Die Systeme 

mit VA,0 ∗ = 0.1 · V 0,B ∗ und V A,0 ∗ = 0.25 · V 0,B ∗ in Abbildung 5.43 b) und c) zeigen noch ein 

ähnliches Verhalten wie das System mit ausschließlicher Ankopplung der kleinen Teilchen 

an das externe Potential in Abbildung 5.43 a). Der geordnete Kristall koexistert 

mit einem Streifen einer weniger geordneten Phase. Durch die zusätzliche Ankopplung 

der großen Teilchen an das Potential ist diese ’fluide’ Phase aber nicht mehr komplett 

ungeordnet. Zudem zeigt das System in Abbildung 5.43 c), in dem die Wechselwirkung 

der großen Teilchen mit dem äußeren Feld nur ein Viertel der Stärke der Wechselwirkung 

der kleinen Teilchen mit dem äußeren Feld aufweist, bereits eine Tendenz zur Bildung 

von Korngrenzen und Defekten im koexistierenden S 1 (AB) Quadratgitter. Ab der in 

Abbildung 5.43 d) dargestellten Situation mit VA,0 ∗ = 0.5 · V 0,B ∗ kann nicht mehr von 

einer Koexistenz des Quadratgitters mit einer Flüssigkeit die Rede sein. Das System 

ist direkt in den defekbehafteten Kristall übergegangen, der auch für VA,0 ∗ = 1.0 · V 0,B 

∗ 

vorliegt. Auch bei der Betrachtung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Rotationsordnungsparameter 

läßt sich erkennen, welche Systeme in ihren Eigenschaften noch dem 

System mit ausschließlicher Wechselwirkung der kleinen Teilchen an das äußere Feld und 

welche schon mehr dem System mit Ankopplung beider Teilchensorten an das externe 

Potential entsprechen. In Abbildung 5.44 sind die im Rahmen einer Blockanalyse in 

Sub-Boxen der Größe L B = L/9 berechneten Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Rotationsordnungsparameters 

Ψ 8 für die beiden diskutierten Potentialstärken V0 ∗ = 0.9 und 

V0 ∗ = 2.1 dargestellt. Für V 

∗ 

0 = 0.9 in Abbildung 5.44 a) zeigen die Verteilungen für 

VA,0 ∗ ≤ 0.25 · V 0,B ∗ ein sehr ähnliches Verhalten. Die Potentialstärke ist noch nicht hoch 

genug, um einen nennenswerten Anteil von quadratischen Strukturen im System zu in- 

101


duzieren. Das System mit VA,0 ∗ = 0.5·V 0,B ∗ zeigt eine stärkere Abweichung von diesen und 

das System mit VA,0 ∗ = 0.75·V 0,B ∗ zeigt bereits eine nahezu identische Verteilung, wie das 

System mit gleich starker Ankopplung beider Teilchensorten an das externe Potential. 

Es ist anzumerken, daß die Verteilungen der Systeme VA,0 ∗ = 0.0 · V 0,B ∗ (schwarz) und 

VA,0 ∗ = 1.0·V 0,B ∗ (orange) während der Simulation mit einer feineren Auflösung direkt berechnet 

wurden. Hingegen wurden die übrigen Verteilungen aus 4000 Datensätzen nach 

Abschluß der Simulation berechnet. Die geringere Statistik erklärt den nicht so glatten 

Verlauf dieser Verteilungen. Abbildung 5.44 b) zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

bei V0 ∗ = 2.1. Für V A,0 ∗ = 0.0 · V 0,B ∗ und V A,0 ∗ = 0.1 · V 0,B ∗ läßt sich eindeutig die für das 

Koexistenzgebiet typische Dopplepeak-Struktur erkennen. Die Verteilungen der Systeme 

mit VA,0 ∗ ≥ 0.5 · V 0,B ∗ zeigen ein Maximum des geordneten Kristalls, welches aber aufgrund 

der Defekte Nebenmaxima aufweist. Aufgrund des Verlauf der Verteilung für das 

System mit VA,0 ∗ = 0.25 · V 0,B ∗ erkennt man, daß auch dieses System bereits stark von 

dem System mit VA,0 ∗ = 0.0 · V 0,B ∗ abweicht. 

Zusammenfassend lassen sich aufgrund dieser Simulationsläufe im Hinblick auf die Möglichkeit 

die laser-induzierten Phänomene in experimentellen Systemen zu beobachten die 

folgenden Aussagen machen: 

→ Die Koexistenz eines Dreiecksgitters mit der binären Flüssigkeit tritt nur 

im System mit V ∗ A,0 = 0.0 · V ∗ 

0,B auf. 

→ Für die Koexistenz eines rhombischen Gitters mit der binären Flüssigkeit 

muß gelten V ∗ A,0 > 0.1 · V ∗ 

0,B . 

→ Das S 1 (AB) Quadratgitter bildet sich umso defekt-freier je schwächer die 

Ankopplung der großen Teilchen an das modulierte, äußere Potential ist. 

→ Die Koexistenz des S 1 (AB) Quadratgitters mit der binären Flüssigkeit 

tritt in Systemen mit V ∗ A,0 < 0.25 · V ∗ 

0,B auf. 

5.4.7. Ankopplung der großen Komponente an das äußere Feld 

In diesem Abschnitt wird das Verhalten der 50% Mischung mit σ B /σ A = 0.414 unter 

Einfluß eines kommensurablen, externen Potentials, welches ausschließlich an die große 

Komponente der Mischung ankoppelt im Bereich höherer Potentialstärken untersucht. 

Für niedrige Potentialstärken V0 ∗ wurde, wie bereits in Abschnitt 5.3 zur kontrollierten 

Entmischung diskutiert, eine Koexistenz eines monodispersen, rhombischen Kristallits 

der großen Teilchen mit der binären Flüssigkeit gefunden. Abbildung 5.45 zeigt typische 

Teilchenkonfigurationen eines Simulationslaufs bei ϱ ∗ = 1.71 und sukzessiv ansteigender 

Potentialstärke V ∗ 

0 

. Das System zeigt im Gegensatz zu den bisher diskutierten Systemen 

) bei Potentialstärken V 

∗ 

0 > 2.0 

mit V ∗ A,0 = 0.0 ∗ V ∗ B,0 bzw. V ∗ A,0 = 1.0 ∗ V ∗ B,0 (V ∗ B,0 = V ∗ 

0 

keine Tendenz eine Quadratgitterstruktur auszubilden. Das vorherrschende rhombische 

Gitter der großen Teilchen weist unregelmäßig geformte Löcher auf, welche mit den 

kleineren Teilchen aufgefüllt sind. An den Domänengrenzen der einzelnen rhombischen 

102


V 

* 

0 = 0.0 

V 

* 

0 = 0.3 

V 

* 

0 = 0.9 

V 0 * = 1.2 

V 0 

* = 2.1 

V 0 

* = 3.0 

Abbildung 5.45: Typische Teilchenkonfigurationen aus der Simulation einer binären Mischung der Anzahldichte 

ϱ ∗ = 1.71 bei ausschließlicher Wechselwirkung der großen Teilchen mit dem kommensurablen, 

äußeren Feld und sukzessiv ansteigender Potentialstärke V0 ∗ . 

Kristallite bilden die kleineren Teilchen Ketten entlang der x-Richtung, indem sie die 

an den Domänengrenzen auftretenden Lücken füllen. Auch in den Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

der Rotationsordnungsparameter spiegelt sich dieses Verhalten wieder. Die 

Verteilungen sind für Sub-Boxen der Größe L B = L/9 berechnet. Der Rotationsordnungsparameter 

Ψ 6 spricht auch noch recht gut auf das rhombische Gitter an, in dem 

ein Teilchen auch jeweils 6 nächste Nachbarn hat. Abbildung 5.46 a) zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

von Ψ 6 . Es sei zur Erinnerung hier noch einmal angemerkt, 

daß sowohl Ψ 6 als auch Ψ 4 nur die Struktur der großen Teilchen analysieren. Ab einer 

Potentialstärke von V0 ∗ = 0.2 zeigt die Doppelpeak-Struktur der Verteilung die Koexistenz 

des rhombischen Gitters mit der Flüssigkeit an. Bereits ab V0 ∗ = 0.3 bildet das 

Maximum der geordneten Struktur eine breite Schulter hin zu niedrigeren Werten von 

Ψ 6 aus. Diese ist typisch für das System. Mit steigender Potentialstärke verliert das 

103


a) 8 

b) 8 

P(Ψ 6 

) 

6 

4 

2 

V* 0 

= 0.1 

V* 

0 

= 0.1 

V* 

0 

= 0.2 

V* 

0 

= 0.2 

V* 

0 

= 0.3 

6 

V* 

0 

= 0.3 

V* 

0 

= 0.9 

V* 

0 

= 0.9 

V* 

0 

= 1.2 

V* 

V 0 

= 2.1 

4 

0 

= 1.2 

* 

V* 

0 

= 2.1 

V* 

0 

= 3.0 

V* 

0 

= 3.0 

P(Ψ 4 

) 

2 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Ψ 6 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Ψ 4 

Abbildung 5.46: Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Rotationsordnungsparameter Ψ 6 in a) und Ψ 4 

in b) in Abhängigkeit von der Potentialstärke V0 ∗ in einem System der Anzahldichte ϱ ∗ = 1.71. Die 

Verteilungen sind für Sub-Boxen der Größe L B = L/9 berechnet. 

Maximum der ungeordneten Phase immer mehr an Bedeutung in den Verteilungen. Die 

rhombischen Kristallite dominieren das System. Abbildung 5.46 b) zeigt im Vergleich 

dazu die Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Rotationsordnungsparameters Ψ 4 . Diese 

Verteilungen zeigen, daß mit ansteigender Potentialstärke V0 ∗ eventuell vorhandene quadratische 

Strukturen im System unterdrückt werden. Die Verteilungen verschieben sich 

zu niedrigeren Werten von Ψ 4 . Sie verlieren bei höheren Potentialstärken ihren glatten 

Verlauf, da sich im System Korngrenzen bilden, die lokal eine quadratische Struktur 

aufweisen. 

Gemäß den theoretischen Vorüberlegungen in Kapitel 4.2.1 ist auch für dieses System 

das S 1 (AB) Quadratgitter, die einzige Struktur, die bei hohen Anzahldichten ϱ ∗ und 

hohen externen Potentialstärken V0 ∗ eine gute Packung der Teilchen bei gleichzeitig optimaler 

Positionierung bezüglich des äußeren Feldes bietet. Trotzdem zeigt das System 

keine Tendenz eine solche Gitterstruktur auszubilden. Ob sich durch langsames Steigern 

der Anzahldichte im System bei z.B. V0 ∗ = 3.0 ein S 1(AB) Quadratgitter kristallisieren 

läßt ist eine offene Frage. Aufgrund der vorangegangenen Studien des Systems mit Ankopplung 

beider Teilchensorten an das äußere Feld, in denen sich zeigte, daß sich das 

durch das externe Potential direkt stabilisierte rhombische Gitter nur schlecht wieder 

auflöst und die Ausbildung eines defekt-freien S 1 (AB) Quadratgitters behindert, ist eine 

Umordnung des rhombischen Gitters in ein Quadratgitter bei steigender Dichte eher 

unwahrscheinlich. In sehr dichten Festkörpersystemen wird die Äquilibrierung in Monte 

Carlo Simulationen jedoch immer schwieriger. Es besteht die Gefahr in einem lokalen 

Minimum der Energie stecken zu bleiben. Daher sollte diese Fragestellung nur mit speziellen 

Monte Carlo Algorithmen, wie z.B. dem ’lattice-switch’ Verfahren (siehe z.B. [38]) 

überprüft werden. 

Im Rahmen der hier vorliegenden Arbeit wurde lediglich überprüft, wie stabil eine bestehendes 

S 1 (AB) Quadratgitter ist, wenn es einem kommensurablen, äußeren Feld ausgesetzt 

wird, welches ausschließlich mit den großen Teilchen wechselwirkt. Zu diesem 

104


ρ * = 1.75 ρ * = 1.71 ρ * = 1.67 

ρ = 1.57 

ρ = 1.33 ρ = 1.15 

* * * 

Abbildung 5.47: Typische Teilchenkonfigurationen aus der Simulation einer binären Mischung bei 

ausschließlicher Wechselwirkung der großen Teilchen mit dem kommensurablen, äußeren Feld bei einer 

Potentialstärke von V0 ∗ = 5.0 und sukzessiv sinkender Anzahldichte ϱ ∗ . 

Zweck wurde ein Simulationslauf bei fester Potentialstärke V0 ∗ = 5.0 aus der geordneten 

Struktur heraus mit sukzessiv sinkender Anzahldichte ϱ ∗ durchgeführt. Abbildung 5.47 

zeigt typische Teilchenkonfigurationen dieses Simulationslaufs. Bei sehr hohen Anzahldichten 

bleibt das S 1 (AB) Quadratgitter zunächst stabil. Wie in den beiden anderen diskutierten 

Ankopplungsszenarien der Teilchensorten an das äußere Feld, tritt ein Bereich 

der Rissbildung auf. Im Unterschied zu den Rissen in diesen Systemen sind innerhalb 

der hier vorliegenden Risse die kleinen Teilchen jedoch ungeordnet. Dies erkennt man 

auch in den Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Ordnungsparameters S B die in Abbildung 

5.48 a) dargestellt sind. Mit Einsetzen der Rissbildung zeigt P (S B ) eine breite 

Verteilung (siehe zum Vergleich mit den beiden anderen Systemen Abbildung 5.22 a) 

und Abbildung 5.39 a)). Große Teilchen, die sich innerhalb des Risses aus der Quadratgitterstruktur 

gelöst haben, werden in diesem System durch das externe Potential in 

105


a) 30 

b) 

P(S B 

) 

20 

10 

0 

ρ * = 1.57 

ρ * = 1.67 

ρ * = 1.71 

ρ * = 1.75 

ρ * = 1.77 

ρ * = 1.79 

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

S B 

 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

j = A 

j = B 

Kristall 

mit 

Defekten 

Riss 

0 

1 1.2 1.4 1.6 1.8 

ρ * 

Abbildung 5.48: a) Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Ordnungsparameters S B in Abhängigkeit von 

der Anzahldichte ϱ ∗ . Das Eintreten der Rissbildung wird im Abweichen der Verteilung von der deltaförmigen 

Verteilung in Null sichtbar. b) Verlauf der Mittelwerte der Ordnungsparameter S A und S B mit 

sinkender Anzahldichte ϱ ∗ im System. Der rote Pfeil markiert das Einsetzen der Rissbildung im System. 

Die schwarzen Pfeile kennzeichnen die Grenzen des Bereichs, in dem der defektbehaftete Kristall vorliegt. 

der neuen Position stabilisiert, so daß der Übergang in den defektbehafteten S 1 (AB) 

Kristall bereits bei hohen Dichten stattfindet (siehe Abbildung 5.47 ϱ ∗ = 1.67). Dieser 

geht direkt in das mit Löchern durchsetzte rhombische Gitter der großen Teilchen über, 

welches auch in den Simulationsläufen bei konstanter Anzahldichte und steigender Potentialstärke 

gefunden wurde. Im Bereich sehr viel niedrigerer Anzahldichten liegt die 

Modulierte Flüssigkeit vor. Die Abfolge dieser Strukturen im System wird auch im Verlauf 

der Mittelwerte der Ordnungsparameter S A und S B mit der Anzahldichte sichtbar. 

Diese sind in Abbildung 5.48 b) dargestellt. Die erste Abweichung von < S B > von Null 

kennzeichnet den Beginn der Rissbildung (in der Abbildung durch einen roten Pfeil markiert). 

Hingegen kennzeichnet die Abweichung von < S A > von 1 den Übergang in den 

defektbehafteten S 1 (AB) Kristall. < S A > erreicht beim Übergang in den mit Löchern 

zersetzten rhombischen Kristall der großen Teilchen ein Plateauwert, von dem er erst 

bei sehr viel niedrigeren Anzahldichten langsam abfällt. Der Bereich in dem der defektbehaftete 

S 1 (AB) Kristall vorliegt ist durch die schwarzen Pfeile in Abbildung 5.48 b) 

gekennzeichnet. Im Vergleich mit den für die Ankopplungsszenarien VA,0 ∗ = 0.0 · V B,0 

∗ 

(Phasendiagramm siehe Abbildung 5.23) und VA,0 ∗ = 1.0 · V B,0 ∗ (Phasendiagramm siehe 

Abbildung 5.40) beginnt bei einer Potentialstärke von V0 ∗ = 5.0 die Rissbildung in etwa 

bei der gleichen Anzahldichte, die einer Packungsdichte η von ca. 80.5% entspricht. Der 

Übergang in den defektbehafteten S 1 (AB) Kristall findet bei einer Packungsdichte von 

ca. 78.6% statt. Der Übergang in den mit Löchern zersetzten rhombischen Kristall tritt 

bei einer Packungsdichte von ca. 73.1% ein. Der aufgesetzte S 1 (AB) Kristall ist somit bei 

einer ausschließlichen Wechselwirkung der großen Teilchen mit dem externen Potential 

wesentlich schlechter stabilisiert, als in den beiden zuvor diskutierten Ankopplungszenarien. 

Mit diesen Studien des Systems mit ausschließlicher Ankopplung der großen Teilchen an 

106


das äußere Feld schließt der erste Teil der hier vorliegenden Arbeit, welcher sich mit der 

kontrollierten Strukturbildung unter Einfluß eines äußeren Feldes in binären Monolagen 

beschäftigte. 

Der zweite Teil dieser Arbeit konzentriert sich nun auf die Analyse der elastischen Eigenschaften 

zweidimensionaler Systeme. Zur Anlayse und Interpretation von aus Experimenten 

gewonnenen Teilchenkonfigurationen wird zunächst eine nicht-lokale Landau 

Gitterfeldtheorie entwickelt. Hier erweisen sich Computer-Simulationen als extrem nützlich, 

um die Gitterfeldtheorie zu testen und ihre Tragweite abzugrenzen. In den nächsten 

zwei Kapiteln werden zunächst kurz die Grundlagen (Elastizitätstheorie und Landau 

Theorie) der entwickelten Landau Gitterfeldtheorie vorgestellt. 

107

108

KAPITEL 6 

Elastizitätstheorie 

Im Folgenden werden die für die hier vorgelegte Arbeit relevanten Aspekte der Elastizitätstheorie 

kurz zusammengestellt. Ausführlichere Darstellungen der verschiedenen 

Bereiche der Elastizitätstheorie findet man in der Literatur, insbesondere zu den vorgestellten 

Aspekten in den Referenzen [80, 81, 82, 83, 84], an denen sich die folgende 

Darstellung orientiert. In der Elastizitätstheorie wird ein deformierbarer Körper als Kontinuum 

aufgefaßt. Dem zugrunde liegt die Annahme, daß das vom Körper eingenommene 

Volumen stetig mit Materie gefüllt ist und alle zur Beschreibung des deformierten 

Zustands wichtigen Größen stetige Funktionen des Ortes sind. Der Körper wird zur 

Beschreibung in einzelne Volumenelemente zerlegt. Wird zusätzlich noch angenommen, 

daß diese Volumina identisch sind, so spricht man von einem homogenen Kontinuum. Die 

Elastizitätstheorie ist eine phänomenologische Theorie, die das Verhalten des Kontinuums 

auf der Grundlage experimenteller Befunde und Materialkonstanten beschreibt. Die 

Einwirkung von Kräften bewirkt eine Deformation des Körpers. Diese läßt sich durch das 

Verschiebungsfeld ⃗u = ⃗x ′ − ⃗x beschreiben, welches sich aus der Differenz der Koordinaten 

der Volumenelemente vor (⃗x) und nach (⃗x ′ ) der Deformation berechnet. Die durch 

eine z.B. äußere Last erzeugte Änderung der räumlichen Anordnung ist im Allgemeinen 

eine Überlagerung von Translation und Rotation des unverformten Körpers und einer 

Verzerrung des Körpers selbst. Die Elastizitätstheorie konzentriert sich auf die Analyse 

dieses Verzerrungszustands. Je nach Materialeigenschaften, Stärke und Art der äußeren 

Belastungen, kann eine elastische oder eine plastische Verformung des Körpers (z.B. bei 

Metallen) resultieren. Auch kann es zu Rissbildungen (z.B. in keramischen Werkstoffen) 

im Körper oder aber zu einem Fließen kommen. Die Beschreibung der Prozesse bei reversiblen 

Deformationen ist das Anliegen der Elastizitätstheorie. Der Belastungsbereich, 

in dem die Deformation proportional zur erzeugenden Last ist wird insbesondere durch 

die lineare Elastizitätstheorie beschrieben. 

109


Mathematisch beschreibt man den Verformungsvorgang durch eine affine Abbildung. 

Diese ist eine stetige Funktion und garantiert dadurch, daß alle Volumenelemente auch 

nach der Verformung fugenlos aneinanderpassen (keine Rissbildung!). Des weiteren soll 

zwischen dem Referenzzustand und dem Verzerrungszustand ein eindeutiger Zusammenhang 

bestehen. Die lineare Elastizitätstheorie läßt sich durch infinitesimale, affine 

Abbildungen beschreiben. Für diese gilt, daß zwei hintereinander ausgeführte Abbildungen 

eine zusammengesetzte Abbildung ergeben, die wiederum eine infinitesimale, affine 

Abbildung ist. Die Reihenfolge der Ausführung der Abbildungen ist dabei irrelevant. 

Eine solche infinitesimale, affine Abbildung ist: 

x ′ i = a i0 + (δ ij + a ij x j ) i,j = 1, 2, 3 

Der konstante Koeffizient a i0 beschreibt hierbei eine Translation des starren Körpers. 

Es ist anzumerken, daß in dieser Arbeit die Einstein’sche Summenkonvention verwendet 

wird. D.h. in der Komponentenschreibweise wird über gleiche Indizes innerhalb 

einer Gleichung summiert. Zur Interpretation des Tensors a ij zerlegt man diesen in 

einen symmetrischen Anteil ɛ ij = 1 2 (a ij + a ji ) und einen antisymmetrischen Anteil 

ω ij = 1 2 (a ij − a ji ). Mit Hilfe des Levi-Civita Tensors ɛ ijk kann man den Vektor des 

antisymmetrischen Tensors ω k = 1 2 ɛ ijkω ij berechnen, der zur Darstellung des Tensors 

selbst verwendet werden kann: ω ij = ɛ ijk ω k . Betrachtet man nun die Änderung δb i , 

welche ein Vektor ⃗ b infolge einer infinitesimalen affinen Abbildung erfährt: 

δb i = b ′ i − b i = a ij b j = ω ij b j + ɛ ij b j = ɛ ijk ω k b j + ɛ ij b j = δb i1 + δb i2 

so sieht man direkt, daß die vom antisymmetrischen Anteil bewirkte Abbildung δb i1 das 

Vektorprodukt der Vektoren ω k und b j ist. Somit beschreibt der antisymmetrische Anteil 

eine Drehung des starren Körpers. Für die Analyse des reinen Verzerrungszustands, 

arbeitet man daher ausschließlich mit dem symmetrischen Anteil, dem sogenannten Verzerrungstensor 

ɛ ij . Zusammenfassend gilt nun für das Verschiebungsfeld: 

u i = x ′ i − x i = a i0 + ω ij x j + ɛ ij x j = u i1 + u i2 

wobei u i1 die Starrkörperbewegung (Translation und Rotation) und u i2 den reinen Verzerrungszustand 

beschreibt. Um die Definition des Verzerrungstensors weiter zu motivieren, 

betrachtet man die Abbildung eines Längenelements dl = √ dx 2 1 + dx2 2 + dx2 3 

unter einer beliebigen Deformation. Beim Übergang in einen deformierten Zustand geht 

diese in dl ′ = √ dx ′2 

1 + dx′2 2 + dx′2 3 über. Das Längenelement des deformierten Zustands 

läßt sich weiter umformen. Man erhält: 

dl ′2 = dx ′2 

i 

= (dx i + dɛ i ) 2 = dx i dx i + 2dɛ i dx i + dɛ i dɛ i 

= dl 2 + 2 ∂ɛ i 

∂x k 

dx i dx k + ∂ɛ i 

∂x k 

∂ɛ i 

∂x l 

dx k dx l = dl 2 + 2ɛ ik dx i dx k 

( 

Hier ist der Verzerrungstensor ɛ ik wie folgt definiert: ɛ ik = 1 ∂ui 

2 ∂x k 

+ ∂u k 

∂x i 

+ ∂u l ∂u l 

∂x i ∂x k 

). Man 

sieht direkt, daß ɛ ik symmetrisch ist: ɛ ik = ɛ ki . Wie bereits diskutiert geht man in der 

110


linearen Elastizitätstheorie von infinitesimalen Verzerrungen aus. In diesem Fall wird 

der nicht-lineare Anteil des Verzerrungstensors vernachlässigbar klein, so daß gilt: 

ɛ ik = 1 ( ∂ui 

+ ∂u ) 

k 

2 ∂x k ∂x i 

Die Diagonalelemente des Verzerrungstensors entsprechen Dehnungen, wohingegen die 

außerhalb der Diagonale stehenden Komponenten als Scherungen bezeichnet werden. 

So sieht man, wenn man die Deformation einer Einheitskugel in ein Ellipsoid betrachtet, 

daß diese Komponenten die halbe Winkeländerung der ursprünglich rechten Winkel 

zwischen der x i - und der x k - Achse angeben. Die Volumendehnung, bzw. relative Volumenänderung 

δV/V , ergibt sich aus der Summe der Diagonalelemente ɛ ii und ist die erste 

Invariante des Verzerrungstensors. Diese physikalischen Interpretationen legen eine weitere 

Zerlegung des Verzerrungstensors nahe. Er läßt sich als Summe aus dem Kugeltensor 

ɛ kk δ ij /3 (bzw. ɛ kk δ ij /2 in zwei Dimensionen), der die Volumendehnung (reine Dilatation) 

beschreibt, und dem Verzerrungsdeviator ɛ (0) 

ij = ɛ ij − ɛ kk δ ij /3 (bzw. ɛ (0) 

ij = ɛ ij − ɛ kk δ ij /2 

in zwei Dimensionen), der volumentreue Verzerrungen beschreibt, schreiben. 

Damit sich die Komponenten des Verschiebungsvektors ⃗u eindeutig aus den sechs Komponenten 

des Verzerrungstensors ɛ ij berechnen lassen, müssen diese den Kompatibilitätsbedingungen 

von St. Venant genügen (benannt nach Adhémar Jean Claude Barré 

de Saint-Venant (1797-1886); siehe z.B. [85, 86] und Referenzen darin). Zur Herleitung 

der Kompatibilitätsbedingungen muß man zwischen Lagrange’schen (materiellen) Koordinaten 

ξ i und Euler’schen (lokalen) Koordinaten x i unterscheiden. Für die bisher dargelegte, 

lineare Elastizitätstheorie, bei der ausschließlich kleine Verformungen betrachtet 

werden, unterscheiden sich diese Betrachtungsweisen kaum. Sie werden daher als identisch 

angesehen. In der Lagrange’schen Betrachtungsweise ist der Betrachter fest mit dem 

Volumenelement verbunden. Im undeformierten Zustand wird ein Punkt im betrachteten 

Volumenelement durch die Koordinaten ξ i = x i , i = 1, 2, 3 angegeben. Nach der Deformation 

befindet sich dieses Volumenelement räumlich an einem anderen Punkt, der in 

der Lagrange’schen Betrachtung durch x i = x i (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) bestimmt ist. D.h. die Lagrange’schen 

Koordinaten werden als unabhängige Variablen aufgefaßt. Im Gegensatz dazu 

ist der Beobachter in der Euler’schen Betrachtungsweise raumfest. Die bei der Deformation 

an dieser raumfesten Position vorbeiziehenden Volumenelemente sind durch ihre 

Lagrange’schen Koordinaten gekennzeichnet: ξ i = ξ i (x 1 , x 2 , x 3 ). In diesem Fall sind die 

Euler’schen Koordinaten die unabhängigen Koordinaten, welche zur Beschreibung der 

Eigenschaften oder Zustände des Körpers genutzt werden. Man vergleicht nun nocheinmal 

die Quadrate des Linienelements im undeformierten (dl 2 = dξ i dξ i = δ ij dξ i dξ j ) und 

im deformierten (dl ′2 = dx i dx i ) Kontinuum. Aufgrund der Verknüpfung zwischen den 

beiden Betrachtungsweisen läßt sich das Linienelement des verzerrten Zustands mit Hilfe 

des Maßtensors g αβ des verzerrten Kontinuums umschreiben: 

dl ′2 = dx i dx i = ∂x i 

∂ξ α 

∂x i 

∂ξ β 

dξ α dξ β = g αβ dξ α dξ β 

Berücksichtigt man nun die Definition des Verzerrungstensors, so erhält man einen Zu- 

111


sammenhang zwischen diesem und dem Maßtensor: 

dl ′2 − dl 2 = 2ɛ ij dξ i dξ j = g ij dξ i dξ j − δ ij dξ i dξ j = (g ij − δ ij )dξ i dξ j 

Somit sind Maßtensor und Verzerrungstensor über g ij = 2ɛ ij +δ ij miteinander verknüpft. 

Unabhängig vom vorliegenden Verzerrungszustand ist das Kontinuum Teil des euklidischen 

Raumes. Für diesen muß der Riemannsche Krümmungstensor R ijkl verschwinden 

(siehe z.B. [87]). 

R mikp = 1 2 

( ∂ 2 g mk 

∂ξ i ∂ξ p + 

∂2 g ip 

∂ξ m ∂ξ k − 

) 

∂2 g ik 

∂ξ m ∂ξ p − ∂2 g mp ( 

∂ξ i ∂ξ k + g rs Γ 

r 

km Γ s ip − Γ r pmΓ s ik) 

= 0 

Der die Christoffelsymbole Γ r km 

= 1 2 grl (∂ k g ml + ∂ m g kl + ∂ l g km ) enthaltende Summand ist 

ein kleiner Beitrag höherer Ordnung und kann im Rahmen der linearen Elastizitätstheorie 

vernachlässigt werden. Einsetzten des Zusammenhangs zwischen Maßtensor und 

Verzerrungstensor liefert die Kompatibilitätsbedingungen: 

∂ 2 ɛ mk 

∂ξ i ∂ξ p + 

∂2 ɛ ip 

∂ξ m ∂ξ k − 

∂2 ɛ ik 

∂ξ m ∂ξ p − ∂2 ɛ mp 

∂ξ i ∂ξ k = 0 

Dies sind 81 mögliche Gleichungen in drei Dimensionen. E. Beltrami zeigte jedoch, 

daß nur 3 der Kompatibilitätsgleichungen voneinander unabhängig sind. Für zweidimensionale 

Festkörper reduzieren sich die Kompatibilitätsgleichungen auf eine wesentliche: 

2 ∂2 ɛ 12 

∂ξ 1 ∂ξ 2 = ∂2 ɛ 11 

∂ξ 2 ∂ξ 2 + ∂2 ɛ 22 

∂ξ 1 ∂ξ 1 

Bei der analytischen Herleitung der Verzerrungskorrelationsfunktionen für zweidimensionale 

Systeme wird sich eine Formulierung im Fourier Raum und die Verwendung der 

Verzerrungsvariablen e 1 = ɛ 11 + ɛ 22 , e 2 = ɛ 11 − ɛ 22 und e 3 = ɛ 12 als nützlich erweisen. 

Man erhält zunächst 2k x k y ɛ xy −k 2 yɛ xx −k 2 xɛ yy = 0 und daraus durch Einführen der neuen 

Variablen e i (i = 1, 2, 3): 

−k 2 ẽ 1 + (k 2 x − k 2 y)ẽ 2 + 4k x k y ẽ 3 = 0 

Die Kompatibilitätsbedingungen lassen sich auch als Integrabilitätsbedingungen für die 

Berechnung des Verschiebungsfeldes ⃗u aus einem gegebenen Verzerrungstensor aufstellen 

(siehe z.B. [82]). Die St. Venant Kompatibilitätsbedingungen sind notwendig und hinreichend, 

um aus einem gegebenen Verzerrungstensor ɛ ij das zugehörige Verschiebungsfeld 

u i eindeutig zu bestimmen. Sie bewirken eine Kopplung der einzelnen Verzerrungsvariablen 

untereinander, die bei der Herleitung der Verzerrungs-Korrelationsfunktionen 

berücksichtigt werden muß. 

Bei der Behandlung der am Kontinuum wirkenden Kräfte unterscheidet man zwischen 

Fernkräften, welche räumlich verteilte Volumenkräfte sind, und Nahkräften, die flächenhaft 

verteilten Spannungen entsprechen, welche nur über direkt aneinander grenzende 

Flächenelemente übertragen werden können. Die Elastizitätstheorie als Kontinuumstheorie 

sieht die innere Spannung eines Festkörpers durch molekulare Kräfte hervorgerufen, 

112


die bei Auslenkungen aus der thermodynamischen Gleichgewichtsposition als Rückstellkräfte 

wirken. Die in der Elastizitätstheorie betrachteten Abstände müssen groß gegenüber 

dem Wirkungsradius dieser Molekularkräfte sein. Es wird davon ausgegangen, 

daß der Wirkungsradius gegen Null geht und die Rückstellkräfte Nahwirkungskräfte 

sind, die nur nächste Nachbarn beeinflussen. Diese Situation ist insbesondere in Harte 

Scheiben Systemen ideal verwirklicht! Der Spannungstensor σ ij gibt die Kraft pro 

Einheitsfläche des unverzerrten Zustands an, welche über Nahkräfte auf diese ausgeübt 

wird. Hierbei ist es Konvention die Flächennormale ⃗n des Flächenelements nach außen 

abzutragen. Der Spannungszustand eines beliebigen Punktes des Kontinuums läßt sich 

vollständig durch die Angabe von drei Spannungsvektoren beschreiben. Dabei dürfen 

die den Punkt selbst enthaltenden Bezugsflächen nicht komplanar sein. Zumeist werden 

von einem orthongonalen Koordinatensystem aufgespannte Flächen als Bezugsflächen 

gewählt. Schreibt man diese drei Spannungsvektoren in Form einer Matrix, so erhält 

man die Matrixdarstellung des Spannungstensors σ ij . Betrachtet man ein einzelnes Matrixelement, 

so gibt der erste Index (i) Auskunft über die Normale der Bezugsfläche 

und der zweite Index (j) die Richtung des zugehörigen Spannungskomponentenvektors 

an. Die Diagonalelemente stellen daher sogenannte Normalspannungen dar, wohingegen 

Elemente außerhalb der Diagonalen Schubspannungen sind. 

Im Gleichgewicht herrscht ein Kräfte- und ein Momentengleichgewicht im deformierbaren 

Körper. Aus der Gleichgewichtsbedingung für die Kräfte erhält man den Zusammenhang 

zwischen Kräften und Spannungen im Körper: ∂σ ij 

∂x j 

= −K i . Aus der Gleichgewichtsbedingung 

für die Momentenspannungen erhält man die Bedingung: ɛ ijk σ jk = 0, welche 

für σ jk = σ kj erfüllt ist. Unter den gemachten Annahmen ist daher der Spannungstensor 

ein symmetrischer Tensor. 

Thermodynamik 

Die Änderung der inneren Energie dU eines Systems läßt sich allgemein aus der Änderung 

der Entropie dS und der geleisteten Arbeit δW berechnen: dU = T dS − δW . Um 

diesen Zusammenhang bei der Untersuchung von Festkörpern verwenden zu können, 

muß zunächst die vom Kristall geleistete Arbeit berechnet werden. Sei δW die Arbeit 

der inneren Spannung pro Volumenelement des Festkörpers. Dann ist die Arbeit, die 

geleistet werden muß, um eine kleine Deformation δu i des Kristalls zu bewirken: 

∫ 

δW dV = 

∫ 

∂σik 

∂x k 

δu i dV = 

∮ 

∫ 

σ ik δu i dO k − 

σ ik 

∂δu i 

∂x k 

dV 

Betrachtet man ein unendlich ausgedehntes Volumen, so ist die Oberfläche dieses Volumens 

nicht deformiert, d.h. δu i = 0 auf dieser Fläche und damit liefert das Flächenintegral 

keinen Beitrag. Unter Berücksichtigung der Symmetrie des Spannungstensors kann 

man dann weiter umformen: 

∫ 

− 

σ ik 

∂δu i 

∂x k 

dV = − 1 2 

∫ 

( ∂ui 

σ ik δ + ∂u ) ∫ 

k 

dV = − 

∂x k ∂x i 

σ ik δɛ ik dV 

113


Daraus kann man ablesen, daß δW = −σ ik δɛ ik gilt. Im Regime der elastischen Deformationen 

wird jeweils angenommen, daß der Deformationsprozeß auf Zeitskalen abläuft, 

die garantieren, daß der betrachtete Körper immer im thermodynamischen Gleichgewicht 

ist. In diesem Fall liegt ein thermodynamisch reversibler Prozeß vor. Alle thermodynamischen 

Größen werden als Dichten angegeben, d.h. sie sind auf das Einheitvolumen des 

undeformierten Körpers bezogen. Die thermodynamische Grundgleichung für deformierte 

Körper lautet somit: 

dU = T dS + σ ik dɛ ik 

Die Dichte der Freien Energie ist wie folgt definiert: F = U − T S. Das zugehörige totale 

Differential ist für den deformierten Körper: 

dF = −SdT + σ ik dɛ ik 

Die Dichten der Zustandsfunktionen U und F sind aufgrund der Abhängigkeit ihrer totalen 

Differentiale von dɛ ij Funktionen der Konfiguration des Kristalls. Gleichzeitig müssen 

sie als Zustandsfunktionen invariant gegen Translation oder Rotation des gesamten Kristalls 

sein. Die Bedingung der Invarianz gegen Rotationen, führt zu der Erkenntnis, 

daß die Zustandsfunktionen von der erreichten Endkonfiguration über die Angabe der 

Anfangskonfiguration x i und der Verzerrung ɛ ij eindeutig gegeben sind: 

U(⃗x Ende , S) = U(⃗x Start , ɛ ij , S) und F (⃗x Ende , T ) = F (⃗x Start , ɛ ij , T ) 

Die jeweiligen, abhängigen Variablen erhält man als partielle Ableitungen der Zustandsfunktionen, 

z.B.: 

σ ij = 1 ( ) 

( ) 

∂F 

∂F 

und S = − 

V ∂ɛ ij T ɛ 

∂T 

′ ɛ 

Aufgrund der Abhängigkeit der Dichten der Zustandsfunktionen von den in der linearen 

Elastizitätstheorie als klein angenommenen Verzerrungen, lassen sich diese in den 

Verzerrungen entwickeln: 

U(⃗x Start , ɛ ij , S) = U(⃗x Start , S) + σ ij ɛ ij + 1 2 CS ijkl ɛ ijɛ kl + · · · 

F (⃗x Start , ɛ ij , T ) = F (⃗x Start , T ) + σ ij ɛ ij + 1 2 CT ijkl ɛ ijɛ kl + · · · 

In dieser Darstellung sind die elastischen Konstanten C ijkl mehrfache Ableitungen der 

thermodynamischen Zustandfunktionen. Man unterscheidet zwischen den adiabatischen 

(Cijkl S ) und isothermen (CT ijkl 

) elastischen Konstanten. 

Der Tensor der Elastischen Konstanten wird andererseits auch rein phänomenologisch 

aufgrund experimenteller Beobachtungen der Antwort eines elastischen Körpers auf von 

außen vorgegebene Spannungen eingeführt. Die sogenannten konstitutiven Gleichungen 

oder auch Stoffgesetze stellen für ein gegebenes Material einen Zusammenhang zwischen 

114


den Komponenten des Verzerrungs- und des Spannungstensors her. Formal wird dieser 

Zusammenhang durch das verallgemeinerte Hook’sche Gesetzt beschrieben: 

σ ij = C ijkl ɛ kl 

Dabei ist der Elastizitätstensor C ijkl ein Tensor 4. Stufe, dessen Komponenten in homogenen 

Medien ortsunabhängig sind. Das so formulierte, verallgemeinerte Hook’sche 

Gesetz gilt für Situationen ohne äußere Spannungen. Mit äußeren Spannungen verwendet 

man den Tensor der elastischen Steifigkeiten B ijkl , um die sogenannten Spannungs- 

Verzerungs-Relationen anzugeben: 

σ ij (⃗x, T ) = σ ij (⃗x Start , T ) + B ijkl ɛ kl + · · · 

Die Elemente des Tensors der elastischen Steifigkeiten B ijkl sind mit dem Tensor der 

elastischen Konstanten über die folgende Beziehung verknüpft. 

B ijkl = 1 2 (σ ilδ jk + σ jl δ ik + σ ik δ jl + σ jk δ il − 2σ ij δ kl ) + C ijkl (6.1) 

Im Spezialfall eines isotropen äußeren Drucks −p = (σ xx + σ yy + σ zz )/3 (bzw.−p = 

(σ xx + σ yy )/2 in zwei Dimensionen) vereinfacht sich dieser Zusammenhang auf: 

B ijkl = −p (δ jl δ ik + δ il δ jk − δ ij δ kl ) + C ijkl 

Der Tensor der Nachgiebigkeiten S ijkl ist das Inverse des Tensors der elastischen Steifigkeiten. 

Seine Elemente können aus den mikroskopischen Fluktuationen der Verzerrungen 

ɛ ij berechnet werden. Diese bieten daher einen Zugang zur Berechnung des Tensors der 

elastischen Konstanten. Die folgenden Überlegungen werden für den Spezialfall eines 

zweidimensionalen Systems im thermodynamischen Gleichgewicht dargelegt. 

Isotrope Festkörper 

Wie bereits diskutiert kann die Dichte der Freien Energie in den Verzerrungen ɛ ij entwickelt 

werden. Es sei nun der isotherme Fall, d.h. T = konstant, betrachtet. Im undeformierten 

Körper gilt ɛ ij = 0. Wirken auf ihn keine äußeren Kräfte ein, so muß auch für die 

inneren Spannungen σ ij = 0 gelten. Dies ist gleichbedeutend mit der Forderung, daß die 

∂F 

Dichte der Freien Energie im Gleichgewichtszustand ein Minimum hat: 

∂ɛ ik 

= σ ik = 0. 

Die Dichte der Freien Energie ist ein Skalar. Es lassen sich 2 unabhängige Skalare zweiten 

Grades aus den Komponenten ɛ ik des Verzerrungstensors konstruieren: 

ɛ 2 ii = (ɛ 11 + ɛ 22 ) 2 und ɛ 2 ik = ɛ2 11 + ɛ 2 12 + ɛ 2 21 + ɛ 2 22 

So ergibt sich als Summe dieser Skalare folgender allgemeiner Ausdruck für die Dichte 

der Freie Energie eines deformierten isotropen Körpers: 

F = F 0 + λ 2 ɛ2 ii + µɛ 2 ik (6.2) 

115


Dabei sind λ und µ die sogenannten Lamé Koeffizienten. Eine reine Scherung ist eine 

Formveränderung ohne Volumenveränderung: ɛ ii = ɛ 11 + ɛ 22 = 0. Eine homogene 

Dilatation ist eine Volumenveränderung ohne Formveränderung: ɛ ik = cδ ik (c = konstant). 

Da jede Verzerrung in eine Scherung plus eine Dilatation zerlegt werden kann, 

läßt sich der Verzerrungstensor, wie bereits diskutiert, auch als Summe dieser darstellen. 

In zweidimensionalen Systemen erhält man den folgenden Ausdruck: 

ɛ ik = 

(ɛ ik − 1 ) 

2 δ ikɛ ll + 1 2 δ ikɛ ll 

Der erste Summand ist eine reine Scherung, wohingegen der zweite eine homogene Dilatation 

beschreibt. Es ist zu beachten, daß in zweidimensionalen Systemen δ ii = δ 11 +δ 22 = 2 

und auch δ ik δ ik = δ 11 δ 11 + δ 12 δ 12 + δ 21 δ 21 + δ 22 δ 22 = 2 gilt. Die Formulierung der Dichte 

der Freien Energie mit Hilfe der Lamé Koeffizienten (Gl. 6.2) kann direkt in Beiträge 

einer reinen Scherung und Beiträge einer homogenen Dilatation umsortiert werden. Man 

startet dazu z.B. mit der Summe der reinen Scherung und homogenen Dilatation und 

bestimmt aus einem Koeffizientenvergleich die noch unbekannten Konstanten A und B. 

F = A 

(ɛ ik − 1 ) 2 

2 δ ikɛ ll + Bɛ 2 ll 

(ɛ = A ik ɛ ik − ɛ ik δ ik ɛ ll + 1 ) 

4 δ ikδ ik ɛ ll ɛ ll + Bɛ 2 ll 

= 

( 

Aɛ 2 ik + B − 1 ) 

2 A ɛ 2 ll 

Der Vergleich mit Gleichung (6.2) erlaubt die Bestimmung der Koeffizienten A und B. 

A = µ 

B − 1 2 A = λ 2 

→ B = 1 (λ + µ) 

2 

In der Literatur wird diese Darstellung zumeist in folgender Form angegeben: 

( 

F = µ ɛ ik − 1 ) 2 

2 δ ikɛ ll + K 2 ɛ2 ll 

wobei µ der Schermodul und K = 2B = λ + µ der Kompressionsmodul ist. Im thermodynamischen 

Gleichgewicht ist die Dichte der Freien Energie minimal. Wirken keine 

äußeren Kräfte auf den Festkörper ein, so nimmt die Dichte der Freien Energie ihren minimalen 

Wert für ɛ ik = 0 an. Aus der Minimalbedingung für F im thermodynamischen 

Gleichgewicht kann man schließen, daß stets gelten muß: K > 0 und µ > 0. 

Anisotrope Festkörper: Kristalle 

Auch für diesen Fall wird von einer isothermen Deformation ausgegangen und der Kristall 

im thermodynamischen Gleichgewicht σ ij = 0 betrachtet. In Kristallen läßt sich die Freie 

116


Energie auch in den Verzerrungen ɛ ij entwickeln. Die Entwicklungskoeffizienten sind die 

Elemente des Elastizitätstensors C iklm . 

F = 1 2 C iklmɛ ik ɛ lm 

Dieser Tensor 4. Stufe hat 81 Elemente. Aufgrund der Symmetrien des Verzerrungstensors 

gilt: C iklm = C kilm = C ikml = C lmik . Das führt zu einer Reduktion der unabhängigen 

Komponenten des Elastizitätstensor auf maximal 21, bzw. 16 in zweidimensionalen 

Systemen. Oft wird, um die Notation zu vereinfachen, die sogenannte Voigt-Notation verwendet: 

C αβ mit α, β = 1, 2, 3 die den folgenden Kombinationen entsprechen: xx, yy, xy. 

Aufgrund der Symmetrien der jeweiligen Kristallgitter reduziert sich die Anzahl der 

unabhängigen Komponenten weiter. Für die hier vorliegende Arbeit ist das zweidimensionale 

Dreiecksgitter von besonderer Bedeutung. Dieses weist eine 6-fache Rotationssymmetrie 

auf. Unter Berücksichtigung dieser Symmetrie schreibt sich die Freie Energie 

des Dreiecksgitters als: 

F = 1 2 C xxxx(ɛ 2 xx + ɛ 2 yy) + C xxyy ɛ xx ɛ yy + 2C xyxy ɛ 2 xy 

Da ein zweidimensionaler Kristall mit hexagonaler Symmetrie ein isotroper Festkörper 

ist, kann diese Darstellung der Dichte der Freien Energie direkt mit der für isotrope 

Systeme erhaltenen Darstellung mittels Lamé Koeffizienten verglichen werden. 

F = λ 2 ɛ2 ii + µɛ 2 ik = λ 2 (ɛ xx + ɛ yy ) 2 + µ(ɛ 2 xx + ɛ 2 xy + ɛ 2 yx + ɛ 2 yy) 

= ( λ 2 + µ)(ɛ2 xx + ɛ 2 yy) + λɛ xx ɛ yy + 2µɛ 2 xy 

Der Vergleich liefert die Verknüpfung der Lamé Koeffizienten mit den Elementen des 

Elastizitätstensors. 

oder auch 

C xxxx = λ + 2µ und C xxyy = λ und C xyxy = µ 

λ = C xxyy bzw. λ = C xxxx − 2C xyxy 

µ = C xyxy bzw. µ = 1 2 (C xxxx − C xxyy ) 

Damit kann auch der Kompressionsmodul K = λ + µ und der Schermodul µ direkt aus 

dem Elastizitätstensor berechnet werden: 

K = C xxyy + C xyxy bzw. K = C xxxx − C xyxy bzw. K = 1 2 (C xxxx + C xxyy ) 

µ = C xyxy bzw. µ = 1 2 (C xxxx − C xxyy ) 

Im Allgemeinen wird die Elastizitätstheorie zur Berechnung von Spannungs- oder Verzerrungsverteilungen 

oder aber auch zur Berechnung des Verschiebungsfeldes in einem 

117


Festkörper bei vorgegebenen Randbedingungen verwendet. In zweidimensionalen Systemen 

können die 8 Unbekannten (3 Spannungskomponenten σ ij , 3 Verzerrungskomponenten 

ɛ ij und 2 Verschiebungskomponenten u i ) durch das Lösen von 8 Gleichungen 

∂σ ji 

∂x j 

+ K i = 0 (2 Gleichgewichtsbedingungen) 

( ) 

ɛ ij = 1 ∂ui 

2 ∂x j 

+ ∂u j 

∂x i 

(3 geometrische Gleichungen) 

σ ij = C ijkl ɛ kl (3 physikalische Gleichungen) 

unter Berücksichtigung der Randbedingungen bestimmt werden. Die Randbedingungen 

können als Oberflächenkräfte σ ij n j = p i oder aber auch als Oberflächenverschiebungen 

u i (O) = u iO vorgegeben werden. Diese klassische Art der Fragestellung in der Elastizitätstheorie 

wird jedoch in dieser Arbeit nicht verfolgt. Ziel der hier vorgelegten Arbeit 

ist es viel mehr aus einem bekannten Verschiebungsfeld ⃗u Information über die Materialkonstanten, 

d.h. über den Tensor der elastischen Konstanten C ijkl zu gewinnen, bzw. 

die Information, welche prinzipiell aus der Analyse des Verschiebungsfeldes gewonnen 

werden kann genauer zu charakterisieren. Die Auswertung des mikroskopischen Verschiebungsfeldes 

ist insbesondere in Systemen der weichen kondensierten Materie (soft 

matter) von großer Bedeutung, da zum einem in diesen Systemen das Verschiebungsfeld 

über videomikroskopische Methoden direkt zugänglich ist und zum anderen die Analyse 

der Gleichgewichtsfluktuationen des Verschiebungsfeldes nicht invasiv ist. D.h. das analysierte 

System wird nicht gestört. Dieser Aspekt ist vor allem bei Untersuchungen von 

Phasenübergängen sehr wichtig (siehe z.B. [88]). Im nächsten Kapitel wird zunächst ein 

kurzer Überblick über Methoden zur Berechnung der elastischen Konstanten aus den 

Fluktuationen des Verschiebungsfeldes gegeben. 

118

KAPITEL 7 

Fluktuationsmethoden 

Die elastischen Konstanten C ijkl beschreiben die Antwort eines Materials auf äußere 

Krafteinwirkungen. Um diese materialabhängigen Größen zu berechnen, kann man zum 

Beispiel sogenannte Spannungs-Verzerrungs-Kurven aufnehmen. Unter Verwendung des 

verallgemeinerten Hook’schen Gesetzes lassen sich die Elemente des Elastizitätstensors 

aus diesen Kurven bestimmen. Methoden, die auf diese Herangehensweise beruhen, findet 

man in der Literatur unter dem Stichwort ”strain methods”. Der Nachteil dieser Methoden 

liegt darin, daß für eine komplette Bestimmung des Elastizitätstensors viele verschiedene 

Deformationen und die daraus resultierenden Spannungszustände im Material 

analysiert werden müssen. Im Gegensatz dazu reicht eine Analyse des Gleichgewichtszustandes 

des undeformierten Systems zur Bestimmung des kompletten Elastizitätstensors 

aus, wenn man die mikroskopischen Fluktuationen des Verzerrungstensors auswertet. 

Methoden, die auf die Analyse dieser Fluktuationen beruhen, heißen Fluktuationsmethoden 

(fluctuation methods). Aus den partiellen Ableitungen der Freien Energie nach 

den Verzerrungen, lassen sich Ausdrücke herleiten, die den Spannungs- bzw. den Elastizitätstensor 

in direkten Zusammenhang mit den mittleren Quadraten der thermischen 

Fluktuationen der Verzerrungen bringen. Dieses Vorgehen wird nun kurz skizziert. 

Die Darstellung der Freien Energie als Taylor-Reihe in den Verzerrungen (siehe Kapitel 

6 für die Dichte der Freien Energie) zeigt, daß die Elemente des Spannung- bzw. des 

Elastizitätstensors aus den partiellen Ableitungen der Freien Energie berechnet werden 

können (isothermer Fall T = konstant): 

σ ij = 1 ( ∂F 

und C ijkl = 

V ∂ɛ ij 

)T 

1 ( ∂ 2 F 

V ∂ɛ ij ∂ɛ kl 

)T 

Aus diesen Zusammenhängen kann man in Systemen mit differenzierbaren Potentialen 

bei Kenntnis der Helmholtz Freien Energie F = −k B T ln Z (Z ist die klassische, kanoni- 

119


sche Zustandssumme des Systems) die Elemente des Spannungs- bzw. Elastizitätstensors 

direkt berechnen. 

Differenzierbare Potentiale 

Diese thermodynamischen Zusammenhänge nutzen Squire et al. [89] zur Herleitung von 

Formeln für die Berechnung des isothermen Spannungs- und des Elastizitätstensors in 

geordneten Systemen. Sie betrachten eine paarweise Wechselwirkung der Teilchen, die 

durch ein kontinuierliches Wechselwirkungpotential φ(r) beschrieben wird. Farago et 

al. [90] führen eine analoge Herleitung für diskontinuierliche Wechselwirkungspotentiale 

durch. Der allgemeineren Notation von Farago et al. [90] folgend, schreibt sich die 

klassische, kanonische Zustandssumme des Systems als: 

Z = (2πmk BT ) 3N/2 

h 

∫V 3N {ɛ} γ=1 

N∏ 

d⃗r γ e − P 〈αβ〉 φ(rαβ )/k B T = (2πmk BT ) 3N/2 

Hierbei steht ∑ 〈αβ〉 für eine Summation über eindeutige Paare der Teilchen und Z C 

bezeichnet das Konfigurationsintegral. Die Integration verläuft über das Volumen des 

durch {ɛ} beschriebenen, deformierten Zustands. Um zu einer Formulierung zu gelangen, 

die Fluktuationen um den undeformierten Gleichgewichtszustand ({ ⃗ R}) beinhaltet, 

wechselt man von den Integrationsvariablen r i des deformierten Systems zu denen des 

undeformierten Systems R i . Diese sind gemäß den Annahmen der klassischen, linearen 

Elastizitätstheorie durch eine affine Abbildung r i = M ij R j miteinander verknüpft. Weitere 

Details der Herleitung sind in Appendix A am Beispiel des Spannungstensors σ ij 

gegeben. Die partiellen Ableitungen nach den Verzerrungen ermöglichen die Berechnung 

des Spannungstensors durch: 

σ ij = 1 V 

∂φ 

∂F 

∂ɛ ij 

∣ 

∣∣{ɛ}={0} 

= 1 V 

〈 ∑ 

 

h 3N 

φ ′ (R αβ ) Rαβ i 

R αβ 〉 

j 

R αβ − Nk BT δ ij 

V 

Es gilt: = φ ′ (R αβ ). Für die Berechnung des Elastizitätstensors, müssen die zweiten 

∂R αβ 

partiellen Ableitungen in den Verzerrungen berechnet werden. Man erhält den folgenden 

Ausdruck: 

C ijkl = 1 V 

= 

∂ 2 F 

∣ 

∣∣{ɛ}={0} 

∂ɛ ij ∂ɛ kl 

{ 〈 ∑ 

1 

V k B T 

− 

〈 ⎡ ⎣ ∑ 

 

 



R αβ 

R αβ 

j 

R αβ 

R αβ 

j 

⎤ ⎡ 

⎦ ⎣ ∑ 

〉〈 ∑ 

 

 

〉 

φ ′ (R αβ ) Rαβ k 

Rαβ l 

R αβ 

φ ′ (R αβ ) Rαβ k 

R αβ 

Rαβ l 

⎤〉 } 

⎦ 

+ 

Z C 

120


+ 1 V 

〈 ∑ 

 

+ 2Nk BT δ ij δ kl 

V 

φ ′′ (R αβ ) Rαβ i 

R αβ 

j 

R αβ 

k 

Rαβ l 

(R αβ ) 2 〉 

− 1 V 

〈 ∑ 

 


R αβ 

j 

R αβ 〉 

k 

Rαβ l 

(R αβ ) 3 

Die in geschweiften Klammern angegebenen ersten zwei Summanden geben der Methode 

ihren Namen. Sie bilden den sogenannten Fluktuationsterm. Den dritten und vierten 

Summand erhält man auch aus der Behandlung der Inneren Energie im Rahmen der 

Born’schen Elastizitätstheorie. Sie werden daher als Born-Term bezeichnet. Der sogenannte 

kinetische Anteil 2Nk B T δ ij δ kl /V ergibt sich aus der Ableitung des Logarithmus, 

die zu einem Summanden −Nk B T ln V führt. Die Formeln zur Berechnung der relevanten 

Tensoren, haben den Nachteil, daß sie die Ableitungen des Wechselwirkungspotentials 

explizit enthalten. D.h. will man sie verwenden, muß man das Wechselwirkungspotential 

im betrachteten physikalischen System möglichst exakt kennen. Dies ist in experimentellen 

Systemen nicht immer der Fall. Des weiteren muß das Wechselwirkungspotential 

zweifach differenzierbar sein. Für das harmonisch wechselwirkende Dreiecksgitter, welches 

in den Studien der Verzerrungskorrelationsfunktionen als Modellsystem verwendet 

wird, ist dies der Fall. Die Fluktuationsmethode gemäß Squire et al. [89] wird hier verwendet, 

um Vergleichswerte zu berechnen. 

Nicht-differenzierbare Potentiale 

Für nicht differenzierbare Potentiale wie z.B. das Harte Scheiben-Potential, leiten Farago 

et al. [90] die analogen Formeln zur Berechnung des Spannungs- und des Elastizitätstensors 

im Rahmen einer Grenzfallbetrachtung her (siehe Appendix A). Sie lauten: 

und 

C ijkl = 2NkT 

V 

+ 1 2 

+ 

− 

∑ 

γ≠α,β 

[ ∑ 

 

∑ 

σ ij = − kT 

V 

( ∑ 

 

( 

δ ij δ kl + kT (D + 2) ∑ 

V 

〈[ 

∑ R 

αβ 

i 

R αβ 

j 

〈 

R 

αβ 

i 

∑ 

R αβ 

R αβ 

j 

≠ 

〈 

R 

αβ 

i 

R αβ 〉 ) 

j 

R αβ ∆ αβ + Nδ ij 

 

〈 

R 

αβ 

i 

R αβ 

j 

R αβ 〉 

k 

Rαβ l 

(R αβ ) 3 ∆ αβ 

R αβ ( 

k 

Rαβ l ⃗R 

(R αβ ) 2 ∆ αβ αβ R ⃗ αγ 

R 

R αβ R αγ ∆αγ + ⃗ )]〉 

αβ R ⃗ γβ 

R αβ R γβ ∆βγ 

∆ αβ 〉][ ∑ 

〈 

R 

αβ 

i 

 

〈〉] 

R 

αβ 

k 

Rαβ l 

R αβ ∆ αβ 

R αβ 

j 

R γδ 

〉) 

k Rγδ l 

R αβ R γδ ∆ αβ ∆ γδ 

121


wobei die griechischen Indizes die Teilchen durchnumerieren. Die Notation ∑ kennzeichnet 

wieder eine Summation über eindeutige Paare der Teilchen. Lateinische Indizes 

stehen in den hier betrachteten zweidimensionalen Systemen (D = 2) für x bzw. y. Der 

Abstand zweier Teilchen α und β im nichtdeformierten Referenzgitter ist R αβ . 

In der Simulation müssen die Delta-Funktionen ∆ αβ ausgewertet werden. Dazu werden 

Histogramme aufgenommen. Man zählt die Beiträge der Paare, deren Abstand in eines 

der Intervalle 

∆R n = [a + δ n − δ n 

2 , a + δ n + δ n 

], n = 1, 2, . . . 

2 

fällt. Wobei δ n = (n−1/2)δ gilt und δ die Intervallbreite ist (a ist der Teilchendurchmesser). 

Dieses Vorgehen ergibt eine bessere Statistik, als die Auswertung nur eines einzelnen 

Intervalls a ≤ R ≤ a + δ. Eine Extrapolation der aufgenommenen Kurve auf δ n → 0 

liefert den Wert der Deltafunktion. Zur Extrapolation werden die aus den Datensẗzen 

berechneten Werte für C ijkl bzw. σ ij über δ n /a aufgetragen und ein polynomialer Fit 

dritter Ordnung durchgeführt. Diese Methode wurde zur Berechnung der elastischen Module 

und des Spannungstensors im monodispersen Harte Scheiben System angewandt, 

welches in Kapitel 15 diskutiert wird. 

Binäre Mischungen 

Betrachtet man nun allgemein eine binäre Mischung, deren Komponenten A und B einer 

paarweisen Wechselwirkung unterliegen, so läßt sich die Hamilton Funktion schematisch 

wie folgt darstellen: 

H = T A + T B + ∑ φ A (r) + ∑ φ B (r) + ∑ φ AB (r) 

T A bzw. T B stehen hier für die kinetischen Energien. Die Summen in den potentiellen 

Energien laufen jeweils über eindeutige Paare z.B. AA für φ A (r). r steht dabei jeweils 

für den Abstand der Teilchen. Die zugehörige, klassische Zustandssumme lautet: 

∫ 

Z = dΓ N e −βH(Γ) 

= (2πk BT ) 3N 3N A 

2 m 2 

A 

= (2πk BT ) 3N 3N A 

2 m 2 

A 

3N B 

m 2 

B 

h 

∫V 3N {ɛ} γ=1 

h 3N 

3N B 

m 2 

B 

Z C 

N∏ 

d⃗r γ e −(P 〈αβ〉 φ A(r)+ P 〈αβ〉 φ B(r)+ P 〈αβ〉 φ AB(r))/k B T 

Das Konfigurationsintegral kann wie folgt umgeschrieben werden: 

∫ N∏ 

d⃗r γ e −(P 〈αβ〉 φ A(r)+ P 〈αβ〉 φ B(r)+ P 〈αβ〉 φ AB(r))/k B T = 

∫ 

V {ɛ} γ=1 

N A ∏ 

V {ɛ} γ=1 

d⃗r γ e − P ∫ 

〈αβ〉 φ A(r)/k B T 

N B ∏ 

V {ɛ} τ=1 

d⃗r τ e −(P 〈αβ〉 φ B(r)+ P 〈αβ〉 φ AB(r))/k B T 

122


Wie man an der Struktur des Konfigurationsintegrals ablesen kann, faktorisiert dieses 

nur für den Spezialfall φ AB (r) = 0 für alle r komplett. In einem solchen Fall ergeben 

sich die gesuchten Tensoren aus den Summen der Tensoren der monodispersen Systeme 

A und B. Die in dieser Arbeit analysierten Mischungen sind jedoch sogenannte additive 

Mischungen mit φ AB (r) ≠ 0. Ein Spezialfall solcher Mischungen ist ein Harte Scheiben 

System mit Punktstörstellen. Dieses System wird in einem eigenen Kapitel 16 im Detail 

untersucht. Das hier allgemein für binäre Mischungen angegebene Konfigurationsintegral 

wird dort für die relevanten Situationen noch weiter diskutiert. 

Wie man dem Appendix A entnehmen kann, ist die Herleitung der auszuwertenden Formeln 

für die klassischen Fluktuationsmethoden je nach Wechselwirkungspotential recht 

aufwendig. Da wie bereits erwähnt nicht immer die exakte Form der Teilchenwechselwirkung 

bekannt ist und diese auch nicht zwingend (siehe z.B. [91, 92]) eine Paarwechselwirkung 

sein muß, ist eine Analyse, die weitgehend unabhängig vom im System vorliegenden 

Wechselwirkungspotential ist, wünschenswert. Einen solchen Zugang, der von den Details 

der Wechselwirkung größtenteils unabhängig ist, bietet die direkte Analyse der Korrelationen 

der Verzerrungen, die im Rahmen einer Landau Gitterfeldtheorie durchgeführt 

werden kann. 

123

124

KAPITEL 8 

Landau Theorie 

Aufgrund des universellen Verhaltens ganz unterschiedlicher Systeme beim Phasenübergang 

wurden Theorien entwickelt, dieses universelle Verhalten allgemein zu erfassen. 

Eine der ersten klassischen Theorien ist die Landau Theorie. Sie ist der allgemeine Rahmen 

der Molekularfeld-Theorie (mean field theory). In der Molekularfeld-Theorie wird 

die Wechselwirkung eines Freiheitsgrades mit dem physikalischen System durch seine 

Wechslewirkung mit dem Mittelwert der übrigen Freiheitsgrade modelliert. Diese Mittelung 

der Freiheitsgrade ermöglicht eine vereinfachte Behandlung der Wechselwirkungen, 

gleichzeitig verschwinden durch sie aber auch interessante, räumliche Korrelationen und 

Fluktuationen. Nahe des Phasenübergangs bestimmen aber gerade Fluktuationen die 

physikalischen Vorgänge. Aufgrund dieser Tatsache gelingt z.B. die Klassifizierung der 

Ordnung des Phasenübergangs in der Molekularfeld-Theorie nicht immer. Die Antwort 

eines Systems auf eine Störung durch den Einfluß eines inhomogenen Feldes, kann jedoch 

im Rahmen der Molekularfeld-Theorie behandelt werden. Die Antwort des Systems 

ist durch die Korrelationen und damit auch durch die Korrelationslängen im System 

bestimmt, so daß in diesem Sinne auch Korrelationen in Molekularfeld-Theorien untersucht 

werden können. Im Folgenden wird das Vorgehen bei der Konstruktion einer 

Landau Theorie kurz skizziert, um den weiteren Rahmen der in dieser Arbeit entwickelten 

Theorie aufzuzeigen. Die Darstellung orientiert sich hierbei an den ausführlicheren 

Darstellungen wie man sie z.B. in [93, 76, 94] findet. In der phänomenologischen Landau 

Theorie geht man von zwei Postulaten aus. 

1) Das Landau Funktional kann in Abhängigkeit von den Kopplungskonstanten {K i } 

und vom Ordnungsparameter φ bzw. seiner Dichte ψ dargestellt werden. 

2) Das globale Minimum des Landau Funktionals bezüglich des Ordnungsparameters 

spezifiziert den Gleichgewichtszustand des Systems. 

125


Des weiteren muß das Landau Funktional die folgenden Bedingungen erfüllen: 

→ Es muß die im System vorliegenden Symmetrien berücksichtigen. 

→ Nahe des kritischen Punktes muß das Funktional analytisch bezüglich der 

Kopplungskonstanten und bezüglich des Ordnungsparameters φ sein. 

→ Für den Ordnungsparameter φ muß gelten: φ = ∫ { 

=0 für T >T 

d⃗rψ(⃗r) 

c 

≠0 für T 0 gelten muß, da ansonsten das Funktional durch |ψ| → ∞ minimiert würde. Im 

Bereich T < T c soll ψ = 0 die Minimumsbedingung ∂L/∂φ = 0 erfüllen. Damit gilt 

für den Koeffizienten a 1 = 0. Um die Koeffizienten a 2 und a 4 genauer zu bestimmen, 

entwickelt man diese bezüglich (T − T c ). Für a 4 ist dabei in der Regel nur der von der 

Temperatur unabhängige Anteil a 0 4 relevant. Im Gegensatz dazu fällt, aufgrund der Minimumsbedingung 

∂L/∂φ = 0, der von der Temperatur unabhängige Koeffizient a 0 2 weg. 

Der in t = (T − T c )/T c lineare Term dieser Entwicklung wird berücksichtigt. Aus diesen 

Überlegungen erhält man als allgemeinen Ansatz für das Landau Funktional: 

∫ 

∫ 

L(T ; φ) = d d r L(T ; ψ(⃗r)) = d d r [a 0 ([K], T ) + a 1 2tψ 2 (⃗r) + a 0 4ψ 4 (⃗r)] 

Es ist zu beachten, daß die Temperatur T eine thermodynamische Variable ist, der Ordnungparameter 

bzw. seine Dichte jedoch nicht. ψ ist der Gleichgewichtswert für den bei 

gegebener Temperatur das Landau Funktional minimal wird! Der Koeffizient a 0 ([K], T ) 

gibt den Wert des Funktionals in der Hochtemperaturphase an bzw. Beiträge, die nicht 

durch den Ordnungsparameter φ erfaßt werden. In räumlich inhomogenen Systemen ist 

der Ordnungsparameter eine Funktion des Ortes. Solche Systeme kann man mittels der 

Landau Theorie erfassen, indem man eine Vergröberung des Ordnungsparameters vornimmt, 

d.h. den lokalen Ordnungsparameter über Blöcke der Ausdehnung Λ −1 ≈ ξ(T ) 

126


mittelt. Die Ausdehnung der Blöcke muß in etwa von der Größe der Korrelationslänge 

ξ(T ) im System sein, damit garantiert ist, daß der lokale Ordnungsparameter innerhalb 

eines Blocks näherungsweise uniform ist. Durch diese Art der Mittelung verschwinden alle 

Fluktuationen auf der Größenskala der Gitterkonstante a der geordneten Struktur. Die 

Werte des vergröberten Ordnungsparameters in aneinander grenzenden Blöcken, können 

sich aufgrund der verwendeten Definition im Prinzip stark unterscheiden. Einer solchen 

Situation entspricht z.B. das Auftreten von Domänenwänden. Da aber L bezüglich des 

vergröberten Ordnungsparameters analytisch sein soll, darf auch dieser selbst keine Diskontinuitäten 

aufweisen. Dies wird durch das Einführen eines Gradiententerms in das 

Landau Funktional sichergestellt. 

∫ 

L(T ; φ) = d d r [a 0 ([K], T ) + a 1 2tψΛ(⃗r) 2 + a 0 4ψΛ(⃗r) 4 + 1 2 γ(∇ψ Λ(⃗r)) 2 ] 

Im nächsten Kapitel wird eine phänomenologische Landau Theorie für die Berechnung 

der Verzerrungskorrelationsfunktionen in Festkörpern aufgestellt. Zu diesem Zweck wird 

ein harmonisches Landau Funktional verwendet, d.h. Beiträge in ψΛ 4 (⃗r) werden vernachlässigt 

werden. 

Formal läßt sich das Landau Funktional als vergröberte Freie Energie interpretieren, 

welche sich aus einer eingeschränkten Spurbildung ergibt: e βL{φ(⃗r)} = Sp ′ e −βH . Die 

Summe über alle Mikrozustände (in einem Ising Modell z.B. {S}) des Systems läßt sich 

in eine Summe über alle Realisierungen (z.B. { ¯S}) der semi-makroskopischen Variable 

ψ Λ (⃗r) und eine Summe über die verbleibenden Mikrozustände (z.B. {S ∗ }) zerlegen. 

Damit wird die formale Verbindung des Landau Funktionals zur Zustandesumme des 

Systems sichtbar: 

Z = e −βF = ∑ e −βH({S}) = ∑ ∑ 

e −βH = ∑ e −βL({φ Λ}) 

{S} 

{S ∗ } 

{S ∗ } 

Die Summation über die verbleibenden Mikrozustände {S ∗ } kann durch ein Funktionalintegral 

ausgedrückt werden. Damit erhält man: 

∫ 

Z = e −βF = Dφ Λ e −βL({φ Λ}) 

Aufgrund dieser Interpretation einer vergröberten Freien Energie wird das Landau Funktional 

in den weiteren Kapiteln auch mit F bezeichnet. Für die Untersuchung von Korrelationen 

ist das Fluktuations-Dissipations-Theorem von großer Bedeutung. Es wird im 

nächsten Abschnitt allgemein eingeführt. 

{ ¯S} 

Fluktuations-Dissipations-Theorem 

Man betrachtet zunächst die Zweipunkt-Korrelationsfunktion der Dichte des Ordnungsparameters. 

Diese ist wie folgt definiert: 

G(⃗r, ⃗r ′ ) = 〈ψ(⃗r)ψ(⃗r ′ )〉 − 〈ψ(⃗r)〉〈ψ(⃗r ′ )〉 

127


Im kanonischen Ensemble berechnet sich der Mittelwert der Ordnungsparameterdichte 

aus: 

〈ψ(⃗r)〉 = 1 [ψ(⃗r)e 

Z Sp −βH] mit Z = Sp 

(e −βH) 

Die Hamilton Funktion des Systems läßt sich in einen kraftfreien Anteil H 0 und einen von 

der konjugierten Kraft π(⃗r) abhängigen Anteil zerlegen: H = H 0 + ∫ d⃗r ′ π(⃗r ′ )ψ(⃗r ′ ). 

Eine Variation in der konjugierten Kraft δπ(⃗r) führt zu einer Variation der Energie 

δH = − ∫ d⃗r ′ ψ(⃗r ′ )δπ(⃗r ′ ) und ruft eine Antwort δψ des Systems hervor: 

δ〈ψ(⃗r)〉 = 1 [ 

Z Sp ψ(⃗r)(−βδH)e −βH] − 1 [ 

Z 2 Sp (−βδH)e −βH] Sp 

[ψ(⃗r)e −βH] 

= −β (〈ψ(⃗r)δH〉 − 〈δH〉〈ψ(⃗r)〉) 

∫ 

= −β d⃗r ′ ( 〈ψ(⃗r)ψ(⃗r ′ )δπ(⃗r ′ )〉 − 〈ψ(⃗r ′ )δπ(⃗r ′ )〉〈ψ(⃗r)〉 ) 

∫ 

= −β d⃗r ′ ( 〈ψ(⃗r)ψ(⃗r ′ )〉 − 〈ψ(⃗r ′ )〉〈ψ(⃗r)〉 ) δπ(⃗r ′ ) 

Die Antwort δψ des Systems kann somit in Verbindung zur Zweipunkt-Korrelationsfunktion 

der Dichte des Ordnungsparameters gebracht werden. Dies ist das sogenannte 

verallgemeinerte Fluktuations-Dissipations-Theorem. Es stellt den Zusammenhang zwischen 

der Antwort des Ordnungsparameters auf eine äußere Störung und den inneren 

Fluktuationen des Systems dar: 

∫ 

δ〈ψ(⃗r)〉 = β d⃗r ′ G(⃗r, ⃗r ′ )δπ(⃗r ′ ) 

Im Spezialfall einer ortsunabhängigen Störung gilt für die verallgemeinerte Suszeptibilität: 

( ) 

∫ 

∂ψ0 

χ T = const · V = const · βV d⃗r ′ G(⃗r, ⃗r ′ ) 

∂π 

T 

Dies ist die sogenannte Summenregel der Suszeptibilität. Es ist anzumerken, daß hier die 

Annahme gemacht wurde, daß wahrscheinlichste und mittlere Ordnungsparameterdichte 

übereinstimmen ψ 0 = 〈ψ〉. 

Um im Rahmen der Landau Theorie, mit Hilfe des Fluktuations-Dissipations-Theorems 

Korrelationen untersuchen zu können, muß im Landau Funktional auch die zur Ordnungsparameterdichte 

konjugierte Kraft π(⃗r) berücksichtigt werden: 

∫ 

L(T ; φ) = d d r [a 0 ([K], T ) + a 1 2tψΛ(⃗r) 2 + a 0 4ψΛ(⃗r) 4 + 1 2 γ(∇ψ Λ(⃗r)) 2 − π(⃗r)ψ(⃗r)] 

Die verallgemeinerte Suzeptibilität erhält man somit in der Landau Theorie aus: 

( 

χ T (⃗r, ⃗r ′ ) = − δ2 L(T ; φ) 

1 

δπ(⃗r)δπ(⃗r ′ ) = k δ 2 Z 

BT 

Z δπ(⃗r)δπ(⃗r ′ ) − 1 ) 

δZ 1 δZ 

Z δπ(⃗r) Z δπ(⃗r ′ ) 

= β ( 〈ψ(⃗r)ψ(⃗r ′ )〉 − 〈ψ(⃗r)〉〈ψ(⃗r ′ )〉 ) 

= βG(⃗r, ⃗r ′ ) 

128


Dieser Zusammenhang wird in der vorliegenden Arbeit verwendet, um aus der Analyse 

von Verzerrungskorrelationen in Festkörpern im Rahmen einer Landau Gitterfeldtheorie 

auf die verallgemeinerten Suszeptibilitäten zu schließen. Diese entsprechen in der Elastizitätstheorie 

den Elementen des nicht-lokalen Nachgiebigkeitstensors, aus denen sich die 

Elastischen Konstanten der Systeme bestimmen lassen. Die Form der Zweipunkt-Korrelationsfunktionen 

in den Verzerrungen kann analytisch mit Hilfe eines passend gewählten 

Landau Funktionals berechnet werden. Als Ordnungsparameter werden dazu die Verzerrungen 

gewählt. Diese sind im Kristall im Mittel Null. Ihre Fluktuationen sind klein 

und näherungsweise um den Mittelwert normalverteilt. Die mikroskopischen Verzerrungen 

erfüllen somit die an den Ordnungsparameter gestellten Anforderungen. Gelingt es 

das Funktional komplett in einer unabhängigen Verzerrungsvariable zu formulieren, so 

faktorisiert die Zustandssumme und die Korrelationsfunktion kann im Fourier Raum 

analytisch berechnet werden. 

129

130

KAPITEL 9 

Verzerrungskorrelationen im Festkörper 

9.1. Analytische Herleitung 

Zur Untersuchung des Festkörpers als elastisches Kontinuum wird eine semi-phänomenologische, 

nicht-lokale Gitterfeldtheorie aufgestellt. Anstelle einer auf die mikroskopischen 

im Festkörper wirkenden Wechselwirkungen beruhenden Hamilton Funktion, verwendet 

man in solchen Theorien, wie bereits dargelegt, eine vergöberte Variable, die den Zustand 

des Systems beschreibt, d.h. einen passenden Ordnungsparameter. Für die hier 

behandelte Fragestellung bietet sich eine Formulierung in den Verzerrungen ɛ ij an. Diese 

vergröberte Darstellung ist zudem mit den Annahmen der klassischen, linearen Elastizitätstheorie 

im Einklang, in der auch angenommen wird, daß die lineare Ausdehnung der 

Kontinuumselemente groß im Verhältnis zu Bindungslängen o. ä. sind. Im vergröberten 

Modell tritt an die Stelle des Ordnungsparameterfeldes ɛ ij (⃗x) sein vergröberter, lokaler 

Mittelwert 〈ɛ ij (⃗x)〉. Um die Notation übersichtlicher zu halten, wird im Folgenden der 

vergröberte, lokale Mittelwert mit ɛ ij bezeichnet. 

Es wird ein phänomenologischer Ansatz für das Landau Funktional der vergröberten 

Freien Energie F auf dem Vergröberungsgitter gemacht (siehe z.B. [76]). Dabei gibt das 

ganzzahlige Zahlentupel ⃗ l die Gitterposition an. 

F[ɛ ij (⃗x)] = ∑ ⃗ l 

f(ɛ ij, ⃗ l 

) + 1 2 

∑ 

⃗ l, ⃗ l ′ 

C ⃗l, ⃗ l ′ 

( 

ɛ ij, ⃗ l 

− ɛ ij, ⃗ l ′) 2 

+ · · · 

Den Kontinuumsgrenzfall dieser Betrachtungen erhält man, indem man das Volumen der 

Vergröberungszelle V z = V N 

(V : gesamtes Volumen; N: Anzahl der Zellen) gegen Null 

gehen läßt. Dabei geht der diskrete Ortsvektor R ⃗ ⃗l in die kontinuierliche Ortsvariable ⃗x 

131


und der vergröberte lokale Mittelwert des Ordnungsparameters ɛ ij, ⃗ l 

in das Ordnungsparameterfeld 

ɛ ij (⃗x) über. Für die einzelnen Summanden des Landau Funktionals auf dem 

Gitter gilt: 

1 

2 

∑ 

⃗ l, ⃗ l ′ 

C ⃗l, ⃗ l ′ 

V z 

∑ 

⃗ l 

→ 

∫ 

d 2 x 

∑ 

∫ 


) → d 2 x ¯f [ɛ ij (⃗x)] 

⃗ l 

( ) 2 

ɛ ij, ⃗ l 

− ɛ ij, ⃗ l ′ → 1 ∫ 

d 2 xc (∇ɛ ij ) 2 

2 

wobei die Definitionen ¯f [ɛ ij (⃗x)] = 1 

V z 


) und c = 1 ∑ 

⃗ 

V za ⃗ l R 

2 

⃗l 

C ⃗l, verwendet wurden. 

⃗0 

Der erste Summand, der sogenannte lokale Anteil, ist direkt vom Ordnungsparameter 

abhängig und wird, wie im beispielhaft diskutierten Fall eines Systems der Ising Universalitätsklasse, 

als Potenzreihenentwicklung im Ordnungsparameter ɛ ij angesetzt. Der 

zweite Summand enthält, wie man bei der Betrachtung des Kontinuumslimes sieht, den 

Gradienten des Ordnungsparameters und dient daher der Beschreibung der räumlichen 

Variation des Ordnungsparameter. Ein solcher Ansatz erfaßt nicht oder nur schlecht 

Phänomene, die mit kurzwelligen Anregungen des Ordnungsparameters in Zusammenhang 

stehen. Diese sind aber für die Behandlung der linearen Elastizitätstheorie nicht 

relevant, da auch diese eine Betrachtung des langwelligen Grenzfalls ist. Sehr kurzwellige 

Anregungen entsprechen, wie später anhand der Daten sichtbar wird, der Bildung von 

Defekten oder Defektpaaren auf der mikroskopischen Ebene. Für den hier gewählten Ansatz 

kann die Anregung solcher kurzwelliger Deformationen unterdrückt werden, indem 

entweder Wellenlängen kleiner einer bestimmten Wellenlänge λ c ignoriert werden 1 , oder 

aber indem ein weiterer Gradiententerm dem Ansatz hinzugefügt wird ([76, 95]). Diese 

zweite Variante wird für die hier vorliegende Arbeit gewählt. 

Damit ist der Startpunkt zur Herleitung der Verzerrungskorrelationsfunktionen das folgende 

Landau Funktional der vergröberten Freien Energie in seiner harmonischen Darstellung: 

βF = 1 ∫ 

d 2 x a 1 e 2 1 + a 2 e 2 2 + a 3 e 2 3 + c 1 (∇e 1 ) 2 + c 2 (∇e 2 ) 2 + c 3 (∇e 3 ) 2 

2 

+ c ′ 1(∇ 2 e 1 ) 2 + c ′ 2(∇ 2 e 2 ) 2 + c ′ 3(∇ 2 e 3 ) 2 

Die Konstanten a i (i = 1 − 3) entsprechen den elastischen Konstanten des Systems, 

während c i und c ′ i (i = 1 − 3) Korrelationslängen sind. Als vergröberte Verzerrungsvariablen 

werden Linearkombinationen der Lagrange’schen Verzerrungen verwendet. Diese 

1 Ein sogenannter hard cutoff. Diese Wellenlängen werden bei der Spurbildung in der Zustandssumme 

nicht berücksichtigt. Dies entspricht dem Vorgehen im Falle des Systems der Ising Universalitätsklasse. 

132


sind im einzelnen: 

e 1 = ɛ xx + ɛ yy = ∂u x 

∂x + ∂u y 

∂y 

e 2 = ɛ xx − ɛ yy = ∂u x 

∂x − ∂u y 

∂y 

e 3 = ɛ xy = 1 ( ∂ux 

2 ∂y + ∂u ) 

y 

∂x 

(Volumen) 

(Deviatorische) 

(Scherungen) 

Des weiteren benötigt man den Spannungstensor und seine Verknüpfung mit den Linearkombinationen 

der Verzerrungen: 

σ xx = δ βF 

δɛ xx 

= 1 2 (2a 1(ɛ xx + ɛ yy ) + 2a 2 (ɛ xx − ɛ yy )) = a 1 e 1 + a 2 e 2 

σ yy = δ βF 

δɛ yy 

= a 1 e 1 − a 2 e 2 

σ xy = δ βF 

δɛ xy 

= a 3 e 3 

Wir betrachten einen Festkörper im thermodynamischen Gleichgewicht, d.h. die Summe 

der Kräfte im und auf den Körper muß gleich Null sein: ∂σ ij 

∂x j 

= 0. Für ein zweidimensionales 

System, heißt das: 

∂ 

∂x (a 1e 1 + a 2 e 2 ) + ∂ ∂y (a 3e 3 ) = 0 

∂ 

∂x (a 3e 3 ) + ∂ ∂y (a 1e 1 − a 2 e 2 ) = 0 

Für die analytische Herleitung der Verzerrungskorrelationsfunktionen ist es nützlich, für 

die weiteren Umformungen in den Fourier Raum zu wechseln. Dann schreiben sich die 

Gleichgewichtsbedingungen als 

k x a 1 ẽ 1 + k x a 2 ẽ 2 + k y a 3 ẽ 3 = 0 (9.1) 

k y a 1 ẽ 1 − k y a 2 ẽ 2 + k x a 3 ẽ 3 = 0 (9.2) 

Wie bereits in der Einführung zur Elastizitätstheorie diskutiert, müssen die Verzerrungen 

im Festkörper der Kompatibilitätsbedingung von St. Venant genügen. Diese lautet im 

Fourier Raum (siehe Kapitel 6 Gleichung 6.1): 

−k 2 ẽ 1 + (k 2 x − k 2 y)ẽ 2 + 4k x k y ẽ 3 = 0 (9.3) 

Mit Hilfe der beiden Gleichungen, die man aus der Gleichgewichtsbedingung erhalten 

hat, und der Kompatibilitätsbedingung lassen sich nun je zwei der Verzerrungen ẽ i in 

Abhängigkeit von der dritten Verzerrung darstellen. D.h. es gibt nur eine unabhängige 

Verzerrungsvariable im System. Ziel ist es das Funktional der Freien Energie in harmonischer 

Darstellung als Funktional dieser einen, unabhängigen Verzerrungsvariable zu 

133


schreiben. Diese Form entspricht der Gauß’schen Näherung (siehe [93]) und ermöglicht 

erst die analytische Berechnung der Korrelationsfunktion, da nun die Zustandssumme 

faktorisiert. 

Bei der weiteren Herleitung muß zwischen dem Fall ⃗ k = ⃗0, für den man direkt die 

elastischen Konstanten ablesen kann, und dem Fall, daß sowohl k x ≠ 0 als auch k y ≠ 0 

gilt, unterscheiden. 

Zunächst werden sogenannte mathematische Kerne ˜Q ij , hergeleitet, die den Zusammenhang 

zwischen der Verzerrung ẽ i und der Verzerrung ẽ j angeben. Gleichung (9.3) kann 

man jeweils nach einer Verzerrung auflösen und erhält 

ẽ 1 = 1 k 2 ( 

(k 

2 

x − k 2 y)ẽ 2 + 4k x k y ẽ 3 

) 

(9.4) 

bzw.: 

oder: 

ẽ 2 = 

1 ( ) 

k2ẽ (kx 2 − ky) 

2 1 − 4k x k y ẽ 3 

ẽ 3 = 1 

4k x k y 

( k2ẽ 1 − (k 2 x − k 2 y)ẽ 2 

) 

(9.5) 

(9.6) 

Die Gleichungen (9.1) und (9.2) lassen sich zu einer Gleichung zusammenfassen: 

k 2 a 1 ẽ 1 + (k 2 x − k 2 y)a 2 ẽ 2 + 2k x k y a 3 ẽ 3 = 0 

Setzt man nun die Gleichung (9.4) für ẽ 1 in diese Gleichung ein und löst nach ẽ 2 auf, so 

erhält man den mathematischen Kern ˜Q 23 : 

( ) ( ) 

4a1 + 2a 3 kx k y 

ẽ 2 = − 

a 1 + a 2 kx 2 − ky 

2 ẽ 3 = ˜Q 23 ẽ 3 

Einsetzten von Gleichung (9.5) für ẽ 2 ergibt den mathematischen Kern ˜Q 13 : 

( ) ( ) 

2a3 − 4a 2 kx k y 

ẽ 1 = − 

a 1 + a 2 k 2 ẽ 3 = ˜Q 13 ẽ 3 

und durch Einsetzen von Gleichung (9.6) für ẽ 3 ergibt sich der mathematische Kern ˜Q 12 : 

( ) ( ) 

a3 − 2a 2 kx 2 − ky 

2 ẽ 1 = 

2a 1 + a 3 k 2 ẽ 2 = ˜Q 12 ẽ 2 

Ziel der folgenden Rechnungen ist es das Funktional der Freien Energie im Fourier Raum 

darzustellen und eine Verbindung zu den Zweipunkt-Korrelationsfunktionen in den Verzerrungen 

aufzuzeigen. Dies soll im Rahmen einer Gitterfeldtheorie, wie am Anfang des 

Kapitels dargelegt, geschehen. Da auch die Auswertung dieser Größen in den Simulationen 

(und auch im Experiment) auf dem diskreten Gitter der vergröberten Variablen 

134


stattfindet, wird für die Herleitung die diskrete Notation e 1 (⃗x) → e 1, ⃗m und ⃗x → ⃗ R ⃗m 

verwendet. Hierbei gibt ⃗m die Position auf dem Vergröberungsgitter eindeutig durch ein 

Tupel ganzzahliger Gitterindizes an. Die Transformation der auf diesem Vergröberungsnetz 

gegebenen Größen in den Fourier Raum erfolgt mittels Fourier Reihen. Diese sind 

wie folgt definiert (siehe z.B.[76]): 

e 1, ⃗m = 1 V 

∑ 

⃗ k 

e i⃗ k ⃗ R ⃗mẽ 

1, ⃗ k 

ẽ 1, ⃗ k 

= V ∑ 

e −i⃗ kR ⃗ ⃗m 

e 1, ⃗m 

N 

⃗m 

δ ⃗k, k ⃗′ = 1 ∑ 

e i(⃗ k−k ⃗′ ) R ⃗ ⃗m 

N 

δ ⃗m, ⃗ m ′ = 1 N 

⃗m 

∑ 

⃗ k 

e −i⃗ k( ⃗ R ⃗m − ⃗ R ⃗m ′ ) 

In dieser vergröberten Darstellung schreibt sich das Funktional der Freien Energie als 

Summe. 

βF = 1 2 V ∑ ( 

z a 1 e 2 1, ⃗m + a 2e 2 2, ⃗m + a 3e 2 3, ⃗m + c 1(∇e 1, ⃗m ) 2 + c 2 (∇e 2, ⃗m ) 2 

⃗m 

+ c 3 (∇e 3, ⃗m ) 2 + c ′ 1(∇ 2 e 1, ⃗m ) 2 + c ′ 2(∇ 2 e 2, ⃗m ) 2 + c ′ 3(∇ 2 e 3, ⃗m ) 2) 

Hier wurde beim Übergang von der Integraldarstellung zur Summation das Volumen der 

Vergröberungszelle V z eingeführt. Die Summation erfolgt über alle N Vergröberungszellen, 

in die das Gesamtvolumen zerlegt wurde. Des weiteren werden die, in der Freien 

Energie vorkommenden, Gradiententerme im Fourier Raum benötigt: 

∇e 1, ⃗m = ∇ 1 ∑ 

e i⃗ kR ⃗ ⃗mẽ 

V 

1, ⃗ k 

= 1 ∑ 

∇e i⃗ kR ⃗ ⃗mẽ 

V 

1, ⃗ k 

= 1 ∑ 

i 

V 

⃗ ke i⃗ kR ⃗ ⃗mẽ 

1, ⃗ k 

⃗ k 

⃗ k 

⃗ k 

⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ 

(∇e 1, ⃗m ) 2 = ⎝ 1 ∑ 

i 

V 

⃗ ke i⃗ kR ⃗ ⃗mẽ ⎠ ⎝ 1 ∑ 

1, ⃗ k 

(−i) k 

V 

⃗′ e −i⃗ k ′ R ⃗ ⃗mẽ ∗ ⎠ 

1, k ⃗′ = 

⎛ 

⃗ k 

⎞ 

⎝ 1 ∑ 

⃗ kk ⃗ 

V 2 ′ e i(⃗ k−k ⃗′ ) R ⃗ ⃗mẽ 

1, ⃗ k ẽ ∗ ⎠ 

1, k ⃗′ ⃗ k, ⃗ k ′ 

∇ 2 e 1, ⃗m = ∇ 2 1 ∑ 

e i⃗ kR ⃗ ⃗mẽ 

V 

1, ⃗ k 

= 1 ∑ 

∇ 2 e i⃗ kR ⃗ ⃗mẽ 

V 

1, ⃗ k 

= 1 V 

∑ 

⃗ k 

⃗ k 

∇i ⃗ ke i⃗ k ⃗ R ⃗mẽ 

1, ⃗ k 

= −1 

V 

⃗ k 

⃗k ′ 

∑ 

⃗ k 

(k 2 x + k 2 y)e i⃗ k ⃗ R ⃗mẽ 

1, ⃗ k 

135


(∇ 2 e 1, ⃗m ) 2 = 

= 

⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ 

⎝ −1 ∑ 

(kx 2 + k 2 

V 

y)e i⃗ kR ⃗ ⃗mẽ ⎠ ⎝ −1 ∑ 

1, ⃗ k 

(k ′ 2 

x + k ′ 2 

V 

y)e i⃗ k ′ R ⃗ ⃗mẽ ∗ ⎠ 

1, k ⃗′ ⃗ k ⃗k 

⎛ 

′ ⎞ 

⎝ 1 ∑ 

V 2 (kx 2 + ky)(k 2 ′ 2 

x + k ′ 2 

y)e i(⃗ k−k ⃗′ ) R ⃗ ⃗mẽ 

1, ⃗ k ẽ ∗ ⎠ 

1, k ⃗′ ⃗ k, ⃗ k ′ 

Es ist anzumerken, daß die Verzerrungen reelle Größen sind. Ihre Fourier Summen 

können daher auf zwei Arten angegeben werden: e 1, ⃗m = 1 ∑ 

V ⃗ k 

e i⃗ kR ⃗ ⃗m 

ẽ 1, ⃗ k 

oder auch 

∑ 

⃗ k 

e −i⃗ kR ⃗ ⃗m 

ẽ ∗ 1, ⃗ . Nun kann man die oben angegebenen Definitionen anwenden, 

k 

e 1, ⃗m = 1 V 

um in die Darstellung im Fourier Raum zu wechseln. Im Folgenden werden der Übersichtlichkeit 

halber nur die Umformungen der Terme, die e 1, ⃗m enthalten, ausführlich 

dargelegt. Die Terme in e 2, ⃗m und e 3, ⃗m haben eine analoge Struktur. 

βF = 1 2 V ∑ ( 

z a 1 e 2 1, ⃗m + a 2e 2 2, ⃗m + a 3e 2 3, ⃗m + c 1(∇e 1, ⃗m ) 2 + c 2 (∇e 2, ⃗m ) 2 + c 3 (∇e 3, ⃗m ) 2 

⃗m 

+c ′ 1(∇ 2 e 1, ⃗m ) 2 + c ′ 2(∇ 2 e 2, ⃗m ) 2 + c ′ 3(∇ 2 e 3, ⃗m ) 2) 

⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ 

= 1 2 V ∑ 

z 

{a 1 

⎝ 1 ∑ 

e i⃗ kR ⃗ ⃗mẽ ⎠ ⎝ 1 ∑ 

V 

1, ⃗ k 

e −i⃗ k ′ R ⃗ ⃗mẽ ∗ ⎠ 

V 

1, k ⃗′ ⃗m 

+ c ∑ 

1 ⃗ kk ⃗ 

V 2 ′ e i(⃗ k−k ⃗′ ) R ⃗ ⃗mẽ 

1, ⃗ k ẽ ∗ 1, k ⃗′ 

⃗ k, ⃗ k ′ 

⃗ k 

} 

+ c′ ∑ 

1 

V 2 (kx 2 + ky)(k 2 ′ 2 

x + k ′ 2 

y)e i(⃗ k−k ⃗′ ) R ⃗ ⃗mẽ 

1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ + · · · k ′ 

⃗ k, k ⃗′ 

{ 

= 1 V z 

∑ ∑ 

2 V 2 a 1 e i(⃗ k−k ⃗′ ) R ⃗ ⃗mẽ 

1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ + c ∑ 

⃗ 

k ′ 1 kk ⃗ ′ e i(⃗ k−k ⃗′ ) R ⃗ ⃗mẽ 

1, ⃗ k ẽ ∗ 1, k ⃗′ 

⃗ k, k ⃗′ 

⃗m 

⃗m 

} 

∑ 

+c ′ 1 (kx 2 + ky)(k 2 ′ 2 

x + k ′ 2 

y)e i(⃗ k−k ⃗′ ) R ⃗ ⃗mẽ 

1, ⃗ k ẽ ∗ 1, k ⃗ + · · · ′ 

⃗m 

{ 

= 1 V z 

∑ 

∑ 

2 V 2 a 1 ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ e i(⃗ k−k ⃗′ ) ⃗ ∑ 

R ⃗m 

+ c 

k ′ 1 

⃗ k k′ẽ ⃗ 

1, ⃗ k ẽ ∗ 1, k ⃗′ ⃗ k, k ⃗′ 

⃗m 

⃗m 

} 

∑ 

+c ′ 1(kx 2 + ky)(k 2 ′ 2 

x + k ′ 2 

y)ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, k ⃗ e i(⃗ k−k ⃗′ ) R ⃗ ⃗m 

+ · · · 

′ 

= 1 V z 

∑ { 

2 V 2 a 1 ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, k ⃗′Nδ ⃗ k, k ⃗′ + c 1 

⃗ k k′ẽ ⃗ 

1, ⃗ k ẽ ∗ 1, k ⃗′Nδ ⃗ k, k ⃗′ 

⃗ k, k ⃗′ 

} 

+c ′ 1(kx 2 + ky)(k 2 ′ 2 

x + k ′ 2 

y)ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, k ⃗′Nδ ⃗ k, k ⃗′ + · · · 

⃗m 

⃗k ′ 

e i(⃗ k− ⃗ k ′ ) ⃗ R ⃗m 

136

= 1 NV z 

∑ 

2 V 2 

= 1 1 ∑ 

2 V 

= 1 1 

2 V 

⃗ k 

{ 

⃗ k 

{ 


a 1 ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ k + c 1(k 2 x + k 2 y)ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ k + c′ 1(k 2 x + k 2 y) 2 ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ k + · · · } 

a 1 ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ k + c 1(k 2 x + k 2 y)ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ k + c′ 1(k 2 x + k 2 y) 2 ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ k + · · · } 

∑ { 

⃗ k 

} 

a 1 ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ + a k 

2ẽ 2, ⃗ k ẽ ∗ 2, ⃗ + a k 

3ẽ 3, ⃗ k ẽ ∗ 3, ⃗ + c k 

1k 2 ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ + c k 

2k 2 ẽ 2, ⃗ k ẽ ∗ 2, ⃗ k 

+c 3 k 2 ẽ 3, ⃗ k ẽ ∗ 3, ⃗ k + c′ 1k 4 ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ k + c′ 2k 4 ẽ 2, ⃗ k ẽ ∗ 2, ⃗ k + c′ 3k 4 ẽ 3, ⃗ k ẽ ∗ 3, ⃗ k 

Bei der letzten Umformung wurde eine abkürzende Schreibweise eingeführt. k 2 steht für 

das Skalarprodukt des Wellenvektors ⃗ k 2 = (k 2 x + k 2 y) und k 4 steht für das Quadrat des 

Skalarprodukts ( ⃗ k 2 ) 2 = (kx 2 +ky) 2 2 = (kx 4 +2kxk 2 y 2 +ky). 4 Verwendet man nun die durch die 

hergeleiteten mathematischen Kerne ˜Q ij beschriebenen Zusammenhänge zwischen den 

einzelnen Verzerrungen, so läßt sich die Freie Energie z.B. vollständig in Abhängigkeit 

von ẽ 1 formulieren: 

βF = 1 1 ∑ 

{a 1 + k 2 c 1 + k 4 c ′ 1 + (a 2 + c 2 k 2 + c ′ 

2 V 

2k 4 )( ˜Q 21 ( ⃗ k)) 2 

⃗ k 

+ (a 3 + c 3 k 2 + c ′ 3k 4 )( ˜Q 31 ( ⃗ k)) 2 }ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ k 

Mit Hilfe des so formulierte Landau Funktionals können nun die Zweipunkt-Korrelationsfunktionen 

des Ordnungsparameters im Fourier Raum analytisch berechnet werden. Man 

startet mit der Definition der Korrelationsfunktionen: 

G ii (⃗r, ⃗r ′ ) = 〈e i (⃗r)e i (⃗r ′ )〉 − 〈e i (⃗r)〉〈e i (⃗r ′ )〉 = 〈e i (⃗r)e i (⃗r ′ )〉 

= 1 ∑ 

V 2 e i((⃗ k·⃗r)( ⃗ k ′·⃗r ′)) 〈ẽ ⃗k ẽ ⃗k ′〉 

⃗ k ⃗ k ′ 

Da die Mittelwerte der Verzerrungen 〈e i (⃗r)〉 im Kristall ohne Last gleich Null sind, 

fällt der zweite Summand weg. Zunächst wird der Mittelwert der Fourier Koeffizienten 

berechnet: 

〈ẽ ⃗k ẽ ⃗k ′〉 = 

∫ ∞ 

−∞ dẽ ⃗ k1 

dẽ ⃗k2 · · · dẽ ⃗k · · · dẽ ⃗k ′ · · · e −βF ẽ ⃗k ẽ ⃗k ′ 

∫ ∞ 

−∞ dẽ ⃗ k1 

dẽ ⃗k2 · · · dẽ ⃗k · · · dẽ ⃗k ′ · · · e −βF 

Die Integration erstreckt sich über den gesamten Fourier Raum, d.h. sowohl reelle als 

auch imaginäre Anteile. Es gilt ẽ ⃗k = ẽ ∗ ⃗ −k 

, so daß sich die Gleichung auf folgende Form 

bringen läßt: 

〈ẽ ⃗k ẽ ⃗k ′〉 = 

∫ ∞ 

−∞ dẽ ⃗ k 

dẽ ⃗k ′e −β2F ẽ ⃗k ẽ ⃗k ′ 

∫ ∞ 

−∞ dẽ ⃗ k 

dẽ ⃗k ′e −β2F = 

∫ ∞ 

−∞ dẽ ⃗ k 

dẽ ⃗k ′e − 2 

2V A(⃗ k)ẽ ⃗k ẽ ∗ ⃗ k e − 2 

2V A(⃗ k ′ )ẽ ⃗k ′ẽ ∗ ⃗ k′ e ⃗k e ⃗k ′ 

∫ ∞ 

−∞ de ⃗ k 

de ⃗k ′e − 2 

2V A(⃗ k)ẽ ⃗k ẽ ∗ ⃗ k e − 2 

2V A(⃗ k ′ )ẽ ⃗k ′ẽ ∗ ⃗ k ′ 

137


Hierbei wurde die Abkürzung A( ⃗ k) = a 1 + k 2 c 1 + k 4 c ′ 1 + (a 2 + c 2 k 2 + c ′ 2 k4 )( ˜Q 21 ( ⃗ k)) 2 + 

(a 3 + c 3 k 2 + c ′ 3 k4 )( ˜Q 31 ( ⃗ k)) 2 verwendet. Für die weitere Rechnung muß man eine Fallunterscheidung 

vornehmen ([93]). 

1) ⃗ k ≠ ± ⃗ k ′ . In diesem Fall sind die zugehörigen Fourier Koeffizienten ungleich und 

das Integral faktorisiert in zwei Faktoren der Form: 

∫ ∞ 

−∞ 

dẽ ⃗k e − 2 

2V A(⃗ k)|ẽ ⃗k | 2 ẽ ⃗k = 0 ⇒ 〈ẽ ⃗k ẽ ⃗k ′〉 = 0 | ⃗ k| ≠ | ⃗ k ′ | 

2) ⃗ k = ± ⃗ k ′ . Auch der Fall ⃗ k = ⃗ k ′ liefert 〈ẽ 2 ⃗ k 

〉 = 0. Nur für den Fall ⃗ k = − ⃗ k ′ ist das 

Integral ungleich Null. Nach einem Wechsel zu Polarkoordinaten erhält man: 

〈|ẽ ⃗k | 2 〉 = 

∫ ∞ 

0 

|ẽ ⃗k |d(|ẽ ⃗k |)e − 1 V A(⃗ k)|ẽ ⃗k | 2 |ẽ ⃗k | 2 

∫ ∞ 

0 

|ẽ ⃗k |d(|ẽ ⃗k |)e − 1 V A(⃗ k)|ẽ ⃗k | 2 

Substituiert man z = |ẽ ⃗k | und schreibt das Integral mit der Relation zdz = d(z 2 /2) 

um, so erhält man: 

〈|ẽ ⃗k | 2 〉 = 

∫ ∞ 

0 

d(z 2 /2)e − 1 V 2A(⃗ k)z 2 /2 2z 2 /2 

∫ ∞ 

= V 

0 

d(z 2 /2)e − 1 V 2A(⃗ k)z 2 /2 A( ⃗ k) 

Zusammenfassend gilt damit für den Mittelwert der Fourier Koeffizienten: 

〈ẽ ⃗k ẽ ⃗k ′〉 = δ ⃗k+ ⃗ k ′ ,⃗0 〈|ẽ ⃗ k 

| 2 V 

〉 = δ ⃗k+ ⃗ k ′ ,⃗0 

A( ⃗ k) 

Dieses Ergebnis kann man auch direkt aus dem Funktional mittels des Gleichverteilungssatzes 

ablesen. Ein Freiheitsgrad der in diesem Funktional in quadratischer Ordnung 

beiträgt, entspricht einem mittleren Energiebeitrag von k B T/2 bzw., da die Energien in 

der gesamten Rechnung in Einheiten von k B T angegeben wurden, einem Beitrag von 

1/2: 

〈|ẽ ⃗k | 2 〉 A(⃗ k) 

V 

= 2 × 1 2 

Der zusätzliche Faktor 2 berücksichtigt Real- und Imaginärteile der Koeffizienten. 

Gemäß dem soeben beschriebenen Vorgehen wurden nun auch die Korrelationsfunktionen 

der übrigen Verzerrungen im Fourier Raum berechnet. Es gilt ˜G ii ( ⃗ k) = 〈|ẽ ⃗k | 2 〉/V 

und somit im Einzelnen: 

˜G 11 ( ⃗ k ≠ 0) −1 = a 1 + k 2 c 1 + k 4 c ′ 1 + 

˜G 11 (⃗0) −1 = a 1 

3∑ 

(a j + c j k 2 + c ′ jk 4 )( ˜Q j1 ( ⃗ k)) 2 

j=2 

138


˜G 22 ( ⃗ k ≠ 0) −1 = a 2 + k 2 c 2 + k 4 c ′ 2 + 

˜G 22 (⃗0) −1 = a 2 

˜G 33 ( ⃗ k ≠ 0) −1 = a 3 + k 2 c 3 + k 4 c ′ 3 + 

˜G 33 (⃗0) −1 = a 3 

3∑ 

j=1,j≠2 

(a j + c j k 2 + c ′ jk 4 )( ˜Q j2 ( ⃗ k)) 2 

2∑ 

(a j + c j k 2 + c ′ jk 4 )( ˜Q j3 ( ⃗ k)) 2 

Formal kann man aus dem Fourier Raum zurücktransformieren und erhält: 

G ii (⃗r, ⃗r ′ ) = 1 ∑ 

1 

V a 

⃗ i + k 2 c i + k 4 c ′ k i + ∑ 3 

j=1,j≠i (a j + c j k 2 + c ′ j k4 )( ˜Q ji ( ⃗ k)) 2 ei⃗ k(⃗r−⃗r ′ ) 

Dieser Zusammenhang wird nur formal angegeben, da die hergeleiteten Ausdrücke für 

die Korrelationsfunktionen streng genommen nur für k x ≠ 0 und k y ≠ 0 gelten. Die 

Summe über alle Wellenvektoren kann daher nicht explizit berechnet werden. 

In Abbildung 9.1 sind die analytischen Verzerrungskorrelationsfunktionen im Fourier 

Raum dargestellt. Zur Berechnung wurden die aus den Simulationen eines harmonischen 

a) ~ 

G 11(k) 

b) G ~ (k) c) G ~ (k) 

22 

33 

j=1 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

-2 

0 

kx 

2 

-2 

0 

2 

ky 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-2 

0 

kx 

2 

-2 

0 

2 

ky 

0.005 

0.004 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-2 

0 

kx 

2 

-2 

0 

2 

ky 

Abbildung 9.1: Analytisch erwartete Form der Verzerrungkorrelationsfunktionen a) G 11( ⃗ k), b) G 22( ⃗ k) 

und c) G 33( ⃗ k) in einem isotropen, zweidimensionalen Festkörper im Fourier Raum. Die abgebildeten 

Grauskalengraphiken der Funktionen erstrecken sich über den gleichen Wertebereich, wie in der dreidimensionalen 

Darstellung. Maxima sind in weiß, Minima in schwarz abgebildet. Der für die Darstellung 

verwendete Parametersatz: a 1 = 97.4, a 2 = 48.1, a 3 = 198.2, c 1 = 54.3, c 2 = 37.4, c 3 = 118.2, c ′ 1 = −86.1, 

c ′ 2 = −1.3 und c ′ 3 = −18.8 wurde aus Simulationen eines harmonischen Kristalls im NV T -Ensemble mit 

periodischen Randbedingungen gewonnen (siehe Kapitel 10.2). 

139


a) G 11 

(r) b) G 22 

(r) c) G 33 

(r) 

0.06 

0.04 

0.02 

0 

-10 

0 

x 

10 

-10 

0 

10 

y 

0.5 

0 

-10 

0 

x 

10 

-10 

0 

10 

y 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-10 

0 

x 

10 

-10 

0 

10 

y 

Abbildung 9.2: Die Verzerrungkorrelationsfunktionen a) G 11(⃗r), b) G 22(⃗r) und c) G 33(⃗r) eines isotropen, 

zweidimensionalen Festkörper im Ortsraum. Die Darstellungen im Ortsraum wurden mittels einer 

numerischen Fourier Transformation berechnet. Die abgebildeten Grauskalengraphiken der Funktionen 

erstrecken sich über den gleichen Wertebereich, wie in der dreidimensionalen Darstellung. Maxima sind in 

weiß, Minima in schwarz abgebildet. Es wurde der gleiche Parametersatz wie in Abbildung 9.1 verwendet. 

Dreiecksgitters erhaltenen Parameter a i , c i und c ′ i (i = 1, 2, 3) verwendet. Die Funktionen 

im Ortsraum in Abbildung 9.2 wurden mit Hilfe einer numerischen Fouriertransformation 

berechnet. 

9.2. Eigenschaften der Verzerrungskorrelationsfunktionen 

Die unterschiedlichen Rotationssymmetrien der verschiedenen Verzerrungskorrelationsfunktionen 

sind besonders auffällig. Unabhängig von der Symmetrie des betrachteten 

Kristalls weist ˜G 11 eine 8-fache Rotationssymmetrie auf. ˜G 22 und ˜G 33 zeigen dagegen eine 

4-fache Rotationssymmetrie. Woher kommen die unterschiedlichen Rotationssymmetrien 

der einzelnen Verzerrungskorrelationsfunktionen? In Abbildung 9.3 sind die durch die 

Linearkombinationen der Elemente des Verzerrungstensors beschriebenen Verzerrungen 

eines Quadrats graphisch dargestellt. Die Korrelationsfunktionen entsprechen der Antwort 

des Systems auf eine punktuelle Störung dieser Art in seinem Ursprung. Innerhalb 

des System pflanzt sich die Störung durch elastische Wellen fort. Diese sind Überlagerungen 

der Eigenmoden des Systems. In den betrachteten, fast quadratischen Simulationsvolumina 

(L x /L y = 0.9998, so daß das Dreiecksgitter unverzerrt vorliegt) sind die Eigenmoden 

ebene Wellen, welche als transversale, oder longitudinale Wellen propagieren. Die 

zugehörigen Eigenfrequenzen sind quantisiert: ω nm = 2π L c α√ 

n 2 + m 2 mit n, m ∈ N 0 . In 

140


a) 

b) 

c) 

e 2 

e 1 e 3 

Abbildung 9.3: Schematische Darstellung der durch die Linearkombinationen der Elemente des Verzerrungstensors 

e 1 (a)), e 2 (b)) und e 3 (c)) beschriebenen Verzerrungen eines Quadrats. 

isotropen Systemen können die transversale und die longitudinale Schallgeschwindigkeit 

aus den Lamé Koeffizienten berechnet werden. Es gilt c L = √ λ + 2µ/ϱ > c T = √ µ/ϱ. 

Man erkennt, daß Eigenmoden mit Wellenvektor ⃗ k = 2π/L(n, m) entlang der Diagonalen 

(m = n) und solche mit Wellenvektor entlang der Koordinatenachsen (n = 0 oder 

m = 0) 4-fach entartet sind. Hingegen sind alle übrigen Eigenfrequenzen mit m ≠ n 

und m ≠ n ≠ 0 8-fach entartet. Die in Abbildung 9.3 a) dargestellte Störung e 1 resultiert 

in einer elastischen Welle, die nur durch eine Überlagerung von Eigenmoden mit 

4- und 8-facher Entartung beschrieben werden kann. Es ist daher die 8-fache Entartung 

der Energie, die sich in der Verzerrungskorrelationsfunktion ˜G 11 widerspiegelt. Die in 

Abbildung 9.3 b) und c) dargestellten Störungen e 2 und e 3 bewirken hingegen elastische 

Wellen, die durch die Linearkombination von Eigenmoden erhalten werden können, welche 

ausschließlich 4-fache Rotationssymmetrie aufweisen. Für e 2 sind dies Eigenmoden 

mit ⃗ k entlang der Koordinatenachsen (n = 0 oder m = 0); für e 3 sind dies Eigenmoden 

mit ⃗ k entlang der Diagonalen (n = m oder n = −m). Die Verzerrungskorrelationsfunktionen 

˜G 22 und ˜G 33 zeigen daher nur eine 4-fache Rotationssymmetrie. Um die genaue 

Struktur der Korrelationsfunktionen im Detail zu diskutieren, muß man die mathematischen 

Kerne, welche die verschiedenen Verzerrungsvariablen miteinander verknüpfen, 

genauer betrachten. Die Abhängigkeit vom Wellenvektor ⃗ k erfolgt über drei mögliche 

Terme: 

1) Die Summe k 2 x + k 2 y. Diese geht für k x → 0, k y ≠ 0 (bzw. k y → 0, k x ≠ 0) gegen 

Werte ungleich Null. Für den Fall k x = k y erhält man 2k 2 x. 

2) Die Differenz k 2 x − k 2 y. Diese geht für k x → 0, k y ≠ 0 (bzw. k y → 0, k x ≠ 0) auch 

gegen Werte ungleich Null. Für den Fall k x = k y erhält man jedoch Null. 

3) Das Produkt k x k y . Dieses geht für k x → 0, k y ≠ 0 (bzw. k y → 0, k x ≠ 0) gegen 

Null. Für den Fall k x = k y erhält man k 2 x. 

141


Aus diesen Vorüberlegungen kann man das Verhalten der mathematischen Kerne ablesen: 

˜Q 12 = 

˜Q 13 = 

˜Q 23 = 

{ ( ) ( 

0 für k x = k y 

− a3 −2a 2 k 2 

) ( ) 

y 

2a 1 +a 3 

= − a3 −2a 2 

ky 

2 2a 1 +a 3 

für k x → 0 , k y ≠ 0 

( ) ( ) ( ) 

a3 −2a 2 k 2 

x 

2a 1 +a 3 

= a3 −2a 2 

kx 

2 2a 1 +a 3 

für k y → 0 , k x ≠ 0 

{ ( ) ( ) ( ) 

4a 2 −2a 3 k 2 

x 

a 1 +a 2 

= 4a2 −2a ( 

3 1 

) 

2kx 

2 a 1 +a 2 2 

für k x = k y 

{ ∞ für kx = k y 

0 für k x → 0 , k y ≠ 0 

0 für k y → 0 , k x ≠ 0 

0 für k x → 0 , k y ≠ 0 

0 für k y → 0 , k x ≠ 0 

Einsetzen der mathematischen Kerne in die Korrelationsfunktionen ergibt: 

˜G −1 

11 (⃗ k) = 

˜G −1 

22 (⃗ k) = 

˜G −1 

33 (⃗ k) = 

{ 

∞ , k x = k y ≠ 0 

∞ , k x → 0 , k y ≠ 0 

∞ , k x → 0 , k y ≠ 0 

{ a2 + c 2 k 2 + c ′ 2 k4 , k x = k y ≠ 0 

∞ , k x → 0 , k y ≠ 0 

∞ , k x → 0 , k y ≠ 0 

{ 

∞ , k x = k y ≠ 0 

a 3 + c 3 k 2 + c ′ 3 k4 , k x → 0 , k y ≠ 0 

a 3 + c 3 k 2 + c ′ 3 k4 , k y → 0 , k x ≠ 0 

Man erkennt, daß für die Korrelationen der deviatorischen und der Scherfluktuationen 

Richtungen im Fourier Raum existieren, in denen die Verzerrungsvariablen entkoppeln. 

Die Betrachtung der einzelnen Grenzfälle wurde an den Kehrwerten der Korrelationsfunktionen 

˜G jj ( ⃗ k) −1 durchgeführt, da diese sich kompakter darstellen lassen. In Abbildung 

9.4 dargestellt sind nun aber Schnitte der Verzerrungskorrelationsfunktionen ˜G jj ( ⃗ k) 

selbst im Fourier Raum [96]. Für die Korrelationsfunktion der deviatorischen Fluktuationen 

und die der Scherfluktuationen sind die Richtungen, in denen der Grenzübergang 

⃗ k → ⃗0 kontinuierlich ist, abgebildet. Für ˜G 22 ( ⃗ k) sind dies die Diagonalen, für ˜G 33 ( ⃗ k) hingegen 

sind es die Koordinatenachsen. In diesen Richtungen kann ein Fit mit einem verallgemeinerten 

Lorentzprofil durchgeführt werden. D.h. aus einem Fit von ˜G 22 entlang der 

Diagonalen erhält man als Fitparameter den Schermodul a 2 und die Korrelationslängen 

c 2 und c ′ 2 . Fitten entlang der Koordinatenachsen im Fourier Raum von ˜G 33 hingegen, 

erlaubt die Bestimmung des Schermoduls a 3 und den zugehörigen Korrelationslängen c 3 

und c ′ 3 . Somit sind 6 der 9 Parameter durch Fitten mit einem verallgemeinerten Lorentzprofil 

bestimmbar. Die Korrelationsfunktion der Volumenfluktuationen ist in keiner 

der bisher betrachteten Richtungen im Fourier Raum sinnvoll auszuwerten. Daher betrachten 

wir nun den Fall k y = 2k x , d.h. k x k y = 2kx, 2 k 2 = 5kx 2 und kx 2 − ky 2 = −3kx. 2 In 

142


0.02 

j = 1 

j = 2 

j = 3 

G jj 

(k) 

~ 

0.01 

0 

-1 0 1 

k 

Abbildung 9.4: Schnitte der Verzerrungskorrelationsfunktionen ˜G jj( ⃗ k) im Fourier Raum: ˜G11( ⃗ k) entlang 

der Richtung k y = 2k x, ˜G22( ⃗ k) entlang der Diagonalen k x = k y und ˜G 33( ⃗ k) entlang der k y-Achse. 

Es wurde der gleiche Parametersatz wie in Abbildung 9.1 verwendet. 

dieser Richtung gilt für die mathematischen Kerne: 

˜Q 12 = 

˜Q 13 = 

( ) ( ) 

a3 − 2a 2 −3k 

2 

x 

2a 1 + a 3 5kx 

2 ( ) ( ) 

4a2 − 2a 3 2k 

2 

x 

a 1 + a 2 

˜Q 23 = − 

( 4a1 + 2a 3 

a 1 + a 2 

5k 2 x 

) ( 2k 

2 

x 

−3k 2 x 

) 

( ) ( ) 

a3 − 2a 2 3 

= − 

2a 1 + a 3 5 

( ) ( ) 

4a2 − 2a 3 2 

= 

a 1 + a 2 5 

( ) ( ) 

4a1 + 2a 3 2 

= 

a 1 + a 2 3 

Die Abhängigkeiten von k x kürzen sich in dieser Richtung weg. Die mathematischen Kerne 

werden zu konstanten Gewichtungsfaktoren. Der Kehrwert der Korrelationsfunktion 

lautet dann: 

[ ( ) ( )] 

˜G −1 

11 (⃗ k) = (a 1 + c 1 k 2 + c ′ 1k 4 ) + (a 2 + c 2 k 2 + c ′ 2k 4 2a1 + a 3 5 2 

) − 

a 3 − 2a 2 3 

[( ) ( )] 

+(a 3 + c 3 k 2 + c ′ 3k 4 a1 + a 2 5 2 

) 

, für k y = 2k x ≠ 0 

4a 2 − 2a 3 2 

Sortiert man die Summanden nach ihrer k-Abhängigkeit um, so erhält man: 

˜G −1 

11 (⃗ k) = 

[ ( ) ( )] 2a1 + a 3 5 2 [( ) ( )] ) 

a1 + a 2 5 2 

(a 1 + a 2 − 

+ a 3 

a 3 − 2a 2 3 

4a 2 − 2a 3 2 

143


a) 

~ 

G 11(k) 

b) G 11 

(r) 

0.0002 

0.0001 

0 

-2 

0 

kx 

2 

2 

0 ky 

-2 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-10 

0 

x 

10 

10 

0 

y 

-10 

Abbildung 9.5: Großaufnahme der Struktur der Verzerrungskorrelationsfunktion der Volumenfluktuationen 

G 11 a) im Fourier Raum und b) im Ortsraum. Die abgebildeten Grauskalengraphiken der Funktionen 

erstrecken sich über den gleichen Wertebereich, wie in der dreidimensionalen Darstellung. Maxima 

sind in weiß, Minima in schwarz abgebildet. Es wurde der gleiche Parametersatz wie in Abbildung 9.1 

verwendet. 

+ 

+ 

[ ( ((c 1 k 2 + c 2 k 2 2a1 + a 3 

− 

((c ′ 1k 4 + c ′ 2k 4 [ 

− 

) ( )] 5 2 [( ) ( )] ) 

+ c 3 k 2 a1 + a 2 5 2 

a 3 − 2a 2 3 

4a 2 − 2a 3 2 

( ) ( )] 2a1 + a 3 5 2 [( ) ( )] ) 

+ c ′ 

a 3 − 2a 2 3 

3k 4 a1 + a 2 5 2 

4a 2 − 2a 3 2 

Hieraus läßt sich direkt der Grenzfall k → 0 entlang der Richtung k y = 2k x ablesen: 

[ ( ) ( )] 

˜G −1 

11 (⃗ 2a1 + a 3 5 2 [( ) ( )] ) 

a1 + a 2 5 2 

k → 0) = 

(a 1 + a 2 − 

+ a 3 

a 3 − 2a 2 3 

4a 2 − 2a 3 2 

≠ 

˜G −1 

11 (⃗ k = 0) = a 1 

Für die Korrelationsfunktion der Volumenfluktuationen läßt sich keine Richtung finden, 

entlang der die Verzerrungen entkoppeln und der Grenzfall ⃗ k → 0 gleich dem Fall ⃗ k = 0 

ist. ˜G 11 weist eine Diskontinuität im Ursprung auf. Die Stärke dieser Diskontinuität kann 

man sich anhand eines Zahlenbeispiels verdeutlichen. Die Simulationen eines harmonischen 

Dreiecksgitters, mit denen die analytischen Vorhersagen in Kapitel 10 verglichen 

werden, wurden mit einem Parametersatz durchgeführt, der auf folgende elastische Konstanten 

führt: a 1 = 100, a 2 = 50 und a 3 = 200. Setzt man diese in die Betrachtung des 

Grenzfalls ein, so erhält man: 

˜G −1 

11 (⃗ k → 0) = 

( 

100 + 50 

= 3025.345 ≈ 30 · a 1 

≠ 

˜G −1 

11 (⃗ k = 0) = a 1 = 100 

[ ( ( )] 200 + 200 5 2 [( ( )] ) 

100 + 50 5 

2 

− 

+ 200 

200 − 100) 

3 

200 − 400) 

2 

144


Dieses Verhalten unterscheidet die Korrelationsfunktion der Volumenfluktuationen stark 

von den Korrelationsfunktionen der deviatorischen und Scherfluktuationen. Diese weisen 

zwar auch entlang der meisten Richtungen eine Diskontinuität in ihrem Verhalten für 

⃗ k → 0 auf, wie jedoch bereits gezeigt, gibt es für diese Korrelationsfunktionen jeweils 

zwei Richtungen, in der der Grenzübergang kontinuierlich verläuft! In Abbildung 9.5 ist 

eine Großaufnahme der Struktur der Verzerrungskorrelationsfunktion der Volumenfluktuationen 

G 11 abgebildet. Das diskontinuierliche Verhalten im Fourier Raum ist deutlich 

zu erkennen. 

Hat man den Kompressionsmodul a 1 z.B. aus ˜G 11 ( ⃗ k = ⃗0) bestimmt, so kann die Bestimmung 

der übrigen Fitparameter c 1 und c ′ 1 indirekt erfolgen. Dazu fittet man eine der 

Korrelationsfunktionen im Bereich ⃗ k ≠ ⃗0 in einer Richtung, entlang der die Verzerrungen 

nicht entkoppeln. Betrachten wir dazu z.B. ˜G22 ( ⃗ k ≠ 0) entlang der Richtung k y = 2k x : 

[ ( ) ( )] 

˜G −1 

22 (⃗ k ≠ 0) = (a 2 + c 2 k 2 + c ′ 2k 4 ) + (a 1 + c 1 k 2 + c ′ 1k 4 a3 − 2a 2 3 2 

) − 

2a 1 + a 3 5 

[( ) ( )] 

+(a 3 + c 3 k 2 + c ′ 3k 4 a1 + a 2 3 2 

) 

4a 1 + 2a 3 2 

= A + Bk 2 + Ck 4 

mit 

A = a 2 + 9 ( ) 

25 a a3 − 2a 2 

2 

1 

+ 9 ( ) 

2a 1 + a 3 4 a a1 + a 2 

2 

3 

4a 1 + 2a 3 

B = c 2 + 9 ( ) 

25 c a3 − 2a 2 

2 

1 

+ 9 ( ) 

2a 1 + a 3 4 c a1 + a 2 

2 

3 

4a 1 + 2a 3 

C = c ′ 2 + 9 ( ) 

a3 − 2a 2 

2 

25 c′ 1 

+ 9 ( ) 

a1 + a 2 

2 

2a 1 + a 3 4 c′ 3 

4a 1 + 2a 3 

Die Parameter A, B und C werden dem Fit entnommen. Die Parameter a i , c i und c ′ i 

(i = 2, 3) sind aus den Fits entlang der Diagonalen bzw. der Koordinatenachsen bekannt. 

Auflösen nach den gesuchten Parametern c 1 und c ′ 1 , ermöglicht somit deren Berechnung: 

c 1 = 25 ( ) ( 

2a1 + a 2 

3 

B − c 2 − 9 ( ) ) 

9 a 3 − 2a 2 4 c a1 + a 2 

2 

3 

4a 1 + 2a 3 

c ′ 1 = 25 ( ) ( 

2a1 + a 2 

3 

C − c ′ 2 − 9 ( ) ) 

a1 + a 2 

2 

9 a 3 − 2a 2 4 c′ 3 

4a 1 + 2a 3 

Im Prinzip ist durch das dargelegte Vorgehen eine Bestimmung aller Fitparameter möglich. 

Es ist jedoch zu beachten, daß die Qualität der indirekt bestimmten Parameter 

sehr stark vom Fehler in den zuerst bestimmten Fitparametern abhängen wird. Ist man 

lediglich an den Zahlenwerten der Elastizitätsmodule in einem System interessiert, so 

bieten sich einfacherer Methoden (z.B. [89, 90, 97]) zu deren Ermittlung an. Die Vorteile 

der Analyse der Verzerrungskorrelationsfunktionen liegen darin, daß sie 

145


→ die Berechnung der Korrelationslängen im System ermöglichen. Diese sind ein 

Maß für die Längenskalen, auf denen nicht-lokale Effekte wichtig werden. 

→ empfindlich auf Defekte im System reagieren. Diese können die Symmetrien der 

Korrelationsfunktionen zerstören. Dieser Aspekt wird in Kapitel 14 ausführlicher 

betrachtet. 

→ den Einfluß und die Stärke nicht-affiner Anregungen im System sichtbar machen. 

Dieser Aspekt wird in Kapitel 13 ausführlicher betrachtet. 

9.3. Summenregel der verallgemeinerten Suszeptibilität 

Die Summenregel der verallgemeinerten Suszeptibilität ergibt sich aus der Integration der 

Zweipunkt-Korrelationsfunktion. Der bereits in Kapitel 8 hergeleitete Zusammenhang 

χ T (⃗r, ⃗r ′ ) = βG(⃗r, ⃗r ′ ) geht in translationsinvarianten Systemen in den Ausdruck χ T (⃗r − 

⃗r ′ ) = βG(⃗r −⃗r ′ ) über. Da in dieser Arbeit eine dimensionslose Formulierung verwendet 

wird, gilt hier χ T (⃗r − ⃗r ′ ) = G(⃗r − ⃗r ′ ). Die Fouriertransformation ergibt dann ˜χ T ( ⃗ k) = 

˜G( ⃗ k). Hieraus läßt sich direkt durch Bilden des Grenzwerts ⃗ k → 0 die Summenregel 

ablesen: 

χ T = lim 

⃗k→0 

˜χ T ( ⃗ k) = ˜G( ⃗ k)| ⃗k= ⃗0 = ∫ 

d⃗r G(⃗r) 

Diese Summenregel ist interessant, da sie einen weiteren Zugang zur Bestimmung der elastischen 

Konstanten eines Systems bietet. Integriert man die Korrelationsfunktionen der 

Verzerrung, so erhält man als verallgemeinerte Suszeptibilität die Elemente des Nachgiebigkeitstensors 

S ijkl . Der Tensor der Nachgiebigkeiten ist das Inverse des Tensors der 

sogenannten elastischen Steifigkeiten B ijkl . Dieser entspricht in Systemen ohne äußere 

Spannungen dem Tensor Elastizitätskonstanten C ijkl (siehe Kapitel 6 Gleichung 6.1). 

Die so erhaltenen elastischen Konstanten sind abhängig vom Volumen, über welches die 

Korrelationsfunktionen integriert wurden. Um eine Aussage über deren Werte im thermodynamischen 

Limes treffen zu können, muß man eine zusätzliche Skalenanalyse der 

Werte vornehmen. Die Details des Skalierungsverhaltens sind abhängig von den gewählten 

Randbedingungen und dem vorliegenden statistischen Ensemble. Es wird zunächst 

auf den Einfluß der Randbedingungen eingegangen. 

9.4. Das eingebettete System 

In der bisherigen Analyse wurde das gesamte Volumen des Systems ausgewertet. Dies 

entspricht jedoch nicht der Situation, wie man sie z.B. bei der Analyse der experimentellen 

Daten antrifft. Die mittels Videomikroskopie aufgenommenen Konfigurationen, 

zeigen lediglich einen Ausschnitt aus der gesamten Probe. Das betrachtete Volumen ist 

Teil eines unendlich ausgedehnten Festkörpers. Um die für die Auswertung eines solchen, 

146


in ein elastische Kontinuum eingebettetes System nötigen Formel herzuleiten, betrachtet 

man in einem Gedankenexperiment die Energie, welche für eine homogene Dilatation, 

bzw. eine reine Scherung des eingebetteten Systems nötig ist (analog zu Zahn et al. [77]). 

Um die Rechnung zu vereinfachen, geht man von einen kreisförmigen Volumen aus. Da, 

wie sich zeigen wird, die aus den Rechnungen erhaltenen Relationen näherungsweise 

in Abhängigkeit des Volumens und der Volumenänderung bzw. der Winkeländerung, 

dargestellt werden können, ist die betrachtete Form des Volumens unerheblich. 

Homogene Dilatation: 

Die Kreisscheibe wird isotrop expandiert: R B → R B + ∆r (R B : Radius der Kreisscheibe). 

Das Verschiebungsfeld in Polarkoordinaten ist: 

{ 

∆r 

r 

R 

u ϕ = 0 , u r = 

B 

für r < R B 

∆r R B 

r 

für r > R B 

In Polarkoordinaten gilt für die Elemente des Verzerrungstensors [84]: 

ɛ rr = ∂u r 

∂r 

, ɛ ϕϕ = u r 

r + 1 ∂u ϕ 

r ∂ϕ , 2ɛ rϕ = 1 ∂u r 

r ∂ϕ + ∂u ϕ 

∂r − u ϕ 

r 

Für die Dichte der Helmholtz Freien Energie eines zweidimensionalen Dreiecksgitters 

gilt in Polarkoordinaten: 

f = 1 [ 

K(ɛrr + ɛ ϕϕ ) 2 + µ ( (ɛ rr − ɛ ϕϕ ) 2 + 4ɛ 2 

2 

rϕ)] 

Nun läßt sich die Energie E = ∫ 2π ∫ ∞ 

0 0 

rdϕdr f, welche aufgebracht werden muß, 

um diese homogene Dilatation der Kreisscheibe zu bewirken, berechnen. Durch 

Einsetzten erhält man die folgenden Ausdrücke für die benötigten Linearkombinationen 

der Verzerrungen: 

ɛ rr + ɛ ϕϕ = ∂u r 

∂r + u r 

r + 1 ∂u ϕ 

r 

ɛ rr − ɛ ϕϕ = ∂u r 

∂r − u r 

r − 1 ∂u ϕ 

r 

ɛ rϕ = 1 2 

∂ϕ = { ∆r 

∂ϕ = { ∆r 

( 1 

r 

R B 

+ ∆r 

R B 

+ 0 = 2 ∆r 

R B 

für r < R B 

− ∆rR B 

r 2 

+ ∆rR B 

r 2 + 0 = 0 für r > R B 

R B 

− ∆r 

R B 

− 0 = 0 für r < R B 

− ∆rR B 

r 2 

− ∆rR B 

r 2 

∂u r 

∂ϕ + ∂u ϕ 

∂r − u ) 

ϕ 

= 0 

r 

− 0 = −2 ∆rR B 

r 2 für r > R B 

Die Integration über die Dichte der Freien Energie kann ausgeführt werden und 

man erhält: 

∫ [ 

RB 

E = 2π rdr 1 ( 

K 2 ∆r ) ] 2 ∫ [ ( 

∞ 

( 

+ 2π rdr 1 µ −2 ∆rR ) )] 2 

B 

0 2 R B R B 

2 

r 2 

= 2π(K + µ)(∆r) 2 147


Das Volumen der Kreisscheibe ist V B = πRB 2 . Während der homogenen Dilatation 

verändert sich dieses um ∆V B = 2π( 1 2 (R B + ∆r) 2 − 1 2 R2 B ) = 2πR B∆r + π(∆r) 2 . 

Damit läßt sich die benötigte Energie E näherungsweise wie folgt schreiben: 

E = (K + µ) (2πR B∆r) 2 

2(πR 2 B ) = (K + µ) (∆V B) 2 

2V B 

Mit Hilfe des Gleichverteilungssatzes kann man nun direkt schließen, daß 

V B 〈e 2 1〉 = 〈(∆V B) 2 〉 

V B 

= k BT 

K B + µ B 

. (9.7) 

Reine Scherung: 

Die Kreisscheibe wird als starrer Körper rotiert: ϕ → ϕ + ∆ϕ. 

Das Verschiebungsfeld in Polarkoordinaten ist dann: 

{ 

0 für r < RB 

u r = 0 , u ϕ = 

∆ϕ R2 B 

r 

für r > R B 

Die benötigten Linearkombinationen der Verzerrungen vereinfachen sich zu: 

ɛ rr + ɛ ϕϕ = 0, ɛ rr − ɛ ϕϕ = 0 und 

ɛ rϕ = 1 2 

( 1 

r 

∂u r 

∂ϕ + ∂u ϕ 

∂r − u ) { 

ϕ 0 für r < RB 

= ( ) 2 

r −∆ϕ RB 

r 

für r > R B 

Die für die reine Scherung aufzubringende Energie ist daher: 

E = 

∫ 2π ∫ ∞ 

0 

0 

= 2πµ(∆ϕ) 2 R 2 B 

∫ RB 

rdϕdrf = 2π rdr 0 + µ ∫ [ 

∞ 

rdr 4 −∆ϕ 

0 

2 R B 

Mittels des Äquipartitionstheorems sieht man, daß gilt: 

( 

RB 

r 

) 2 

] 2 

µ = k BT 1 

πRB 

2 〈(2∆ϕ)2〉 = k BT 1 

V B 〈(2∆ϕ) 2 〉 = k BT 1 

V B 〈e 2 2θ 〉 (9.8) 

Wie man an diesem Gedankenexperiment erkennt, beschreiben die Fluktuationen von 

e 1 = (ɛ rr +ɛ ϕϕ ), e 2 = (ɛ rr −ɛ ϕϕ ) und e 3 = ɛ rϕ in einem eingebetteten System nicht mehr 

reine Volumen- oder reine Formänderungen. So treten bei der Dilatation der Kreisscheibe 

im sie umgebenden Medium auch Scherungen auf. Aus der Analyse von G 11 zum Beispiel 

erhält man daher nun nicht mehr den Kompressionsmodul, sondern K + µ. Diese Überlegungen 

motivierten Zahn et al. [77] dazu, zur Bestimmung der elastischen Konstanten 

in einem zweidimensionalen, kolloidalen Kristall die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der 

mittleren Fluktuationen der Verzerrungen e 1 und der Starrkörperrotationen e 2θ = 2θ 

148


auszuwerten. Diese sind normalverteilt. Aus der Standardabweichung dieser Verteilungen 

können mittels der Gleichungen 9.7 und 9.8 die elastischen Konstanten berechnet 

werden. 

Über die Überlegungen von Zahn et al. [77] hinaus, wird nun gezeigt, daß die Stärke 

des Einflusses des äußeren Mediums vom Verhältnis des Volumens V B zum Volumen 

des gesamten Systems abhängt. Zur Herleitung des formalen Zusammenhangs integriert 

man nun über ein endliches Gesamtsystem mit Radius R und Volumen V = πR 2 . Dabei 

wird in beiden Fällen als Randbedingung angenommen, daß das Verschiebungsfeld am 

Rand des Gesamtsystems Null wird, d.h. ⃗u(r = R) = ⃗0. 

Homogene Dilatation: Die für eine isotrope Expansion der Kreisscheibe auf einen Radius 

von R B + ∆r benötigte Energie ist im endlichen System: 

∫ [ 

RB 

E = 2π rdr 1 ( 

K 2 ∆r ) ] 

2 

+ µ((0) 2 + 4(0) 2 ) 

0 2 R B 

∫ [ ( 

R 

( 

+2π rdr 1 K(0) 2 + µ −2 ∆rR ) )] 

2 

B 

R B 

2 

r 2 + 4(0) 2 

∫ ∞ 

+2π rdr 1 [ 

K(0) 2 + µ 

((0) 2 + 4(0) 2)] 

R 2 

= 2π 1 ( ) ∆r 2 [ ] 1 

RB 

2 K4 R B 2 r2 + 2π 1 [ 

0 

2 µ4(∆rR B) 2 − 1 ] 

1 R 

2 r 2 + 0 

R B 

= 1 ( ) 2 [ ( ( ))] 

2 V ∆VB 

VB 

B 

K + µ 1 − 

V B V 

Anwenden des Äquipartitionstheorems liefert: 

k B T 

V B 

〈e 2 1〉 = 

1 

( ( )) 

K + µ 1 − VB 

V 

Reine Scherung: Die für eine Drehung der starren Kreisscheibe benötigte Energie ist 

im endlichen System: 

∫ RB 

E = 2π rdr 0 + µ ∫ [ 

R 

( ) ] 2 2 

RB 

rdr 4 −∆ϕ + µ ∫ ∞ 

rdr 0 

0 

2 R B 

r 2 R 

[ 

= 4πµ(∆ϕ) 2 RB 

4 − 1 ] 

1 R 

2 r 2 = 1 ( ( )) 

VB 

R B 

2 µ(2∆ϕ)2 V B 1 − 

V 

Anwenden des Äquipartitionstheorems liefert: 

k B T 

〈e 2 2θ 

V 〉 = 1 

( ( )) 

B µ 1 − VB 

V 

149


Die Fluktuationen der Verzerrungen verändern somit durch die Einbettung des ausgewerteten 

Volumens in ein umgebendes Medium ihre Bedeutung. Dies muß auch bei der 

Interpretation der Verzerrungskorrelationsfunktionen G ii (⃗r) berücksichtigt werden. Im 

experimentellen System befindet man sich im Limes V B 

V 

→ 0, d.h. der Einfluß des umgebenden 

Mediums auf das betrachtete Volumen dominiert. Daher müssen in diesem Fall 

die Korrelationsfunktionen G 11 und G 2θ ausgewertet werden, will man die elastischen 

Konstanten berechnen. In den Simulationen hingegen kann das komplette Volumen ausgewertet 

werden. Man befindet sich im Grenzfall V B 

V 

→ 1, so daß G 11 , G 22 und G 33 eine 

direkte Analyse von Dilatation und Scherung ermöglichen. Diese Überlegungen zeigen, 

daß für die direkte Auswertung der Verzerrungskorrelationen im experimentellen System 

eine weitere Korrelationsfunktion hergeleitet werden muß, nämlich die der Korrelationen 

in e 2θ . 

9.5. Korrelationen der lokalen, mikroskopischen Rotationen 

( ) 

Der antisymmetrische Teil θ = 1 ∂uy 

2 ∂x − ∂ux 

∂y 

des Verzerrungstensors beschreibt eine 

Rotation eines starren Körpers. In einem eingebetteten System ist θ als Funktion der 

deviatorischen e 2 und Scherverzerrungen e 3 darstellbar. Die drei Größen sind über die 

Einwirkung des umgebenden Mediums miteinander gekoppelt. Allgemein gilt: 

θ + e 3 = 1 2 

( 

2 ∂u ) 

y 

∂x 

= ∂u y 

∂x 

und θ − e 3 = 1 2 

( 

−2 ∂u ) 

x 

∂y 

= − ∂u x 

∂y 

Die Verknüpfung zu den deviatorischen Verzerrungen erkennt man in den partiellen 

Ableitungen von θ. Dazu betrachtet man: 

∂ 2 θ 

∂x∂y = 1 ( ∂ 3 ) 

u y 

2 ∂ 2 x∂y − ∂3 u x 

∂ 2 y∂x 

⇒ 1 ∂ 2 θ 

2 ∂x∂y 


∂ 3 ( 

θ ∂ 3 ) 

∂x 2 ∂y = e 3 

∂x∂y∂x − ∂3 e 2 

∂y 2 ∂x − ∂3 ɛ yy 

∂y 2 ∂x 

= 1 ( ∂ 2 ) 

ɛ yy 

2 ∂ 2 x − ∂2 ɛ xx 

∂ 2 = 1 ( ∂ 2 (θ + e 3 ) 

y 2 ∂x∂y 

= 1 ( ∂ 2 ) 

e 3 

2 ∂x∂y − ∂2 e 2 

∂y 2 − ∂2 ɛ yy 

∂y 2 

Die Transformation in den Fourier Raum liefert daraus: 

k 2 xk y ˜θ = k 

2 

x k y ẽ 3 − k 2 yk x ẽ 2 − k 3 y(˜θ + ẽ 3 ) 

= 

) 

− ∂2 (e 2 + ɛ yy ) 

∂ 2 y 

( ∂ 3 ) 

e 3 

∂x∂y∂x − ∂3 e 2 

∂y 2 ∂x − ∂2 ∂(θ + e 3 ) 

∂y 2 ∂y 

Somit sind die verschiedenen Scherfluktuationen im eingebetteten System über die folgende 

Gleichung miteinander verbunden. 

˜θ(k 2 x + k 2 y) = (k 2 x − k 2 y)ẽ 3 − k x kyẽ 2 (9.9) 

150


Nach wie vor gelten aber auch die in Kapitel 9.1 hergeleiteten Beziehungen zwischen den 

Verzerrungsfluktuationen. Der mathematische Kern ˜Q 23 verknüpft die deviatorischen 

Fluktuationen ẽ 2 mit den Scherfluktuationen ẽ 3 . Setzt man diese Beziehung in Gleichung 

9.9 ein, so erhält man eine Relation zwischen ˜θ und ẽ 3 . 

( ) 

˜θ(k x 2 + ky)=(k 2 x 2 − ky)ẽ 2 4a1 + 2a 3 kx k y 

3 + k x k y 

a 1 + a 2 kx 2 + ky 

2 ẽ 3 = 

(k 2 x − k 2 y) 2 + k 2 xk 2 y 

( 

4a1 +2a 3 

k 2 x − k 2 y 

a 1 +a 2 

) 

ẽ 3 

⇒ ẽ 3 = 

k 4 x − k 4 y 

(k 2 x − k 2 y) 2 + k 2 xk 2 y 

( 

4a1 +2a 3 

a 1 +a 2 

) ˜θ = ˜Q3θ ˜θ 

Für die Bestimmung des Schermoduls relevant sind die Fluktuationen in e 2θ = 2θ. Mit 

Hilfe der hergeleiteten Zusammenhänge, läßt sich die Freie Energie im Fourier Raum als 

Funktional von 2˜θ darstellen. Aus dieser Darstellung kann man mittels des Äquipartitionstheorems 

direkt die Korrelationsfunktion ˜G 2θ2θ ablesen [96]: 

⎛ 

⎞ 

˜G 2θ2θ ( ⃗ 2∑ 

k ≠ 0) −1 = ⎝a 3 + c 3 k 2 + c ′ 3k 4 + (a j + c j k 2 + c ′ jk 4 )( ˜Q j3 ) 2 ⎠ ( ˜Q 3 2θ ) 2 

˜G 2θ2θ (⃗0) −1 = a 3 

4 

Erfolgt die Herleitung über e 2 statt e 3 so erhält man lediglich eine andere Darstellung 

der gleichen Funktion, die für ⃗ k → ⃗0 den Schermodul a 2 liefert. 

Um einen Eindruck vom Verlauf dieser Korrelationsfunktion im Fourier Raum zu bekommen 

betrachtet man nun wieder die Diagonale k x = k y und das Grenzwertverhalten 

für k x → ⃗0 und k y → 0. Der mathematische Kern ˜Q 3 2θ , welcher die Verzerrungsvariable 

e 3 mit e 2θ verknüpft zeigt das folgende Verhalten: 

˜Q 3 2θ = 

j=1 

{ ( 

0 

) 

für k x = k y 

− 1 −ky 

4 

2 

= − ( 1 

ky+0 

2) 

für 4 kx → 0 , k y ≠ 0 

( ) 

1 

2 

= ( ) 

1 

2 

für k y → 0 , k x ≠ 0 

k 4 x 

k 4 x 

Wie man erkennt bleibt der kontinuierliche Verlauf entlang der Koordinatenachsen der 

Korrelationsfunktion ˜G 33 ( ⃗ k) beim Übergang zu ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) erhalten. Der Verlauf entlang 

der Diagonalen muß jedoch genauer betrachtet werden, da ˜G 33 ( ⃗ k) entlang dieser Richtung 

diskontinuierlich ist. Dazu wird das Produkt der mathematischen Kerne ˜Q 23 und 

˜Q 3 2θ betrachtet. 

˜Q 2 23 ˜Q 2 3 2θ = 

= 1 4 

⎛ 

( 

− 4a ( )) 

1 + 2a 3 kx k 2 

y 

a 1 + a 2 kx 2 − ky 

2 

( 4a1 + 2a 3 

⎞ 

⎝ 1 (kx 2 − ky)(k 2 x 2 + ky) 

2 

( ) ⎠ 

2 (kx 2 − ky) 2 2 + kxk 2 y 2 4a1 +2a 3 

a 1 +a 2 

a 1 + a 2 

) 2 

k 2 xk 2 y(k 2 x + k 2 y) 2 

( 

(k 2 x − k 2 y) 2 + k 2 xk 2 y 

( 

4a1 +2a 3 

a 1 +a 2 

)) 2 

151 

2


G ~ 2θ 2θ 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-1 

0 

kx 

-1 

1 

0 

1 

ky 

Abbildung 9.6: Die Korrelationsfunktion ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) im Fourier Raum. Die Grauskalendarstellung der 

Funktion erstrecken sich über den gleichen Wertebereich, wie in der dreidimensionalen Darstellung. Maxima 

sind in weiß, Minima in schwarz abgebildet. Es wurde der gleiche Parametersatz wie in Abbildung 

9.1 verwendet. 

Für k x = k y vereinfacht sich das Produkt auf: 

˜Q 2 ˜Q 23 2 3 2θ = 1 ( ) 4a1 + 2a 2 

3 4kxk 4 x 

4 ( ( )) 

4 a 1 + a 2 

= 1 

2 

0 + kx 4 4a1 +2a 3 

a 1 +a 2 

Einsetzen in den Kehrwert der Korrelationsfunktion ergibt somit: 

˜G −1 

2θ2θ (⃗ k) = 

{ a2 + c 2 k 2 + c ′ 2 k4 , k x = k y ≠ 0 

(a 3 + c 3 k 2 + c ′ 3 k4 )/4 , k x → 0 , k y ≠ 0 

(a 3 + c 3 k 2 + c ′ 3 k4 )/4 , k x → 0 , k y ≠ 0 

−1 

Wie die Verzerrungskorrelationsfunktion ˜G 11 (⃗ −1 

k) besitzt ˜G 

2θ2θ (⃗ k) eine 8-fache Rotationssymmetrie. 

Im Gegensatz zu dieser zeigt sie jedoch entlang der Koordinatenachsen und 

der Diagonalen einen kontinuierlichen Übergang für k → 0. Fits entlang dieser Richtungen 

ermöglichen daher die Bestimmung der mit den Scherfluktuationen verknüpften Module 

a 2 und a 3 und der Korrelationslängen c 2 und c ′ 2 sowie c 3 und c ′ 3 . Mit den aus Simulationen 

eines harmonischen Dreiecksgitters gewonnenen Parametern c i und c ′ i (i = 1, 2, 3) 

kann ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) direkt berechnet werden. Diese so berechnete, vierte Verzerrungskorrelationsfunktion 

ist in Abbildung 9.6 zur Veranschaulichung graphisch dargestellt. 

9.6. Skalenanalyse der Verzerrungsfluktuationen 

Eine Skalenanalyse dient dazu, aus den Ergebnissen, welche in Simulationen in endlichen 

Systemen gewonnen wurden, auf die entsprechenden Ergebnisse im thermodynamischen 

Limes schließen zu können. Der direkteste Weg diese Information zu erlangen, wäre es 

152


viele Simulationen in immer größeren Systemen durchzuführen und so eventuell vorhandene, 

systematische Größenabhängigkeiten aufzudecken. Diese direkte Herangehensweise 

benötigt sehr viel Rechenzeit und ist daher meist nicht praktikabel. Die sogenannte 

Blockanalyse ist eine Technik, die es ermöglicht aus einer einzelnen Simulation in einem 

hinreichend großen System, Informationen über systematische Größenabhängigkeiten zu 

erhalten. Zu diesem Zweck wird das Simulationsvolumen in kleinere Subvolumen zerlegt 

und die physikalischen Größen von Interesse innerhalb dieser Subvolumina berechnet 

(für Details zu dieser Methode siehe z.B. [53]). Gelingt es zusätzlich eine analytische 

Vorhersage für die systematische Größenabhängigkeit der betrachteten, physikalischen 

Größen zu machen, so kann durch das Anpassen dieses analytischen Skalengesetzes an 

den aus der Simulation erhaltenen Datensatz die gewünschte Information über die physikalische 

Größe im thermodynamischen Limes gewonnen werden. In diesem Abschnitt 

wird ein solches Skalengesetz für die Elemente des Nachgiebigkeitstensors S ijkl (bzw. S αβ 

in Voigt Notation) kurz vorgestellt. Dieses wurde von Sengupta et al. [98] für den Spezialfall 

eines isotropen Festkörpers unter der Annahme isotroper Verzerrungskorrelationen 

hergeleitet. Diese Annahme ist eine starke Näherung, da bereits in den vorangegangenen 

Abschnitten gezeigt wurde, daß die Verzerrungskorrelationsfunktionen räumlich stark 

anisotrop sind. Es stellt sich die Frage, warum die Skalenanalyse nach Sengupta et al. 

[98] trotzdem gut funktioniert. Diese Frage wird im nächsten Abschnitt diskutiert. 

In isotropen Festkörpern, wie dem Dreiecksgitter, können die deviatorischen Fluktuationen 

direkt mit den Scherfluktuationen in Zusammenhang gebracht werden. Es gilt 

a 2 = a 3 /4. Betrachtet man den gewichteten Mittelwert der Verzerrungskorrelationsfunktionen 

˜G av = ( ˜G 22 + 4 ˜G 33 )/2, so erkennt man, daß dieser der Verzerrungskorrelationsfunktion 

˜G 11 in seiner Struktur sehr ähnlich ist (siehe Abbildung 9.7). Die gemittelte 

Verzerrungskorrelationsfunktion ˜G av , weist, wie ˜G 11 , in allen Richtungen für ⃗ k → ⃗0 ein 

diskontinuierliches Verhalten auf und zeigt eine 8-fache Rotationssymmetrie. Da sich, 

wie man in Kapitel 10 sehen wird, weder in den Simulationen, noch im Experiment, diese 

8-fache Rotationssymmetrie der Korrelationsfunktionen ˜G 11 und ˜G av aufgrund von 

Nicht-Affinitäten in den Fluktuationen auflösen lassen, können beide Korrelationsfunktionen 

näherungsweise durch isotrope Funktionen beschrieben werden. Auch die Stärke 

a) 

~ 

G 11 

(k) 

~ 

b) G (k) 

av 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

-1 

1 

0 

ky 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-1 

1 

0 

ky 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

Abbildung 9.7: Die analytische Form der Korrelationsfunktionen ˜G 11( ⃗ k) und ˜G av( ⃗ k) im Fourier Raum 

berechnet mit Hilfe der aus der Simulation eines harmonischen Dreiecksgitters mit N = 3120 und 

βa 2 f = 200/ √ 3 gewonnenen Fitparameter a i, c i und c ′ i (i = 1, 2, 3) (siehe Kapitel 10.2). 

153


der Diskontinuität ist in den analysierten Datensätzen stark vermindert. Die Existenz 

der Diskontinuität in den Korrelationsfunktionen ist unproblematisch, da das analytische 

Skalengesetz es ermöglicht, Sαα ∞ aus einer Steigung zu berechnen. Die absoluten 

Werte der systemgrößenabhängigen Elemente des Nachgiebigkeitstensors S L B 

αα mögen daher 

zwar bei der Annahme eines kontinuierlichen Übergangs in der Analyse überschätzt 

werden, solange durch ihre Analyse jedoch das Skalierungsverhalten korrekt erfaßt wird, 

ist auch eine korrekte Bestimmung von Sαα ∞ durch eine lineare Regression möglich. Zur 

Illustration sind in Abbildung 9.7 die analytischen Formen der beiden Korrelationsfunktionen, 

˜G11 ( ⃗ k) und ˜G av ( ⃗ k) dargestellt. Die zur Berechnung verwendeten Parameter a i , 

c i und c ′ i (i = 1, 2, 3) wurden aus Simulationen eines harmonischen Dreiecksgitters gewonnen. 

Im Folgenden werden die Grundzüge der Herleitung des Skalengesetzes allgemein für ein 

Ordnungsparameterfeld φ(⃗x) wiedergegeben. Unter der nähernden Annahme der räumlichen 

Isotropie, wird der nicht-lokale Term im Landau Funktional F vernachlässigt. 

Dieses lautet dann: 

∫ ( 1 

F = k B T d 2 x 

2 rφ2 + 1 ) 

2 c (∇φ(⃗x))2 

r und c sind hier Konstanten. Die Herleitung eines analytischen Ausdrucks für die verallgemeinerte 

Suszeptibilität entspricht der Herleitung der räumlichen isotropen Ornstein- 

Zernike Form der Korrelationsfunktion G(⃗r) (siehe z.B. [76]). Das Inverse der verallgemeinerten 

Suszeptibilität erhält man durch zweifaches Differenzieren des Funktionals. 

χ −1 (⃗x ′ , ⃗x ′′ ) = 

δ 2 F 

δ〈φ(⃗x ′ )〉δ〈φ(⃗x ′′ )〉 = k BT (r − c∇ 2 )δ(⃗x ′ − ⃗x ′′ ) 

Dieser Ausdruck läßt sich so umformen, daß eine Verbindung mit der Fourier Transformierten 

der inversen, verallgemeinerten Suszeptibilität gefunden wird. 

∫ 

χ −1 (⃗x ′ , ⃗x ′′ ) = k B T (r − c∇ 2 )δ(⃗x ′ − ⃗x ′′ ) = k B T (r − c∇ 2 1 

) 

(2π) 2 d 2 ke i⃗ k(⃗x ′ −⃗x ′′ ) 

= k ∫ 

BT 

(2π) 2 d 2 k 

(re i⃗ k(⃗x ′ −⃗x ′′) ) 

+ ck 2 e i⃗ k(⃗x ′ −⃗x ′′ ) 

∫ 

1 

= 

(2π) 2 d 2 k χ −1 ( ⃗ k)e i⃗ k(⃗x ′ −⃗x ′′ ) 

Aus dieser Darstellung kann die Fourier Transformierte direkt abgelesen werden: 

χ −1 ( ⃗ k) = k B T (r + ck 2 ) 

Invertiert man diesen Ausdruck, so erhält eine Darstellung der verallgemeinerten Suszeptibilität 

im Fourier Raum: 

χ( ⃗ k) = 1 

k B T 

1 

(r + ck 2 ) = 1 

k B T 

χ 

[1 + (kξ) 2 ] ≡ 1 

k B T 

ξ 2 1 

1 + (kξ) 2 c 

154


wobei die Korrelationslänge ξ = √ c 

r 

eingeführt wurde. Die Rücktransformation liefert 

einen analytischen Ausdruck für die Korrelationsfunktion im Ortsraum: 

∫ 

d 2 ∫ 

k 

χ(⃗x,⃗0) = 

(2π) 2 χ(⃗ k)e i⃗k⃗x = χ ∞ d 2 k e i⃗ k⃗x 

(2π) 2 1 + (kξ) 2 

Das Integral kann weiter ausgewertet werden. Dazu formt man zunächst weiter um: 

∫ 

χ(⃗x) = χ ∞ d 2 k e i⃗ k⃗x 

∫ 

(2π) 2 1 + (kξ) 2 = d 2 k eikx cos ϑ 

χ∞ 

(2π) 2 1 + (kξ) 2 

∫ ∞ 

= χ ∞ kdk 

0 

∫ 2π 

0 

dϑ eikx cos ϑ 

(2π) 2 1 + (kξ) 2 

Nun führt man die Substitutionsvariable z = | ⃗ k||⃗x| = kx ein. Es gilt dz 

∫ ∞ 

χ(⃗x) = χ ∞ dz z ∫ 2π 

dϑ 

x 2 (2π) 2 

0 

0 

eiz cos ϑ 

∫ ∞ 

1 + (z ξ = χ∞ x )2 

0 

dz z x 2 ( x 

ξ 

dk 

) 2 ∫ 2π 

0 

= x und damit: 

dϑ eiz cos ϑ 

(2π) 2 z 2 + ( x ξ )2 

wobei im Nenner des Integranden (ξ/x) 2 ausgeklammert wurde. Substituiert man weiterhin 

η = x ξ 

, so erhält man: 

χ(⃗x) = χ ∞ 1 ∫ ∞ ∫ 

z 2π 

dϑ cos ϑ 

ξ 2 dz 

z 2 + η 2 eiz 

(2π) 2 

0 

Das Integral über den Winkelanteil läßt sich durch eine Besselfunktion der ersten Art 

darstellen: 

∫ π 

J m (y) = i−m 

e iy cos ϑ cos (mϑ)dϑ = 1 ∫ 2π 

e iy cos ϑ e imϑ dϑ 

π 0 

2π 0 

mit y ∈ C. Der Vergleich zeigt, daß sich der Winkelanteil des Integrals sich mit J 0 (y) 

identifizieren läßt. 

χ(⃗x) = χ ∞ 1 ∫ 

1 ∞ 

z 

ξ 2 dz 

2π z 2 + η 2 J 0(z) 

Für das Integral über diese Besselfunktion gilt nach Abramowitz & Stegun [99]: 

∫ ∞ 

0 

t ν+1 J ν (αt)dt 

(t 2 + y 2 ) µ+1 = αµ y ν−µ 

2 µ Γ(µ + 1) K ν−µ(αy) , 

fallsα > 0, R{y} > 0, −1 < R{ν} < 2R{µ}+ 3 2 . K n(y) ist eine Modifizierte Besselfunktion 

der zweiten Art. Für n = 0 gilt: 

K 0 (y) = 

∫ ∞ 

0 

dt cos (y sinh (t)) = 

0 

0 

∫ ∞ 

0 

cos (yt) 

√ 

t 2 + 1 dt 

Das gesuchte Integral erhält man, wenn man die Variablen wie folgt identifiziert: t = z, 

y = η, ν = 0, µ = 0, α = 1 und dann Γ(1) = 1 . Mit dieser Identifikation schreibt sich 

die verallgemeinerte Suszeptibilität im Ortsraum als: 

χ(⃗x) = χ ∞ 1 ξ 2 1 

2π 

∫ ∞ 

0 

dz zJ 0(z) 

z 2 + η 2 = χ∞ 1 ξ 2 1 

2π K 0(η) 

155


Fluktuationen des Verzerrungstensors 

Zur Bestimmung des elastischen Verhaltens des Dreiecksgitters werden, wie in der Analyse 

der Verzerrungskorrelationsfunktionen, die Linearkombinationen e 1 , e 2 und e 3 der 

Verzerrungen als Ordnungsparameter gewählt. Gemäß der im vorangegangen Abschnitt 

dargelegten Herleitung kann man nun die isotropen Verzerrungskorrelationsfunktionen 

direkt im Ortsraum angeben: 

G 11 (⃗x,⃗0) = 

G 22 (⃗x,⃗0) = 

G 33 (⃗x,⃗0) = 

∫ 

1 

(2π) 2 

= βS ∞ 11 

1 

ξ 2 1 

∫ 

1 

(2π) 2 

= βS ∞ 22 

1 

ξ 2 2 

∫ 

1 

(2π) 2 

= βS ∞ 33 

1 

ξ 2 3 

d 2 q G 11 (⃗q)e i⃗q⃗x = 1 ∫ 

k B T S∞ 11 

( ) 

1 |⃗x| 

2π K 0 

ξ 1 

d 2 qG 22 (⃗q)e i⃗q⃗x = 1 ∫ 

k B T S∞ 22 

( ) 

1 |⃗x| 

2π K 0 

ξ 2 

d 2 qG 33 (⃗q)e i⃗q⃗x = 1 ∫ 

k B T S∞ 33 

( ) 

1 |⃗x| 

2π K 0 

ξ 3 

d 2 q e i⃗q⃗x 

(2π) 2 [1 + (qξ 1 ) 2 ] 


(2π) 2 [1 + (qξ 2 ) 2 ] 


(2π) 2 [1 + (qξ 3 ) 2 ] 

Um einen analytischen Ausdruck für ein Skalengesetz zu erhalten, wird zur weiteren Auswertung 

im Rahmen der Blockanalyse das Simulationsvolumen der linearen Ausdehnung 

L in Subvolumina der linearen Ausdehnung L B zerlegt. Der mittlere Ordnungsparameter 

eines solchen Subvolumens ist: 

∫ LB 

¯φ = L −2 

B d 2 xφ(⃗x) 

Die Fluktuationen von ¯φ können über die statische Summenregel (siehe Kapitel 8) mit 

der Korrelationsfunktion in Zusammenhang gebracht werden: 

∫ 

〈 ¯φ ¯φ〉 

LB 

∫ LB 

LB L 2 B = L −2 

B d 2 x ′ d 2 x 〈φ(⃗x)φ(⃗x ′ )〉 = d 2 x βG φφ (⃗x) ≡ χ L B 

φφ 

Für L B → L erwartet man, daß χ L B 

φφ 

→ χ∞ φφ 

, sofern L groß genug ist, um das System 

im thermodynamischen Limes darzustellen. In der Betrachtung der Fluktuationen der 

Elemente des Verzerrungstensors lautet dies: 

〈 ɛ¯ 

α ɛ¯ 

β 〉 LB L 2 B = 1 ∫ LB 

∫ LB 

d 2 x ′ d 2 x 〈ɛ α (⃗x)ɛ β (⃗x ′ )〉 = d 2 x βG αβ (⃗x) = S L B 

L 

αβ 

B 

Die Fluktuationen in den Subvolumina hängen aber von der Wahl des Ensembles ab. Im 

kanonischen Ensemble verschwindet der Mittelwert der mikroskopischen Fluktuationen 

des Verzerrungstensors über das gesamte Simulationsvolumen. Die Eigenschaften des kanonischen 

Ensembles können, wie Sengupta et al. [98] zeigten, mittels der Methode der 

156


Lagrange Multiplikatoren berücksichtigt werden, so daß auch in diesem Ensemble eine 

Skalenanalyse möglich wird. Dies führt dazu, daß man mit einer korrigierten Korrelationsfunktion 

G ′ αβ (⃗x) = G αβ(⃗x) − ∆ L weiter arbeitet. Der Korrekturterm lautet: 

∆ L = 1 ∫ L 

L 2 d 2 x G(⃗x) = 1 [∫ L 

( a 

) ] 2 

L 2 d 2 x G αβ (⃗x) − C αβ 

L 

0 

0 

wobei die C αβ Konstanten sind. Unter Verwendung dieser Korrelationsfunktion berechnet 

man die verallgemeinerten Suszeptibilitäten bzw. Elemente des Nachgiebigkeitstensors 

im Subvolumen L B . 

Sαβ ∞ = 〈 ɛ¯ 

α ɛ¯ 

β 〉 LB L 2 B = 1 

L 2 B 

∫ LB 

∫ 

d 2 x ′ d 2 x〈ɛ α ( x ⃗ LB ′ )ɛ β (⃗x)〉 = d 2 x βG ′ αβ (⃗x) 

{∫ LB 

= β d 2 x 

(G αβ (⃗x) − 1 (∫ L 

L 2 d 2 x ′ G αβ ( ⃗ ( a 

) ))} 2 

x ′ ) − C αβ 

0 

L 

{∫ LB 

(∫ L 

= β d 2 x G αβ (⃗x) − L2 B 

L 2 d 2 x ′ G αβ ( ⃗ ( a 

) )} 2 

x ′ ) − C αβ 

0 

L 

{ ( ) ( ) ( 2 ( ) 

)} 

= β Sαβ ∞ Ψ LB LB 

L 

− Sαβ ∞ Ψ − C ( 

αβ a 

) 2 

ξ L 

ξ Sαβ 

∞ L 

[ ( 

= βSαβ 

∞ Ψ x L ) ( ( ) L 

( ) ] a 2 

− Ψ − C αβ 

′ x 

ξ ξ L) 2 

Hierbei wurde in der letzten Zeile als abkürzende Schreibweise x = L B 

L 

verwendet. Dies ist 

ein Skalengesetz und kann zur Bestimmung der Suszeptibilitäten im thermodynamischen 

Limes Sαβ ∞ verwendet werden. Der in den Umformungen neu eingeführten Funktion Ψ(α) 

liegen dabei folgende Überlegungen bei der Integration der Modifizierten Besselfunktion 

der zweiten Art K 0 zugrunde: 

∫ L ∫ L 

dx dy 1 ( 

1 1 

ξ 2 2π K √ 

) 

0 x 

ξ 

2 + y 2 

Man wechselt nun zu skalierten neuen Variablen x neu = 1 L x und y neu = 1 L y. 

= 

∫ 1 

0 

∫ 1 

0 

∫ 1 

( 

1 1 1 

L dx neu L dy neu 

0 ξ 2 2π K √ 

) 

0 L 

ξ 

2 x 2 neu 

+ L 2 y 2 neu 

∫ 1 

L 2 ( 

1 L 

dx neu dy neu 

ξ 2 2π K √ 

) 

0 x 2 

ξ 

neu 

+ y 2 neu 

0 

Nun setzt man α = L ξ 

und definiert die neue Funktion als 

Ψ(α) = 1 

2π α2 ∫ 1 

0 

∫ 1 

0 

dx dy K 0 (α √ x 2 + y 2 ). 

157


(L B 

/L)*S jj 

(L B 

) 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

j = 1 

j = 2 

j = 3 

j = 2θ 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

L B 

/L 

Abbildung 9.8: Skalenanalyse der Nachgiebigkeiten eines harmonischen Dreiecksgitters mit N = 3120 

Teilchen. Aus der linearen Regression im Bereich kleiner L B 

L 

an S 11 läßt sich βa 2 (K + µ), aus der an 

βa 2 µ bestimmen. 

S 2θ2θ 

Unter Berücksichtigung der Tatsache, daß für L/ξ ≫ 1 

Skalengesetz auf diese vereinfachte Form bringen: 

Ψ(α) → 1 gilt, kann man das 

S L B 

αβ · x = S∞ αβ [x − x3 ] 

Zur Berechnung von Sαβ ∞ kann für kleine x eine lineare Regression vorgenommen werden. 

Bei der Berechnung der elastischen Konstanten aus den so erhaltenen Linearkombinationen 

des Nachgiebigkeitstensors müssen, wie die im Rahmen der hier vorliegenden 

Arbeit durchgeführten Studien zeigen, zwei weitere Punkte berücksichtigt werden. Ist 

das betrachtete System einem äußeren Druck ausgesetzt, so muß man bedenken, daß das 

Inverse des Nachgiebigkeitstensors der Steifigkeitstensor B ijkl ist (vergleiche Kapitel 6 

Gleichung 6.1). Aus diesem kann man unter Berücksichtigung der Details der äußeren 

Spannung, welcher das System ausgesetzt ist, den Tensor der Elastischen Konstanten 

C ijkl und damit die elastischen Module berechnen. Des weiteren bestimmt das Wechselwirkungspotential 

der Teilchen im System, ob man sich im Regime des eingebetteten 

Mediums (siehe Kapitel 9.4) oder aber im Regime der harten Scheiben befindet. Die 

Zuordnung zu einem dieser Regime ist entscheidend dafür, welche Information aus den 

einzelnen Linearkombinationen des Nachgiebigkeitstensors S ∞ αα gewonnen werden kann. 

Als Beispiel ist in Abbildung 9.8 die Skalenanalyse für das harmonische Dreiecksgitter 

im kanonischen Ensemble mit periodischen Randbedingungen wiedergegeben. Die 

Federkonstanten des simulierten Systems ist βa 2 f = 200/ √ 3. Ein solches System hat 

einen Kompressionsmodul von βa 2 K = 100 und einen Schermodul von βa 2 µ = 50. Die 

158


Skalenanalyse wertet jeweils Teilsysteme der Größe L B des Gesamtsystems aus. Diese 

Teilsysteme sind in das restliche Simulationsvolumen eingebettet. Diese Einbettung führt 

im Falle des harmonischen Systems, wie in Kapitel 9.4 dargelegt zu einer Kopplung der 

einzelnen Verzerrungsfluktuationen, so daß man aus der Skalenanalyse von S L B 

11 lediglich 

die Summe von Kompressions-und Schermodul βa 2 a1 = βa 2 (K + µ) = 144.7 ± 1.7 ermitteln 

kann. Aus der Skalenanalyse S L B 

2θ2θ 

kann jedoch zusätzlich direkt der Schermodul 

βa 2 µ = 49.2 ± 0.6 bestimmt werden. 

Nur in stark repulsiv wechselwirkenden Systemen wie dem Harte Scheiben System tritt 

diese Kopplung durch die Einbettung nicht auf. In diesen Fällen erhält man aus den Skalenanalysen 

von S L B 

22 und SL B 

33 den Schermodul. Ist ein solches System zusätzlich einem 

äußeren, isotropen Druck ausgesetzt, so liefern S22 ∞ und S∞ 33 um den Druck verschobene 

Werte. Da S2θ2θ ∞ von einem äußeren, isotropen Druck unbeeinflußt bleibt, kann in solchen 

Fällen aus der Differenz zu den aus S22 ∞ und S∞ 33 berechneten Werten der Druck bestimmt 

werden. Das Harte Scheiben System und seine Besonderheiten werden in Kapitel 15 im 

Detail vorgestellt. 

9.7. Technische Details der Auswertung 

Im Folgenden wird ein Überblick über die wichtigsten Details, die bei der Implementierung 

der verschiedenen hergeleiteten Formeln und Zusammenhänge zur Auswertung 

der Verzerrungskorrelationsfunktionen berücksichtigt werden müssen, gegeben. Zunächst 

müssen die vorliegenden Teilchenkonfigurationen gegen mögliche Starrkörperbewegungen, 

d.h. Rotationen des Gesamtsystems oder Translationen des Schwerpunkts, korrigiert 

werden. 

Die Korrektur der Schwerpunktsbewegung 

Ob sich in einem System eine Festkörperstruktur oder eine flüssige Phase einstellt, läßt 

sich durch eine Überlagerung aller Teilchenkonfigurationen gut Visualisieren. Um eine 

aussagekräftige Überlagerung zu erhalten, muß man zunächst die Drift des Schwerpunkts 

bestimmen und von den einzelnen Konfigurationen abziehen. Eine Drift des 

Schwerpunkts ist in Monte Carlo Simulationen ohne äußere Felder möglich, da eine 

solche Translation eines starren Körpers die Wechselwirkung unter den Komponenten 

nicht beeinflußt. Die allgemeine Definition des Schwerpunkts einer diskreten Massenverteilung 

lautet S ⃗ = ∑ N 

i=1 m i⃗r i / ∑ N 

i=1 m i. Im hier vorliegenden Fall eines monodispersen, 

harmonischen Systems geht man von einer kontinuierlichen Massenverteilung 

aus. In diesem Fall wird jedem Teilchen eine mittlere Fläche ¯V i zugeordnet. Diese ist 

der Mittelwert aller Dreiecksflächen, welche das Teilchen mit seinen nächsten Nachbarn 

(bzw. den Nachbarn, mit denen es durch eine Feder verbunden ist) bilden kann. Man 

erhält S ⃗ = ∑ N ¯V i=1 i ⃗r i / ∑ N ¯V i=1 i . Zur Berechnung der Dreiecksflächen wird die Heron’sche 

Flächenformel verwendet: 

V = √ s(s − a)(s − b)(s − c) ; (s : halber Umfang; a, b, c : Seitenlängen) 

159


a) 

b) 

c) 

Abbildung 9.9: Überlagerung der Teilchenkonfigurationen aus Simulationen mit offenen Randbedingungen 

und N = 3120 Teilchen bei verschiedenen Federkonstanten. Je schwächer die Federkonstante 

gewählt wurde, desto stärker sind die zu beobachtenden Oberflächeneffekte an den Kanten und Ecken 

des offenen Systems. a) βa 2 f = 200/ √ 3, b) βa 2 f = 1200/ √ 3 und c) βa 2 f = 2000/ √ 3. 

In Simulationen mit offenen Randbedingungen kann es neben Translationen des Schwerpunkts 

auch zu Rotationen des Gesamtsystems kommen, da auch diese die Wechselwirkungen 

zwischen den Systemkomponenten nicht beeinflussen. Um rotationsfreie Teilchenkoordinaten 

zu erhalten, muß die Rotation berechnet und gegen sie korrigiert werden. 

Die Anfangskonfiguration wird als Referenzgitter gewählt. Bezüglich dieses Referenzgitters 

bestimmt man lokal für jedes Teilchen den antisymmetrischen Anteil des 

( 

∂uy 

∂x − ∂ux 

∂y 

) 

. Der Mittelwert von θ kann als mittlerer Rotati- 

Verzerrungstensors θ = 1 2 

onswinkel des Gesamtsystems interpretiert werden. Zum einen ist zu beachten, daß eine 

solche Interpretation das simulierte System näherungsweise als einen starren Körper auffaßt. 

Diese Annahme gilt streng genommen nur für T = 0. Allgemein wird die Annahme 

um so besser erfüllt je kleiner die Temperatur bzw. je stärker die Federkonstante f und 

je kleiner das Verhältnis N Oberfläche /N ist. Teilchen an der Oberfläche haben eine niedrigere 

Koordinationszahl als solche innerhalb des Systems und sind daher beweglicher. 

An den Kanten und Ecken ist das simulierte System somit weicher und weicht daher 

auch stärker von der Annahme eines starren Körpers ab. Des weiteren ist zu beachten, 

daß es sich bei der Interpretation von θ als Rotationswinkel und der Korrektur der Rotation 

durch Anwendung einer Drehmatrix um eine lineare Näherung für infinitesimale 

Rotationen handelt. D.h. man erhält nur dann eine hinreichend genaue Korrektur der 

Rotation, wenn man nach jedem MCS das System zurück dreht. Makroskopische Drehungen 

können mit dieser Methode nicht behandelt werden. Abbildung 9.9 zeigt zur 

Illustration Überlagerung der gegen Starrkörperbewegungen korrigierten Teilchenkonfigurationen 

aus Simulationen eines harmonischen Dreieckgitters mit offenen Randbedingungen 

bei verschiedenen Stärken der Federkonstante. 

Aus den so erhaltenen Teilchenkonfigurationen wird das in den Analysen der Verzerrungskorrelationsfunktionen 

als Referenzgitter verwendete mittlere Gitter berechnet. 

Dieses unterscheidet sich darin vom idealen Gitter, daß es auch eingefrorene Defektstrukturen, 

so denn im System vorhanden, beinhalten kann. Zunächst konzentrieren wir 

160


uns aber auf die Analyse von Systemen mit defektfreien Referenzgittern. In solchen Systemen 

können jedoch durchaus thermisch angeregte Dislokations-Antidislokations Paare 

auftreten. 

Die Vergröberung 

Die in den Teilchenkonfigurationen enthaltene Information über die lokalen Verzerrungen 

werden in einem ersten Schritt auf ein Vergröberungsgitter abgebildet. Dabei muß die 

Vergröberungslänge Λ −1 (siehe Kapitel 8) groß genug gewählt werden, so daß der Übergang 

vom simulierten diskreten System zu einem in der Kontinuumstheorie behandelbaren 

System vollzogen wird. Dieser Übergang von der diskreten Beschreibung zu einer 

Kontinuumsbeschreibung ist deutlich in der Korrelationsfunktion ˜G 11 ( ⃗ k) sichtbar. Diese 

ist mit lokalen Fluktuationen des Volumens verknüpft, welche auch als lokale Fluktuationen 

der Dichte interpretiert werden können: δϱ ∗ (⃗r)/ϱ ∗ 0 = −∇⃗u(⃗r) = −e 1. Der 

statische Strukturfaktor S( ⃗ k) ist die Fourier Transformierte der Dichte-Dichte Korrelationsfunktion 

und kann daher mit der Verzerrungskorrelationsfunktion ˜G 11 ( ⃗ k) in Verbindung 

gebracht werden. Analog existiert somit im Ortsraum eine Verbindung zwischen 

G 11 (⃗r) und der Paarkorrelationsfunktion g(⃗r). Diese weist im Dreiecksgitter eine 6-fache 

Rotationssymmetrie auf. Die in Streuexperimenten detektierte Intensitätsverteilung ist 

proportional zum statischen Strukturfaktor S( ⃗ k). Streuexperimente an Dreiecksgittern 

mit diskreter Massenverteilung spiegeln in den erhaltenen Intensitätsverteilungen auch 

die Symmetrie des Gitters wieder. Sie weisen eine 6-fache Rotationssymmetrie auf. Diese 

ist auch in der Verzerrungskorrelationsfunktion G 11 (⃗r) sichtbar, falls die Vergröberungslänge 

Λ −1 nicht groß genug gewählt wird, um den Übergang in eine Kontinuumsbeschreibung 

zu vollziehen. 

In Abbildung 9.10 ist die Abhängigkeit der Korrelationsfunktionen G ii (⃗r) von der Wahl 

von Λ −1 dargestellt. Von links nach rechts nimmt die Vergröberungslänge zu. Die Wahl 

links entspricht dem Grenzfall von N Λ −1 ≈ 1 Teilchen pro Vergröberungszelle, der Fall 

ganz rechts der Situation mit mindestens 6 Teilchen pro Vergröberungszelle. Der Grenzfall 

mit nur einem Teilchen pro Zelle, entspricht ganz offensichtlich nicht dem Kontinuumslimes. 

Statt der gemäß der Kontinuumstheorie erwarteten 8-fachen Rotationssymmetrie 

von G 11 (⃗r), erkennt man die 6-fache Rotationssymmetrie des diskreten Systems. 

Diese durch die diskrete Natur des Systems bedingte Rotationssymmetrie verschwindet 

erst ab ca. Λ −1 = 2.29a (d.h. N Λ −1 ≥ 6). Erst ab diesem Maß der Vergröberung 

befindet man sich an der unteren Grenze des Kontinuumslimes. Die beiden Verzerrungskorrelationsfunktionen 

G 22 (⃗r) und G 33 (⃗r) stehen in keinem Zusammenhang mit lokalen 

Dichteänderungen. Wie man in Abbildung 9.10 sieht weisen sie daher keine Abhängigkeit 

in ihrer Symmetrie von der Wahl der Vergröberungslänge auf. 

161


a) 

G 11 

(r) 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

10 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

10 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

10 

-10 

0 

x 

10 

0 

y 

-10 

-10 

0 

x 

10 

0 

y 

-10 

-10 

0 

x 

10 

0 

y 

-10 

b) 

G (r) 

22 

0.1 

0.05 

0 

-0.05 

-0.1 

-10 

10 

0 

y 

0.1 

0.05 

0 

-0.05 

-0.1 

-10 

10 

0 

y 

0.1 

0.05 

0 

-0.05 

-0.1 

-10 

10 

0 

y 

0 

x 

10 

-10 

0 

x 

10 

-10 

0 

x 

10 

-10 

c) 

G (r) 

33 

0.02 

0.02 

0.02 

0 

-0.02 

10 

0 

-0.02 

10 

0 

-0.02 

10 

-10 

0 

y 

-10 

0 

y 

-10 

0 

y 

0 

x 

10 

-10 

0 

x 

10 

-10 

0 

x 

10 

-10 

Abbildung 9.10: Die Verzerrungskorrelationsfunktionen im Ortsraum aus einer Simulation eines harmonischen 

Dreiecksgitters mit N = 5822 Teilchen. Für jede der Korrelationsfunktionen a) G 11(⃗r), b) 

G 22(⃗r) und c) G 33(⃗r) ist die Auswertung mit drei unterschiedlichen Vergröberungslängen Λ −1 dargestellt. 

Für die kleinste Vergröberungslänge befindet sich im Schnitt 1 Teilchen in der Vergröberungszelle, für 

die größte hingegen mehr als 6 Teilchen. Besonders in G 11(⃗r) wird der Übergang vom diskreten System 

zum Kontinuum sichtbar. 

162


Numerische Berechnung der Korrelationsfunktionen 

Auf dem Vergröberungsgitter werden die Korrelationsfunktionen gemäß folgender Formel 

numerisch berechnet: 

G ii (⃗r) = 1 

N∑ 

data 

N data 

j=1 

1 

N zell 

N zell 

∑ 

e i ( R ⃗ m )e i ( R ⃗ m + ⃗r) (9.10) 

m=1 

1 

∑ 

N data ist die Anzahl der ausgewerteten Konfigurationen, d.h. die Summation 

Ndata 

N data j=1 

entspricht dem Ensemblemittelwert. Um die Statistik in der Auswertung zu erhöhen wird 

zusätzlich über die Positionen des Ursprungs, bezüglich dessen die Korrelationsfunktionen 

bestimmt werden, gemittelt ( 1 ∑ Nzell 

N zell m=1 ). Hierbei ist N zell die Anzahl der Zellen des 

Vergröberungsgitters. Die erhaltenen Korrelationsfunktionen werden numerisch Fourier 

transformiert und ihr Absolutwert bestimmt: 

√ 

˜G ii ( ⃗ k) = |R{ ˜G ′ ii( ⃗ k)}| 2 + |I{ ˜G ′ ii( ⃗ k)}| 2 

mit 

R{ ˜G ′ ii( ⃗ k)} = 

V 

I{ ˜G ′ ii( ⃗ k)} = − V 

∑ 

N zell 

N zell 

j=1 

∑ 

N zell 

N zell 

j=1 

( 

G ii (⃗r j ) cos ⃗r j · ⃗k 

) 

( 

G ii (⃗r j ) sin ⃗r j · ⃗k 

) 

Die Werte des Wellenvektors sind auf die 1. Brillouin-Zone beschränkt: k j ∈ [− π a , π a ], 

j = x, y. Wobei a die Gitterkonstante des Vergröberungsgitters und V sein Volumen ist. 

Mittelwertberechnung und Randbedingungen 

Wie bereits im vorangegangenen Abschnitt erwähnt wird in der numerischen Berechnung 

der Korrelationsfunktionen auch ein Mittelwert bezüglich der Position des Ursprungs 

gebildet (siehe Gleichung 9.10). Dies dient der Verbesserung der Statistik. In Simulationen 

mit periodischen Randbedingungen können die Korrelationsfunktionen über eine 

dem gesamten Simulationsvolumen entsprechende Fläche aufgenommen werden. Jeder 

Punkt des Simulationsvolumens kann als Ursprung dienen, bezüglich dessen die Korrelationsfunktionen 

berechnet werden. Die Situation ist schematisch in Abbildung 9.11 

a) skizziert. Dies funktioniert in Simulationen ohne periodische Randbedingungen, wie 

z.B. dem simulierten System mit offenen Randbedingungen nicht. Hier kann entweder 

auf die Mittelwertbildung verzichtet werden und der Ursprung in das Zentrum der Simulationsbox 

gelegt werden (Abbildung 9.11 b) links) oder aber die Korrelationsfunktionen 

nur über ein Viertel des Simulationsvolumens aufgenommen werden (Abbildung 9.11 b) 

rechts). Die Nachteile der Auswertung nur einer zentral positionierten Fläche liegen in 

163


der geringeren Statistik und den in dieser Situation die Korrelationen stark beeinflussenden 

Randeffekten (siehe Kapitel 10.3). In der Auswertung der Korrelationsfunktionen in 

den Simulationen mit offenen Randbedingungen wird daher die Variante mit einer Mittelung 

über verschiedene Positionen des Ursprungs bevorzugt. Bei der Interpretation der 

so erhaltenen Korrelationsfunktionen muß man jedoch im Auge behalten, daß streng genommen 

über Sub-Systeme mit unterschiedlichen Randbedingungen gemittelt wird. Die 

in der schematischen Skizze in Abbildung 9.11 b) (rechts) rot dargestellte ausgewertete 

Fläche ist komplett, d.h. an allen Seiten von Material umgeben. Es handelt sich daher 

um ein eingebettetes System, in dem die Fluktuationen der Verzerrungsvariablen e 1 , e 2 

und e 3 ihren Charakter ändern. So beschreibt z.B. e 1 nicht mehr reine Volumenfluktuationen 

und erlaubt damit Rückschluß auf den Kompressionsmodul, sondern beinhaltet 

nun auch Scherfluktuationen. Aus diesen Fluktuationen kann lediglich die Summe von 

Kompressions- und Schermodul ermittelt werden (Herleitung siehe Kapitel 9.4). Positionierungen 

der auszuwertenden Fläche wie die in der Skizze blau dargestellte Situation, 

sind jedoch nur an zwei Seiten von Material umgeben. An den offenen Rändern behalten 

die Verzerrungsvariablen e 1 , e 2 und e 3 ihren Charakter reiner Volumens- oder Scherfluktuationen. 

Eine Mittelwertbildung über diese unterschiedlichen Situationen ist daher 

nicht ganz unproblematisch. Die Analyse der Korrelationsfunktionen im System mit 

offenen Randbedingungen mit Mittelwertbildung in Kapitel 10.3 zeigt jedoch, daß die 

Korrelationsfunktionen des NV T Ensembles mit periodischen Randbedingungen in guter 

Näherung reproduziert werden, bis auf den Unterschied, daß nun für ⃗ k → ⃗0 die 

elastischen Konstanten des Systems erhalten werden. Zu bemerken bleibt, daß aufgrund 

der Mittelung über die eingebetteten Systeme nun auch die Korrelationen in der Verzerrungsvariablen 

e 2θ zur Bestimmung des Schermoduls herangezogen werden können. 

a) b) 

ohne 

Mittelung 

mit 

Mittelung 

Abbildung 9.11: Schematische Darstellung der Möglichkeiten der Mittelwertbildung bei der Berechnung 

der Korrelationsfunktionen. a) Bei periodischen Randbedingungen kann jeder Punkt im Simulationsvolumen 

als Ursprung der Korrelationsfunktionen dienen. Die ausgewertete Fläche (durch die 

gebrochenen roten bzw. blauen Linien gekennzeichnet) entspricht dem gesamten Simulationsvolumen 

(schwarze durchgezogene Linie). b) Ohne periodische Randbedingungen kann bei Auswertung der gesamten 

Fläche nur das Zentrum des Simulationsvolumens als Ursprung der Korrelationsfunktionen gewählt 

werden (Situation links). Es ist keine Mittelwertbildung möglich. Bei Auswertung nur eines Viertels des 

Simulationsvolumens (rechts dargestellt) kann hingegen eine Mittelung erfolgen. 

164


Berechnung der Verzerrungen 

Aus den Teilchenkonfigurationen und dem Referenzgitter kann das Verschiebungsfeld 

⃗u(⃗r) direkt berechnet werden. Um daraus die lokalen Verzerrungen berechnen zu können, 

müssen partielle Ableitungen in x- oder y-Richtung berechnet werden. Diese werden auf 

zwei verschiedene Arten numerisch bestimmt: 

Näherung durch finite Differenzen 

Das Verschiebungsfeld wird als homogen angenommen, daher können die bekannten 

diskreten Werte des Feldes als Stützstellen interpretiert werden. In einer linearen 

Näherung werden je drei benachbarte Punkte (⃗r 0 , ⃗r 1 , ⃗r 2 ) dazu verwendet um, 

die Gleichung einer Ebene im (u i , x, y)-Raum (i = x, y) aufzustellen: 

⎛ 

⎝ 

u i 

x 

y 

⎞ 

⎛ 

⎠ = ⎝ 

u i,0 

x 0 

y 0 

⎞ 

⎡⎛ 

⎠ + t ⎣⎝ 

u i,1 

x 1 

y 1 

⎞ 

⎛ 

⎠ − ⎝ 

u i,0 

x 0 

y 0 

⎞⎤ 

⎡⎛ 

⎠⎦ + s ⎣⎝ 

u i,2 

x 2 

y 2 

⎞ 

⎛ 

⎠ − ⎝ 

u i,0 

x 0 

y 0 

⎞⎤ 

⎠⎦ 

Die Koeffizienten s und t können aus den Gleichungen in x und y bestimmt werden. 

t = (x − x 0)(y 2 − y 0 ) − (x 2 − x 0 )(y − y 0 ) 

(x 1 − x 0 )(y 2 − y 0 ) − (x 2 − x 0 )(y 1 − y 0 ) 

s = (x 1 − x 0 )(y − y 0 ) − (x − x 0 )(y 1 − y 0 ) 

(x 1 − x 0 )(y 2 − y 0 ) − (x 2 − x 0 )(y 1 − y 0 ) 

Damit läßt sich eine Gleichung angeben, die lokal die Ortsabhängigkeit der Komponente 

i des Verschiebungsfeldes angibt: 

u i (x, y) = u i,0 + (x − x 0)(y 2 − y 0 ) − (x 2 − x 0 )(y − y 0 ) 

(x 1 − x 0 )(y 2 − y 0 ) − (x 2 − x 0 )(y 1 − y 0 ) (u i,1 − u i,0 ) 

+ (x 1 − x 0 )(y − y 0 ) − (x − x 0 )(y 1 − y 0 ) 

(x 1 − x 0 )(y 2 − y 0 ) − (x 2 − x 0 )(y 1 − y 0 ) (u i,2 − u i,0 ) 

Die partiellen Ableitungen lauten dann: 

∂u x (x, y) 

∂x 

∂u x (x, y) 

∂y 

∂u y (x, y) 

∂x 

∂u y (x, y) 

∂y 

= (y 2 − y 0 )(u x,1 − u x,0 ) − (y 1 − y 0 )(u x,2 − u x,0 ) 

(x 1 − x 0 )(y 2 − y 0 ) − (x 2 − x 0 )(y 1 − y 0 ) 

= −(x 2 − x 0 )(u x,1 − u x,0 ) + (x 1 − x 0 )(u x,2 − u x,0 ) 

(x 1 − x 0 )(y 2 − y 0 ) − (x 2 − x 0 )(y 1 − y 0 ) 

= (y 2 − y 0 )(u y,1 − u y,0 ) − (y 1 − y 0 )(u y,2 − u y,0 ) 

(x 1 − x 0 )(y 2 − y 0 ) − (x 2 − x 0 )(y 1 − y 0 ) 

= −(x 2 − x 0 )(u y,1 − u y,0 ) + (x 1 − x 0 )(u y,2 − u y,0 ) 

(x 1 − x 0 )(y 2 − y 0 ) − (x 2 − x 0 )(y 1 − y 0 ) 

Im Dreiecksgitter hat jedes Teilchen 6 nächste Nachbarn, d.h. die lokale Umgebung 

eines Teilchen kann durch 6 solcher Ebenen beschrieben werden. In der numerischen 

Berechnung der Verzerrungen des zentralen Teilchens wird daher über diese sechs, 

unabhängig ermittelten Ableitungen gemittelt. 

165


Minimierung des Fehlers in der affinen Abbildung 

Die lineare Elastizitätstheorie nimmt an, daß jede auftretende Konfiguration durch 

eine affine Abbildung aus dem Referenzgitter (Positionen ⃗ R) gewonnen werden 

kann, d.h. für jeden Punkt ⃗r in der Konfiguration gilt: 

⃗r = ⃗ R + ⃗u( ⃗ R) = (1 + ɛ) ⃗ R 

wobei der Verzerrungstensor ɛ selbst ortsabhängig sein kann. Folgt man der Idee 

von Falk und Langer [100], so kann man den Verzerrungstensor dadurch ermitteln, 

daß man das mittlere Quadrat des Fehlers (D 2 ) zwischen der so berechneten und der 

tatsächlich vorliegenden Konfiguration minimiert. Diese Größe gibt allgemein an, 

wie gut sich die gegebene Situation durch die lineare Elastizitätstheorie beschreiben 

läßt. Sie ist ein Maß für die Nicht-Affinität des vorliegenden Verschiebungsfeldes. 

Falk und Langer betrachten in ihrer Arbeit die zeitliche Entwicklung einer 

Teilchenkonfiguration. In den in dieser Arbeit vorgenommenen Untersuchungen ist 

jedoch der Vergleich mit dem im thermodynamischen Gleichgewicht vorliegenden 

Referenzgitter von Interesse. Daher wird folgende analoge Definition verwendet: 

D 2 (⃗r 0 ) = 

N B ∑ 

m=1 i=1 

⎛ 

2∑ 

⎝rm i − r0 i − 

⎞ 

2∑ 

(δ ij + ɛ ij )[Rm j − Ro] 

j ⎠ 

Hierbei ist ⃗r 0 die Position, an der der Verzerrungstensor bestimmt werden soll, und 

N B die Anzahl der Nachbarteilchen, die in dieser Berechnung berücksichtigt werden. 

Der Nicht-Affinitätsparameter D 2 wird durch den wie folgt, zu berechnenden 

Verzerrungstensor, minimiert: 

j=1 

2 

ɛ ij = 

2∑ 

k 

X ik Y −1 

jk 

− δ ij 

mit 

X ij = ∑ m 

Y ij = ∑ m 

[r i m − r i 0] · [R j m − R j 0 ] 

[R i m − R i 0] · [R j m − R j 0 ] 

Beide Verfahren sind gleichwertig. Jedoch wurde in den Studien der Verzerrungskorrelationsfunktionen 

das Minimierungsverfahren bevorzugt, da die Analyse des Nicht- 

Affinitätsparameters D 2 und seiner Autokorrelationsfunktion eine weitergehende Analyse 

der Systemeigenschaften ermöglicht. 

166

KAPITEL 10 

Ergebnisse der Korrelationsanalyse 

Zum Vergleich der analytischen Theorie mit Computer-Simulationen wurde ein harmonisches 

Dreiecksgitter mit H = k B T (f/2) ∑ N 

m,n=1 (|⃗r m −⃗r n |−a) 2 simuliert. Hier steht a für 

die Gitterkonstante des Dreiecksgitters und f ist die Federkonstante. In diesem Modellsystem 

lassen sich die elastischen Module direkt aus der Federkonstante berechnen. Für 

den Kompressionsmodul gilt: K = a 1 = ( √ 3/2)f. Der Schermodul kann im Dreiecksgitter 

auf zwei Arten berechnet werden. Es gilt: µ = a 2 = ( √ 3/4)f und 4µ = a 3 = √ 3f. Das 

harmonisches Dreiecksgitter wurde in verschiedenen statistischen Ensemblen und unter 

unterschiedlichen Randbedingungen simuliert. In den folgenden Abschnitten werden die 

Besonderheiten dieser Ensemble im Bezug auf die Verzerrungskorrelationen vorgestellt 

und diskutiert. Allgemein läßt sich die Simulation in einem NpT Ensemble als Realisierung 

eines konstanten Spannungszustands des Kontinuums interpretieren, wohingegen 

die Simulation in einem NV T Ensemble der Realisierung eines konstanten Verzerrungszustands, 

der durch die Wahl der festen Simulationsbox definiert ist, entspricht. 

In den durchgeführten Simulationen im NV T Ensemble wurde ein undeformierter Zustand 

des Dreiecksgitters simuliert. Zunächst werden die Ergebnisse der Realisierung 

eines konstanten Spannungszustands, d.h. der Simulationen im NpT Ensemble vorgestellt. 

10.1. Simulationen im NpT Ensemble 

Das harmonische System im NpT Ensemble wurde analog einem von Parinello und 

Rahman [101, 102, 103] vorgeschlagenen Verfahren simuliert. Dabei wird die Information 

über die aktuelle Form der Simulationsbox in einer Transformationsmatrix h gespeichert. 

Teilchenverschiebungen und die Umsetzung periodischer Randbedingungen 

167


Kompressionsmodul a 1 Schermodul a 2 Schermodul a 3 

Theorie 100 /βa 2 50 /βa 2 200 /βa 2 

aus Fluktuationen 

von h 98.9 /βa 2 49.4 /βa 2 196.7 /βa 2 

aus ˜G( ⃗ k = ⃗0) 96.8 /βa 2 48.6 /βa 2 190.8 /βa 2 

aus Fits von ˜G( ⃗ k ≠ ⃗0) - 49.1 /βa 2 195.7 /βa 2 

Tabelle 10.1: Vergleich der aus der Simulation im eines Systems mit N = 3120 Teilchen und einem 

Druck von βa 2 p = 0.0 durch verschiedene Methoden ermittelten elastischen Konstanten mit 

den theoretisch erwarteten Werten für ein harmonisches Dreiecksgitter mit einer Federkonstante von 

βa 2 f = 200/ √ 3. 

erfolgen auf einem dimensionslosen Bezugssystem mit Koordinaten je Richtung aus dem 

Intervall [−0.5, 0.5]. Auf diese Weise lassen sich auch nicht-deviatorische Scherungen der 

Simulationsbox für das harmonische System einfach implementieren. Ein weiterer Vorteil 

dieser Implementierung ist, daß aus den Fluktuationen der Transformationsmatrix 

h die Fluktuationen des Verzerrungstensors und somit die elastischen Konstanten des 

Systems berechnet werden können. Der Verzerrungstensor wird dabei wie folgt aus der 

Transformationsmatrix berechnet: 

ɛ = 1 ( 

) 

h T,−1 

0 Gh −1 

0 − 1 

2 

Hierbei ist h 0 die Transformationsmatrix des Referenzgitters und G = h T h enthält die 

Information über die aktuelle Form der Simulationsbox. Simulationen des harmonischen 

Dreiecksgitters wurden für Systeme mit N = 3120, 4736 und 5822 Teilchen durchgeführt. 

In diesen Simulationen wurde zunächst der äußere Druck auf Null gesetzt, da dies der 

Ausgangssituation der analytischen Herleitungen entspricht. Ein Vergleich der aus den 

Fluktuationen der Transformationsmatrix berechneten elastischen Module mit den theoretisch 

erwarteten Werten ist in Tabelle 10.1 gegeben. 

Wie in [104, 105] betont, wurde die Analyse bezüglich der mittleren Transformationsmatrix 

durchgeführt. Auch die folgenden Analysen der Verzerrungskorrelationen im System 

werden daher bezüglich des aus den mittleren Teilchenpositionen berechneten Referenzgitters 

ausgeführt. Abbildung 10.1 zeigt die Verzerrungskorrelationsfunktionen im Ortsraum. 

Die erwartete 8-fache Rotationssymmetrie der Korrelationsfunktion G 11 (⃗r) wird 

in der Analyse der Simulationsdaten nicht aufgelöst. Sie erscheint als strukturlose, rasch 

abfallende Funktion. Hingegen zeigen G 22 (⃗r) und G 33 (⃗r) die durch die analytische Herleitung 

vorhergesagte 4-fache Rotationssymmetrie. Die numerische Fourier Transformation 

liefert die in Abbildung 10.2 dargestellten Korrelationsfunktionen ˜G jj ( ⃗ k). In Abbildung 

10.2 a) ist deutlich die analytisch vorhergesagte Diskontinuität der Korrelationsfunktion 

der Volumenfluktuationen ˜G 11 ( ⃗ k) für alle Richtungen des Grenzübergangs k → 0 

168


a) G 11 

(r) b) G 22 

(r) c) G 33 

(r) 

0.06 

0.04 

0.02 

0 

-20 

0 

y 

20 

0.5 

0 

-20 

0 

y 

20 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-20 

0 

y 

20 

0 

x 

-20 

20 

0 

x 

-20 

20 

0 

x 

-20 

20 

Abbildung 10.1: Die Verzerrungskorrelationsfunktionen im Ortsraum für das NpT Ensemble am Beispiel 

einer Simulation eines harmonischen Dreiecksgitters mit N = 3120 Teilchen und Federkonstante 

βa 2 f = 200/ √ 3. In der unteren Zeile sind Projektionen auf die xy-Ebene der Funktionen abgebildet. Die 

Werte der Korrelationsfunktionen sind über dieselbe Skala, wie in den 3D Darstellungen in der Grauskala 

kodiert, wobei Weiß für hohe Werte steht. 

a) ~ 

G 11(k) 

b) G ~ (k) c) 

22 

G ~ (k) 

33 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.005 

0.004 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

Abbildung 10.2: Die Verzerrungskorrelationsfunktionen im Fourier Raum für das NpT Ensemble am 

Beispiel einer Simulation eines harmonischen Dreiecksgitters mit N = 3120 Teilchen und Federkonstante 

βa 2 f = 200/ √ 3. In der unteren Zeile sind Projektionen auf die xy-Ebene der Funktionen abgebildet. Die 

Werte der Korrelationsfunktionen sind über dieselbe Skala, wie in den 3D Darstellungen in der Grauskala 

kodiert, wobei Weiß für hohe Werte steht. 

169


zu erkennen. Die Grenzwertbetrachtungen in Kapitel 9.1 sagen einen Sprung um einen 

Faktor 30 bei der betrachteten Federkonstante f voraus. Wie man aus der Darstellung 

von ˜G 11 ( ⃗ k) entlang der Richtung k y = 2k x in Abbildung 10.3 a) ablesen kann, ist die 

Diskontinuität in der Simulation nicht so stark ausgeprägt. Sie springt beim Übergang 

nach ⃗ k = ⃗0 lediglich um einen Faktor 1.5 nach oben. Diese Abweichung von den Vorhersagen 

der Landau Gitterfeldtheorie weisen darauf hin, daß das ausschließlich in den 

affinen Verzerrungen formulierte Landau Funktional nicht alle Anregungen im System 

erfaßt. Wie in Kapitel 13 noch ausführlicher diskutiert, treten in den Simulationen auch 

nicht-affine, lokale Verzerrungen in einem nicht zu vernachlässigenden Maße auf. Diese 

führen zu den beobachteten Abweichungen. 

Eine gute Übereinstimmung mit den analytischen Vorhersagen findet man in Abbildung 

10.2 b) und c). Hier zeigen sich gut die erwarteten kontinuierlichen Verläufe für ⃗ k → ⃗0 

der Korrelationsfunktionen ˜G 22 ( ⃗ k) entlang der Diagonalen und der Korrelationsfunktion 

˜G 33 ( ⃗ k) entlang der Koordinatenachsen. Entlang dieser Richtungen entkoppeln die Verzerrungsfluktuationen 

und die elastischen Module a 2 (bzw. a 3 ) und Korrelationslängen 

c 2 und c ′ 2 (bzw. c 3 und c ′ 3 ) können durch das Anfitten eines verallgemeinerten Lorentzprofils 

bestimmt werden. So erhält man z.B. für das System mit N = 3120 Teilchen 

die Korrelationslängen c 2 = 34.3, c ′ 2 = −0.6, c 3 = 114.1 und c ′ 3 = −17.6. Die mittleren 

elastischen Korrelationslängen ξ el ∼ √ c i sind somit ca. 6 bzw. 11 Gitterparameter. 

Abbildung 10.3 zeigt Schnitte der Korrelationsfunktionen entlang der soeben besprochenen 

Richtungen im Fourier Raum für verschieden große simulierte Systeme. Prinzipiell 

erlaubt ein größeres System bei einem gleichen Maß der Vergröberung Λ −1 eine Beschreibung 

des Systems durch eine größere Anzahl von Gitterpunkten. Dies führt im 

Fourier Raum zu einer feineren Auflösung der diskreten, möglichen Wellenvektoren ⃗ k. 

D.h. es können Strukturen in den Korrelationsfunktionen detaillierter aufgelöst werden. 

Die Abhängigkeit der berechneten Korrelationsfunktionen ˜G jj ( ⃗ k) (j = 1, 2, 3) von der 

Systemgröße ist aber gering, wie man Abbildung 10.3 entnehmen kann. Für große Wellenvektoren 

fallen die Korrelationsfunktionen der unterschiedlich großen Systeme aufeinander. 

Lediglich für kleine Wellenvektoren erkennt man leichte Abweichungen. Die 

Diskontinuität in ˜G 11 ( ⃗ k) in Abbildung 10.3 a) wird etwas schärfer. Die Struktur von 

˜G 33 ( ⃗ k) und ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) in Abbildung 10.3 c) und d) variiert leicht, wobei ˜G33 (⃗0) und damit 

auch der elastische Modul a 3 nicht davon betroffen ist. Die Korrelationsfunktion 

˜G 2θ2θ ( ⃗ k) ist hier auch wiedergegeben. Sie erlaubt die Berechnung des Schermoduls in 

einem eingebetteten System (vergleiche Kapitel 9.4). Die periodischen Randbedingungen 

täuschen eine solche Einbettung in ein unendlich ausgedehntes Medium insoweit 

vor, daß aus dem Verlauf von ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) für ⃗ k → ⃗0 der Schermodul bestimmt werden 

kann. Da aber keine ”echte” Einbettung in ein unendlich ausgedehntes System besteht, 

geht ˜G 2θ2θ (⃗0) selbst gegen Null. ˜G2θ2θ (⃗0) in Abbildung 10.3 d) zeigt, wie empfindlich 

die Korrelationsfunktion auf eine Einbettung reagiert. Bei der Berechnung der Korrelationsfunktionen 

im NpT -Ensemble mit periodischen Randbedingungen können diese 

nur über eine quadratische Fläche berechnet werden, welche etwas kleiner als die Fläche 

der mittleren Simulationsbox, sprich des Referenzgitters ist. Berücksichtigt man dies 

nicht, so führt man Artefakte in die Auswertung ein. Je stärker jedoch die Fläche, über 

170


a) 

0.01 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

b) 

0.025 

0.02 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

~ 

G 11 

(k) 

0.005 

~ 

G 22 

(k) 

0.015 

0.01 

0.005 

c) 

0 

0.006 

-1 0 1 

k 

d) 

0 

0.025 

-1 0 1 

k 

~ 

G 33 

(k) 

0.004 

0.002 

0 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

-1 0 1 

k 

~ 

G 2θ2θ 

(k) 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

-1 0 1 

k 

Abbildung 10.3: Vergleich der in verschieden großen Systemen berechneten Korrelationsfunktionen. Es 

sind Schnitte der Korrelationsfunktionen im Fourier Raum dargestellt. a) ˜G 11( ⃗ k) entlang der Richtung 

k y = 2k x. b) ˜G 22( ⃗ k) entlang der Diagonalen. c) ˜G 11( ⃗ k) und d) ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) entlang der Koordinatenachsen. 

Die horizontal eingezeichnete, gebrochene Linie kennzeichnt die theoretisch erwarteten Werte der 

Korrelationsfunktionen für ⃗ k = ⃗0. 

die die Korrelationsfunktionen berechnet werden, von der der mittleren Simulationsbox 

abweicht, desto größer ist der Wert von ˜G 2θ2θ (⃗0), da der nicht ausgewertete Rand ein einbettendes 

Medium darstellt. Dies erklärt die sehr unterschiedlichen Werte von ˜G 2θ2θ (⃗0) 

in Abbildung 10.3 d). 

Hydrostatischer Druck 

In Simulationen mit einem äußeren Druck muß in der Herleitung der analytischen Ausdrücke 

für die Verzerrungskorrelationsfunktionen der Druck berücksichtigt werden. Das 

171


Landau Funktional der Freien Energie lautet dann im allgemeinsten Fall: 

βF = 

∫ 

d 2 x σ ij ɛ ij + 1 2 

∫ 

d 2 x 

3∑ ( 

ai e 2 i + c i (∇e i ) 2 + c ′ i(∇ 2 e i ) 2) 

Ist das System einem hydrostatischen äußeren Druck ausgesetzt, so gilt σ xy = σ yx = 0.0 

und p = − 1 2 (σ xx + σ yy ), wobei σ xx = σ yy . In diesem Fall vereinfacht sich das Funktional 

zu: 

∫ 

βF = −2p 

d 2 x e 1 + 1 2 

∫ 

d 2 x 

i=1 

3∑ ( 

ai e 2 i + c i (∇e i ) 2 + c ′ i(∇ 2 e i ) 2) 

Schreibt man nun das Funktional komplett in Abhängigkeit von den Verzerrungen e 1 

und transformiert es dann in den Fourier Raum, so erhält man: 

βF = −2p 

V 

i=1 

∑ 

ẽ 1, ⃗ k 

+ 1 ∑ 

{a 1 + k 2 c 1 + k 4 c ′ 1 + 

2V 

⃗ k ⃗ k 

3∑ 

i=2 

( 

ai + k 2 c i + k 4 c ′ ) 

i ˜Qi1 ( ⃗ k) 2 }ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ k 

Dieser Ausdruck läßt sich durch quadratisches Ergänzen wieder auf die harmonische 

Form bringen. In diesem Fall aber bezüglich einer neu eingeführten Verzerrungsvariable 

Ẽ 1 , für die gilt: 

Ẽ 1 = ẽ 1 − 

2p 

a 1 + k 2 c 1 + k 4 c ′ 1 + ∑ 3 

i=2 (a i + k 2 c i + k 4 c ′ i ) ˜Q i1 ( ⃗ k) 2 

Die analytische Form der Verzerrungskorrelationen in dieser neuen Verzerrungsvariable 

Ẽ 1 entspricht der im druckfreien Fall erhaltenen Form. Die Verzerrungsvariable Ẽ1 setzt 

sich aus der Verzerrung bezüglich des nicht deformierten Referenzgitters und einem 

druckabhängigen Anteil zusammen, welcher die permanente Verschiebung der mittleren 

Teilchenposition unter Einwirkung des äußeren Drucks in Bezug zum Referenzgitter des 

druckfreien Systems beschreibt. 

Aufgrund dieser Überlegungen ist zu erwarten, daß ein isotroper Druck die Form der 

Korrelationsfunktionen unbeeinflußt läßt, aber ihren absoluten Wert verschiebt. Die Information 

über den isotropen Druck ist durch die permanente Verschiebung der mittleren 

Teilchenposition auch in dem aus den mittleren Teilchenpositionen berechneten 

Referenzgitter enthalten. Daher kann man auch direkt die Verzerrung bezüglich dieses 

neuen Referenzgitters auswerten. Dieses Vorgehen wurde bei der Auswertung der Simulationsdaten 

gewählt. 

Um den Einfluß eines isotropen, äußeren Drucks auf die Korrelationsfunktionen zu untersuchen 

wurde ein System mit N = 3120 Teilchen bei einem hydrostatischen Druck 

von βa 2 p = − 1 2 (σ xx + σ yy ) = 20/ √ 3 simuliert. Durch einen solchen isotropen Druck 

wird die Symmetrie des Dreiecksgitters nicht gebrochen. Das Dreiecksgitter geht lediglich 

in ein Dreiecksgitter mit einer kleineren Gitterkonstante a ′ = 1.010465 über (siehe 

172


20 

βa 2 p = 0.0 

βa 2 p = 20/ 3 

y 

0 

-20 

-20 0 20 

x 

Abbildung 10.4: Vergleich der Referenzgitter einer Simulation eines harmonischen Dreiecksgitters mit 

fester Federkonstante βa 2 f = 200/ √ 3 bei einem hydostatischen Druck von βa 2 p = 0.0 (schwarze Punkte) 

und einer Simulation bei βa 2 p = 20/ √ 3 (rote Punkte). Die Gitterkonstante a = (2/ √ 3) 1/2 schrumpft 

unter Einfluß des Drucks auf a ′ = 1.010465. 

Abbildung 10.4). In Abbildung 10.5 sind die bezüglich dieses neuen Referenzgitters berechneten 

Verzerrungskorrelationsfunktionen im Fourier Raum dargestellt. Wie erwartet, 

beeinflußt ein isotrop auf das System einwirkender äußerer Druck die Symmetrien 

der Korrelationsfunktionen nicht. Zum direkten Vergleich mit den Simulationen ohne 

äußeren Druck sind in Abbildung 10.6 Schnitte der Korrelationsfunktionen im Fourier 

Raum für beide Simulationen abgebildet. Diese Darstellung verdeutlicht, daß die Form 

der Korrelationen durch den isotropen Druck unbeeinflußt bleibt. Der absolute Wert der 

Korrelationsfunktionen verschiebt sich. Diese Verschiebung entspricht einerseits einer 

Reskalierung der elastischen Module, da diese nun auf das neue Referenzgitter mit einer 

kleineren Gitterkonstante bezogen sind, andererseits werden die deviatorischen und die 

Scherfluktuationen durch den äußeren Druck eingeschränkt. Aus der Korrelationsfunktion 

˜G 22 ( ⃗ k) erhält man daher a 2 = µ − p und aus ˜G 33 ( ⃗ k) erhält man a 3 = 4(µ − p). 

Daß nur der Wert des Schermoduls durch den isotropen Druck, nicht aber der Wert des 

Kompressionsmoduls verschoben wird, erkennt man, wenn man sich in Erinnerung ruft, 

daß die Fluktuationen der Verzerrungen die Elemente des Nachgiebigkeitstensors S ijkl 

bestimmen. Dieser ist das Inverse des Tensors der elastischen Steifigkeiten B ijkl , welcher 

ausschließlich in Systemen ohne äußere Spannungen mit dem Tensor der elastischen 

Konstanten C ijkl zusammenfällt (siehe Kapitel 6 Gleichung 6.1). Aus den ermittelten 

Nachgiebigkeiten S ijkl , berechnen wir daher die elastischen Steifigkeiten B ijkl , für die im 

Falle eines isotropen, äußeren Drucks gilt: 

1 

2 (B xxxx + B xxyy ) = 1 2 (C xxxx + C xxyy ) − 1 (p − p) = K 

2 

1 

2 (B xxxx − B xxyy ) = 1 2 (C xxxx − C xxyy ) − 1 (p + p) = µ − p 

2 

B xyxy = C xyxy − p = µ − p 

173


a) ~ 

G 11(k) 

b) G ~ (k) c) 

22 

G ~ (k) 

33 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.005 

0.004 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

Abbildung 10.5: Korrelationsfunktionen der Verzerrungen im Dreiecksgitter bei einem hysdrostatischem 

Druck von βa 2 p = 20/ √ 3 im Fourier Raum. Die Funktionen wurden aus einer Simulation von 

N = 3120 Teilchen im NpT Ensemble mit periodischen Randbedingungen berechnet. In der unteren Zeile 

sind Projektionen auf die xy-Ebene der Funktionen abgebildet. Die Werte der Korrelationsfunktionen 

sind über dieselbe Skala, wie in den 3D Darstellungen in der Grauskala kodiert, wobei Weiß für hohe 

Werte steht. 

In Tabelle 10.2 sind die aus der Analyse der Korrelationsfunktionen erhaltenen elastischen 

Module dargestellt. Will man die so erhaltenen Werte mit den theoretische 

erwarteten Werten vergleichen, so muß man beachten, daß die extrahierten Werte in 

Kompressionsmodul Schermodul Schermodul 

µ = a 2 + p 4µ = a 3 + 4p 

Theorie 100 /βa 2 = 50 /βa 2 = 200 /βa 2 

aus ˜G( ⃗ k = ⃗0) 88.8 /βa ′2 a 2 = 36.0 /βa ′2 a 3 = 137.6 /βa ′2 

reskalierte Werte 100.4 /βa 2 a 2 = 40.7 /βa 2 a 3 = 155.6 /βa 2 

→ µ = 52.2 /βa 2 → 4µ = 201.8 /βa 2 

Tabelle 10.2: Die aus ˜G jj( ⃗ k = ⃗0) bestimmten elastischen Module im Vergleich zu den theoretisch 

erwarteten Werten für ein harmonisches Dreiecksgitter mit einer Federkonstante von βa 2 f = 200/ √ 3 

simuliert bei einem hydrostatischen äußeren Druck von βa 2 p = 20/ √ 3. 

174


a) 0.015 

b) 0.03 

~ 

G 11 

(k) 

0 

-1 0 1 

0 

k 

c) 0.008 

d) 0.03 

~ 

G 33 

(k) 

0.01 

0.005 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

βa 2 p = 0.0 

βa 2 p = 20/ 3 

βa 2 p = 0.0 

βa 2 p = 20/ 3 

-1 0 1 

k 

G 

~ (k) 

~ 

G (k) 

2θ2θ 

22 

0.02 

0.01 

0.02 

0.01 

0 

βa 2 p = 0.0 

βa 2 p = 20/ 3 

-1 0 1 

k 

βa 2 p = 0.0 

βa 2 p = 20/ 3 

-1 0 1 

k 

Abbildung 10.6: Schnitte der Korrelationsfunktionen im Fourier Raum zum Vergleich der Ergebnisse 

der Simulation ohne Druck (in Schwarz) und mit Druck (in Rot). a) ˜G 11( ⃗ k) entlang der Richtung k y = 

2k x. b) ˜G 22( ⃗ k) entlang der Diagonalen. c) ˜G 11( ⃗ k) und d) ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) entlang der Koordinatenachsen. 

Einheiten von βa ′2 sind, wobei a ′ = 1.010465 die Gitterkonstante des Referenzgitters in 

der Simulation mit äußerem Druck ist. Für den Vergleich müssen die Werte daher auf die 

ursprüngliche Gitterkonstante a = (2/ √ 3) 1/2 bezogen werden. Die so reskalierten Werte 

sind in der dritten Spalte der Tabelle 10.2 angegeben. Sie stimmen mit den theoretisch 

erwarteten Werten bis auf 4.4% überein. 

10.2. Analyse im NV T Ensemble 

Im NV T Ensemble wurden für Systemgrößen von N = 3120, 4736 und 5822 mit dem 

Metropolis Monte Carlo Algorithmus [34] und periodischen Randbedingungen simuliert. 

Wie in den Simulationen im NpT Ensemble wurden die Simulationen mit einer Federkonstante 

von βa 2 f = 200/ √ 3 durchgeführt. Die Gitterkonstante wurde auf a = (2/ √ 3) 1/2 

gesetzt. Dies entspricht im Dreiecksgitter einer dimensionslosen Dichte ϱ ∗ = 1.0. Für das 

harmonisch wechselwirkende System können, da das Potential zweifach differenzierbar 

ist, zur Berechnung der elastischen Konstanten die von Squire et al. [89] (siehe Kapi- 

175


Kompressionsmodul a 1 Schermodul a 2 Schermodul a 3 

Theorie 100 /βa 2 50 /βa 2 200 /βa 2 

nach Squire et al. [89] 97.4 /βa 2 48.3 /βa 2 194.8 /βa 2 

aus Fits von ˜G( ⃗ k ≠ ⃗0) - 48.1 /βa 2 198.2 /βa 2 

aus Fits von P (e j ) 98.44 /βa 2 50.36 /βa 2 - 

aus j = 2θ und j = 1 aus j = 2θ 

Tabelle 10.3: Vergleich der aus der Simulation eines Systems mit N = 3120 Teilchen im NV T Ensemble 

mit periodischen Randbedingungen durch verschiedene Methoden ermittelten elastischen Konstanten im 

Vergleich zu den theoretisch erwarteten Werten für ein harmonisches Dreiecksgitter mit einer Federkonstante 

von βa 2 f = 200/ √ 3. 

tel 7) hergeleiteten Fluktuationsformeln verwendet werden. Die mittels dieser Methode 

aus den Simulationsdaten bestimmten elastischen Module sind zum Vergleich mit den 

theoretisch erwarteten Werten und den aus der Analyse der Verzerrungskorrelationsfunktionen 

erhaltenen Werten in Tabelle 10.3 aufgelistet. Die Analyse gemäß Squire et al. 

[89] ermöglicht auch die direkte Berechnung des Spannungstensors und damit des Drucks 

in der Simulation. Dieser ist hydrostatisch, d.h. die Nebendiagonalelemente des Spannungstensors 

sind Null: σ xy = σ yx = 0.0 . Aus der Spur des Spannungstensors berechnet 

sich der Druck zu βa 2 p = − 1 2 (σ xx + σ yy ) = 0.1. Die simulierte Situation entspricht daher 

in etwa der in der analytischen Herleitung angenommenen Situation eines Systems ohne 

äußeren Druck. Wie bereits angesprochen wird in den Simulationen im NV T Ensemble 

ein undeformierter Zustand des Dreiecksgitters simuliert, aufgrund dessen das Integral 

über das gesamte Simulationsvolumen über die Fluktuationen der Verzerrungen gegen 

Null geht. Dies hat zur Folge, daß in diesem statistischen Ensemble aus den Werten der 

Korrelationsfunktionen bei ⃗ k = ⃗0 nicht mehr die elastischen Konstanten bestimmt werden 

können. Laut der in Kapitel 8 vorgestellten statischen Summenregel gilt in diesem 

Ensemble für die Elemente des Nachgiebigkeitstensors: 

∫ 

S jj = lim Sjj ˜ ( ⃗ k) = βG ˜ jj ( ⃗ k)| ⃗k= ⃗0 = β d⃗r G jj (⃗r) → 0 

⃗k→0 

Aufgrund dieser Überlegungen erwartet man, daß die im NV T Ensemble berechneten 

Korrelationsfunktionen im Fourier Raum für kleine Wellenvektoren ⃗ k von den im NpT 

Ensemble berechneten abweichen. Die Bestimmung der elastischen Konstanten aus Fits 

im Bereich ⃗ k ≠ ⃗0 ist dennoch für die Korrelationsfunktionen möglich, die entlang bestimmter 

Richtungen im Fourier Raum laut der analytischen Herleitung einen kontinuierlichen 

Verlauf für ⃗ k → ⃗0 aufweisen. Dies ist für ˜G 11 ( ⃗ k) nicht der Fall, so daß der 

Kompressionsmodul im NV T Ensemble nicht direkt aus der zugehörigen Korrelationsfunktion 

bestimmt werden kann. 

176


Abbildung 10.7 zeigt eine Überlagerung der um die Bewegung des Schwerpunkts korrigierten 

Teilchenkonfigurationen einer Simulation mit N = 3120 Teilchen. Aus dieser 

Überlagerung werden die mittleren Teilchenpositionen berechnet und als Referenzgitter 

zur Berechnung der Verschiebungsfelder verwendet. Die aus den Simulationsdaten berechneten 

Verzerrungskorrelationsfunktionen im Ortsraum sind in Abbildung 10.8 wiedergegeben. 

Mittels einer numerischen Fourier Transformation erhält man die in Abbildung 

10.9 abgebildeten Funktionen im Fourier Raum. Deutlich zu erkennen ist, daß ihr 

Wert, wie erwartet, für ⃗ k → ⃗0 diskontinuierlich gegen Null geht. Ansonsten stimmen 

die im NV T Ensemble bestimmten Korrelationsfunktionen mit den im NpT Ensemble 

bestimmten überein. 

Der diskontinuierliche Übergang nach Null im langwelligen Grenzfall wird besonders 

deutlich, wenn man wie in Abbildung 10.10 Schnitte der Korrelationsfunktionen im Fourier 

Raum betrachtet. In der Abbildung sind diese für die simulierten Systemgrößen 

vergleichend dargestellt. Für große Wellenvektoren fallen die Korrelationsfunktionen der 

verschiedenen Systeme aufeinander. Aufgrund der feineren Auflösung von Strukturen im 

Fourier Raum für größere Systeme weichen die Korrelationsfunktionen für kleine Wellenvektoren 

für die verschiedenen Systemgrößen leicht voneinander ab. Die für ⃗ k = ⃗0 

im NV T Ensemble gegen Null gehenden Werte fallen jedoch unabhängig von der Systemgröße 

aufeinander. Auch in diesem statistischen Ensemble kann aufgrund der periodischen 

Randbedingungen aus dem Verlauf von ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) für ⃗ k → ⃗0 der Schermodul 

bestimmt werden. Dies ist in Abbildung 10.10 d) dargestellt. Wie bereits ausführlich in 

Abbildung 10.7: Überlagerung der um die Bewegung des Schwerpunkts korrigierten Teilchenkonfigurationen 

einer Simulation mit N = 3120 Teilchen und Federkonstante βa 2 f = 200/ √ 3 im NV T Ensemble 

mit periodischen Randbedingungen. 

177


a) G 11 

(r) b) G 22 

(r) c) G 33 

(r) 

0.06 

0.04 

0.02 

0 

-20 

0 

y 

20 

0.5 

0 

-20 

0 

y 

20 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-20 

0 

y 

20 

0 

x 

-20 

20 

0 

x 

-20 

20 

0 

x 

-20 

20 

Abbildung 10.8: Die Verzerrungskorrelationsfunktionen im Ortsraum für das NV T Ensemble mit 

periodischen Randbedingungen am Beispiel einer Simulation eines harmonischen Dreiecksgitters mit 

N = 3120 Teilchen und Federkonstante βa 2 f = 200/ √ 3. In der unteren Zeile sind Projektionen auf die 

xy-Ebene der Funktionen abgebildet. Die Werte der Korrelationsfunktionen sind über dieselbe Skala, 

wie in den 3D Darstellungen in der Grauskala kodiert, wobei Weiß für hohe Werte steht. 

a) ~ 

G 11(k) 

b) G ~ (k) c) 

22 

G ~ (k) 

33 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.005 

0.004 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

Abbildung 10.9: Die Verzerrungskorrelationsfunktionen im Fourier Raum für das NV T Ensemble 

mit periodischen Randbedingungen am Beispiel einer Simulation eines harmonischen Dreiecksgitters mit 

N = 3120 Teilchen und Federkonstante βa 2 f = 200/ √ 3. In der unteren Zeile sind Projektionen auf die 

xy-Ebene der Funktionen abgebildet. Die Werte der Korrelationsfunktionen sind über dieselbe Skala, 


178


a) 

0.01 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

b) 

0.02 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

G 11 

(k) 

~ 

c) 

G 

~ 

33 

(k) 

0.005 

0 

0.004 

0.002 

0 

-1 0 1 

k 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

-1 0 1 

k 

~ G (k) 

~ 

G (k) 

2θ2θ 

22 

d) 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-1 0 1 

k 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

-1 0 1 

k 

Abbildung 10.10: Vergleich der in verschieden großen Systemen berechneten Korrelationsfunktionen. 

Es sind Schnitte der Korrelationsfunktionen im Fourier Raum dargestellt. a) ˜G 11( ⃗ k) entlang der Richtung 


Die horizontal eingezeichnete, gebrochene Linie kennzeichnt die theoretisch erwarteten Werte der 

Korrelationsfunktionen für ⃗ k = ⃗0. 

Kapitel 9.1 dargelegt, kann man die elastischen Konstanten des Systems durch Fitten der 

Korrelationsfunktion ˜G 22 ( ⃗ k ≠ ⃗0) entlang der Diagonalen und Fitten der Korrelationsfunktion 

˜G 33 ( ⃗ k ≠ ⃗0) entlang der Koordinatenachsen bestimmen. Die so erhaltenen Werte 

für den Schermodul a 2 bzw. a 3 sind in der Tabelle 10.3 für die Systemgröße N = 3120 

angegeben. Sie liegen innerhalb von 3.8% von den theoretischen Werten und weisen damit 

die gleiche Genauigkeit wie die mit der Fluktuationsmethode von Squire et al. [89] 

berechneten Werte auf. Die aus den Fits bestimmten Korrelationslängen sind: c 2 = 37.4, 

c ′ 2 = −1.3, c 3 = 118.2, c ′ 3 = −18.8 D.h. die mittlere, elastische Korrelationslänge liegt 

zwischen 6 und 11 Gitterkonstanten. Die aus den Simulationen im NV T erhaltenen Resultate 

zeigen eine sehr gute Übereinstimmung mit den aus den Simulationen im NpT 

Ensemble erhaltenen. 

Ein zusätzlicher Fit z.B. entlang der Richtung k y = 2k x von ˜G 22 ( ⃗ k ≠ ⃗0) ermöglicht die 

179


a) 70 

b) 

j = 1 5000 

60 

j = 2 

j = 3 

50 

4000 

j = 2θ 

P(e j 

) 

40 

30 

20 

10 

0 

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 

e j 

P(e j 

) 

3000 

2000 

1000 

j = 1 

j = 2 

j = 3 

j = 2θ 

-0.004 

0 

-0.002 0 0.002 0.004 

e j 

Abbildung 10.11: a) Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Verzerrungsfluktuationen in einem Subsystem, 

das ein Sechstel der linearen Ausdehnung des gesamten Simulationsvolumens hat. Die durchgezogenen 

Linien sind an die Histogramme gefittete Gaußverteilungen. b) Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

der Verzerrungsfluktuationen im gesamten Simulationsvolumen. 

indirekte Bestimmung der Fitparameter c 1 und c ′ 1 . Die Berechnung ist ausführlich in 

Kapitel 9.1 dargelegt und liefert für die Simulation die folgenden Zahlenwerte: c 1 = 54.3 

und c ′ 1 = −86.1. D.h. die Korrelationen in den Fluktuationen der Volumenverzerrungen 

fallen über ca. 7 Gitterkonstanten ab. Die aus dieser Simulation erhaltenen Parameter 

wurden für die graphische Darstellung der analytischen Vorhersagen in Kapitel 9.1 

verwendet. 

Auch aus der Betrachtung der Wahrscheinlichkeitsverteilung P (e j ) der Fluktuationen 

der mittleren Verzerrungen in einem Subvolumen der linearen Ausdehnung L B lassen 

sich die elastischen Module bestimmen. Eine solche Analyse wurde erstmals von Zahn et 

al. [77] zur Bestimmung der elastischen Module eines kolloidalen Kristalls durchgeführt. 

Wie in Kapitel 9.4 dargelegt muß hierbei die Einbettung des untersuchten Systems in 

ein äußeres elastische Medium berücksichtigt werden. Die elastischen Module lassen sich 

dann aus den Standardabweichungen der Verteilung P (e j ) berechnen. In einem System 

mit N = 3120 Teilchen wurden die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der verschiedenen 

mittleren Verzerrungsfluktuationen e j in einem Subsystem, welches ein Sechstel der linearen 

Ausdehnung des gesamten Simulationsvolumens hat, aufgenommen. Diese wurden 

mittels Gaußverteilungen gefittet und so die Standardabweichungen der Verteilungen 

ermittelt. In Abbildung 10.11 a) sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die jeweiligen 

Gaußkurven dargestellt. Bei einer Mittelung über das gesamte Simulationsvolumen 

schnüren sich im Gegensatz dazu die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der mittleren Verzerrungen 

zu Deltafunktionen bei Null ein (siehe Abbildung 10.11 b)), da das Integral 

über die Verzerrungsfluktuationen über das gesamte Simulationsvolumen im NV T Ensemble 

gegen Null geht. D.h. für L B → L ist die Berechnung der elastischen Module 

aus der Standardabweichung der Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht mehr möglich. Die 

elastischen Module des endlichen Systems der Größe L B = L/6 sind in Tabelle 10.3 

180


zum Vergleich mit den aus den anderen Methoden bestimmten Werten aufgelistet. Sie 

weichen maximal 1.6% von den theoretisch erwarteten Werten ab. 

10.3. Analyse im NV T Ensemble mit offenen 

Randbedingungen 

Zusätzlich zu den Simulationen im NV T Ensemble mit periodischen Randbedingungen 

wurden auch Simulationen in diesem Ensemble mit offenen Randbedingungen für 

N = 3120, 4736 und 5822 Teilchen durchgeführt. Wird ohne periodische Randbedingungen 

simuliert, so ist streng genommen das Simulationsvolumen nicht mehr konstant. Dies 

könnte man nur durch das Einfügen von Wänden erhalten. Da aber Wände selbst starken 

Einfluß auf die Struktur im System haben können (siehe z.B. Ricci et al. [106, 107]), 

wurde davon abgesehen Wände in das System einzufügen. In Abbildung 10.12 ist die 

Überlagerung von Teilchenkonfigurationen, welche gegen Rotationen des Gesamtsystems 

und Translationen des Schwerpunkts korrigiert wurden, dargestellt. Der direkte Vergleich 

mit der Simulation mit periodischen Randbedingungen (Abbildung 10.7) zeigt, daß die 

Ordnung an den Rändern und Ecken des Systems stark aufgeweicht ist. Dies ist zu erwarten, 

da Randteilchen durch weniger Verbindungen mit Nachbarteilchen in ihrer Position 

im idealen Gitter stabilisiert werden. Da aufgrund der Mittelung über verschiedene Positionen 

des Ursprungs, bezüglich dessen die Korrelationsfunktionen berechnet werden 

Abbildung 10.12: Überlagerung der um die Bewegung des Schwerpunkts korrigierten Teilchenkonfigurationen 

einer Simulation mit N = 5822 Teilchen im NV T Ensemble bei offenen Randbedingungen. Der 

Einfluß der offenen Oberfläche auf die Ordnung am Rand des Systems ist deutlich sichtbar. 

181


a) G 11 

(r) b) G 22 

(r) c) G 33 

(r) 

0.4 

0.2 

0 

-20 

0 

x 

20 

-20 

0 

20 

y 

0.5 

0 

-20 

0 

x 

20 

-20 

0 

20 

y 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-20 

0 

x 

20 

-20 

0 

20 

y 

Abbildung 10.13: Die Verzerrungskorrelationsfunktionen im Ortsraum für ein System im NV T Ensemble 

mit offenen Randbedingungen am Beispiel einer Simulation eines harmonischen Dreiecksgitters 

mit N = 5822 Teilchen und Federkonstante βa 2 f = 200/ √ 3. Es wurde nicht über verschiedene Positionierungen 

des Ursprungs der Korrelationsfunktionen gemittelt. In der unteren Zeile sind Projektionen 

auf die xy-Ebene der Funktionen abgebildet. Die Werte der Korrelationsfunktionen sind über dieselbe 

Skala, wie in den 3D Darstellungen in der Grauskala kodiert, wobei Weiß für hohe Werte steht. 

(siehe Kapitel 9.7), diese nur über ein Viertel des gesamten Simulationsvolumens berechnet 

werden können, werden im Folgenden die Ergebnisse an einem möglichst großen 

System (N = 5822) diskutiert. Dies hat auch den Vorteil, daß das große System weniger 

stark durch Randeffekte beeinflußt ist. Diese Randeffekte verhindern dennoch eine Analyse 

ohne Mittelung, d.h. die Berechnung der Korrelationsfunktionen über das gesamte 

Volumen mit dem Ursprung im Zentrum der Simulationsbox. Das Resultat einer solchen 

Analyse ohne Mittelung ist im Ortsraum in Abbildung 10.13 dargestellt. Die freie 

Oberfläche führt zu starken Schwankungen in Bereichen, in denen die Korrelationsfunktionen 

in den Simulationen mit periodischen Randbedingungen bereits strukturlos sind. 

Die numerische Fourier Transformation dieser Schwankungen liefert stark verrauschte 

Korrelationsfunktionen im Fourier Raum, die nicht sinnvoll auszuwerten sind. 

Eine Auswertung der durch die in Kapitel 9.7 beschriebene Mittelung berechneten Korrelationsfunktionen 

hingegen ermöglicht auch in diesem Fall die Bestimmung der elastischen 

Konstanten [96]. In Abbildung 10.14 sind die so bestimmten Verzerrungskorrelationsfunktionen 

im Ortsraum dargestellt. Abbildung 10.15 zeigt die daraus erhaltenen 

Korrelationsfunktionen im Fourier Raum. Der Vergleich mit den in den Simulationen 

mit periodischen Randbedingungen berechneten Korrelationsfunktionen zeigt, daß die 

Korrelationsfunktionen des NV T Ensembles mit periodischen Randbedingungen nähe- 

182


a) G 11 

(r) b) G 22 

(r) c) G 33 

(r) 

0.06 

0.04 

0.02 

0 

-10 

0 

x 

10 

-10 

0 

10 

y 

0.5 

0 

-10 

0 

x 

10 

-10 

0 

10 

y 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-10 

0 

x 

10 

-10 

0 

10 

y 

Abbildung 10.14: Die Verzerrungskorrelationsfunktionen im Ortsraum für ein System im NV T Ensemble 

mit offenen Randbedingungen am Beispiel einer Simulation eines harmonischen Dreiecksgitters 

mit N = 5822 Teilchen und Federkonstante βa 2 f = 200/ √ 3. In der unteren Zeile sind Projektionen auf 

die xy-Ebene der Funktionen abgebildet. Die Werte der Korrelationsfunktionen sind über dieselbe Skala, 


a) ~ 

G 11(k) 

b) G ~ (k) c) 

22 

G ~ (k) 

33 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.005 

0.004 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

Abbildung 10.15: Die Verzerrungskorrelationsfunktionen im Fourier Raum für ein System im NV T 

Ensemble mit offenen Randbedingungen am Beispiel einer Simulation eines harmonischen Dreiecksgitters 

mit N = 5822 Teilchen und Federkonstante βa 2 f = 200/ √ 3. In der unteren Zeile sind Projektionen auf 

die xy-Ebene der Funktionen abgebildet. Die Werte der Korrelationsfunktionen sind über dieselbe Skala, 


183


rungsweise reproduziert werden. Im Unterschied zu diesen erhält man nun aber wieder 

für ⃗ k = ⃗0 die elastischen Konstanten des Systems. Aus den Werten der Korrelationsfunktionen 

bei ⃗ k = ⃗0 liest man die elastischen Module a 1 = 108.2 , a 2 = 47.1 und 

a 3 = 193.8 ab. Die aus Fits von ˜G 22 und ˜G 33 bestimmten Korrelationslängen sind: 

c 2 = 27.8, c ′ 2 = 0.8 und c 3 = 63.2, c ′ 3 = 3.4. Man erkennt, daß die Bestimmung der 

elastischen Module in diesem System möglich, aber mit einem größeren Fehler behaftet 

ist (ca. 8% Abweichung von den theoretisch erwarteten Werten). Des weiteren haben im 

System mit offenen Randbedingungen und daher einer freien Oberfläche die Korrelationen 

in den Fluktuationen der Verzerrungen eine kürzere Reichweite. Sie fallen über nur 

ca. 5−8 Gitterkonstanten ab. In diesen Simulationen hat die Systemgröße nun durchaus 

Einfluß auf die Korrelationsfunktionen, da in kleinen Systemen die Oberflächeneffekte 

stärker sind. In den Schnitten der Korrelationsfunktionen im Fourier Raum in Abbildung 

a) 

0.01 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

b) 

0.02 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

G 11 

(k) 

~ ~ 

c) 

G 33 

(k) 

0.005 

0 

0.004 

0.002 

0 

-1 0 1 

k 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

-1 0 1 

k 

G 22 

(k) 

~ 

d) 

G 2θ2θ 

(k) 

~ 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

0.025 

0.02 

0.015 

0.01 

-1 0 1 

k 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

-1 0 1 

k 

Abbildung 10.16: Vergleich der in verschieden großen Systemen berechneten Korrelationsfunktionen. 

Es sind Schnitte der Korrelationsfunktionen im Fourier Raum dargestellt. a) ˜G 11( ⃗ k) entlang der Richtung 


Durchgezogene Linien sind Fits mit einem verallgemeinerten Lorentzprofil. Die horizontal eingezeichnete, 

gebrochene Linie kennzeichnt die theoretisch erwarteten Werte der Korrelationsfunktionen für ⃗ k = ⃗0. 

184


a) 

0.01 

βa 2 f = 200/√3 

b) 

0.025 

βa 2 f = 200/√3 

βa 2 f = 1200/√3 

βa 2 f = 2000/√3 

0.02 

βa 2 f = 1200/√3 

βa 2 f = 2000/√3 

G 11 

(k) 

~ 

c) 

G 33 

(k) 

~ 

0.005 

0 

0.006 

0.004 

0.002 

-1 0 1 

k 

βa 2 f = 200/√3 

βa 2 f = 1200/√3 

βa 2 f = 2000/√3 

G 22 

(k) 

~ ~ 

d) 

G 2θ2θ 

(k) 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

0.03 

0.02 

0.01 

-1 0 1 

k 

βa 2 f = 200/√3 

βa 2 f = 1200/√3 

βa 2 f = 2000/√3 

0 

-1 0 1 

k 

0 

-1 0 1 

k 

Abbildung 10.17: Vergleich der Korrelationsfunktionen von Systemen mit unterschiedlicher Federkonstante 

f. Es sind Schnitte der Korrelationsfunktionen im Fourier Raum dargestellt. a) ˜G 11( ⃗ k) entlang 

der Richtung k y = 2k x. b) ˜G 22( ⃗ k) entlang der Diagonalen. c) ˜G 11( ⃗ k) und d) ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) entlang der Koordinatenachsen. 

Durchgezogene Linien sind Fits mit einem verallgemeinerten Lorentzprofil. 

10.16 erkennt man, daß das größte System mit N = 5822 Teilchen den theoretisch erwarteten 

Werten am nächsten kommt. Daß die Korrelationsfunktionen in Abbildung 10.16 

jedoch keinen systematischen Verlauf mit der Systemgröße zeigen, liegt daran, daß die 

Fläche, über die die Korrelationsfunktionen berechnet werden, etwas kleiner als ein Viertel 

der Fläche des Referenzgitters gewählt werden muß, um das Einführen zusätzlicher 

Artefakte zu vermeiden. Je näher die ausgewertete Fläche einem Viertel der Fläche des 

Referenzgitters kommt, desto besser sind die berechneten Ergebnisse. 

Die Oberflächeneffekte werden umso geringer, je größer die Federkonstante des simulierten 

Systems ist. Daher erkennt man in Abbildung 10.17, in der Schnitte der Korrelationsfunktionen 

im Fourier Raum für Simulationen mit verschieden starken Federkonstanten 

f zum Vergleich für eine System mit N = 5822 Teilchen abgebildet sind, daß die angepaßten 

verallgemeinerten Lorentzprofile umso genauer sind, je größer die Federkonstante 

ist. 

185


60 

j = 1 

j = 2 

j = 3 

j = 2θ 

P(e j 

) 

40 

20 

0 

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 

e j 

Abbildung 10.18: Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Verzerrungsfluktuationen in einem Subsystem, 

das ungefähr ein Fünftel der linearen Ausdehnung des gesamten Simulationsvolumens hat und im Zentrum 

der Simulationsbox positioniert ist. Die durchgezogenen Linien sind an die Histogramme gefittete 

Gaußverteilungen. 

Auch für die Simulationen mit offenen Randbedingungen wurden die Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

der mittleren Verzerrungsfluktuationen P (e j ) ausgewertet. Die analysierte 

Subbox muß hierbei jedoch im Zentrum der Simulationsbox positioniert werden. In 

Abbildung 10.18 sind die so berechneten Wahrscheinlichkeitsverteilungen wiedergegeben. 

Die lineare Ausdehnung der Subbox ist L B ≈ L/5. Auch in den Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

machen sich die offenen Ränder bemerkbar. Der Datensatz ist viel stärker 

verrauscht, als in den Simulationen mit periodischen Randbedingungen, was zum Teil 

von einer geringeren Statistik herrührt, da nur die zentral positionierte Subbox analysiert 

wird. Die aus den Standardabweichungen berechneten elastischen Module des endlichen 

Systems weisen daher eine größere Abweichung von ca. 7% von den theoretisch erwarteten 

Werten auf: βa 2 a 1 = βa 2 (K +µ) = 142.8 und βa 2 a 2θ = βa 2 µ = 53.6. Dies entspricht 

der Genauigkeit, die auch in der Analyse der Korrelationsfunktionen in diesem System 

erreicht werden konnte. 

186

KAPITEL 11 

’Finite size’ Effekte 

Simulationen physikalischer Systeme sind immer Simulationen endlicher Systeme. Die 

aus Simulationen erhalten Ergebnisse sind zum einen mit numerischen Fehlern, aber 

auch je nach Simulation/Simulationstechnik mit systematischen Fehlern behaftet. Eine 

solche systematische Fehlerquelle liegt in der Endlichkeit des simulierten Systems. Man 

möchte aufgrund der Simulationen mit möglichst geringem numerischen Aufwand, Aussagen 

über das betrachtete System im thermodynamischen Limes machen können. Die in 

endlichen Simulationsvolumina erhaltenen Größen, weichen jedoch je nach der gegebenen 

Situation stärker oder schwächer von diesen Vorhersagen aufgrund der Endlichkeit des 

Simulationsvolumens ab. Diese Abweichungen sind die sogenannten ’finite size’ Effekte. 

Im allgemeinen unterscheidet man zwischen expliziten und impliziten Effekten. 

explizite Effekte: 

Die Wahl des Ensembles bestimmt die beobachteten größenabhängigen Effekte 

(siehe z.B. [108, 109]). So werden z.B. durch die Festlegung der Teilchenzahl im 

kanonischen oder auch im Mikrokanonischen Ensemble Dichtefluktuationen unterdrückt. 

implizite Effekte: 

Die Wahl der Randbedingungen bestimmt die beobachteten, größenabhängigen Effekte 

(siehe z.B. [110]). Bei der Wahl von periodischen Randbedingungen wird die 

Orientierungssymmetrie gebrochen. Das hat zwar den Vorteil, daß Oberflächeneffekte 

nicht mitsimuliert werden, zugleich werden aber auch zusätzliche Korrelationen 

in die Systeme eingeführt. 

Das genaue Ausmaß und die theoretische Modellierung solcher ’finite size’ Effekte wurde 

detailliert für Fluide von Lebowitz und Percus [111] für Systeme mit kurzreichweitigen 

187


S jj 

(L B 

) 

0.03 

0.025 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

j = 1; N = 5822 

j = 2; N = 5822 

j = 3; N = 5822 

j = 2θ; N = 5822 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

L B 

/L 

Abbildung 11.1: Systemgrößenabhängige Effekte in der Bestimmung der Nachgiebigkeiten S (L B) 

ii im 

NpT Ensemble mit periodischen Randbedingungen. Die gebrochenen Linien dienen zur Orientierung, 

wohingegen die durchgezogenen Linien Fits sind (siehe Text). 

Potentialen beschrieben. Pratt und Haan [112] gelang es implizite ’finite size’ Effekte 

in Systemen mit periodischen Randbedingungen theoretisch zu beschreiben, indem sie 

das echte Teilchen und seine Bildteilchen als Supermolekül interpretierten und so die 

Methoden der Analyse von molekularen Fluiden direkt auf Systeme mit periodischen 

Randbedingungen anwenden konnten. Interessant ist auch der detaillierte Vergleich von 

’finite size’ Effekten und deren Ursprung von Roman, White und Velasco [113]. 

In den hier vorgelegten Studien der Verzerrungskorrelationsfunktionen werden die Fluktuationen 

der Verzerrungsvariablen ausgewertet. Auch diese werden durch die Wahl 

des Ensembles und die Wahl der Randbedingungen beeinflußt. Für die Betrachtung 

des Skalierungsverhaltens wird Gebrauch von der in Kapitel 8 vorgestellten statischen 

Summenregel gemacht. Die Verzerrungskorrelationsfunktionen im Ortsraum werden über 

Subboxen der linearen Ausdehnung L B integriert. Aus der Integration erhält man die 

Nachgiebigkeiten, d.h. das Inverse des Elastizitätstensors im spannungsfreien Zustand, 

für die jeweilige Systemgröße L B . In den Abbildungen 11.1, 11.2 und 11.3 sind für drei 

verschiedene Situationen der Simulation die Nachgiebigkeiten S (L B) 

ii 

(i = 1, 2, 3, 2θ) als 

Funktion der Subboxgröße zur Größe des gesamten Simulationsvolumens L aufgetragen. 

Abbildung 11.1 zeigt die Ergebnisse einer Auswertung einer Simulation im NpT 

Ensemble mit periodischen Randbedingungen, Abbildung 11.2 die einer Simulation im 

NV T Ensemble mit periodischen Randbedingungen und Abbildung 11.3 die Resultate 

der Auswertung einer Simulation im NV T Ensemble mit offenen Randbedingungen. 

Man erkennt eine starke Abhängigkeit der Größen von der Wahl des Ensembles und der 

188


Wahl der Randbedingungen. 

Betrachten wir zunächst das NpT -Ensemble mit periodischen Randbedingungen. In diesen 

Simulationen wird der Druck und somit der Spannungszustand im System konstant 

vorgegeben. Die Integration der Fluktuationen über das gesamte Simulationsvolumen 

gibt die Fluktuationen der Verzerrungen des Gesamtsystems an. Dies entspricht der 

Auswertung der Fluktuationen der Form der Simulationsbox, d.h. der Transformationsmatrix 

h nach Parinello und Rahman [101]. Für L B /L = 1 kann man daher direkt das 

Inverse der elastischen Konstanten aus Abbildung 11.1 ablesen: 

S (L) 

11 = 0.01025 → a 1 = 97.5 

S (L) 

22 = 0.02050 → a 2 = 48.7 

S (L) 

33 = 0.00512 → a 3 = 195.2 

Für L B /L ≠ 1 ist das ausgewertete Subvolumen immer in ein umgebendes Material 

eingebettet. Aus der Herleitung der Zusammenhänge für ein eingebettetes System in 

Kapitel 9.4 erwartet man: 


S (L B) 

2θ2θ 

= V B 

k B T 〈(2θ)2 〉 = 

S (L B) 

11 = V B 

k B T 〈e2 1〉 = 

1 

( ( )) (11.1) 

µ 1 − VB 

V 

1 

( ( )) (11.2) 

K + µ 1 − VB 

V 

Ein Fit mit Gleichung 11.2 ist in Abbildung 11.1 dargestellt (durchgezogene, schwarze 

Linie). Aus diesem Fit erhält man : a 1 = K = 93.4 und a 2 = µ = 45.8. Die etwas stärkere 

Abweichung der Zahlenwerte von den theoretisch erwarteten kommt dadurch zustande, 

daß das maximal ausgewertete Volumen V = L 2 etwas kleiner als das mittlere Volumen 

des Referenzgitters ist, dies führt zu einer Verschiebung der Module zu kleineren Werten. 

Das ausgewertete Volumen wurde in der Analyse so gewählt, daß es das größte Quadrat 

ist, welches in das Referenzgitter paßt (vergleiche auch die Diskussion zu Abbildung 10.3 

d) in Kapitel 10.1). Dies ist auch der Grund, warum die direkt für L B /L = 1 abgelesenen 

Werte kleiner als die aus den Fluktuationen der Transformationsmatrix h in Kapitel 10.1 

erhaltenen Werte sind. Das Integral über die Fluktuationen in der Verzerrungsvariable 

2θ geht gegen Null, obwohl es nach Gleichung 11.1 divergieren sollte! Die Divergenz 

ist zu erwarten, da die Energie, die benötigt wird um eine undeformierte Scheibe des 

Materials bezüglich des sie umgebenden Materials zu drehen (siehe Kapitel 9.4 für die 

detaillierte Herleitung) für L B /L → 1 gegen Null geht. In diesem Fall geht das Material, 

welches die Scheibe umgibt, gegen Null. Die Drehung kostet keine Energie mehr. Die 

Fluktuationen könnten unendlich groß werden. In den Simulationen ist dies aber nicht 

der Fall. Die periodischen Randbedingungen täuschen eine Einbettung in ein unendlich 

ausgedehntes Medium vor. Daher rotiert das Simulationssystem als Ganzes nicht. Somit 

geht das Integral über die Fluktuationen in der Verzerrungsvariable 2θ gegen Null für 

L B /L → 1. Dies gilt in allen Simulationen mit periodischen Randbedingungen (also auch 

189


0.02 

0.015 

j = 1; N=5822 

j = 2; N=5822 

j = 3; N=5822 

j = 2θ; N=5822 

S jj 

(L B 

) 

0.01 

0.005 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

L B 

/L 


ii im 

NV T Ensemble mit periodischen Randbedingungen. Die gebrochenen Linien dienen zur Orientierung, 

wohingegen die durchgezogenen Linien Fits sind (siehe Text). 

im NV T Ensemble) und ist daher ein impliziter Effekt. Die Abhängigkeit von S (L B) 

2θ2θ 

läßt sich gut durch einen Fit mit einem Polynom S (L B) 

2θ2θ = A 0 + A 1 (L B /L) + A 2 (L B /L) 2 

beschreiben (in Abbildung 11.1 durch eine durchgezogene, orangene Linie dargestellt). 

Aus dem Grenzfall maximaler Einbettung erhält man den Schermodul µ = 1/A 0 = 48.9. 

Betrachten wir nun das NV T Ensemble mit periodischen Randbedingungen in Abbildung 

11.2. Simulationen im NV T Ensemble sind Simulationen bei einem konstant vorgegebenen 

Verzerrungszustand. Die Spannungen können frei fluktuieren. Durch die Wahl 

des Simulationsvolumens, so daß ein unverzerrtes Dreiecksgitter in diesem Platz findet, 

ist der konstante Verzerrungszustand auf Null festgelegt. Aus diesem Grund gehen im 

NV T Ensemble auch die Integrale über die Verzerrungen e 1 , e 2 und e 3 bei einer Integration 

über das gesamte Simulationsvolumen gegen Null. Es handelt sich daher um einen 

expliziten Effekt. In diesen Simulationen lassen sich die elastischen Konstanten daher 

nicht aus dem Wert bei L B /L = 1 ablesen. Die Nachgiebigkeiten S (L B) 

11 und S (L B) 

2θ2θ 

lassen 

sich auch in diesem Ensemble durch Polynome der Form S (L B) 

ii 

= A 0 + A 1 (L B /L) + 

A 2 (L B /L) 2 fitten. Im Grenzfall maximaler Einbettung erhält man die elastischen Module 

aus 1/A 0 (siehe durchgezogene Linien in Abbildung 11.2). Aus S (L B) 

11 erhält man 

a 1 + a 2 = K + µ = 1/A 0 = 148.3 und aus S (L B) 

2θ2θ erhält man a 2 = µ = 1/A 0 = 51.5. 

Die Simulation mit offenen Randbedingungen wurde auch im NV T Ensemble durchgeführt. 

D.h. der Druck im System wurde nicht konstant gehalten und es wurden keine 

die Simulationsbox verändernden Monte Carlo Schritte ausgeführt. Durch die Simula- 

190


S jj 

(L B 

) 

0.03 

0.025 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

j = 1; N = 5822 

j = 2; N = 5822 

j = 3; N = 5822 

j = 2θ; N = 5822 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

L B 

/L 


ii im 

NV T Ensemble mit offenen Randbedingungen. Die gebrochenen Linien zeigen zum Vergleich den Wert 

bei L B/L = 1 an. 

tion eines offenen Randes wird jedoch streng genommen das Volumen V nicht mehr 

konstant sein. Wie im NV T Ensemble mit periodischen Randbedingungen kann der 

Spannungszustand des Systems frei fluktuieren. Durch das Wegfallen der periodischen 

Randbedingungen kann nun aber auch der Verzerrungszustand des Systems fluktuieren. 

Wie in Kapitel 9.7 dargelegt, wird bei der Berechnung der Korrelationsfunktionen in diesem 

Fall ein Mittelwert über verschieden starke Einbettungen des Systems gebildet. Dies 

führt dazu, daß in Abbildung 11.3 keine systematische Abhängigkeit der Nachgiebigkeiten 

S jj von L B /L und damit dem Grad der Einbettung in ein umgebendes Material zu 

erkennen ist. Die Beiträge der freien Oberfläche mitteln für kleine L B /L die Kopplung 

durch das umgebende Material weg, so daß die Verzerrungen e 2 und e 3 zur direkten 

Bestimmung des Schermoduls herangezogen werden können. Es ist jedoch zu beachten, 

daß die freie Oberfläche die elastischen Eigenschaften des simulierten endlichen Systems 

selbst beeinflußt, so daß die für L B /L = 1 extrahierten elastischen Konstanten stärker 

von den theoretisch erwarteten Abweichen als dies z.B. im NpT Ensemble der Fall ist. 

Aus Abbildung 11.3 liest man für L B /L = 1 die folgenden Werte ab: 

S (L) 

11 = 0.00940 → a 1 = 106.9 

S (L) 

22 = 0.02100 → a 2 = 47.6 

S (L) 

33 = 0.00525 → a 3 = 190.4 

S (L) 

2θ2θ = 0.02160 → a 2 = 46.4 

191


Den Einfluß dieser speziellen Mittelwertbildung erkennt man auch deutlich an der Tatsache, 

daß S (L) 

2θ2θ 

nicht mehr gegen Null geht, sondern gegen den Wert von S(L) 22 . Die 

laut Gleichung 11.1 erwartete Divergenz tritt nicht auf, da die Konfigurationen gegen 

Starrköperrotationen korrigiert wurden (siehe Kapitel 9.7 für die technischen Details der 

Auswertung). 

Abschließend bleibt anzumerken, daß die soeben diskutierte Darstellung der Nachgiebigkeiten 

so verstanden werden muß, daß L konstant und endlich ist. Es wurden die 

Besonderheiten und möglichen Fallstricke einer Auswertung eines endlichen Systems diskutiert. 

Eine Interpretation der Skalierung der Untersysteme eines simulierten Systems 

mit konstanter, linearer Ausdehnung L als Bildung des thermodynamischen Limes ist 

problematisch, da sich mit ihr das Maß der Einbettung der Untersysteme verändert und 

damit die Bedeutung der einzelnen Verzerrungskorrelationen. 

192

KAPITEL 12 

Ein kolloidaler Kristall 

12.1. Das Experiment 

Das experimentelle System, welches zum Vergleich mit den Vorhersagen der analytischen 

Theorie und den Ergebnissen der Simulationen untersucht wurde, ist ein zweidimensionales 

System superparamagnetischer Kolloide. Dieses experimentelle System wurde 

erfolgreich zum Studium verschiedener Aspekte des KTHNY Schmelzszenarios in zwei 

Dimensionen eingesetzt [14, 15, 77, 114, 115]. Der in dieser Arbeit analysierte Datensatz 

stammt von Peter Keim, der sich im Rahmen seiner Dissertation am Lehrstuhl von Prof. 

Dr. Georg Maret (Universität Konstanz) ausführlich mit diesem System beschäftigte. Eine 

detaillierte Beschreibung des Aufbaus und der benötigten technischen Finessen findet 

man daher in [78]. Hier seien lediglich in Kürze, die für die Analyse der Verzerrungskorrelationen 

interessanten Details des Experiments aus dieser Arbeit zusammengefaßt. 

Es werden superparamagnetische Kolloide der Firma Dynal verwendet. Der Durchmesser 

ist d = 4.5µm und die Polydispersität liegt unterhalb von 4%. Superparamagnetische 

Kolloide bestehen aus Polystyrol, welches homogen mit nanometergroßen Magnetit- 

Partikel durchsetzt ist. Diese Magnetit-Partikel bestehen jeweils aus einer einzelnen magnetischen 

Domäne. Im feldfreien Fall sind die Momente der Magnetit-Partikel aufgrund 

thermischer Fluktuationen isotrop orientiert. Im äußeren Feld jedoch richten sie sich im 

Feld aus, so daß im Kolloid ein magnetisches Moment induziert wird. Die Feldabhängigkeit 

des im Kolloid induzierten Moments wird durch die Langevinfunktion beschrieben. 

Die Kolloide sind in einer wässrigen Lösung dispergiert. Zur Realisierung eines idealen 

zweidimensionalen Systems wird die Lösung in eine Glaszelle eingebracht. Diese hat 

eine nach unten geöffnete zylindrische Bohrung. Hier bildet sich ein horizontaler Tropfen. 

Der Krümmungsradius der Wasser-Luft Grenzfläche wird durch das Tropfenvolumen 

193


a) b) 

Abbildung 12.1: a) Schematische Darstellung des Aufbaus der Probenzelle und der möglichen Wechselwirkungen 

zwischen den Kolloiden [78]. b) Typische videomikroskopische Aufnahme des zweidimensionalen 

kolloidalen Systems in der geordneten Phase (Bildausschnitt einer Probe bei Γ = 300). 

bestimmt und kann so exakt reguliert werden, daß eine ebene Grenzfläche erreicht werden 

kann. Die Massendichte der Kolloide (1.5g/cm 3 ) ist größer als die von Wasser, so 

daß die Kolloide aufgrund der Gravitation an der Wasser-Luft Grenzfläche sedimentieren. 

Der Vorteil dieser Art ein zweidimensionales System zu realisieren, liegt darin, 

daß kein Substrat benötigt wird und daher die Wechselwirkungen der Teilchen nicht 

durch eine zusätzliche Wechselwirkung mit dem Substrat beeinflußt wird. Jedoch sind 

Fluktuationen in der dritten Dimension durch den Aufbau nicht komplett unterdrückt. 

Die Auslenkung h der Kolloide aus der Ebene aufgrund von thermischen Anregungen, 

läßt sich aber durch ∆ϱV gh = k B T auf ca. h = 20nm abschätzen. Dies ist bei einem 

Kolloiddurchmesser von d = 4.5µm vernachlässigbar klein. Die Proben werden einem 

vertikal zur Wasser-Luft Grenzfläche ausgerichtetem, äußeren Magnetfeld ⃗ H ausgesetzt. 

Dieses induziert ein magnetisches Moment ⃗m = χ eff 

⃗ H in den Kolloiden, so daß das System 

durch eine Dipol-Dipol Wechselwirkung beschrieben werden kann. In der so vorgegebenen 

Geometrie ist diese Wechselwirkung rein repulsiv. Die Wechselwirkungsenergie 

zweier Dipole beträgt: 

E magn = µ 0 m 2 

8π r 3 = µ 0 

χ 2 eff 

H ⃗ 2 

8π r 3 

Zur Beschreibung des Systems wird ein Wechselwirkungsparameter Γ eingeführt, der dem 

Verhältnis von Wechselwirkungsenergie zu thermischer Energie im System entspricht: 

Γ = E magn 

k B T = µ 0 

χ 2 eff 

H ⃗ 2 (πϱ) 3/2 

4π k B T 

Die Messung der magnetischen Suszeptibilität der Kolloide χ eff ist schwierig und liefert 

Werte mit einer Schwankung von ±10%. Da diese Ungenauigkeit quadratisch in 

die Berechnung des Wechselwirkungsparameters Γ eingeht, wird stattdessen innerhalb 

einer Meßreihe an einer Probe Γ auf den Schmelzpunkt des Systems Γ m geeicht. Dies 

194


Abbildung 12.2: Überlagerung aller Teilchenpositionen (korrigiert gegen mögliche Translationen des 

Schwerpunkts) über den Zeitraum der Messung. Rot markiert das analysierte Volumen. Abstände sind 

in Einheiten des Gitterparameters a angegeben. 

war für den verwendeten Rohdatensatz leider nicht möglich, da keine Messungen in der 

fluiden Phase vorlagen. Der angegebene Wert für Γ dient in diesem Fall daher lediglich 

zur Identifizierung des Datensatzes und nicht zur exakten Angabe des Punktes im 

Phasendiagramm. 

12.2. Analyse des Experiments 

Nach einer sorgfältigen Äquilibrierung des Systems werden mittels videomikroskopischer 

Methoden die Teichenpositionen über 2-3 Stunden bei festem Wechselwirkungsparameter 

Γ aufgenommen. Man erhält Bilder wie in Abbildung 12.1 b) zu sehen, aus denen 

mittels Bildverarbeitungstechniken die Kolloidpositionen errechnet werden. Das gesamte 

System hatte im Falle des analysierten Rohdatensatzes (Γ = 150) eine Ausdehnung von 

ca. 50mm 2 und enthielt ca. 3 · 10 5 Kolloide. Das Sichtfeld der Kamera betrug 835µm 2 

und enthielt ca. 2 · 10 3 Kolloide. Das analysierte Volumen umfaßte ca. 840 Kolloide. 

In Abbildung 12.2 ist eine Überlagerung aller Teilchenpositionen aus dem analysierten 

Bereich über den Zeitraum der Messung dargestellt (gegen mögliche Translationen des 

Schwerpunkts wurde korrigiert). Das analysierte Volumen ist durch die rot eingerahmte 

Box markiert. Wie man leicht erkennt, befinden wir uns tief in der geordneten Phase, 

so daß die Kolloide nur um ihre Gleichgewichtspositionen im Dreiecksgitter fluktuieren. 

Abbildung 12.3 zeigt die Verzerrungskorrelationsfunktionen des kolloidalen Kristalls im 

Ortsraum und Abbildung 12.4 die daraus berechneten Funktionen im Fourier Raum [96]. 

Da im Experiment nur ein Subvolumen des gesamten Kristalls analysiert werden kann, 

195


a) G 11 

(r) b) G 22 

(r) 

c) G 33 

(r) 

d) G2θ2θ 

(r) 

0.001 

0 

-0.001 

-5 

0 

5 

0.05 

0.025 

-0.025 0 

-0.05 

-5 

0 

5 

0.02 

0.01 

0 

-0.01 

-5 

0 

5 

0.04 

0.02 

0 

-0.02 

-5 

0 

5 

0 

5 

-5 

0 

5 

-5 

0 

5 

-5 

0 

5 

-5 

Abbildung 12.3: Verzerrungskorrelationsfunktionen im Ortsraum im kolloidalen Kristall bei Γ = 150. 

In der unteren Zeile sind Projektionen auf die xy-Ebene der Funktionen abgebildet. Die Werte der 

Korrelationsfunktionen sind über dieselbe Skala, wie in den 3D Darstellungen in der Grauskala kodiert, 

wobei Weiß für hohe Werte steht. 

entspricht die Situation einem eingebetteten System (siehe Kapitel 9.4). Die beobachtete 

räumliche Anisotropie der Korrelationsfunktionen ˜G 22 ( ⃗ k) und ˜G 33 ( ⃗ k) entspricht der nach 

den analytischen Berechnungen erwarteten Anisotropie. Die erwartete 8-fache Rotationssymmetrie 

der Korrelationsfunktionen ˜G 11 ( ⃗ k) und ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) kann jedoch, wie auch in den 

Simulationen, in der Auswertung des experimentellen Systems nicht aufgelöst werden. 

Die Korrelationsfunktionen sind zu einer räumlich isotrop abfallenden Funktion ausgeschmiert. 

Das diskontinuierliche Verhalten im langwelligen Grenzfall wird nur in den 

Korrelationsfunktionen ˜G 22 ( ⃗ k) (z.B. entlang der Koordinatenachsen) und ˜G 33 ( ⃗ k) (z.B. 

entlang der Diagonalen) sichtbar. Auch in dem betrachteten, experimentellen System 

können die Abweichungen von den analytischen Vorhersagen für das eingebettete System 

auf das Auftreten lokaler, nicht-affiner Verzerrungen, wie z.B. virtueller Dislokations- 

Antidislokations Paare, zurückgeführt werden. Solche nicht-affine Anregungen werden in 

Kapitel 13 genauer untersucht. 

Die elastischen Module können zum einen aus den Werten der Korrelationsfunktionen 

˜G 11 ( ⃗ k) und ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) bei ⃗ k = ⃗0 oder aber auch durch das Anfitten eines verallgemeinerten 

Lorentzprofils an Schnitte im Fourier Raum bestimmt werden [96]. In Abbildung 12.5 

sind diese Schnitte für ˜G 11 ( ⃗ k) entlang der Richtung k y = 2k x , für ˜G 22 ( ⃗ k) entlang der 

Diagonalen und für ˜G 33 ( ⃗ k) und ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) entlang der Koordinatenachsen abgebildet. Aus 

den ⃗ k = ⃗0 Werten der Korrelationsfunktionen ˜G 11 ( ⃗ k) und ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) erhält man einen 

Schermodul von βa 2 µ = 60.2 einen Kompressionsmodul von βa 2 (K + µ) = 660.2 → 

βa 2 K = 600.0. Aus einem Fit an ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) erhält man βa 2 µ = 58.5. Im kolloidalen 

Kristall mit dem vorliegenden Wechselwirkungspotential gilt allgemein: µ = K/10 (siehe 

z.B. [78]). Diese Relation ist für die aus ⃗ k = ⃗0 bestimmten Werte perfekt erfüllt und 

weicht im Fall des Fits um weniger als 2.5% ab. 

196


a) ~ 

G 11(k) 

b) G ~ (k) c) 

22 

G ~ (k) d) G ~ 2θ2θ(k) 

33 

0.0015 

0.001 

0.0005 

0 

-2 

0 

2 

0.01 

0.0075 

0.005 

0.0025 

0 

-2 

0 

2 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-2 

0 

2 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-2 

0 

2 

0 

2 

-2 

0 

2 

-2 

0 

2 

-2 

0 

2 

-2 

Abbildung 12.4: Verzerrungskorrelationsfunktionen im Fourier Raum im kolloidalen Kristall bei Γ = 

150. In der unteren Zeile sind Projektionen auf die xy-Ebene der Funktionen abgebildet. Die Werte der 

Korrelationsfunktionen sind über dieselbe Skala, wie in den 3D Darstellungen in der Grauskala kodiert, 

wobei Weiß für hohe Werte steht. 

0.015 

j = 1 

j = 2 

j = 3 

j = 2θ 

G jj 

(k) 

~ 

0.01 

0.005 

0 

-2 0 2 

k 

Abbildung 12.5: Schnitte der Korrelationsfunktionen des kolloidalen Kristalls im Fourier Raum. Für 

˜G 11( ⃗ k) entlang der Richtung k y = 2k x, für ˜G 22( ⃗ k) entlang der Diagonalen und für ˜G 33( ⃗ k) und ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) 

entlang der Koordinatenachsen. Datenpunkte sind durch Symbole gekennzeichnet, während die gefitteten 

Funktionen durch durchgezogene Linien dargestellt sind [96]. 

197


a) 

45 

30 

15 

P(j) 

j = e 1 

j = 2Θ 

b) 

(L B 

/L)[K+µ,µ] -1 

0.003 

0.002 

0.001 

aus P(e 1 

) 

aus P(2Θ) 

0 

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 

j 

0 

0.125 0.15 0.175 

L B 

/L 

Abbildung 12.6: Analyse der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der mittleren Verzerrungen. a) Die 

Wahrscheinlichkeitsverteilungen bei einer Mittelung über Subvolumina der linearen Ausdehnung L B = 

4.0a. b) ’Finite size’-Skalierung der aus den Standardabweichungen von P (e 1) und P (2θ) berechneten 

elastischen Module. 

Zum Vergleich wurden auch die Standardabweichungen der Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

der mittleren Verzerrungen P (e j ) ausgewertet [116]. Mit den aus dieser Analyse 

erhaltenen Werten wurden dann analog zu dem Vorgehen in [77] eine ’finite size’ Skalierung 

durchgeführt. Abbildung 12.6 a) zeigt exemplarisch die Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

der Verzerrungen bei einer Mittelung der Verzerrungen über Blöcke der linearen 

Ausdehnung L B = 4.0a und die an die Daten gefitteten Gaußverteilungen, mit denen die 

Standardabweichungen bestimmt wurden. Die Skalierung dieser Werte ist in Abbildung 

12.6 b) gezeigt. Die Größe der ausgewerteten Subbox L B wird hierbei jeweils auf die 

Größe des im Rahmen der Analyse der Korrelationsfunktionen ausgewerteten Bereichs 

bezogen. Das gesamte System ist sehr viel größer. Daher kann das System als maximal 

eingebettet betrachtet werden und eine lineare Regression für das Skalierungsverfahren 

verwendet werden. Aus dieser erhält man die elastischen Module im thermodynamischen 

Limes: βa 2 µ = 58.7 und βa 2 (K + µ) = 674.4 → βa 2 K = 615.7. Die in diesem 

kolloidalen Kristall geltende Beziehung µ = K/10 ist zu 4.9% erfüllt. Die aus dem Skalierungsverfahren 

bestimmten elastischen Module stimmen mit den aus der Analyse der 

Korrelationsfunktionen erhaltenen Werten sehr gut überein. Die Abweichung beträgt 

maximal 2.6%. Somit liefern beide Methoden konsistente Ergebnisse. 

Das nächste Kapitel beleuchtet nun die in Simulation und Experiment zu Abweichungen 

von den analytischen Vorhersagen führenden, lokalen, nicht-affinen Verzerrungen 

genauer. Es wird insbesondere auf die Stärke der Nicht-Affinität und ihre Ursache eingegangen. 

198

KAPITEL 13 

Die Nicht-Affinität der Abbildung 

In der Berechnung des lokalen Verzerrungstensors nach der Methode von Falk und Langer 

[100] wird der Nicht-Affinitätsparameter D 2 (Definition siehe Kapitel 9.7) minimiert, 

um im Rahmen der linearen Elastizitätstheorie die affine Abbildungsmatrix zu bestimmen, 

die das Referenzgitter am genausten auf die aktuelle, lokale Teilchenkonfiguration 

abbildet. In diesem Sinne ist das Abweichen des Parameters D 2 von Null, ein Maß für die 

Nicht-Affinität der Abbildung bzgl. des Referenzgitters. Die vorliegende Teilchenkonfiguration 

kann für D 2 ≠ 0 nicht exakt durch eine affine Abbildung aus dem Referenzgitter 

erhalten werden. Was sind die Ursachen der Nicht-Affinität? Welche physikalischen Prozesse 

oder Mechanismen liegen ihr zugrunde? 

Betrachten wir zunächst die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Nicht-Affinität P (D 2 ). 

Diese ist in Abbildung 13.1 a)-c) für die verschiedenen Simulationen des harmonischen, 

Dreiecksgitters bei βa 2 f = 200/ √ 3 dargestellt. Abbildung 13.1 a) zeigt P (D 2 ) im NpT 

Ensemble für drei verschiedene Systemgrößen im druckfreien Fall und zum Vergleich für 

das System mit N = 3120 Teilchen bei einem isotropen Druck von βa 2 p = 20/ √ 3. Wie 

man erkennt hängt das Ausmaß der Nicht-Affinität nicht von der Größe des simulierten 

Systems ab. Im Falle des isotropen Drucks ist P (D 2 ) zu leicht höheren Werten verschoben. 

Auch im NV T Ensemble zeigt P (D 2 ) keine Abhängigkeit von der Systemgröße, 

weder im Fall mit periodischen Randbedingungen (Abbildung 13.1 b)) noch im Fall mit 

offenen Randbedingungen (Abbildung 13.1 c)). Abbildung 13.1 d) zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

der Nicht-Affinität im NV T Ensemble mit offenen Randbedingungen 

in einem System mit N = 3120 Teilchen bei verschiedenen Federkonstanten. Zum 

Vergleich ist zusätzlich die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Nicht-Affinität des kolloidalen 

Kristalls eingezeichnet. Das repulsiv wechselwirkende experimentelle System hat 

einen Kompressionsmodul von βa 2 K = 600 und einen Schermodul von ca. µ = K/10. 

Aufgrund seines Kompressionsmoduls würde man ihn mit einem harmonischen System 

199


a) b) 

P(D 2 ) 

10 

5 

N = 3120; βa 2 p = 0.0 

N = 4736; βa 2 p = 0.0 

N = 5822; βa 2 p = 0.0 

N = 3120; βa 2 p = 20/ 3 

P(D 2 ) 

10 

5 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

0 

0 0.05 0.1 0.15 0.2 

D 2 

c) d) 

P(D 2 ) 

10 

5 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

P(D 2 ) 

0 

0 0.05 0.1 0.15 0.2 

D 2 

100 

50 

βa 2 f = 200/√3 

βa 2 f = 1200/√3 

βa 2 f = 1400/√3 

βa 2 f = 2000/√3 

kolloidaler Kristall 

0 

0 0.05 0.1 0.15 0.2 

D 2 

0 

0 0.05 0.1 0.15 0.2 

D 2 

Abbildung 13.1: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Nicht-Affinität P (D 2 ) in verschiedenen Systemen. 

In a) - c) sind Simulationen des harmonischen, Dreiecksgitters mit βa 2 f = 200/ √ 3 für verschiedene 

Systemgrößen dargestellt. a) im NpT Ensemble mit periodischen Randbedingungen mit und ohne äußeren 

Druck, b) im NV T Ensemble mit periodischen Randbedingungen und c) im NV T Ensemble mit 

offenen Randbedingungen. d) zeigt ein System mit N = 3120 Teilchen im NV T Ensemble mit offenen 

Randbedingungen mit verschiedenen Federkonstanten und zum Vergleich in grün den kolloidalen 

Kristall. 

mit einer Federkonstante von βa 2 f = 1200/ √ 3 vergleichen. Aufgrund seines Schermoduls 

würde man ein harmonisches System mit einer Federkonstante von βa 2 f = 240/ √ 3 zum 

Vergleich heranziehen. Wie man in Abbildung 13.1 d) erkennt liegt der kolloidale Kristall 

in seiner Nicht-Affinität zwischen den harmonischen Systemen mit βa 2 f = 200/ √ 3 und 

βa 2 f = 1200/ √ 3, was mit den Vorüberlegungen in Einklang ist. Des weiteren erkennt 

man in Abbildung 13.1 d), daß je stärker die Federkonstante bei gleicher Temperatur 

in der Simulation gewählt wurde, desto stärker ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung 

P (D 2 ) in ihrem Maximum zur Null hin verschoben. D.h. die Nicht-Affinität nimmt 

mit steigender Federkonstante ab. Je härter der Kristall wird desto weniger Prozesse, 

die nicht-affine Beiträge liefern treten auf. Dies ist ein klares Anzeichen dafür, daß es 

sich bei diesen um Beiträge physikalischer Natur handelt, die temperaturabhängig sind. 

Letzterer Schluß ist möglich, da die Simulationen nur vom Verhältnis Federkonstante 

zu Temperatur abhängig sind. Eine Erhöhung der Federkonstante entspricht in diesem 

Sinne einem Absenken der Temperatur. 

200


a) 

Experiment 

G D 2 D 2(r) 

b) 

Simulation 

G D 2 D 2(r) 

0.007 

0.006 

0.005 

0.004 

-5 

0 

5 

-5 

0 

5 

0.004815 

0.00481 

0.004805 

-10 

0 

10 

-10 

0 

10 

Abbildung 13.2: Die Autokorrelationsfunktion der Nicht-Affinität D 2 a) im kolloidalen Kristall bei 

γ = 150 und b) im harmonischen System im NV T Ensemble bei offenen Randbedingungen mit N = 5822 

und βa 2 f = 200/ √ 3. 

Im Folgenden wird das Parameterfeld D 2 (⃗r) analog den Ordnungsparameterfeldern e i (⃗r) 

(i = 1, 2, 3) auf einem Vergröberungsgitter analysiert. Abbildung 13.2 zeigt die Autokorrelationsfunktion 

der Nicht-Affinität G D 2 D2(⃗r) in Simulation und Experiment. In beiden 

Fällen sind die Korrelationsfunktionen isotrop. Die Korrelationen fallen über weniger als 

3a ab. Daraus läßt sich schließen, daß Prozesse, die auf dieser Längeskala auftreten, die 

Hauptursache der Nicht-Affinität sind. In Abbildung 13.2 b) ist auf der sehr feinen Skala 

eine Verkippung der Korrelationsfunktion sichtbar. Die Ursache dieser Verkippung liegt 

in der Simulation mit offenen Randbedingungen. Die Konfigurationen müssen jeweils 

gegen Translationen des Schwerpunkts und Rotationen des Gesamtsystems korrigiert 

werden. Dies führt zu einem gewissen numerischen, systematischen Fehler in der Bestimmung 

des Referenzgitters aus der Überlagerung aller Teilchenkonfigurationen. Die 

offenen Randbedingungen und die damit verbundenen Oberflächeneffekte führen auch 

zu dem leichten Anstieg der Nicht-Affinität an den Rändern und insbesondere an den 

Ecken des Systems. 

Um die physikalischen Prozesse hinter den nicht-affinen Beiträgen zu identifizieren, betrachtet 

man die Nicht-Affinität in Kombination mit der aktuellen Teilchenkonfiguration, 

201


a) Simulation: b) Experiment: 

Abbildung 13.3: Beispielkonfigurationen der Simulation des harmonischen Systems a) und des kolloidalen 

Kristalls b). Die Farbskala der Teilchen gibt die Stärke ihrer lokalen Nicht-Affinität D 2 an. Sie 

umfaßt das Intervall D 2 ∈ [0.01, 0.25], wobei von Grau nach Rot der Wert von D 2 ansteigt. 

auf der nicht vergröberten Ebene. Abbildung 13.3 zeigt für Simulation und Experiment 

Beispielkonfigurationen. Die Farbskala der Teilchen umfaßt das Intervall D 2 ∈ [0.01, 0.25] 

und gibt somit die Stärke der lokalen Nicht-Affinität D 2 an. Dabei steht Grau für niedrige 

Werte, während Rot hohe Nicht-Affinitätswerte repräsentiert. Der simulierte, harmonische 

Kristall in Abbildung 13.3 a) hat eine niedrigere Federkonstante als das experimentelle 

System und zeigt daher auch eine stärkere, lokale Nicht-Affinität als der in 

Abbildung 13.3 b) dargestellte kolloidale Kristall. Besonders auffällig sind lokale Konfigurationen, 

wie sie schematisch in Abbildung 13.4 dargestellt sind. Solche lokalen Anordnungen, 

sind nicht kollinear bezüglich einer Abbildung aus einem Dreiecksgitter, d.h. sie 

können nicht durch eine affine Abbildung aus einem Dreiecksgitter hervorgehen. Sie entsprechen 

thermischen Anregungen mit sehr großen Wellenvektoren ⃗ k. Solche Anregungen 

werden in der analytischen Herleitung durch die Berücksichtigung der nicht-lokalen Gradiententerme 

c ′ i (∇2 e i ) 2 unterdrückt. Die analytische Herleitung nimmt daher an, daß die 

Anregung solcher Phononen zuviel Energie kostet, als daß sie in einen nicht vernachlässigbaren 

Maße auftreten würden. Die Analyse der Nicht-Affinität zeigt jedoch, daß solche 

und weitere nicht affine Deformationen in weicher Materie nicht vernachlässigbar sind. 

Dies führt zu dem beobachteten Abweichen der aus den Datensätzen berechneten Korrelationsfunktionen 

und den analytisch vorhergesagten. 

Eine Voronoianalyse der Teilchenkonfigurationen zeigt, daß auch die Bildung von Dislokations-Antidislokations 

Paaren mit einer starken Nicht-Affinintät einhergeht. Als Beispiel 

ist eine, ein Defektpaar enthaltende Konfiguration aus dem Experiment in Abbil- 

202


Referenzgitter 

Konfiguration 

nicht 

kollinear 

Abbildung 13.4: Schematische Darstellung einer nicht kollinearen Deformation des Dreiecksgitters, 

welche zwar die Anzahl der nächsten Nachbarn noch unverändert läßt, jedoch nicht durch eine affine 

Abbildung beschrieben werden kann. 

dung 13.5 dargestellt. Kolloide mit nur 5 nächsten Nachbarn sind hier durch einen blauen 

Ring um sie herum gekennzeichnet, solche mit 7 nächsten Nachbarn durch einen grünen 

Ring. Die Bildung solcher Dislokations-Antidislokations Paare kann inbesondere in weicher 

Materie thermisch angeregt werden. Sie haben aber nur eine kurze Lebensdauer und 

anhillieren dann wieder. Die bereits diskutierten Teilchenanordnungen, welche die Kollinearität 

der Abbildung verletzten, können auch als Vorstufen eines solchen virtuellen 

Dislokations-Antidislokations Paares interpretiert werden, obwohl bei dieser Interpretation 

zu beachten ist, daß nicht alle dieser Konfigurationen tatsächlich zur Bildung eines 

Dislokations-Antidislokations Paares führen. 

Wieso sind die nicht-affinen Prozesse von Interesse für diese Arbeit? Wie in der Herleitung 

und Diskussion der Verzerrungskorrelationsfunktionen dargelegt, lassen sich deren 

Formen durch eine nicht-lokale Gitterfeldtheorie vorhersagen. Der direkte Vergleich mit 

den Auswertungen der Simulationen (Kapitel 10) und des Experiments (Kapitel 12), 

zeigte jedoch gewisse Abweichungen in der Form der Korrelationsfunktionen von diesen 

Vorhersagen. Besonders die Diskontinuitäten in den Korrelationsfunktionen konnten 

nicht aufgelöst werden. Diese Abweichungen lassen sich durch die in Systemen bei T ≠ 0 

vorhandene Nicht-Affinität erklären. In die numerische Berechnung der Korrelationsfunktionen 

aus den Datensätzen geht nur der affine Anteil der lokalen Deformationen 

ein. Ein gewisser Anteil der Energie im System geht jedoch auch in nicht-affine lokale 

Deformationen. Dieser ist in der numerischen Analyse nicht berücksichtigt. Die Herleitung 

im Rahmen der nicht-lokalen Gitterfeldtheorie geht jedoch davon aus, daß die 

gesamte Energie berücksichtigt wird. Der im nicht-affinen Anteil des Verschiebungsfeldes 

gespeicherte Anteil der Energie ist jedoch gering, da er ansonsten, wie in amorphen 

Systemen, dazu führen würde, daß die elastischen Module kleiner sind, als laut der rein 

auf affine Deformationen beruhenden klassischen Elastizitätstheorie erwartet.Die elastischen 

Module der simulierten Systeme (siehe Kapitel 10) sind jedoch nur geringfügig 

kleiner als die theoretisch erwarteten Werte. Somit ist der im nicht-affinen Anteil des 

Verschiebungsfeldes gespeicherte Anteil der Energie gering. 

Im Zusammenhang mit dem Auftreten von Nicht-Affinintäten wird in der Literatur 

oft die Frage nach dem Gültigkeitsbereich der klassischen Elastizitätstheorie diskutiert. 

203


Experiment: 

Abbildung 13.5: Voronoianalyse einer Konfiguration des kolloidalen Kristalls. Kolloide mit 5 nächsten 

Nachbarn sind durch einen blauen Ring, solche mit 7 nächsten Nachbarn durch einen grünen Ring 

gekennzeichnet. Die Farbskala der Teilchen gibt die Stärke ihrer lokalen Nicht-Affinität D 2 mit von Grau 

nach Rot ansteigenden Werten an. Es gilt D 2 ∈ [0.01, 0.25]. 

Diese geht davon aus, daß die Längenskala, auf welcher Deformationen auftreten sehr 

viel größer als die Längenskala der diskreten Natur der Systeme ist. In Festkörpern, 

wie z.B. kristallinen Metallen, ist dies der Fall. In der weichen, kondensierten Materie 

hingegen, ist diese Grundannahme nicht mehr zwingend erfüllt, wie z.B. die kurzwelligen 

Anregungen in Abbildung 13.3 zeigen. In der weichen, kondensierten Materie sind nichtlokale 

Kopplungen von Bedeutung, weshalb die entwickelte nicht-lokale Gitterfeldtheorie 

erfolgreich angewendet werden kann. Die aus den Analysen der Simulationen und des 

Experiments bestimmten Korrelationslängen geben an, auf welchen Längenskalen nichtlokale 

Kopplungen der Verzerrungen und Spannungen von Bedeutung sind. Auf diesen 

Längenskalen ist die klassische Elastizitätstheorie, welche eine rein lokale Theorie ist, 

nicht mehr gültig. 

Allgemein werden in der Literatur verschiedene Ursachen diskutiert, die dazu führen, 

daß man den Gültigkeitsbereich der Elastizitätstheorie verläßt. Untersucht man statt eines 

unendlich ausgedehnten Kontinuums einen immer kleiner werdenden Festkörper, so 

läßt sich eine Längenskala bestimmen, unterhalb derer die Elastizitätstheorie ihre Gültigkeit 

verliert. Die Ursache dafür kann je nach Material zum einen in dem immer stärker 

werdenden Einfluß von Oberflächeneffekten liegen, zum anderen aber führt die diskrete 

204


Natur der Materie, eventuell vorhandene langreichweitige Wechselwirkungen oder aber 

auch thermische Fluktuationen zum Auftreten nicht-lokaler Kopplungen. Wie Marangati 

und Sharma [117] zeigten, ist in dreidimensionalen Systemen die Komplexität der 

dem Material zugrundeliegenden Mikrostruktur ausschlaggebend dafür, ob Oberflächeneffekte, 

oder aber nicht-lokale Phänomene die Grenze der klassischen Elastizitätstheorie 

bestimmen. Marangati und Sharma [117] zeigten, daß die für die hier vorgelegte Arbeit 

interessanten nicht-lokalen Kopplungen zwischen Verzerrungen und Spannungen, in 

dreidimensionalen Systemen nur in amorphen Materialien stark genug sind, um nicht 

vernachlässigbare Effekte hervorzurufen. Diese starke Nichtlokalität in amorphen Strukturen 

wird in der Literatur [117, 118, 119, 120, 121] mit dem Auftreten nicht-affiner 

Deformationen in Verbindung gebracht. Marangati und Sharma [117] schließen daher 

aus der Vernachlässigbarkeit nicht-lokaler Effekte in den von ihnen untersuchten dreidimensionalen, 

kristallinen Strukturen, daß aufgrund der kristallinen Ordnung dieser 

Systeme nicht-affine Deformationen vernachlässigbar sind. Diese Aussage gilt, wie die 

in diesem Kapitel durchgeführte Analyse der Nicht-Affinität deutlich zeigt, so nicht in 

zweidimensionalen geordneten Systemen der weichen kondensierten Materie. Selbst ein 

klassischer, harmonischer Festkörper zeigt in zwei Dimensionen nicht vernachlässigbare 

nicht-lokale Kopplungen der Verzerrungen und Spannungen, welche gut durch die 

verwendete nicht-lokale Gitterfeldtheorie erfaßt werden. Abweichungen von den Vorhersagen 

haben ihren Ursprung in der Vernachlässigung thermisch angeregter nicht-affiner 

Deformationen, welche in der Berechnung der lokalen Verzerrungen nicht erfaßt werden 

kann. 

Auch im Bereich der amorphen Systeme wie z.B. Gläser wird der Gültigkeitsbereich 

der klassischen Elastizitätstheorie stark diskutiert. Tanguy et al. [120] konnten in systematischen 

’finite size’ Studien an einem zweidimensionalen, polidispersen Lennard-Jones 

System zeigen, daß der nicht-affine Anteil des Verschiebungsfeldes ⃗u n (⃗r) in solchen, amorphen 

Systemen über Längen von ca. 30 mittleren Teilchendurchmessern korreliert ist. 

Diese Längenskala kann als die Grenze, unterhalb derer die klassische Elastizitätstheorie 

ihre Gültigkeit verliert, interpretiert werden. Das System weist eine extreme Nicht- 

Lokalität auf. Für die Studien hier von Interesse ist die Tatsache, daß in den in diesem 

Umfeld entstandenen Arbeiten [120, 122, 123] gezeigt wir, daß die Korrelationsfunktionen 

des nicht-affinen Verschiebungsfeldes, aber auch des Gradientenfeldes eine starke, räumlich 

isotrope Antikorrelation aufweisen. Diese werden mit dem Auftreten ausgedehnter 

Vortex-Strukturen im nicht-affinen Verschiebungsfeld in Verbindung gebracht. In den in 

dieser Arbeit untersuchten Korrelationenfunktionen der geordneten Strukturen treten in 

den Korrelationsfunktionen der deviatorischen Verzerrungsfluktuationen und der Scherfluktuationen 

in bestimmten Richtungen auch solche Antikorrelationen auf. Diese findet 

man in den Richtungen, in denen der Übergang zu ⃗ k = ⃗0 diskontinuierlich verläuft. 

Das Verschiebungsfeld weist, jedoch keine Vortex-Strukturen auf. In Abbildung 13.6 ist 

die Korrelationsfunktion der deviatorischen Verzerrungsfluktuationen G 22 (r) entlang der 

x-Achse dargestellt. Deutlich zu erkennen ist der antikorrelierte Bereich. 

Die Analyse der Verzerrungskorrelationsfunktionen wird auch zur näheren Untersuchung 

der Gegebenheiten in einer Monolage mit Störstellen eingesetzt (siehe Kapitel 16). Diese 

205


0.0015 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

G 22 

(r) 

0.001 

0.0005 

0 

-20 0 20 

r 

Abbildung 13.6: Die Korrelationsfunktion der deviatorischen Verzerrungsfluktuationen G 22(r) in einem 

harmonischen System mit Federkonstante βa 2 f = 200/ √ 3 im NpT Ensemble weist entlang der 

Koordinatenachsen eine deutliche Antikorrelation auf. 

wird durch ein System harter Scheiben mit punktförmigen Störstellen modelliert. Der 

unter anderem untersuchte Fall eingefrorener Störstellen entspricht einem System mit 

eingefrorener Unordnung, d.h. ein System, das von einer geordneten Mikrostruktur mit 

steigender Störstellenkonzentation in ein System mit immer komplexerer Mikrostruktur 

übergeht. Die hier geführte Diskussion und Analyse der Antikorrelation wird, daher in 

diesem Kapitel noch einmal aufgegriffen und neu beleuchtet werden. 

206

KAPITEL 14 

Topologische Defekte 

In einer periodisch geordneten Struktur sind topologische Defekte dadurch charakterisiert, 

daß in einem Kerngebiet die lokale Ordnung gestört ist, wohingegen im Fernfeld 

sich der Defekt durch eine langsame räumliche Änderung der elastischen Variablen bemerkbar 

macht. 

In einer zweidimensionalen, geordneten Struktur können sogenannte Dislokationen und 

Disklinationen auftreten. Die Charakteristiken dieser Defekte kann man sich mittels der 

Volterra Konstruktion verdeutlichen (siehe Abbildung 14.1) [76]. Ein Zylinder des Materials 

wird entlang der z-Achse ausgerichtet und entlang der yz-Ebene aufgeschnitten. 

Beide Seiten entlang des Schnittes werden dem zu erzeugenden Defekt entsprechend manipuliert 

und danach wieder miteinander verbunden. Die dabei eventuell entstandenen 

Lücken werden mit Teilchen aufgefüllt. Diese dreidimensionale Konstruktion ermöglicht 

die Veranschaulichung aller topologischer Defekte. Für zweidimensionale Systeme kommen 

jedoch nur solche Manipulationen in Frage, welche die xy-Ebene nicht verlassen. 

Sie resultieren entweder in einer Kanten-Dislokation (Abbildung 14.1 a)) oder einr Keil- 

Disklination (Abbildung 14.1 b)). 

Dislokationen 

Die Manipulation des Materials entlang des Schnittes in der Volterra Konstruktion 

entspricht einer Translation um den Burger Vektor (in Abbildung 14.2 a) rot 

eingezeichnet). In zweidimensionalen Systemen ist nur die Bildung von sogenannten 

Kanten-Dislokationen möglich. In periodischen Strukturen ist dabei der Burger 

Vektor quantisiert. Die Volterra Konstruktion ist in Abbildung 14.1 a) dargestellt. 

Im Dreiecksgitter ist eine Dislokation durch die Kombination eines Teilchens mit 5 

und eines Teilchens mit 7 nächsten Nachbarn realisiert wie man in Abbildung 14.2 

a) sehen kann. Die Bildung von Dislokationen in Kristallen kostet zwar Energie, 

207


a) 

Zentrum der 

Dislokation 

b) 

Zentrum der 

Disklination 

Kanten−Dislokation 

Keil−Disklination 

Abbildung 14.1: Die Volterra Konstruktion für Defekte in zwei Dimensionen (nach [76]). 

kann jedoch thermisch angeregt werden. Dislokationen mit entgegengesetzt ausgerichteten 

Burger Vektoren heben sich in ihrer Wirkung im Fernfeld auf. Man spricht 

von einem Dislokations-Antidislokations Paar. Nähern sich zwei freie Dislokationen 

mit engegengesetztem Burger Vektor z.B. aufgrund von Diffusion so können 

sie sich gegenseitig vernichten. Die im Experiment in der kristallinen Phase beobachteten 

thermisch angeregten Defekte sind zumeist Dislokations-Antidislokations 

Paare, die nach kurzen Beobachtungszeiten wieder verschwinden. Sie werden daher 

auch gerne als virtuelle Dislokations-Antidislokations Paare bezeichnet. In der 

Theorie des Schmelzens in zwei Dimensionen nach KTHNY spricht man beim 

Übergang vom Festkörper in die hexatische Phase von einem die Dislokations- 

Antidislokations Paare aufbrechenden Phasenübergang. 

Disklinationen 

Eine Rotation des Materials innerhalb der xy Ebene in der Volterra Konstruktion 

entspricht der Bildung einer sogenannten Keil-Disklination (siehe Abbildung 14.1 

b)). Im Dreiecksgitter führt eine solche Rotation des Gitters um −π/3 zur Bildung 

eines Teilchens im Zentrum des Defekts mit 7 nächsten Nachbarn, während eine 

Rotation des Gitters um +π/3 zu einem Teilchen im Zentrum des Defekts mit 

5 nächsten Nachbarn führt. Dies ist schematisch in Abbildung 14.2 b) und c) 

dargestellt. In diesem Sinne entspricht daher eine Dislokation im Dreiecksgitter 

einem gebundenen Plus-Minus Disklinations Paar. Die Bildung von Disklinationen 

im Festkörper ist energetisch sehr ungünstig. Im Schmelzszenario nach KTHNY 

kennzeichnet das Auftreten freier Disklinationen den Übergang von der hexatischen 

Phase in die fluide Phase. 

Unsere Analysen konzentrieren sich auf den Festkörperbereich, d.h. die periodisch geordnete 

Struktur. Im Experiment treten in den Konfigurationen zum Teil eingefrorene 

Defekte auf. Deren Ursachen sind vielfältig und reichen von zerbrochenen Kolloiden mit 

einer daher anderen Wechselwirkung über kleine Aggregate zu eingefrorenen Dislokationen. 

208


a) b) a) b) c) 

Abbildung 14.2: a) Schematische Darstellung des Burger Vektors (rot eingezeichnet) einer Dislokation. 

b) Lokale Teilchenanordnung einer 5er Disklination und c) einer 7er Disklination. 

Solche eingefrorene Defekte führen bei der Berechnung des Referenzgitters aus der Überlagerung 

der Teilchenpositionen, zu einem den Defekt enthaltenden Referenzgitter. Abbildung 

14.3 zeigt das aus der Überlagerung aller Teilchenpositionen berechnete Referenzgitter 

im experimentellen System bei Γ = 200. Zwei Teilchenkonfigurationen des 

ausgewerteten Bereichs sind in Abbildung 14.4 dargestellt. Wie man sieht enthält der 

Bereich zwei Dislokationen, deren Burger Vektoren sich nicht aufheben. Die Teilchenkonfiguration 

in Abbildung 14.4 b) wurde ca. 14s nach der in Abbildung 14.4 a) gezeigten 

Konfiguration aufgenommen. In dieser Zeit hat sich die obere Dislokation um einen Gitterabstand 

verschoben. Die berechnete Nicht-Affinität der vorliegenden Teilchenkonfiguration 

bezüglich des Referenzgitters ist in der Farbe der Teilchen kodiert, wobei rot für 

eine hohe Nicht-Affinität D 2 steht und die Farbskala das Intervall D 2 ∈ [0.01, 0.25] um- 

30 

y/a 

20 

10 

0 

0 10 20 30 40 

x/a 

Abbildung 14.3: In schwarz dargestellt das aus der Überlagerung aller Teilchenpositionen berechnete 

Referenzgitter. Rot markiert ist der Bereich, der Defekte enthält und in dem die Auswertung vorgenommen 

wurde. 

209


a) 

b) 

Abbildung 14.4: Teilchenkonfigurationen aus einem defektbehafteten Bereich des kolloidalen Kristalls 

bei Γ = 200. Die in a) und b) gezeigten Konfigurationen wurden im Abstand von ca. 14s aufgenommen. 

In dieser Zeit hat sich die obere Dislokation um einen Gitterabstand verschoben, während die untere 

statisch ist. Die Nicht-Affinität bezüglich des Referenzgitters ist in der Farbe der Teilchen kodiert und 

steigt von Grau nach Rot an. Die Farbskala umfaßt das Intervall D 2 ∈ [0.01, 0.25]. Teilchen mit 5 

nächsten Nachbarn sind durch einen grünen Ring gekennzeichnet, solche mit 7 nächsten Nachbarn durch 

einen blauen Ring. 

faßt. Verfolgt man die zeitliche Entwicklung der Konfigurationen weiter, so erkennt man, 

daß die untere Dislokation komplett eingefroren ist. Die obere diffundiert in einem engen 

Bereich. Diese Mobilität der Dislokation führt zu stärkeren, nicht affinen Beiträgen 

und ist auch die Ursache für die Asymmetrien in den Verzerrungskorrelationsfunktionen. 

Die resultierende starke Asymmetrie der Korrelationsfunktionen im Fourier Raum 

(Abbildung 14.5) ist vor allem in den mit dem Schermodul in Verbindung stehenden 

Korrelationsfunktionen sichtbar. 

Die genaue Struktur der Anisotropie der Korrelationsfunktionen ist, wie in Kapitel 9.1 

detailliert dargelegt, abhängig von den die einzelnen Verzerrungsvariablen verbindenden 

mathematischen Kernen ẽ i = ˜Q ij ẽ j . Ein Defekt stört diese Kopplung zwischen den verschiedenen 

Verzerrungsfluktuationen. Im Zentrum des Defekts werden die Verzerrungen 

bezüglich des Referenzgitters sehr groß, wenn dieser diffundieren kann. Dies führt dazu, 

daß die einzelnen Verzerrungsvariablen nicht mehr durch die hergeleiteten mathematischen 

Kerne ineinander umgerechnet werden können und somit zu einer veränderten 

Struktur der Korrelationsfunktionen. 

Eine einzelne Dislokation, welche durch den Kristall wandert, wird so auch in dieser 

rein statischen Analyse der Verzerrungskorrelationen sichtbar. In Abbildung 14.6 ist ein 

Beispiel für eine solche Situation dargestellt. Das Referenzgitter eines kolloidalen Kristalls 

bei Γ = 151 ist in schwarz dargestellt. Der analysierte Bereich ist rot. Die aus 

einer Voronoi Konstruktion berechneten Teilchen mit 5 (grün) bzw. 7 (blau) nächsten 

210


a) ~ 

G 11(k) 

b) G ~ (k) 

22 

0.001 

0.0005 

0 

-2 

0 

2 

-2 

0 

2 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-2 

0 

2 

-2 

0 

2 

c) G ~ (k) d) 

33 

G ~ 2θ2θ(k) 

0.002 

0.0015 

0.001 

0.0005 

0 

-2 

0 

2 

-2 

0 

2 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-2 

0 

2 

-2 

0 

2 

Abbildung 14.5: Verzerrungskorrelationsfunktionen des kolloidalen Kristalls bei Γ = 200 im Fourier 

Raum berechnet in einem Gebiet mit zwei Dislokationen, deren Burger Vektoren sich nicht aufheben 

(vergleiche Abbidlung 14.4). Deutlich zu erkennen ist die starke Asymmetrie in den Verzerrungskorrelationsfunktionen 

˜G 22( ⃗ k) und ˜G 2θ2θ ( ⃗ k). 

211


30 

y/a 

20 

10 

0 

0 10 20 30 40 50 

x/a 

Abbildung 14.6: In schwarz dargestellt ist das aus der Überlagerung aller Teilchenpositionen berechnete 

Referenzgitter eines kolloidalen Kristalls bei Γ = 151. Rot markiert ist der Bereich, in dem die 

Auswertung vorgenommen wurde. Grün eingezeichnetet sind Disklinationen, die nur 5 nächste Nachbarn 

haben. Solche mit 7 nächsten Nachbarn sind in blau dargestellt. Die Positionen der Defekte wurden 

für jede fünfzigste Konfiguration berechnet. 

Nachbarn jeder fünfzigsten Konfiguration sind zustätzlich markiert. Wie man erkennt 

wandert im Laufe der Messzeit von links eine Dislokation in den ausgewerteten roten 

Bereich. Nimmt man nun eine Analyse der Verzerrungskorrelationsfunktionen in diesem 

Bereich vor, so erhält man die in Abbildung 14.7 wiedergegebenen Korrelationsfunktionen 

im Fourier Raum. In diesem Fall zeigt die Verzerrungskorrelationsfunktion ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) 

die stärkste Asymmetrie. 

In der Analyse muß jedes Teilchen einem bestimmten Referenzgitterplatz zugewiesen 

werden, um den es fluktuiert. Wandert nun von außerhalb eine Dislokation in das analysierte 

Gebiet, so führt das dazu, daß sich lokal, entlang des Weges der Dislokation 

bei jedem Schritt genau 2 Teilchen um je einen Gitterabstand bewegen. Sie nehmen 

nach diesem Schritt wieder eine perfekte Gitterposition ein und fluktuieren im weiteren 

Verlauf um diesen neuen Platz. Einen solchen Prozeß kann die Analyse der Fluktuationen 

nicht korrekt auswerten, da sie die Fluktuationen um diese neue Gitterposition 

immer in Bezug auf die ursprüngliche Gitterposition auswertet. Das Teilchen ist dem ursprünglichen 

Referenzgitterpunkt zugeordnet. Dies führt in der Analyse dazu, daß dem 

Teilchen bei seinen Fluktuationen um die neue Gitterposition sehr große Verzerrungen 

zugeordnet werden, obwohl diese im Kristall selbst relaxiert sind. Diese ”künstlichen”, 

hohen Verzerrungen verändern die Struktur der Korrelationsfunktionen. 

212


a) ~ 

G 11(k) 

b) G ~ (k) 

22 

0.0015 

0.001 

0.0005 

0 

-2 

0 

2 

-2 

0 

2 

0.01 

0.005 

0 

-2 

0 

2 

-2 

0 

2 

c) G ~ (k) d) 

33 

G ~ 2θ2θ(k) 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-2 

0 

2 

-2 

0 

2 

0.02 

0.01 

0 

-2 

0 

2 

-2 

0 

2 

Abbildung 14.7: Die Verzerrungskorrelationsfunktionen eines kolloidalen Kristalls bei Γ = 151 im 

Fourier Raum berechnet in ein Gebiet mit Defekten. Eine einzelne Dislokation wandert im Laufe der 

Messzeit in den ausgewerteten Bereich (vergleiche Abbildung 14.6).In diesem Fall zeigt die Verzerrungskorrelationsfunktion 

˜G 2θ2θ ( ⃗ k) die stärkste Asymmetrie. 

213


a) b) 

~ 

G 11(k) 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

c) 

-1 

~ 

G 22(k) 

0 

kx 

-1 

1 

0 

1 

ky 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

d) 

-1 

~ 

G 33(k) 

0 

kx 

-1 

1 

0 

1 

ky 

0.005 

0.004 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-1 

1 

0 

ky 

0 

kx 

-1 

1 

Abbildung 14.8: a) Überlagerung der Teilchenpositionen einer Simulation mit einem Dislokations- 

Antidislokationspaar (grün: 5 nächste Nachbarn; blau: 7 nächste Nachbarn) im Zentrum. b)-d) Die 

Verzerrungskorrelationsfunktionen des Systems im Fourier Raum. Ihre Anisotropie wird durch die Anwesenheit 

des fixierten Dislokations-Antidislokationspaares nicht gestört. 

Daß die Änderung der Struktur der Korrelationsfunktionen aus dem dynamischen Verhalten 

der Defekte resultiert wird zusätzlich durch die Beobachtung gestützt, daß Simulationen 

von Systemen mit eingefrorenen, d.h. bezüglich ihrer Gitterposition statischen 

Defekten keine Asymmetrien in den Verzerrungskorrelationen aufweisen. Dazu wurden 

3 verschiedene Situationen in einem System aus N = 3120 Teilchen bei offenen Randbedingungen 

simuliert. Die Wahl von offenen Randbedingungen hat zwar den Nachteil, 

daß durch den Defekt entstehende Spannungen in einem unendlich ausgedehnten Kristall 

so nicht erfaßt werden können, da die Spannungen über den offenen Rand relaxieren 

können. Eine Simulation mit periodischen Randbedingungen hätte aber den schlechter 

einschätzbaren Nachteil einer simulierten periodischen Anordnung eines solchen langreichweitigen 

Defekts. Die Simulationen sind in dem Sinne zu verstehen, daß sie als 

Testfall für die Frage ausgeführt wurden, ob Fehlverbindungen der Federn in einem harmonischen 

System (d.h. falsche Koordinationen einzelner Teilchen) schon ausreichen um 

Effekte in den Verzerrungskorrelationen zu erzeugen, wie sie im experimentellen System 

beobachtet werden. 

• Eine im Zentrum der Simulationsbox positioniertes Dislokations-Antidislokationspaar. 

Dieses wurde dadurch realisiert, daß die 2 der betroffenen Teilchen über nur 

5 bzw. 2 über 7 Federn mit ihren Nachbarn verbunden wurden. In Abbildung 14.8 

a) ist eine Überlagerung der Teilchenkonfigurationen dargestellt. 

Das fixierte Dislokations-Antidislokationspaar hat im System mit offenen Randbedingungen 

keine Auswirkung auf die Symmetrie der Korrelationsfunktionen wie 

man in den Darstellungen im Fourier Raum in Abbildung 14.8 b)-d) sieht. 

214


a) b) 

~ 

G 11(k) 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

c) 

-1 

~ 

G 22(k) 

0 

kx 

-1 

1 

0 

1 

ky 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

d) 

-1 

~ 

G 33(k) 

0 

kx 

-1 

1 

0 

1 

ky 

0.005 

0.004 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-1 

1 

0 

ky 

0 

kx 

-1 

1 

Abbildung 14.9: a) Überlagerung der Teilchenpositionen einer Simulation mit einer einzelnen Dislokation 

im Zentrum des Simulationsvolumens (grün: 5 nächste Nachbarn; blau: 7 nächste Nachbarn). Die 

dadurch auftretenden Spannungen in der Struktur werden im offenen System durch eine starke Deformation 

des Randes relaxiert. b)-d) Die Verzerrungskorrelationsfunktionen des Systems im Fourier Raum 

bleiben in ihrer Anisotropie davon unbeeinflußt. 

a) b) 

~ 

G 11(k) 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

c) 

-1 

~ 

G 22(k) 

0 

kx 

-1 

1 

0 

1 

ky 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

d) 

-1 

~ 

G 33(k) 

0 

kx 

-1 

1 

0 

1 

ky 

0.005 

0.004 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-1 

1 

0 

ky 

0 

kx 

-1 

1 

Abbildung 14.10: a) Überlagerung der Teilchenpositionen einer Simulation mit einer Dislokation und 

einer, mehrere Gitterebenen entfernten, zugehörigen Antidislokation innerhalb des Simulationsvolumens 

(grün: 5 nächste Nachbarn; blau: 7 nächste Nachbarn). b)-d) Die Verzerrungskorrelationsfunktionen des 

Systems im Fourier Raum bleiben in ihrer Anisotropie durch die fixierten Dislokationen unbeeinflußt. 

215


• Eine im Zentrum der Simulationsbox positionierte einzelne Dislokation. Diese wurde 

dadurch realisiert, daß die betroffenen Teilchen über nur 5 bzw. über 7 Federn 

mit ihren Nachbarn verbunden wurden. Zusätzlich muß eine Gitterebene von der 

Dislokation bis zum Rand des Systems eingefügt werden. In Abbildung 14.9a) 

ist eine Überlagerung der Teilchenkonfigurationen dargestellt. Die Spannungen im 

System sind über den offenen Rand relaxiert, wie man am Verlauf des oberen Randes 

in der Überlagerung der Teilchenkonfigurationen sehen kann. Auch in dieser 

Situation beobachtet man keine Veränderung in der Anisotropie der Korrelationsfunktionen 

(Abbildung 14.9 b)-d)). 

• Ein Dislokations-Antidislokations Paar im Inneren des Simulationsvolumens, das 

einige Gitterabstände voneinander entfernt ist. Dies wurde dadurch realisiert, daß 

die Teilchen der Dislokationen über nur 5 bzw. über 7 Federn mit ihren Nachbarn 

a) 

G 11 

(k) 

~ 

c) 

~ 

G 33 

(k) 

0.015 

0.01 

0.005 

0.006 

0.004 

0.002 

ohne Defekt 

gebundenes Dislokations- Antidislokations Paar 

einzelne Dislokation 

Dislokation und Antidislokation 

-1 0 1 

k 

ohne Defekt 

gebundenes Dislokations-Antidislokations Paar 



b) 

~ G (k) 

~ 

G (k) 

2θ2θ 

22 

d) 

0.03 

0.025 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0.03 

0.02 

0.01 

0 

ohne Defekt 




-1 0 1 

k 

ohne Defekt 




0 

-1 0 1 

k 

0 

-1 0 1 

k 

Abbildung 14.11: Schnitte der Korrelationsfunktionen im Fourier Raum für die drei diskutierten 

Defekt-Situationen und zum Vergleich den defektfreien Fall. a) Schnitt entlang der k y = 2k x-Richtung 

für ˜G 11( ⃗ k), b) entlang der Diagonalen für ˜G 22( ⃗ k), c) Schnitt entlang der k x- Achse für ˜G 33( ⃗ k) und d) 

entlang der Koordinatenachsen für ˜G 2θ2θ ( ⃗ k). 

216


verbunden wurden und auf der Verbindungslinie eine zusätzliche Gitterebene eingefügt 

wurde. In Abbildung 14.10a) ist eine Überlagerung der Teilchenkonfigurationen 

dargestellt. Die Anisotropie der Verzerrungskorrelationsfunktionen bleiben 

auch in diesem Fall von der Anwesenheit der eingefrorenen Dislokationen unbeeinflußt 

(Abbildung 14.10b)-d)). 

Die Anwesenheit der eingefrorenen Defekte stört die räumliche Anisotropie der Korrelationsfunktionen 

nicht, wohl aber ändern sie ihren Absolutwert. In Abbildung 14.11 sind 

zum Vergleich der drei simulierten Defekt-Situationen mit dem defektfreien Fall Schnitte 

der Verzerrungskorrelationsfunktionen im Fourier Raum dargestellt. Die Schnitte fallen 

für das System mit dem gebundenen Dislokations-Antidislokations Paar mit denen 

des defektfreien Systems zusammen. Dies zeigt daß das ein eingefrorenes, gebundenes 

Dislokations-Antidislokations Paar die Verzerrungsfuktuationen nicht stört. Die Schnitte 

der beiden weiteren, simulierten Defekt-Situationen weichen jedoch für ⃗ k → ⃗0 vom 

defektfreien Fall ab. 

Aufgrund dieser Beobachtungen, läßt sich schließen, daß der physikalische Prozeß, welcher 

die Anisotropie der Korrelationsfunktionen zerstört die Diffusion der Defekte ist. 

217

218

KAPITEL 15 

Elastische Eigenschaften harter Scheiben 

Ein wichtiges Modellsystem der Statistischen Mechanik ist das System harter Kugeln 

bzw. Scheiben in den hier betrachteten, zweidimensionalen Systemen. Da dieses System 

für Untersuchungen zum Einfluß von Punktstörstellen auf das elastische Verhalten von 

Monolagen eingesetzt werden soll, werden nun zunächst die Besonderheiten des monodispersen 

Harte Scheiben Systems im Bezug auf die Bestimmung der elastischen Konstanten 

und auf die Verzerrungskorrelationsfunktionen vorgestellt. Es wurden zu diesem 

Zweck Metropolis Monte Carlo Simulationen im NV T Ensemble bei einer dimensionslosen 

Dichte von ϱ ∗ = (N/V )a 2 = 1.0 für verschiedene Systemgrößen N = 3120, N = 4736 

und N = 5822 mit periodischen Randbedingungen durchgeführt. Längen werden in diesen 

Simulationen in Einheiten des Teilchendurchmessers a gemessen. Dieser ist in den 

Simulationen auf a = 1 gesetzt. Bei einer Dichte von ϱ ∗ = 1.0 liegt das System in der 

geordneten Phase, dem Dreiecksgitter, vor. Die Berechnung der elastischen Konstanten 

mittels der Fluktuationsformeln von Farago et al. [90] ergibt in einem System mit 

N = 4736 harten Scheiben einen Kompressionsmodul von βa 2 K = 106.1 und einen 

Schermodul von βa 2 µ = 37.5 (siehe Abbildung 15.1 a)). Dieses Verfahren ermöglicht 

auch die Berechnung des im System herrschenden Drucks aus den Elementen des Spannungstensors, 

wie in Abbildung 15.1 b) dargestellt. Der Druck ist hydrostatisch, da 

σ xy = σ yx = 0.0 und beläuft sich auf βa 2 p = 13.9. In den folgenden Auswertungen kann 

zum Teil nur die Summe βa 2 (µ + p) direkt bestimmt werden. Für diese erwartet man 

mit den gerade bestimmten Werten: βa 2 (µ + p) = 51.4. 

Aus den mittleren Teilchenpositionen wird nun das Referenzgitter berechnet, im Bezug 

zu welchem sowohl eine Auswertung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der mittleren 

Verzerrungen P (e j ) als auch eine Analyse der Verzerrungskorrelationsfunktionen durchgeführt 

wird. Betrachten wir zunächst die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der mittleren 

Verzerrungen P (e j ) in einem System mit N = 3120 Teilchen. Diese sind in Abbildung 

219


a) b) 0 

βa 2 µ = 0.5*(C xxxx 

- C xxyy 

) 

100 

βa 2 µ = 0.5*(C xxxx 

- C xxyy 

) 

75 

-5 

50 

-10 

25 

βa 2 [K,µ] 

σ j 

j = xx 

j = yy 

j = xy 

0 

0 0.02 0.04 0.06 

∆/a 

-15 

0 0.02 0.04 0.06 

∆/a 

Abbildung 15.1: a) Berechnung der elastischen Konstanten und b) der Elemente des Spannungstensors 

unter Verwendung der Fluktuationsformeln von Farago et al. [90]. Ein Fit mit einem Polynom dritter 

Ordnung erlaubt es einem, die elastischen Module bzw. die Komponenten des Spannungstensors aus dem 

Grenzfall ∆ → 0 abzulesen (siehe auch Kapitel 7). 

15.2 a) für eine Subbox des Simulationsvolumens mit einer linearen Ausdehnung von 

L B = 9.3a = L/6 wiedergegeben. Aus der Standardabweichung der angefitteten Gaußverteilungen 

erhält man die elastischen Konstanten des endlichen Systems. Wie im harmonischen 

System geht die Verteilung bei einer Mittelung über das gesamte System in 

Delta-Funktionen in Null über (siehe Abbildung 15.2 b)). Eine Besonderheit des Harte 

Scheiben Systems ist nun, daß im Gegensatz zum harmonischen System die Einbettung 

des analysierten Bereichs in den diesen umgebenden Kristall nicht den Charakter der 

Verzerrungen e 1 , e 2 und e 3 verändert. Statt dessen führt diese Kopplung an das einbettende 

Medium zu einer Halbierung der Varianz aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen! 

Die elastischen Konstanten des Harte Scheiben Systems erhält man daher aus der doppelten 

Varianz der Wahrscheinlichkeitsverteilungen in Abbildung 15.2 a). Die Analyse 

ergibt: βa 2 K = 106.1, βa 2 (µ + p) = 57.9, 4βa 2 (µ + p) = 210.1 und aus P (e 2θ ) erhält 

man βa 2 µ = 36.9. 

Wie kann man diese Besonderheit des Harte Scheiben Systems verstehen? Die bisher 

diskutierten Eigenschaften der Fluktuationen der Verzerrungen waren unabhängig vom 

Wechselwirkungspotential der Teilchen im System. In den Betrachtungen in Kapitel 9.4, 

berechnet man in einem Gedankenexperiment die Energie, die es kostet eine Scheibe in 

einem elastischen Kontinuum isotrop zu expandieren oder zu drehen. Dabei wird davon 

ausgegangen, daß die Wechselwirkung der Teilchen, welche das elastische Kontinuum 

aufbauen, der Art ist, daß das die Scheibe umgebende Material nachgeben kann. Diese 

Verformung des einbettenden Kontinuums kostet Energie und führt zu der Kopplung der 

Fluktuationen. Die Besonderheit des Harte Scheiben Systems liegt nun darin, daß es per 

Definition nicht nachgeben kann. In dem Bild unseres Gedankenexperiment entspricht 

dies der Situation, daß das einbettende Kontinuum den gleichen Energiebetrag aufbringt, 

um die Expansion der Scheibe zu verhindern, wie wir in die Scheibe reinstecken, um sie 

zu expandieren. In sehr stark repulsiven Systemen ist daher die doppelte Energie nötig, 

um Verzerrungsfluktuationen anzuregen. Dies resultiert in der Halbierung der Varianz 

220


a) 80 

b) 

60 

j = 1 

j = 2 

j = 3 

j = 2θ 

5000 

4000 

j = 1 

j = 2 

j = 3 

j = 2θ 

P(e j 

) 

40 

20 

P(e j 

) 

3000 

2000 

1000 

0 

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 

e j 

0 

-0.005 0 0.005 

e j 

Abbildung 15.2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen der mittleren Verzerrungen P (e j) eines Systems aus 

N = 3120 harten Scheiben. a) Auswertung eines Subvolumens der linearen Ausdehnung L B = 8.7a = 

L/6. b) Auswertung des gesamten Simulationsvolumens. 

der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Verzerrungsfluktuationen. In diesem Sinne fließt 

eine Kenntnis des Wechselwirkungspotentials in die Analyse der mikroskopischen Verzerrungsfluktuationen 

ein. Stark repulsive Systeme wie auch das in [98] betrachtete System 

weicher Scheiben, die über ein mit r −12 abfallendes Potential wechselwirken, verhalten 

sich in der Analyse wie harte Scheiben. Sie zeigen keine Kopplung der Fluktuationen 

in eingebetteten Systemen, aber den Faktor 2. Dagegen verhält sich der kolloidale Kristall 

im Bezug auf seine mikroskopischen Verzerrungsfluktuationen wie ein harmonisches 

System, obwohl die Kolloide über ein repulsives, mit r −3 abfallendes Potential wechselwirken. 

In Abbildung 15.3 sind die Verzerrungskorrelationsfunktionen eines Systems mit N = 

4736 harten Scheiben im Fourier Raum dargestellt. Die erwarteten räumlichen Anisotropien 

werden gut reproduziert bis auf die Tatsache, daß auch in diesem System die 

8-fachen Rotationssymmetrien der Korrelationsfunktionen ˜G 11 ( ⃗ k) und ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) nicht 

aufgelöst werden können. Sie erscheinen auch hier als räumlich isotrop abfallende Funktionen. 

Typisch für die Simulationen im NV T Ensemble gehen die Korrelationsfunktionen 

für ⃗ k = ⃗0 gegen Null, so daß die direkte Berechnung der elastischen Konstanten 

aus diesen Werten nicht möglich ist. Betrachtet man nun die Schnitte der Korrelationsfunktionen 

entlang der passenden Richtungen im Fourier Raum (siehe Abbildung 15.4), 

so erkennt man, daß die Absolutwerte der Korrelationsfunktionen auch um den Faktor 

2 verschoben sind. Es gilt ˜G ii ( ⃗ k = ⃗0) −1 = 2a i . Die Korrelationsfunktionen in diesem 

System sind auf den Durchmesser a der Teilchen bezogen und nicht auf die Gitterkonstante 

des Dreiecksgitters, wie dies in den Simulationen des harmonischen Systems der 

Fall war. Die Verzerrungskorrelationsfunktionen wurden entlang verschiedener Richtungen 

für ⃗ k ≠ ⃗0 mit einem verallgemeinerten Lorentzprofil gefittet. Für das System mit 

N = 4736 harten Scheiben erhält man daraus die folgenden elastischen Konstanten: 

βa 2 µ = βa 2 a 2 = 34.6, 4βa 2 µ = βa 2 a 3 = 137.1 und aus ˜G 2θ2θ βa 2 µ = βa 2 a 2 = 34.2. 

221


a) ~ 

G 11(k) 

b) G ~ (k) c) 

22 

G ~ (k) 

33 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

-1 

0 

0 

kx 

-1 

1 

1 

ky 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-1 

0 

0 

kx 

-1 

1 

1 

ky 

0.005 

0.004 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-1 

0 

0 

kx 

-1 

1 

1 

ky 

Abbildung 15.3: Die Verzerrungskorrelationsfunktionen eines Systems von N = 4736 harten Scheiben 

bei ϱ = 1.0 im Fourier Raum. Die Grauskala der Projektion der Funktionen auf die xy-Ebene läuft 

über den gleichen Wertebereich, wie die dreidimensionale Darstellung. Maxima sind in weiß, Mininima 

in schwarz dargestellt. 

Weiterhin erhält man aus den Fits der Korrelationsfunktionen die Parameter c 2 = 58.8, 

c ′ 2 = −1.2 und c 3 = 214.7, c ′ 3 = −35.6. Dies ermöglicht die Berechnung der mittleren 

elastischen Korrelationslängen ξ el ∼ √ c j des Systems. Die Korrelationen der deviatorischen 

Fluktuationen fallen über ca. 7 Gitterparameter ab, die der Scherfluktuationen 

über ca. 14 Gitterparameter. 

Das Ergebnis der Integration der Korrelationsfunktionen eines Systems mit N = 4736 

harten Scheiben über Subvolumina unterschiedlicher linearer Ausdehnung L B ist in Abbildung 

15.5 wiedergegeben. Wie bereits in Kapitel 11 diskutiert, können auch aus diesen 

Integrationen mit Hilfe der diskutierten statischen Summenregel die elastischen Konstanten 

des endlichen Systems abgelesen werden. Diese Art der Darstellung macht noch 

einmal den Unterschied zum harmonischen System sehr deutlich. Für kleine L B /L ist 

das Subvolumen stark eingebettet. Im Gegensatz zum harmonischen System (vergleiche 

Abbildung 11.2) führt diese Einbettung im System harter Scheiben nicht zu einer Kopplung 

der Volumen- und Scherfluktuationen. So gilt nun für kleine L B /L z.B. gemäß der 

statischen Summenregel (siehe Kapitel 9.3) 

∫ 

S (L B) 

11 = lim ˜S11 ( ⃗ k) = ˜G 11 ( ⃗ k)| ⃗k= k→0 

⃗0 = d⃗r G 11 (⃗r) = [2a 1 ] −1 

V B 

anstatt wie im harmonischen System S (L B) 

11 = [a 1 +a 2 ] −1 . Die Kurven wurden mit einem 

Polynom gefittet. Aus den Werten für L B /L → 0 der Fits in Abbildung 15.5 lassen sich 

222


a) 

0.01 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

b) 

0.025 

0.02 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

G 11 

(k) 

~ 

c) 

~ 

G 33 

(k) 

0.005 

0 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-1 0 1 

k 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

-1 0 1 

k 

G ~ (k) 

~ 

G (k) 

2θ2θ 

22 

d) 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-1 0 1 

k 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

-1 0 1 

k 

Abbildung 15.4: Schnitte der Verzerrungskorrelationsfunktionen für verschiedene Systemgrößen. a) Für 

˜G 11( ⃗ k) entlang der Richtung k y = 2k x, b) ˜G 22( ⃗ k) entlang der Diagonalen, c) ˜G 33( ⃗ k) und d) ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) 

entlang der Koordinatenachsen. 

die folgenden Werte der Nachgiebigkeiten ablesen: 

S (L B) 

11 = [2 · K] −1 = [2 · 104.2] −1 

S (L B) 

22 = [2 · (µ + p)] −1 = [2 · 47.8] −1 

S (L B) 

33 = [2 · (µ + p)] −1 = [2 · 221.9] −1 

S (L B) 

2θ2θ 

= [2 · µ] −1 = [2 · 34.1] −1 

Da das Harte Scheiben System im NV T Ensemble simuliert wurde gehen die Integrale 

über Verzerungskorrelationsfunktionen im Ortsraum für L B → L gegen Null. 

Im Spezialfall einer Dreiecksgitterstruktur kann, wie bereits in Kapitel 9.6 ausführlich 

diskutiert, auch eine direkte Skalenanalyse nach Sengupta et al. [98] zur Bestimmung der 

elastischen Konstanten im thermodynamischen Limes herangezogen werden. Da dieses 

Verfahren die mikroskopischen Verzerrungen analysiert, ist in ihm auch der diskutierte 

Faktor 2 zu berücksichtigen. Abbildung 15.6 zeigt die gemäß der Skalierungsvorschrift 

223


Abbildung 15.5: Die Nachgiebigkeiten S (L B) 

jj berechnet aus der Integration der Verzerungskorrelationsfunktionen 

im Ortsraum über Subvolumina unterschiedlicher linearer Ausdehnung L B in einem Harte 

Scheiben System mit N = 4736 und ϱ ∗ = 1.0. 

aufgetragenen Daten aus einem System mit N = 4736 harten Scheiben. Wie bei der 

Analyse der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der mittleren Verzerrungen ist der aus den 

deviatorischen und aus den Scherfluktuationen gewonnene Schermodul um den Druck 

verschoben. Aus der linearen Regression für kleine L B /L erhält man: βa 2 K = 95.7 ± 1.6 

(aus S 11 ), βa 2 (µ + p) = 50.7 ± 0.3 (aus S 22 ), βa 2 (µ + p) = 48.2 ± 0.7 (aus S 33 ) und 

βa 2 µ = 33.2 ± 0.2 (aus S 2θ2θ ). Da die Fluktuationen der mittleren, lokalen Rotationen 

2θ vom Druck unbeeinflußt bleiben, kann man durch die zusätzliche Auswertung von 

S 2θ2θ nun auch den im System vorhandenen Druck bestimmen. Aus S 22 und S 33 ergibt 

sich im Mittel βa 2 (µ + p) = 49.5. Die Differenz zu dem aus den Rotationen bestimmten 

Schermodul ist der isotrope Druck. Er beträgt ca. βa 2 p = 16. Zum Vergleich: der 

mittels der Fluktuationsformeln von Farago et al. [90] berechnete Druck in der Simulation 

beträgt βa 2 p = 13.9 und man erwartet βa 2 (µ + p) = 51.4. Man muß bei diesem 

Vergleich berücksichtigen, daß beide berechneten Werte für den Druck fehlerbehaftete 

Größen sind. Besonders die eben gezeigten Berechnung aus den Ergebnissen der Skalenanalyse 

beruht auf der weiteren Auswertung zweier bereits fehlerbehafteter Größen. Des 

weiteren ergibt sich auch ein Unterschied in allen Werten von den zuvor mit Hilfe der 

übrigen Methoden ermittelten Werten dadurch, daß diese letzte Art der Auswertung als 

einzige der vorgestellten Methoden durch die Anwendung einer ’finite size’ Skalierung 

die elastischen Konstanten des Systems im thermodynamischen Limes extrahiert. Alle 

übrigen Analysen erlauben nur Aussagen über die elastischen Konstanten des ausgewerteten, 

endlichen Systems. D.h. um eine Aussage im thermodynamischen Limes treffen zu 

224


(L B 

/L)*S jj 

(L B 

) 

0.006 

0.004 

0.002 

j = 1 

j = 2 

j = 3 

j = 2θ 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

L B 

/L 

Abbildung 15.6: Skalenanalyse der Nachgiebigkeiten in einem System aus N = 4736 harten Scheiben 

bei ϱ ∗ = 1.0. Die Werte der Nachgiebigkeiten im thermodynamischen Limes können aus einer linearen 

Regression im Bereich kleiner L B/L bestimmt werden. 

können, müssen diese Analysen in verschieden großen Systemen vorgenommen werden. 

Danach muß separat eine ’finite size’ Skalierung der erhaltenen elastischen Konstanten 

durchgeführt werden. 

Ein Nachteil der direkten Skalenanalyse ist jedoch, daß sie nur für den Spezialfall des 

Dreiecksgitters eine gute Näherung ist. Nach dieser ausführlichen Darstellung der Gegebenheiten 

im monodispersen Harte Scheiben System wenden wir uns nun im nächsten 

Kapitel einem Modell einer Monolage mit Störstellen zu, dem Harte Scheiben System 

mit Punktstörstellen. 

225

226

KAPITEL 16 

Punktstörstellen in einem Harte Scheiben System 

Was für Auswirkungen haben lokale Störungen der Verzerrungsfluktuationen auf die Korrelationsfunktionen 

G ii (⃗r) und damit auf die elastischen Eigenschaften eines Systems? 

Diese Fragestellung wird im Folgenden an einem minimalistischen Modell untersucht: 

einem System harter Scheiben mit zufällig verteilten Störstellen. Wie weit lassen sich in 

der Natur beobachtete Effekte durch ein solch einfaches Modell, welches ausschließlich 

geometrische Einschränkungen in der Positionierung der Teilchen berücksichtigt, reproduzieren? 

Die Analyse wird auf die Untersuchung von sogenannten Zwischengitteratomen 

beschränkt. D.h. die simulierten Störstellen werden zufällig auf die Zwischengitterplätze 

des Referenzgitters verteilt. Um zu untersuchen, welche minimale Störung der Fluktuationen 

schon ausreicht, merkliche Veränderungen im System zu erzeugen, werden die 

Störstellen durch harte Scheiben mit einem Durchmesser von σ st → 0 modelliert. Es 

sind sogenannte Punktstörstellen. 

16.1. Analytische Vorhersagen 

Das Modell kann zum einen als Modell eines Festkörpers mit Verunreinigungen aufgefaßt 

werden. Das wahrscheinlich bekannteste Beispiel dafür, wie stark Verunreinigungen das 

elastische Verhalten von Materialien beinflußen können, ist die Härtung von Eisen durch 

die Zugabe von Kohlenstoffatomen in der Stahlproduktion. Man kann prinzipiell zwei 

Situationen unterscheiden. In der einen können die Verunreinigungen im Kristallgitter 

frei diffundieren (annealeded impurities), in der anderen sind die Verunreinigungen z.B. 

infolge eines schnellen, starken Abkühlens beim Entstehen des Festkörpers eingefroren 

(quenched impurities). In dieser Situation können sie ihren Zwischengitterplatz nicht 

verlassen. 

227


Allgemein können die durch solche Zwischengitteratome erzeugten Punktdefekte bezüglich 

ihrer mechanischen Eigenschaften im Rahmen einer Theorie der Dielastika charakterisiert 

werden. In Analogie zu den in der Beschreibung der magnetischen Eigenschaften 

von Festkörpern verwendeten Bezeichnungen der paramagnetischen und diamagnetischen 

Substanzen, werden Punktdefekte als parelastische oder dielastische Punktfehler 

bezeichnet. Die durch die Anwesenheit der Verunreinigung im Kristallgitter auftretende 

Kräfteanordnung wird durch ihre Momente beschrieben, wobei das niedrigste Moment 

ungleich Null das elastische Dipolmoment ist. Ein parelastischer Punktdefekt ist ein Defekt, 

welcher ein permanentes elastisches Dipolmoment aufweist. Dies ist z.B. der Fall, 

wenn das Fremdatom größer als der Zwischengitterplatz ist und seine Anwesenheit daher 

das Referenzgitter permanent verzerrt. Im Gegensatz dazu haben dielastische Punktdefekte 

kein permanentes elastisches Dipolmoment und erzeugen keine lokale Gitterverzerrung. 

Die in der Simulation verwendeten Punktstörstellen sind, sofern sie eingefroren 

sind, somit eine Realisierung eines rein dielastischen Punktfehlers. Diese werden erst 

unter Last sichtbar. Schreibt man dem System von außen einen bestimmten homogenen 

Verzerrungszustand ɛ vor, so erzeugt der Punktdefekt eine stark inhomogene Verzerrung, 

welche durch einen induzierten elastischen Dipol beschrieben werden kann. In 

der Natur auftretende Punktdefekte sind zumeist eine Superposition parelastischer und 

dielastischer Defekte. Für die Charakterisierung unseres Modellsystems ist die Clausius- 

Mosottische Formel der Theorie der Dielastika, wie sie von E. Kröner [124] hergleitet 

wurde, geeignet. Für kleine Defektkonzentrationen x st = (N st /N)100% (N st : Anzahl der 

Punktstörstellen im System) gilt: 

C − C 0 = nα 

Hierbei bezeichnet C den Elastizitätstensor des Systems mit Defekten, C 0 den Elastizitätstensor 

des Systems ohne Defekte, n = x st ϱ die Anzahldichte der Defekte und α den 

Tensor der elastischen Polarisierbarkeit. Im Bereich kleiner Defektkonzentrationen gilt 

daher speziell in isotropen Medien: 

K − K 0 = nα K = x st ϱα K 

µ − µ 0 = nα µ = x st ϱα µ 

Diese Formeln gelten nur im Bereich kleiner Defektkonzentrationen, da nichtlineare Effekte, 

welche durch die Überlagerung benachbarter Punktdefekte auftreten können, in 

ihrer Herleitung nicht berücksichtigt sind. Die durch die Clausius-Mosottische Formel 

beschriebene Änderung der elastischen Konstanten mit der Defektkonzentration, sollte 

auch in dem Modellsystem der harten Scheiben mit eingefrorenen Punktstörstellen sichtbar 

sein, da diese Realisierungen rein dielastischer Punktfehler sind. Die Auswertung der 

Simulationen ermöglicht dann die Berechnung des Tensors der elastischen Polarisierbarkeit 

α. 

Läßt man jedoch die Punktstörstellen frei durch das System diffundieren, so werden 

sie nicht mehr in der Lage sein ein elastisches Dipolmoment zu induzieren. Man erwartet 

daher keine Änderung in den elastischen Konstanten. Diese Vermutung läßt sich 

228


auch formal belegen, wenn man die Berechnung der Elemente des Elastizitätstensors 

aus den partiellen Ableitungen der Freien Energie des Systems genauer betrachtet. 

Das Konfigurationsintegral Z C entspricht dem einer binären Mischung (siehe Kapitel 

7). Im Fall von frei diffundierenden Punkstörstellen als zweite Komponente (B) der 

Mischung läßt sich das Konfigrationsintegral direkt berechnen. Da σ st → 0 verhalten 

sich die Punktstörstellen bezüglich ihrer Wechselwirkung untereinander wie ein ideales 

Gas. Der Faktor e − P 〈αβ〉 φ B(r)/k B T im Konfigurationsintegral liefert daher lediglich 

einen Faktor 1. Betrachtet man den Anteil des Konfigurationsintegrals, der durch die 

V ({ɛ}) 

Wechselwirkung 

∫ ∏ 

zwischen den harten Scheiben und den Punktstörstellen bedingt ist, 

NB 

γ=1 d⃗rγ e − P 〈αβ〉 φ AB(r)/k B T , so erkennt man, daß für jede realisierbare Konfiguration 

der A-Teilchen einer Störstelle B das Volumen V ({ɛ}) − (N A π(σ A /2) 2 )) zur 

Verfügung steht. (Zur Erinnerung: V ({ɛ}) ist das Volumen, welches der Körper im Verzerrungszustand 

{ɛ} einnimmt). Somit gilt: 

∫ 

N A ∏ 

V ({ɛ}) γ=1 

= 

( 

V ({ɛ}) − 

d⃗r γ e − P ∫ 

〈αβ〉 φ A(r)/k B T 

( ( σA 

N A π 

2 

) 2 

)) NB ∫ 

N B ∏ 

V ({ɛ}) γ=1 

V ({ɛ}) γ=1 

d⃗r γ e −(P 〈αβ〉 φ B(r)+ P 〈αβ〉 φ AB(r))/k B T 

N A ∏ 

d⃗r γ e − P 〈αβ〉 φ A(r)/k B T 

Das verbleibende, zu lösende Konfigurationsintegral entspricht dem Konfigurationsintegral 

des monodispersen Harte Scheiben Systems. Die Berechnung der Fluktuationsformel 

kann somit wie im monodispersen Fall weitergeführt werden. Die Freie Energie unterscheidet 

sich nur um eine additive Konstante D B von einem System ohne Störstellen: 

F = −k B T ln Z 

[ 

( ( ( σA 

= −k B T ln (Z T,A ) + ln (Z T,B ) + N B ln V ({ɛ}) − N A π 

2 

= −k B T [D B + ln (Z T,A ) + ln (Z C,A )] 

) )) 

] 

2 

+ ln (Z C,A ) 

wobei Z T,A für den Anteil der Zustandssumme aus der Integration über die Impulse der 

A Teilchen steht (analog Z T,B für die B Komponente). Der Spannungstensor und der 

Elastizitätstensor bleiben unverändert. In Simulationen mit frei diffundierenden Punktstörstellen 

erwartet man, keine Änderung des elastischen Verhaltens des Harte Scheiben 

Systems zu beobachten. 

Der Einfluß eingefrorener, zufällig verteilter Defekte auf die statischen und dynamischen 

Eigenschaften von Materialien wird auch stark im Bereich des sogenannten ’Pinnings’ 

diskutiert. Unter Pinning im engeren Sinne versteht man die Einwirkung äußerer Kräfte 

auf ein elastische Medium, welche dazu führen, daß das elastische Medium an den Punkten 

der Krafteinwirkung räumlich fixiert ist. In solchen Studien liegt zumeist ein attraktives 

Pinning-Potential vor. Das System versucht seine Gesamtenergie zu minimieren, 

indem es die elastische Energie innerhalb des Mediums zu minimieren versucht, gleichzeitig 

aber auch eine optimale Anordnung seiner Komponenten bezüglich der meist zufällig 

verteilten Pinning-Zentren anstrebt. Dieser Wettstreit kann, wie z.B. in einer Studie von 

229


Carpentier und Le Doussal [125] dargelegt, zur Ausbildung einer Glas-Phase im zweidimensionalen 

Dreiecksgitter führen. Pinning-Studien an zweidimensionalen Systemen 

sind von großem Interesse, da sie als Modelle für recht unterschiedliche physikalische Systeme 

dienen können. Die offensichtlichste experimentelle Umsetzung sind Monolagen in 

Wechselwirkung mit ungeordneten Substraten (siehe z.B. [126] und Referenzen darin). 

Ein weiteres sehr interessantes Gebiet, in dem Pinning-Modelle zum Einsatz kommen, ist 

das Pinning des Abrikosov Gitters der magnetischen Flußlinien in Supraleitern des Typs 

II. In diesen Systemen bilden Defekte im Kristallgitter, welches das Abrikosov Gitter beherbergt, 

die Pinning-Zentren. Das Modellsystem der harten Scheiben mit eingefrorenen 

Punktstörstellen kann auch als ein Modell einer Wechselwirkung einer Monolage mit einem 

Substrat aufgefaßt werden. Die raumfesten Punktstörstellen gehören dann, wie z.B. 

im Falle des Pinnings des Abrikosovgitters, nicht zum Bezugssystem des zweidimensionalen 

Festkörpers. Das hier untersuchte Modellsystem harter Scheiben mit Punktstörstellen 

unterscheidet sich von den Pinning-Studien darin, daß das Pinning-Potential hier repulsiv 

ist. Zudem sind die Pinning-Zentren ausschließlich auf die verfügbaren Zwischengitterplätze 

des Dreiecksgitters zufällig verteilt. D.h. das ungeordnete Pinning-Potential ist 

kommensurabel mit dem Dreiecksgitter. Die Ausbildung einer Glas-Phase, wie in dem 

System von Carpentier und Le Doussal [125] ist in diesem Fall nicht möglich. 

Prinzipiell wirft die vorhandene eingefrorene Unordnung in den Systemen die Frage auf, 

wie diese im Rahmen einer Untersuchung mit den Methoden der Statistischen Physik 

korrekt berücksichtigt werden kann. Zur Mittelwertbildung bezüglich des Statistischen 

Ensembles, innerhalb dessen die Analyse vorgenommen wird, kommt nun zusätzlich eine 

Mittelwertbildung über die Realisierungsmöglichkeiten der Unordnung hinzu. Während 

im Falle einer getemperten Unordnung (annealed) die Freie Energie direkt berechnet 

werden kann (dies wurde bereits zur Berechnung der Fluktuationsformeln ausgenutzt) 

∫ 

e −βF annealed 

= 

∏N st ∫ 

dΓ N 

j=1 

d⃗r j e −βH(Γ,{⃗r j}) 

gilt für eingefrorene Unordnung (quenched): 

∫ 

e −βF quenched({⃗r j }) = dΓ N e −βH(Γ,{⃗r j}) 

Ist das System groß genug, so daß bei einer Zerlegung in Untersysteme, diese als makroskopische 

Realisierungen verschiedener Anordnungen der eingefrorenen Unordnung 

angesehen werden können, so nennt man das System selbst-mittelnd (self-averaging). 

Die experimentelle Messung einer Observablen in einem solchen System kann hier als 

eine Mittelwertbildung über die Realisierungsmöglichkeiten der Unordnung interpretiert 

werden. Die experimentell in einem solchen System gemessene Freie Energie ist: 

F = 

∏N st ∫ 

j=1 

P ({⃗r j })F quenched ({⃗r j })d⃗r j = − 1 β 

∏N st ∫ 

j=1 

P ({⃗r j }) ln Z({⃗r j })d⃗r j 

230


P ({⃗r j }) ist hierbei die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Störstellen. Aufgrund des Logarithmus 

kann die Integration nicht in unabhängige Integrale über einzelne Komponenten 

⃗r j zerlegt werden. Um dieses technische Problem zu umgehen verwendet man den sogenannten 

Replica Trick: 

ln Z = lim 

n→0 

Z n − 1 

n 

Statt des Logarithmus wird nun die n-te Potenz der Zustandssumme berechnet: 

∏N st ∫ 

j=1 

∏N st ∫ 

P ({⃗r j }) (Z({⃗r j })) n d⃗r j = 

j=1 

∏ 

∫ 

N st 

= 

j=1 

∫ 

= 

∫ 

= 

P ({⃗r j }) 

∫ 

P ({⃗r j }) 

∫ 

dΓ N,1 · · · 

∫ 

dΓ N,1 · · · 

n∏ 

Z α ({⃗r j })d⃗r j 

α=1 

∫ 

dΓ N,1 · · · 

∏N st ∫ 

dΓ N,n 

j=1 

dΓ N,n e −βHn(Γα) 

dΓ N,n e −β P n 

α=1 H(Γα,{⃗r j}) d⃗r j 

P ({⃗r j })e −β P n 

α=1 H(Γα,{⃗r j}) d⃗r j 

H n (Γ α ) wird als das effektive Hamilton Funktional des Replica-Systems bezeichnet und 

ist unabhängig von der speziellen Realisierung der eingefrorenen Unordnung. Es ist wichtig 

zu bemerken, daß der Mittelwert über die Unordnung die einzelnen Replica-Systeme 

miteinander koppelt. Auch bei der Berechnung der Grenzwerts n → 0 muß mit Sorgfalt 

vorgegangen werden. Für weitere Details zur Replica-Methode siehe [127, 128, 93] und 

Referenzen darin. 

Zunächst wird nun betrachtet wie in den Pinning-Studien das Hamilton Funktional zur 

Beschreibung der Wechselwirkung zwischen elastischem Medium und Pinning-Potential 

gewonnen wird. Es zeigt sich hierbei (z.B. [126, 129, 125]), daß die genaue Struktur der 

Wechselwirkung eines einzelnen Pinning-Zentrums nicht von Bedeutung ist. Wichtig ist, 

daß der Mittelwert der zufälligen Verteilung der Pinning-Zentren gleich Null ist V (⃗r) = 0 

und für die Standardabweichung der Verteilung gilt: V (⃗r)V (⃗r ′ ) = ∆(⃗r − ⃗r ′ ), wobei 

die einzelnen Pinning-Zentren auch völlig unkorreliert seien können, d.h. ∆(⃗r − ⃗r ′ ) = 

δ(⃗r − ⃗r ′ ). Diese Anforderungen erfüllt auch die zufällige Anordnung der Punktstörstellen 

im Harte Scheiben System. Die Verteilung der Pinning-Zentren koppelt an die 

Anzahldichte ϱ(⃗r) des elastischen Mediums. Dies führt zu folgendem Ansatz: 

∫ 

H pin = d⃗r V (⃗r)ϱ(⃗r) 

Nach [129, 125] kann man mit Hilfe der Replica-Methode und unter Berücksichtigung 

der diskreten Natur der Anzahldichte ϱ(⃗r) diesen Ansatz auf folgende Form bringen: 

∫ ( 

1 

βH pin = d⃗r 

2 σ ij(⃗r) (∂ i u j + ∂ j u i ) + 2 √ g ∑ ( ) ) 

cos ⃗Gl ⃗u(⃗r) + φ l (⃗r) 

l 

231


Hierbei sind ⃗u das Verschiebungsfeld, Gl ⃗ die reziproken Gittervektoren des Dreiecksgitters 

und φ l (⃗r) eine vom Ort und vom jeweiligen reziproken Gittervektor abhängige 

Phasenverschiebung. Der Vorfaktor g ist u.a. proportional zur Reichweite des Pinning- 

Potentials, d.h. in dem hier betrachteten Fall ein halber Teilchendurchmesser. Der erste 

Summand beschreibt den Einfluß des langreichweitigen Anteils der Unordnung auf das 

Kristallgitter. Dieser Anteil entspricht in seiner Struktur einem durch eine zusätzliche 

Spannung σ ij hervorgerufenen Beitrag. Nelson [130] untersucht diesen Beitrag der Unordnung 

im Detail an einem System mit eingefrorenen Verunreinigungen. In der Studie wird 

der parelastische Fall einer permanenten lokalen Verzerrung der Gitterstruktur durch 

die Verunreinigungen untersucht. Der am Harte Scheiben System mit Punktstörstellen 

zu untersuchende dielastische Fall führt jedoch auch, wie H pin zeigt, auf einen solchen 

Beitrag, der als zusätzliche isotrope Spannung interpretiert werden kann. Der erste Summand 

kann daher durch eine homogene Dilatation des Kristallgitters ⃗u(⃗r) → ⃗u(⃗r) + A⃗r 

(A =konstant) formal zum Verschwinden gebracht werden. Dies entspricht einer Reskalierung 

der elastischen Konstanten. Aufgrund des repulsiven Pinning-Potentials im hier 

zu untersuchenden Harte Scheiben System mit Punktstörstellen, ist das Vorzeichen von 

H pin umgekehrt zu dem in [129, 125]. Man erwartet durch die eingefrorene Unordnung 

einen erhöhten Druck im System, so daß das Kristallgitter komprimiert werden muß. Dies 

führt dazu, daß sowohl der reskalierte Kompressionsmodul K s als auch der reskalierte 

Schermodul µ s größer als die ursprünglichen Module sind. Das Hamilton Funktional des 

Gesamtsystems schreibt sich nun als: 

H = H elast + H pin = H elast,s + H st 

Dabei bezeichnet H elast,s den reskalierten, elastischen Anteil und H st den verbleibenden 

zweiten Summanden in H pin . Welchen Einfluß hat nun H st auf das elastische Verhalten 

des Systems? 

Um diesen Beitrag quantitativ etwas genauer betrachten zu können, folgt man am besten 

dem Ansatz von Villain und Fernandez [131]. Die Autoren analysieren das Verhalten 

eines harmonischen, zweidimensionalen Systems in einem zufälligen Störfeld. Dieses System 

kann z.B. als Modell für Xenon-Monolagen auf Kupfer (110)-Oberflächen, die eingefrorene 

Verunreinigungen auf Zwischengitterplätzen aufweisen, dienen. Der Einfluß der 

zufällig auf Zwischengitterplätze verteilten Verunreinigungen wird hier durch einen Term 

proportional zu − ∑ i cos (x i − a i ) im Ansatz erfaßt. Hierbei ist x i ein skalares, kontinuierliches 

Feld und −π < a i ≤ π eine gleichverteilte Zufallsvariable (P (a i ) = 1/2π). Es 

ist daher sinnvoll für das System harter Scheiben mit zufällig auf Zwischengitterplätze 

verteilten Punktstörstellen einen analogen Ansatz für H st zu machen. 

H st 

= − A V 

= − A V 

= − A V 

∫ 

∫ 

∫ 

∑N st ∑ ( ) 

d⃗r cos ⃗G [⃗r − ⃗rj ] =− A V 

j=1 

⃗G 

∑ ( ) 

d⃗rN st cos ⃗Gl [⃗r − ⃗u st ] =− A ∫ 

V 

l 

∑ ( ) 

d⃗rN st cos ⃗Gl [⃗u(⃗r) − ⃗u st ] 

l 

∫ 

∑N st ∑ ( 

d⃗r cos ⃗Gl 

[⃗r − R ⃗ ]) 

j − ⃗u st 

j=1 

l 

d⃗rN st 

∑ 

l 

( [ ]) 

cos ⃗Gl ⃗R(⃗r) + ⃗u(⃗r) − ⃗ust 

232


Hierbei ist A eine Konstante, welche u.a. die Stärke des Pinning-Potentials beinhaltet. 

Bei den Umformungen wurde verwendet, daß die Positionen der N st Störstellen ⃗r j 

jeweils durch eine feste Verschiebung ⃗u st von einem benachbarten Gitterplatz R ⃗ j dargestellt 

werden können. Ebenso läßt sich jede Position durch einen Gittervektor und eine 

zusätzliche Verschiebung ausdrücken: ⃗r = R(⃗r) ⃗ + ⃗u(⃗r). Des weiteren ergibt das Skalarprodukt 

eines reziproken Gittervektors G ⃗ l mit einem Gittervektor R ⃗ per Definition ein 

Vielfaches von 2π. Im Festkörper, fern des Schmelzübergangs, kann davon ausgegangen 

werden, daß der Betrag des Verschiebungsvektors ⃗u klein ist. Es bietet sich daher an, 

eine Taylorentwicklung der Kosinusfunktion um ⃗u = ⃗0 vorzunehmen. Man erhält dann: 

∑ 

l 

( ) 

cos ⃗Gl [⃗u(⃗r) − ⃗u st ] ≈ ∑ l 

{ 

1 − sin 

(− G ⃗ ) 

l ⃗u ⃗Gl st ⃗u − 1 } 

(− 

2 cos G ⃗ l ⃗u st 

)| G ⃗ l | 2 |⃗u| 2 

Die Summe über alle reziproken Gittervektoren sorgt dafür, daß der in ⃗u lineare Summand 

weg fällt. Der konstante erste Term der Taylorentwicklung hat keine Auswirkung 

auf das elastische Verhalten des Systems und wird daher im Folgenden nicht mehr berücksichtigt. 

Es verbleibt: 

H st ≈ A 2 

N st 

V 

∫ 

d⃗r ∑ l 

( 

cos ⃗Gl ⃗u st 

)| G ⃗ l | 2 |⃗u(⃗r)| 2 = A ∫ 

2 x stϱ ∗ 

d⃗r ∑ l 

( ) 

cos ⃗Gl ⃗u st | G ⃗ l | 2 |⃗u(⃗r)| 2 

Für die weitere Auswertung diese Ausdrucks genügt es drei der kürzesten reziproken 

Gittervektoren des Dreiecksgitters in der Summe zu berücksichtigen. Sie lauten: 

⃗G 1 = 2π a 

⃗G 2 = 2π a 

⃗G 3 = 2π a 

( 

2/ √ ) 

3, 0 

( 

−1/ √ ) 

3, 1 

( 

−1/ √ ) 

3, −1 

, |G 1 | = 2π a 

, |G 2 | = 2π a 

, |G 3 | = 2π a 

2 

√ 

3 

2 

√ 

3 

2 

√ 

3 

wobei a die Gitterkonstante des Dreiecksgitters ist. Um die Phasenverschiebungen φ l = 

⃗G l ⃗u st berechnen zu können, muß man zunächst ⃗u st genauer betrachten. Im Dreiecksgitter 

gibt es zwei mögliche Zwischengitterplätze pro Einheitszelle, so daß ⃗u st,1 = a ( √ ) 

2 1, 1/ 3 

oder ⃗u st,2 = a ( √ ) 

2 1, −1/ 3 möglich ist. Beide Positionen werden in den Simulationen 

mit gleicher Wahrscheinlichkeit besetzt. In dieser Näherung erhält man die folgenden 

möglichen Zahlenwerte für die Phasenverschiebung: 

φ 1 = G ⃗ 1 ⃗u st,1 = √ 2π und φ 1 = G ⃗ 1 ⃗u st,2 = √ 2π 

3 3 

φ 2 = G ⃗ 2 ⃗u st,1 = 0 oder φ 2 = G ⃗ 2 ⃗u st,2 = −√ 2π 

3 

φ 3 = G ⃗ 3 ⃗u st,1 = √ 2π oder φ 3 = G ⃗ 3 ⃗u st,2 = 0 

3 

233


Setzt man diese Zusammenhänge nun in das Hamilton Funktional ein und berücksichtigt 

dabei die Gleichwertigkeit der beiden möglichen Zwischengitterplätze, so erhält man 

folgenden Ausdruck: 

H st = A ∫ { ( ) 2π 

2 x stϱ ∗ d⃗r cos √ | G ⃗ 1 | 2 |⃗u(⃗r)| 2 + 1 [ 

( 

cos (0) + cos − 2π )] 

√ | G 3 2 

⃗ 2 | 2 |⃗u(⃗r)| 2 

3 

+ 1 [ ( ) ] 

} 

2π 

cos √ + cos (0) | G 

2 

⃗ 3 | 2 |⃗u(⃗r)| 2 

3 

Da alle drei reziproken Gittervektoren den gleichen Betrag | G| ⃗ = 2π √2 

a 3 

haben, vereinfacht 

der Ausdruck sich weiter auf: 

H st = A ∫ [ ( ) ] 

∫ 

2π 

2 x stϱ ∗ d⃗r 2 cos √ + 1 | G| ⃗ 2 |⃗u(⃗r)| 2 = A ′ x st d⃗r|⃗u(⃗r)| 2 

3 

[ ( ) ] 

wobei die Konstante A ′ = Aϱ∗ 

2 

2 cos √ 2π 

3 

+ 1 | G| ⃗ 2 eingeführt wurde. Für die weiteren 

Berechnungen erweist es sich als günstig zu einer Darstellung im Fourier Raum zu 

wechseln. 

H st = A ′ x st 

∫ 

= A ′ x st 

∫ 

= A ′ x st 

∫ 

∫ 

d⃗r 

d ⃗ ∫ 

k 

(2π) 2 

d ⃗ ∫ 

k 

(2π) 2 ei⃗ k⃗r ⃗u( ⃗ k) 

d ⃗ k 

(2π) 2 ⃗u(⃗ k)⃗u(− ⃗ k) 

d ⃗ k ′ 

(2π) 2 ei⃗ k ′ ⃗r ⃗u ∗ ( ⃗ k ′ ) 

d ⃗ k ′ ⃗u( ⃗ k)⃗u ∗ ( ⃗ k ′ )δ( ⃗ k − ⃗ k ′ ) 

Es ist üblich die Fourier Komponenten des Verschiebungsfeldes in ihren longitudinalen 

und transversalen Anteil bezüglich des betrachteten Wellenvektors ⃗ k zu zerlegen (siehe 

z.B. [76]). Diese sind wie folgt definiert: u L ( ⃗ k) = ˆk⃗u( ⃗ k) und damit ⃗u L ( ⃗ k) = ˆku L ( ⃗ k) 

und ⃗u T ( ⃗ k) = ⃗u( ⃗ k) − ˆku L ( ⃗ k). Hierbei ist ˆk = ⃗ k/| ⃗ k| der Einheitsvektor in Richtung des 

Wellenvektors. Das Hamilton Funktional des gesamten Systems in der Darstellung im 

Fourier Raum ist somit gegeben durch: 

∫ 

H = 1 2 

= 1 ∫ 

2 

d ⃗ k {[ 

(Ks 

(2π) 2 + µ s ) k 2 u 2 L + µ s k 2 ] 

⃗u T ⃗u T + 2A ′ ( )} 

x st u 

2 

L + ⃗u T ⃗u T 

d ⃗ k {[ 

(Ks 

(2π) 2 + µ s ) k 2 + 2A ′ ] 

x st u 

2 

L + [ µ s k 2 + 2A ′ ] } 

x st ⃗uT ⃗u T 

Mit Hilfe des Äquipartitionstheorems kann man aus dem langwelligen Grenzfall direkt 

die effektiven elastischen Konstanten des Systems ablesen. Es gilt: 

( 

kB T k 2 ) 

µ s k 2 + 2A ′ x st 

k B T 

µ eff 

= lim 

⃗k→ ⃗0 

= lim 

⃗k→ ⃗0 

〈⃗u T ( ⃗ k)⃗u T (− ⃗ k)〉k 2 = lim 

⃗k→ ⃗0 

( 

k B T 

µ s + 2A′ x st 

k 2 ) 

234


Man erkennt, daß der bereits durch die eingefrorene Unordnung reskalierte Schermodul 

µ s durch einen weiteren k abhängigen Anteil renormiert wird. Im endlichen System 

der linearen Ausdehnung L gilt für den Betrag des kleinsten, aufgelösten Wellenvektors 

k ∝ 2π L 

. Das bedeutet, daß der Schermodul systemgrößenabhängig wird! 

µ eff = µ eff (L) ∝ µ s + 2A′ x st L 2 

Aus dem longitudinalen Anteil erhält man: 

k B T 

(K + µ) eff 

= lim 

⃗k→ ⃗0 

= lim 

⃗k→ ⃗0 

2π 

〈⃗u L ( ⃗ k)⃗u L (− ⃗ k)〉k 2 = lim 

( ) 

kB T 

K s + µ eff 

⃗k→ ⃗0 

( 

k B T k 2 ) 

(K s + µ s ) k 2 + 2A ′ x st 

Aus diesem Zusammenhang liest man ab, daß (K + µ) eff = K s + µ eff . Der durch die 

Unordnung bereits reskalierte Kompressionsmodul K s wird durch diesen Beitrag der 

Unordnung nicht weiter beeinflußt! 

Aufgrund der soeben vorgestellten theoretischen Überlegungen, die das Modellsystem 

der harten Scheiben mit Punktstörstellen im Umfeld des Pinnings interpretieren, erwartet 

man in Simulationen mit eingefrorener Unordnung die folgenden Beobachtungen zu 

machen: 

→ Kompressionsmodul und Schermodul steigen aufgrund der Unordnung mit der 

Konzentration x st der Störstellen im System an. Diese Erwartung ist durch den 

als zusätzlichen, isotropen Druck zu interpretierenden Anteil des Einflusses der 

Unordnung begründet. 

→ Der Schermodul steigt mit der Größe des simulierten Systems systematisch an, 

wohingegen der Kompressionsmodul keine derartige Abhängigkeit von der Systemgröße 

aufweist. Die Ursache dieses Anstiegs liegt im ⃗ G ≠ 0 Anteil der Unordnung. 

→ Der isotrope Druck im System steigt mit der Anzahl der Störstellen N st an. Dieser 

Erwartung liegt die Überlegung zugrunde, daß jede einzelne Störstelle einem sogenannten 

’excluded Volume’ von π(a/2) 2 entspricht. Eine effektive Verkleinerung des 

dem System zur Verfügung stehenden Volumens entspricht einer Druckerhöhung. 

16.2. Die Simulation 

Monte Carlo Simulationen eines Systems von N harten Scheiben mit Durchmesser σ = 1 

im kanonischen Ensemble wurden durchgeführt. Bei allen Simulationen wurden periodische 

Randbedingungen verwendet. Die Startkonfiguration ist jeweils ein aufgesetztes, 

perfektes Dreiecksgitter. N st Punktstörstellen wurden zufällig auf die Zwischengitterplätze 

dieses Dreiecksgitters verteilt. In Abbildung 16.1 a) ist eine solche Startkonfiguration 

beispielhaft dargestellt. Hier wurden die Störstellen, um sie sichtbar zu machen, 

235


a) b) 

Abbildung 16.1: a) Startkonfiguration einer Simulation mit einer Störstellenkonzentration von x st = 

0.32%. Störstellen sind in rot dargestellt. Der Durchmesser der Störstellen wurde in der Darstellung auf 

σ st = 0.4σ gesetzt, um die Punktstörstellen sichtbar zu machen. In den Simulationen ist σ st = 0. b) eine 

Beispielkonfiguration eines Simulationslaufs mit festen Störstellen nach 40 · 10 6 MCS. 

mit einem Durchmesser von σ st = 0.4σ dargestellt. Die Konzentration der Störstellen x st 

wird bezüglich des ungestörten Systems angegeben: x st = (N st /N) · 100%. 

16.3. Analyse der Verzerrungskorrelationsfunktionen 

Die Analyse der Verzerrungskorrelationsfunktionen erfolgt analog zu den an den harmonischen 

Systemen in Kapitel 10 durchgeführten Analysen. Das Referenzgitter wird aus 

den mittleren Teilchenpositionen bestimmt. Aus dem jeweiligen Verschiebungsfeld werden 

die benötigten vergöberten Verzerrungen berechnet. Die Anwesenheit von Punktstörstellen 

im System stört die räumliche Anisotropie der Verzerrungskorrelationen weder 

im Fall von frei diffundierenden Störstellen (siehe Abbildung 16.2), noch im Fall von 

eingefrorenen Defekten (siehe Abbildung 16.3). Wie man sieht wird jedoch der Übergang 

nach ⃗ k = ⃗0 durchaus stark verändert, sofern die Defekte eingefroren sind. In den 

in Abbildung 16.4 links dargestellten Schnitten der Verzerrungskorrelationsfunktionen 

G ii (⃗r) im Ortsraum erkennt man, daß selbst bei einer Konzentration der Störstellen von 

x st = 6.41% die Form der Korrelationen unverändert bleibt, falls die Störstellen frei diffundieren 

können. Die Schnitte für den Fall x st = 6.41% fallen mit denen des ungestörten 

Systems (schwarz dargestellt) zusammen. Daher fallen die Schnitte der Korrelationsfunktion 

dieser beiden Situationen auch im Fourier Raum aufeinander (siehe Abbildung 16.4 

rechts). Kleinere Schwankungen in diesem Fall sind auf numerische Ungenauigkeiten in 

der Fourier Transformation und auf die Tatsache, daß hier exemplarisch nur eine einzelne 

Simulation ausgewertet wurde zurückzuführen. Eine Verbesserung der Statistik durch 

236


a) ~ 

G 11(k) 

b) G ~ (k) c) 

22 

G ~ (k) 

33 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.005 

0.004 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

Abbildung 16.2: Die Verzerrungskorrelationsfunktionen ˜G ii( ⃗ k) (i = 1, 2, 3) eines Harte Scheiben Systems 

mit x st = 6.41% diffundierender Punktstörstellen im Fourier Raum. 

a) ~ 

G 11(k) 

b) G ~ (k) c) 

22 

G ~ (k) 

33 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.005 

0.004 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

Abbildung 16.3: Die Verzerrungskorrelationsfunktionen ˜G ii( ⃗ k) (i = 1, 2, 3) eines Harte Scheiben Systems 

mit x st = 6.41% eingefrorener Punktstörstellen im Fourier Raum. 

237


a) 

0.0004 

x st 

= 0.0 % 

x st = 6.41 %; diffundierend 

x st 

= 6.41 %; eingefroren 

0.004 

G 11 

(r/a) 

0.0002 

G 11 

(k) 

~ 

0.002 

0 

-20 0 20 

r/a 

0 

x st 

= 0.0% 

x st 

= 6.41%; diffundierend 

x st 

= 6.41%; eingefroren 

-1 0 1 

k 

b) 

0.001 

x st 

= 0.0 % 

x st 

= 6.41 %; diffundierend 

x st 

= 6.41 %; eingefroren 

0.015 

G 22 

(r/a) 

c) 

0.0005 

0 

0.0002 

-20 -10 0 10 20 

r/a 

x st 

= 0.0 % 

x st = 6.41 %; diffundierend 

x st = 6.41 %; eingefroren 

G 22 

(k) 

~ 

0.01 

0.005 

0 

0.004 

-1 0 1 

k 

x st = 0.0% 

x st = 6.41%; diffundierend 

x st = 6.41%; eingefroren 

G 33 

(r/a) 

0.0001 

G 33 

(k) 

~ 

0.002 

0 

-20 0 20 

r/a 

0 

x st = 0.0% 

x st = 6.41%; diffundierend 

x st 

= 6.41%; eingefroren 

-1 0 1 

k 

Abbildung 16.4: Vergleich der Schnitte der Verzerrungskorrelationsfunktionen G ii(⃗r) eines Harte Scheiben 

Systems im Ortsraum (jeweils links dargestellt) und im Fourier Raum (jeweils rechts dargestellt). Es 

wird die Situation mit x st = 0% mit den zwei Fällen für x st = 6.41% verglichen. a) G 11(⃗r) entlang der 

Diagonalen bzw. ˜G 11( ⃗ k) entlang der Richtung k y = 2k x, b) G 22(⃗r) entlang der x-Achse bzw. ˜G 22( ⃗ k) entlang 

der Diagonalen und c) G 33(⃗r) entlang der Diagonalen bzw. ˜G 33( ⃗ k) entlang der Koordinatenachsen. 

das Bilden eines getemperten Mittelwerts würde die Übereinstimmung noch verbessern. 

Wie nach den theoretischen Vorüberlegungen erwartet, kann man aus den Korrelationsfunktionen 

des Systems mit frei diffundierenden Störstellen ablesen, daß diese die 

elastischen Eigenschaften des Systems unbeeinflußt lassen. 

238


a) 

st = 0 

N st = 1 

N = 10 

st 

N = 100 

st 

N = 200 

st 

G 11 

(r) 

5·10 -6 0 

-5·10 -6 

-0.00001 

-20 

20 

0 y 

5·10 -6 0 

-5·10 -6 

-0.00001 

-20 

20 

0 y 

5·10 -6 0 

-5·10 -6 

-0.00001 

-20 

20 

0 y 

5·10 -6 0 

-5·10 -6 

-0.00001 

-20 

20 

0 y 

5·10 -6 0 

-5·10 -6 

-0.00001 

-20 

20 

0 y 

0 

x 

-20 

20 

0 

x 

-20 

20 

0 

x 

-20 

20 

0 

x 

-20 

20 

0 

x 

-20 

20 

b) 

N st = 0 

N N st = 1 

N = 10 

st 

N = 100 

st 

N = 200 

st 

G (r) 

22 

0.00004 

0.00002 

-0.00002 0 

-0.00004 

-20 

20 

0 y 

0.00004 

0.00002 

-0.00002 0 

-0.00004 

-20 

20 

0 y 

0.00004 

0.00002 

-0.00002 0 

-0.00004 

-20 

20 

0 y 

0.00004 

0.00002 

-0.00002 0 

-0.00004 

-20 

20 

0 y 

0.00004 

0.00002 

-0.00002 0 

-0.00004 

-20 

20 

0 y 

0 

x 

-20 

20 

0 

x 

-20 

20 

0 

x 

-20 

20 

0 

x 

-20 

20 

0 

x 

-20 

20 

c) 

N st = 0 

N st = 1 

N = 10 

st 

N = 100 

st 

N = 200 

st 

G (r) 

33 

0.00001 

5·10 -6 

-5·10 -60 

-0.00001 

-20 

20 

0 y 

0.00001 

5·10 -6 

-5·10 -60 

-0.00001 

-20 

20 

0 y 

0.00001 

5·10 -6 

-5·10 -60 

-0.00001 

-20 

0 

y 

20 

0.00001 

5·10 -6 

-5·10 -60 

-0.00001 

-20 

20 

0 y 

0.00001 

5·10 -6 

-5·10 -60 

-0.00001 

-20 

20 

0 y 

0 

x 

-20 

20 

0 

x 

-20 

20 

0 

x 

-20 

20 

0 

x 

-20 

20 

0 

x 

-20 

20 

x = 0 % 

st 

x = 6.41 % 

st 

Abbildung 16.5: a) Von links nach rechts ist die Verzerrungskorrelationsfunktion G 11(⃗r) in Abhängigkeit 

von der steigenden Konzentration der eingefrorenen Störstellen x st dargestellt (N st: Anzahl der 

Störstellen). Die Skala der Projektion der dreidimensionalen Kurven auf die xy-Ebene ist jeweils identisch 

zu der in der dreidimensionalen Darstellung. b) und c) analoge Darstellung der Korrelationsfunktionen 

G 22(⃗r) und G 33(⃗r) respektive. 

239


P(D 2 ) 

20 

10 

x st 

= 0.000% 

x st 

= 0.032% 

x st 

= 0.320% 

x st 

= 3.205% 

x st 

= 6.410% 

0 

0 0.1 0.2 

D 2 

Abbildung 16.6: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Stärke der Nicht-Affinität P (D 2 ) für verschiedene 

Konzentrationen der eingefrorenen Störstellen. 

Die Situation ist anders, sofern die Störstellen eingefroren sind. Abbildungen 16.4 a) und 

16.5 a) zeigen, daß die Korrelationsfunktion der Fluktuationen der Volumenverzerrungen 

G 11 (⃗r) einen antikorrelierten Bereich entwickelt. Die antikorrelierten Bereiche der 

deviatorischen und Scherfluktuationen werden ausgeprägter, verlieren jedoch an Reichweite. 

Im Fourier Raum (siehe Abbildung 16.4 rechte Spalte) führt dies zu niedrigeren 

Werten im Bereich kleiner Wellenvektoren. 

Zur weiteren Veranschaulichung der Auswirkungen, die diese eingefrorene Unordnung 

auf das geordnete Dreiecksgitter der harten Scheiben hat, sind in Abbildung 16.5 die 

Korrelationsfunktionen G ii (⃗r), i = 1, 2, 3 für verschiedene Störstellenkonzentrationen x st 

im Ortsraum exemplarisch für einzelne Simulationen, d.h. für einzelne zufällige Anordnungen 

der Punktstörstellen auf Zwischengitterplätzen, dargestellt. Wie bereits in der 

Diskussion der Nicht-Affinitäten in geordneten Strukturen dargelegt werden Antikorrelationen 

auch in den Korrelationsfunktionen des nicht-affinen Verschiebungsfeldes in amorphen 

Systemen beobachtet [120, 122, 123]. Sie werden in diesem Umfeld mit dem Auftreten 

ausgedehnter Vortexstrukturen im nicht-affinen Verschiebungsfeld in Verbindung 

gebracht. Die hier vorgelegte Analyse der Verzerrungskorrelationen des Harte Scheiben 

Systems wertet im Gegensatz dazu ausschließlich den affinen Anteil des Verschiebungsfeldes 

aus. Wie man aus Abbildung 16.6 ablesen kann bleibt das Maß der Nicht-Affinität 

D 2 (Definition siehe Kapitel 9.7) von den eingefrorenen Störstellen praktisch unbeeinflußt. 

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung P (D 2 ) weist kaum eine Abhängigkeit von der 

Konzentration der eingefrorenen Störstellen auf. Die Antikorrelation wird somit in dem 

hier betrachteten System nicht durch nicht-affine Deformationen hervogerufen, sondern 

240


a) 

st = 0 

N st = 1 

N = 10 

st 

N = 100 

st 

N = 200 

st 

~ 

G 11 

(k) 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

-1 

1 

0 

ky 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

-1 

1 

0 

ky 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

b) 

N st = 0 

N N st = 1 

N = 10 

st 

N = 100 

st 

N = 200 

st 

~ 

G 22 

(k) 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-1 

1 

0 

ky 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-1 

1 

0 

ky 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-1 

1 

0 

ky 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-1 

1 

0 

ky 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-1 

1 

0 

ky 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

c) 

N st = 0 

N st = 1 

N = 10 

st 

N = 100 

st 

N = 200 

st 

~ 

G 33 

(k) 

0.005 

0.004 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.005 

0.004 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.005 

0.004 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.005 

0.004 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0.005 

0.004 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-1 

0 

1 

ky 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

x = 0 % 

st 

x = 6.41 % 

st 

Abbildung 16.7: a) Von links nach rechts ist die Verzerrungskorrelationsfunktion ˜G 11( ⃗ k) in Abhängigkeit 

von der steigenden Konzentration der eingefrorenen Störstellen x st dargestellt (N st: Anzahl der 

Störstellen). Die Skala der Projektion der dreidimensionalen Kurven auf die xy-Ebene ist jeweils identisch 

zu der in der dreidimensionalen Darstellung. b) und c) analoge Darstellung der Korrelationsfunktionen 

˜G 22( ⃗ k) und ˜G 33( ⃗ k) respektive. 

241


a) 0.005 

0.004 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

G 

~ 

11 

(k) 

N st 

= 0 

N st 

= 1 

N st = 10 

N st 

= 100 

N st 

= 200 

-1 0 1 

k 

b) 

~ 

G 22 

(k) 

0.01 

0.005 

0 

-1 0 1 

k 

N st 

= 0 

N st 

= 1 

N st 

= 10 

N st = 100 

N st 

= 200 

c) 

~ 

G 33 

(k) 

0.003 

0.002 

0.001 

0 

-1 0 1 

k 

N st 

= 0 

N st 

= 1 

N st 

= 10 

N st 

= 100 

N st = 200 

Abbildung 16.8: Schnitte der Korrelationsfunktionen 

˜G ii( ⃗ k) in Abhängigkeit von der Anzahl der 

Punktstörstellen in einem System von N = 3120 harten Scheiben bei ϱ ∗ = 1.0. a) ˜G ii( ⃗ k) entlang der 

Richtung k y = 2k x, b) ˜G 22( ⃗ k) entlang der Diagonalen und c) ˜G 33( ⃗ k) entlang der Koordinatenachsen. 

durch die eingefrorene Unordnung im System bewirkt. Diese ändert somit sowohl den 

Charakter als auch die Reichweite der nicht-lokalen Kopplungen zwischen den Fluktuationen 

der Verzerrungen und Spannungen. Wenn man sich in Erinnerung ruft, daß über 

die statische Summenregel das Integral über die Korrelationsfunktionen mit den Elementen 

des Nachgiebigkeitstensors verknüpft sind, so erkennt man, daß das Auftreten 

und die Verstärkung der Antikorrelationen zu kleineren Werten in den Elementen des 

Nachgiebigkeitstensors führt. Da diese das Inverse des Tensors der elastischen Konstanten 

sind, kann man daraus schließen, daß die Antikorrelationen zu einer Erhöhung der 

elastischen Module führt. Das Material wird härter. 

Wie sich der Anstieg der Störstellenkonzentration im Fourier Raum auswirkt ist in Abbildung 

16.7 gezeigt. Neben dem durch das NV T Ensemble bedingten diskontinuierlichen 

Sprung der Korrelationsfunktionen auf gegen Null gehende Werte für ⃗ k = ⃗0, entwickeln 

alle Korrelationsfunktionen nun mit steigender Konzentration der Störstellen einen immer 

stärker abfallenden Bereich für ⃗ k → ⃗0. Dies ist ein weiterer Hinweis darauf, daß die 

elastischen Konstanten des Systems im Falle fester Störstellen durch diese verändert 

werden. Für einen genaueren Vergleich werden in Abbildung 16.8 Schnitte der Korrelationsfunktionen 

im Fourier Raum entlang der Richtung k y = 2k x für ˜G 11 ( ⃗ k), entlang der 

Diagonalen für ˜G 22 ( ⃗ k) und entlang der Koordinatenachsen für ˜G 33 ( ⃗ k) in Abhängigkeit 

von der Störstellenkonzentration gezeigt. Da ˜G 11 ( ⃗ k) keinen kontinuierlichen Übergang 

nach ⃗ k = ⃗0 aufweist, kann nicht direkt auf das Verhalten des Kompressionsmoduls 

geschlossen werden. Die beiden anderen Korrelationsfunktionen sind in den gezeigten 

Richtungen jedoch kontinuierlich im langwelligen Grenzfall. Der starke Abfall der Korrelationsfunktion 

für diesen Grenzfall kann daher direkt als ein Ansteigen der zugehörigen 

elastischen Konstanten, d.h. des Schermoduls, interpretiert werden. 

Dieses so unterschiedliche Verhalten des Systems in den zwei betrachteten Fällen ist auch 

in den Wahrscheinlichkeitsverteilungen der mittleren Verzerrungsfluktuationen P (e j ) 

deutlich zu erkennen. Diese wurden über Subboxen der Größe L B berechnet. Die Betrachtungen 

dieser Wahrscheinlichkeitsverteilungen dient nur der weiteren Illustration, 

da im Falle der eingefrorenen Störstellen je nach zufälliger Verteilung der Störstellen die 

242


80 

60 

j = 1 

j = 2 

j = 3 

j = 2θ 

P(e j 

) 

40 

20 

0 

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 

e j 

Abbildung 16.9: Wahrscheinlichkeitsverteilungen der mittleren Verzerrungsfluktuationen in einer Subbox 

der linearen Ausdehnung L B = L/6 in einem System harter Scheiben mit x st = 1.0% diffundierender 

Punktstörstellen. 

Konzentration der Störstellen x st innerhalb der Subbox schwanken wird. In Abbildung 

16.9 sind die Verteilungen des Systems mit frei diffundierenden Störstellen abgebildet. 

Die Störstellen verändern weder die Form noch die Position oder Breite der Verteilungen 

(zum Vergleich: der Fall x st = 0% ist in Kapitel 15 Abbildung 15.2 a) zu sehen). 

Die aus den Verteilungen berechneten elastischen Konstanten sind βσ 2 K = 106.3, 

βσ 2 (µ + p) = 57.0, 4βσ 2 (µ + p) = 209.8 und aus P (e 2θ ) βσ 2 µ = 36.8. Dies entspricht 

den Werten für das störstellenfreie Harte Scheiben System und bestätigt die Erwartung 

aus den analytischen Vorüberlegungen, daß frei diffundierende Punktstörstellen die 

elastischen Konstanten des Systems nicht beeinflußen. 

Im Gegensatz dazu sind die Auswirkungen der eingefrorenen Punktstörstellen in den 

Wahrscheinlichkeitsverteilungen der mittleren Verzerrungsfluktuationen P (e j ) gut zu erkennen. 

In Abbildung 16.10 ist dies für die Volumenfluktuationen e 1 und die Scherfluktuationen 

e 2θ gezeigt. Je mehr Punktstörstellen im System sind desto schmaler werden 

die Verteilungen, was einem Anstieg der entsprechenden elastischen Konstanten entspricht. 

Dies gilt insbesondere auch für die Volumenfluktuationen. Auch der Kompressionsmodul 

des Systems wird daher durch die Anwesenheit unbeweglicher Punktstörstellen 

erhöht. 

Um den gefundenen Effekt der Härtung des Materials, den die Punktstörstellen auf die 

elastischen Eigenschaften des Harte Scheiben Systems haben, systematischer zu Untersuchen, 

soll eine Skalenanalyse durchgeführt werden. Da die Skalenanalyse nach der 

Methode von Sengupta et al. [98] nur im Spezialfall des Dreiecksgitters und unter der 

nähernden Annahme isotroper Korrelationsfunktionen gültig ist, wird zunächst kontrol- 

243


a) 

P(e 1 

) 

100 

80 

60 

40 

x st = 0.03205 % 

x st = 0.3205 % 

x st = 0.9936 % 

x st = 3.205 % 

x st = 6.41 % 

b) 

100 

80 

60 

40 

P(θ) 

x st = 0.03205 % 

x st 

= 0.3205 % 

x st = 0.9936 % 

x st 

= 3.205 % 

x st = 6.41 % 

20 

20 

0 

-0.01 0 0.01 

e 1 

0 

-0.01 0 0.01 

θ 

Abbildung 16.10: Wahrscheinlichkeitsverteilung der mittleren Verzerrungsfluktuationen in Abhängigkeit 

der Konzentration der Störstellen in einer Subbox der linearen Ausdehnung L B = L/4. 

liert, ob die gewichtete Überlagerung der deviatorischen und der Scherkorrelationsfunktionen 

auch noch in einem System mit Störstellen eine isotrope Korrelationsfunktion 

ergeben. Im isotropen, zweidimensionalen Festkörper gilt a 3 = 4a 2 . In Abbildung 16.11 

b) ist der gewichtete Mittelwert der Korrelationsfunktionen ˜G 22 ( ⃗ k) und ˜G 33 ( ⃗ k): 

˜G av ( ⃗ k) = 1 ( 

˜G22 ( 

2 ⃗ k) + 4 ˜G 33 ( ⃗ ) 

k) 

dargestellt. Die ausschließlich auf Zwischengitterplätzen des Dreiecksgitters positionierten 

Punktstörstellen sind kommensurabel mit diesem, daher ist ˜G av ( ⃗ k) wie im Fall 

x st = 0% eine isotrope Funktion von ⃗ k. Zur systematischen Untersuchung der Systeme 

im thermodynamischen Limes kann somit das im Kapitel 9.6 diskutierte Skalierungsverfahren 

zur Bestimmung der elastischen Konstanten angewendet werden. 

a) 

~ 

G 11 

(k) 

~ 

b) G (k) 

av 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

-1 

1 

0 

ky 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-1 

1 

0 

ky 

0 

kx 

-1 

1 

0 

kx 

-1 

1 

Abbildung 16.11: Die Korrelationsfunktionen ˜G 11( ⃗ k) und ˜G av( ⃗ k) im Fourier Raum in einem System 

aus N = 3120 harten Scheiben bei ϱ ∗ = 1.0 mit x st = 6.41% festen Störstellen. 

244


16.4. ’Finite size’ Skalierung des Nachgiebigkeits-Tensors 

Pro Störstellenkonzentration x st wurden jeweils 30 zufällige, feste Störstellenverteilungen 

simuliert und über diese Realisierungen gemittelt. In Abbildung 16.12 ist das Produkt der 

aus den Datensätzen berechneten gemittelten Nachgiebigkeiten im Subvolumen mit dem 

Größenverhältnis des Subvolumens zum Simulationsvolumen L B /L als Funktion dessen 

für die Störstellenkonzentrationen x st = 3.0% (Abbildung 16.12 a)) und x st = 10.0% 

(Abbildung 16.12 b)) aufgetragen. Die elastischen Konstanten wurden aus den Steigungen 

einer linearen Regression an die Daten für kleine L B /L bestimmt. In Abbildung 

16.13 a) ist die so berechnete Konzentrationsabhängigkeit des Kompressionsmoduls im 

thermodynamischen Limes bei einer Dichte ϱ ∗ = 1.0 dargestellt. Abbildung 16.13 b) 

zeigt das Verhalten des Schermoduls im thermodynamischen Limes [132]. Wie man sieht 

führt eine Konzentration von 3% zu einem Anstieg des Kompressionsmoduls um ca. 

5%. Der Anstieg des Schermoduls liegt bei der gleichen Störstellenkonzentration sogar 

bei ca. 25% . Daraus läßt sich schließen, daß selbst geringe Konzentrationen von festen 

Störstellen auf einem Substrat zu einer beachtlichen Härtung einer Monolage auf diesem 

Substrat führen. 

Die Änderung des isotropen Drucks im System durch das Zufügen von eingefrorenen 

Punktstörstellen wurde durch die Analyse jeweils einer einzelnen Realisierung der Unordnung 

für verschiedene Störstellenkonzentrationen x st in einem System der Größe 

N = 3120 abgeschätzt. Dazu wurde wie in Kapitel 15 ausführlich dargelegt vorgegangen. 

Abbildung 16.14 zeigt, daß der Druck mit x st leicht ansteigt. Dies ist zu erwarten, da 

jede eingefrorene Störstelle, das effektive Volumen des Systems um π(σ/2) 2 reduziert. 

Aus einer linearen Regression an den Datensatz erhält man die folgende Konzentrations- 

a) 

(L B 

/L)*S jj 

(L B 

) 

0.0025 

0.002 

0.0015 

0.001 

0.0005 

j = 1 

j = 2 

j = 3 

b) 

(L B 

/L)*S jj 

(L B 

) 

0.0015 

0.001 

0.0005 

j = 1 

j = 2 

j = 3 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

L B 

/L 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

L B 

/L 

Abbildung 16.12: Das Produkt der gemittelten Nachgiebigkeiten im Subvolumen mit dem Größenverhältnis 

des Subvolumens zum Simulationsvolumen L B/L als Funktion dessen. Die elastischen Konstanten 

im thermodynamischen Limes können aus der Steigung von linearen Regressionsgeraden im 

Bereich kleiner L B/L berechnet werden. a) Ein System mit x st = 3.0%, b) ein System mit x st = 10.0% 

Störstellen. 

245


a) 130 

b) 

βK 

125 

120 

115 

110 

105 

∆βK [%] 

20 

15 

10 

5 

0 

0 2 4 6 8 10 

x st [%] 

100 

0 2 4 6 8 10 

x 

st [%] 

βµ 

70 

60 

50 

40 

∆ βµ [%] 

50 

25 

0 

0 2 4 6 8 10 

x st [%] 

30 

0 2 4 6 8 10 

x st 

[%] 

Abbildung 16.13: Abhängigkeit der elastischen Konstanten im thermodynamischen Limes von der 

Konzentration von festen Punktstörstellen im System: a) der Kompressionsmodul und b) der Schermodul. 

Die zusätzlich eingeblendeten Graphen zeigen jeweils den prozentualen Anstieg. 

abhängigkeit des Drucks: 

βσ 2 p(x st ) = 16.7 + 0.5x st 

Für eine Interpretation der Simulationen im Rahmen der Theorie der Dielastika berechnet 

man zur Charakterisierung der Defekte aus den erhaltenen Datensätzen den 

Tensor der elastischen Polarisierbarkeit α. Wie in den theoretischen Vorüberlegungen 

bereits dargelegt, sind im Falle eines isotropen Festkörpers nur zwei seiner Komponenten 

α K = (K −K 0 )/(x st ϱ ∗ ) und α µ = (µ−µ 0 )/(x st ϱ ∗ ) ungleich Null. Abbildung 16.15 a) 

zeigt die aus dem Datensatz in Abbildung 16.13 berechneten elastischen Polarisierbarkeiten 

in Abhängigkeit von der Konzentration der Störstellen. Wie man erkennt ist die 

elastische Polarisierbarkeit α K der Punktstörstellen im gesamten betrachteten Konzentrationsbereich 

innerhalb der Fehlerbalken nahezu konstant. Im Gegensatz dazu reagiert 

der Schermodul des Systems sehr viel stärker auf eine Konzentrationserhöhung. Die 

elastische Polarisierbarkeit α µ der Punktstörstellen kann nur im Bereich x st < 5% innerhalb 

der Fehlerbalken als konstant angesehen werden. D.h. die Clausius-Mosottische 

Formel zur Beschreibung der Änderung der elastischen Konstanten in Abhängigkeit von 

der Defektkonzentration kann in dem hier untersuchten Modellsystem nur im Bereich 

x st < 5% angewandt werden. Für höhere Defektkonzentrationen werden nichtlineare 

Effekte wichtig. Aus den Definitionen der elastischen Polarisierbarkeiten kann man ablesen, 

daß diese Energien entsprechen. Sie werden hier in Einheiten von k B T angegeben. 

Um die für das Modellsystem erhaltenen Zahlenwerte besser einschätzen zu können, 

sei zum Vergleich angemerkt, daß Kupfer mit Nickel als Fremdatomen auf Zwischengitterplätzen 

eine elastische Polarisierbarkeit α µ = 2.6eV bei 77 ◦ C aufweist [124]. Dies 

entspricht βα µ ≈ 86.2. Das untersuchte Modellsystem weist eine sehr viel kleinere elastische 

Polarisierbarkeit auf. Diese steigt jedoch mit der Größe der Störstellen an. Es 

ist viel mehr erstaunlich, daß selbst Störstellen mit σ st = 0 elastische Polarisierbarkeiten 

ungleich Null aufweisen! Abbildung 16.15 b) zeigt die Abhängigkeit der elastischen 

246


20 

βσ 2 p 

15 

0 1 2 3 4 5 6 7 

x 

st 

Abbildung 16.14: Der Druckanstieg im System harter Scheiben in Abhängigkeit von der Konzentration 

von festen Punktstörstellen im System. 

Polarisierbarkeiten vom Durchmesser der Störstellen σ st bei einer festen Konzentration 

von x st = 3.205%. Für diesen Vergleich wurden je fünf unterschiedliche Realisierungen 

der eingefrorenen Unordnung in einem System mit N = 3120 harten Scheiben simuliert. 

In ein perfektes Dreiecksgitter können Störstellen von bis zu einem maximalen Radius 

von σ st /2 = (1/ √ 3)(2/( √ 3ϱ ∗ )) 1/2 − 1/2 (die Gitterkonstante des Dreiecksgitters berechnet 

sich aus der Anzahldichte gemäß (2/( √ 3ϱ ∗ )) 1/2 ) untergebracht werden, ohne das 

Dreiecksgitter permanent zu verzerren. Die Simulationen wurden bei einer Dichte von 

ϱ ∗ = 1.0 durchgeführt. Für alle Durchmesser der Störstellen σ st < 0.24 befindet man 

sich im Bereich rein dielastischer Defekte. Es wurde ein System mit σ st = 0.1 und ein 

weiteres mit σ st = 0.2 simuliert. Ein Anstieg in der Größe der Störstellen führt zu einer 

a) b) 

2.5 

j = K 

j = µ 

6 

j = K 

j = µ 

α j 

2 

1.5 

α j 

4 

2 

1 

0 2 4 6 8 10 

x 

st 

0 

0 0.05 0.1 0.15 0.2 

σ st 

Abbildung 16.15: Die elastischen Polarisierbarkeiten α K und α µ eines isotropen Festkörpers aus 

N = 3120 harten Scheiben mit eingefrorenen Störstellen. a) Die Abhängigkeit der elastischen Polarisierbarkeiten 

von der Konzentration der Punktstörstellen (σ st = 0). b) Die Abhängigkeit der elastischen 

Polarisierbarkeiten vom Durchmesser der Störstellen σ st bei einer festen Konzentration von x st = 3.205%. 

247


a) 

b) 

0.004 

0.01 

~ 

G 11 

(k) 

0.002 

0 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

N = 12480 

N = 17466 

N = 28080 

N = 38220 

-1 0 1 

k 

~ 

G 22 

(k) 

0.005 

0 

N = 3120 

N = 4736 

N = 5822 

N = 12480 

N = 17466 

N = 28080 

N = 38220 

-1 0 1 

k 

Abbildung 16.16: Schnitte der Korrelationsfunktionen im Fourier Raum bei einer festen Konzentration 

der Störstellen von x st = 3.205% vergleichend für verschiedene Simulationsgrößen N. a) ˜G 11( ⃗ k) entlang 

der Richtung k y = 2k x und b) ˜G 22( ⃗ k) entlang der Diagonalen. 

Druckerhöhung im System. Wie man in Abbildung 16.15 b) erkennt steigen der Kompressionsmodul 

und damit die elastische Polarisierbarkeit α K der Störstellen stark an, 

wohingegen der Schermodul im Bereich der rein dielastischen Defekte vergleichsweise 

unempfindlich bezüglich Größenänderungen ist. Man erkennt, daß nur im Bereich sehr 

kleiner Störstellen, die elastische Polarisierbarkeit des Schermoduls größer ist als die des 

Kompressionsmoduls. 

Welche Bedeutung hat das Vorzeichen der elastischen Polarisierbarkeiten? Wie Kröner 

[124] darlegt, kann mit Hilfe der elastischen Polarisierbarkeiten die Energie einer Störstelle 

in einem Dehnungsfeld berechnet werden: E = − 1 2 ⃗p ind ɛ = − 1 2 αɛɛ (⃗p ind ist der induzierte 

Dipol). Wie man sieht, geht der das Dehnungsfeld beschreibende Verzerrungztensor 

ɛ quadratisch in die Energie ein. D.h. das Vorzeichen der elastischen Polarisierbarkeiten, 

bestimmt die Richtung der Kraftwirkung auf die Störstellen. Die positiven 

Polarisierbarkeiten der eingefrorenen Punktstörstellen im betrachteten Harte Scheiben 

System führen daher dazu, daß lokal auftretende Dehnungsfelder (z.B. durch thermisch 

angeregte Defekte) zu den Punktstörstellen hin wandern werden, um die Gesamtenergie 

des Systems zu minimieren. 

Bisher wurden ausschließlich Systeme mit N = 3120 harten Scheiben untersucht. Wurden 

mit der ’finite size’ Skalierung bereits alle Systemgrößenabhängigkeiten erfaßt? Die 

theoretischen Vorüberlegungen im Rahmen des ’Pinnings’ legen nahe, daß der Anstieg 

des Schermoduls nicht nur von der Konzentration der Störstellen, sondern auch von der 

absoluten Größe des Systems abhängt. Um diesen Aspekt genauer zu beleuchten werden 

nun im Folgenden Simulationen bei fester Störstellenkonzentration mit unterschiedlicher 

Systemgröße verglichen. Da der Rechenzeitaufwand mit der Systemgröße stark ansteigt, 

wird je nach Systemgröße über 5 bis 10 Replika des Systems, d.h. Simulationen mit 

verschieden, zufälligen Anordnungen der Störstellen, gemittelt. In Abbildung 16.16 sind 

Schnitte der Korrelationsfunktionen ˜G 11 ( ⃗ k) und ˜G 22 ( ⃗ k) im Fourier Raum bei einer festen 

248


100 βσ 2 K 

75 

50 

25 

βσ 2 (µ+p) 

βσ 2 µ 

βσ 2 p 

0 

0 10000 20000 30000 40000 

N 

Abbildung 16.17: Die Ergebnisse der Skalenanalyse eines Systems harter Scheiben mit x st = 3.205% 

Punktstörstellen in Abhängigkeit von der Systemgröße N.Die Daten wurden aus einer Mittelung über 

5 − 10 Realisierungen der eingefrorenen Unordnung berechnet. 

Konzentration der Störstellen von x st = 3.205% vergleichend für verschiedene Simulationsgrößen 

N abgebildet. Der Abfall der Korrelationsfunktionen wird, wie man in 16.16 

erkennt mit steigender Simulationsgröße N immer genauer aufgelöst. Die Korrelationsfunktion 

˜G 33 ( ⃗ k) zeigt ein analoges Verhalten. 

Es wurde auch eine ’finite size’ Analyse an diesen Simulationen durchgeführt. Die Form 

aller Skalierungsfunktionen (L B /L)S ii verändert sich im Bereich mittlerer Werte von 

L B /L stark mit N. Die Information über das elastische Verhalten des Systems gewinnt 

man jedoch aus dem linearen Bereich der Funktionen für L B /L → 0. In Abbildung 

16.17 sind die aus der Skalenanalyse erhaltenen Werte von Systemen mit x st = 3.205% 

in Abhängigkeit von der Systemgröße N aufgetragen. Man erkennt einen klaren Anstieg 

des Schermoduls mit der Systemgröße. Der Kompressionsmodul hingegen zeigt keine 

systematische Abhängigkeit von der Systemgröße N und schwankt um einen konstanten 

Wert. Auch der Druck im System zeigt, wie zu erwarten, keine Abhängigkeit von 

der Systemgröße. Die ’finite size’ Analyse der Simulationen bestätigt damit die Erwartungen 

aus den theoretischen Vorüberlegungen im Rahmen des Pinning-Szenarios. Der 

systematische Anstieg des Schermoduls mit der Systemgröße hat ihre Ursache, wie in der 

249


theoretischen Herleitung dargelegt, im langwelligen (aber ⃗ G ≠ ⃗0) Anteil der eingefrorenen 

Unordnung. Wie die in diesem Kapitel vorgestellten Studien eines Harte Scheiben 

Systems mit zufällig verteilten Störstellen zeigen, haben lokale Störungen der Verzerrungsfluktuationen 

auf die Korrelationsfunktionen G ii (⃗r) und damit auf die elastischen 

Eigenschaften eines Systems einen sehr starkten Einfluß. Sie führen zu einer Härtung 

der Monolage, die sich auf den ersten Blick durch die Clausius-Mosottische Formel der 

Theorie der Dielastika beschreiben läßt. Um alle durch die Punktstörstellen auftretenden 

Phänomene beschreiben zu können, muß das Sytem jedoch im Umfeld des Pinnings 

diskutiert werden. Diese Tatsache wird besonders in der Systemgrößenabhängigkeit der 

Schermoduls deutlich. Mit den heute zur Verfügung stehenden experimentellen Methoden 

der Oberflächenstrukturierung ist eine experimentelle Realisierung dieses Modellsystems, 

wenn auch nicht mit repulsiven Punktstörstellen so doch mit repulsiven Störstellen 

kleinen Durchmessers, machbar. Die dielastischen Polarisierbarkeiten in Kolloidkristallen 

und auch die durch die Unordnung hervorgerufene Systemgrößenabhängigkeit des 

Schermoduls könnten in Experimenten mit Kolloiden analog den Analysen hier direkt 

aus den Fluktuationen des Verzerrungsfeldes bestimmt werden. 

250

KAPITEL 17 

Zusammenfassung und Ausblick 

Oberflächen bzw. adsorbierte Monolagen auf Substraten werden in der Theoretischen 

Physik zumeist durch zweidimensionale Systeme modelliert. Die vorliegende Arbeit beschäftigte 

sich mit monodispersen und bidispersen, zweidimensionalen Systemen aufgrund 

der großen Bedeutung solcher Systeme zum einen im Hinblick auf die gezielte 

Oberflächenstrukturierung in technologischen Fragestellungen aber auch im Hinblick 

auf grundlegende Fragen der Statistischen Physik bezüglich des Phasenverhaltens dieser 

Systeme. Es wurden zwei etablierte Modellsysteme der Statistischen Physik für die 

Analysen herangezogen. Die Untersuchungen zu den strukturellen Eigenschaften solcher 

Systeme wurden an Mischungen harter Scheiben, die den athermischen Grenzfall 

sphärisch symmetrischer Teilchen endlicher Ausdehnung darstellen, durchgeführt. Die 

Fragestellungen zu den elastischen Eigenschaften wurden am Modell eines harmonischen 

Kristalls überprüft. 

Wie die Studien von Likos und Henley [57] zeigen existieren eine Vielzahl möglicher, geordneter 

Strukturen, mit denen es möglich ist, den zweidimensionalen Raum zu füllen. 

Die in dieser Arbeit vorgelegten Simulationen verschiedener, vorgeschlagener Gitterstrukturen 

im NpT Ensemble zeigen jedoch, daß diese nur bei hohen hydrostatischen 

Drücken thermodynamisch stabile Phasen sind. Hohe äußere Drücke können nur schlecht 

bei der Oberflächenstrukturierung eingesetzt werden, da mit steigendem Druck die Wahrscheinlichkeit 

steigt, daß die Monolage in die dritte Dimension ausweicht, d. h. Falten 

wirft. Externe Lichtfelder bieten eine attraktive Alternative, um in solchen zweidimensionalen 

Systemen kontrolliert Ordnung zu induzieren. Studien an monodispersen Systemen 

([26, 27, 65, 66, 67]) zeigten, daß schon so einfache äußere Felder wie periodische, eindimensionale 

Potentiale, die Bildung der verschiedensten, interessanten Phasen induziert. 

In der hier vorliegenden Arbeit wurde erstmals gezeigt, welchen Einfluß solche externen 

Lichtfelder auf binäre Mischungen haben. An einem Modellsystem, einer binären 

251


Mischung harter Scheiben, wurde untersucht, wie sich das Einführen einer weiteren relevanten 

Längenskala, nämlich der Wellenlänge des externen, periodischen Potentials, auf 

die Ordnung im System und die Strukturbildung auswirkt. 

Monte Carlo Simulationen von äquimolaren, binären Mischungen harter Scheiben mit 

einem Verhältnis der Durchmesser von σ B /σ A = 0.414 unter dem Einfluß eines externen, 

eindimensional, periodisch modulierten Feldes, führten zur Vorhersage neuer laserinduzierter 

Phänomene: der Laser Induzierten Entmischung (LID), der Rissbildung und 

der Laser Induzierten Koexistenz eines Quadratgitters mit der fluiden Phase [33]. Im 

einzelnen wurden die folgenden Phasen in diesen Systemen gefunden und analysiert: 

Im Bereich niedriger Packungsdichten bzw. niedriger Potentialstärken liegt eine Modulierte 

Flüssigkeit vor. Die Kopplung an das externe Potential bewirkt in der binären 

Mischung einen strukturellen Übergang. Während im feldfreien Fall die Periodizität der 

Oszillationen im asymptotischen Verhalten der Paarkorrelationsfunktionen in den simulierten 

Mischungen durch den Radius der großen Komponente der Mischung vorgegeben 

ist, wird diese in der Modulierten Flüssigkeit durch die Wellenlänge des periodischen, 

äußeren Potentials bestimmt [33]. Im Vergleich der möglichen Ankopplungen der Teilchensorten 

an das äußere Feld zeigte sich, daß die kleinere Komponente der Mischung bei 

einer ausschließlichen Ankopplung an das äußere Feld, durchaus in der Lage ist, die ihr 

vorgegebene Ordnung auch auf die größere Komponente der Mischung zu übertragen. 

Umgekehrt gelingt dies der größeren Komponente jedoch nicht. Im Bereich mittlerer 

Potentialstärken wurde die Laser Induzierte Entmischung (LID) in eine monodisperse, 

geordnete Struktur der größeren Komponente der Mischung und eine binäre Flüssigkeit 

gefunden. Die Analyse der verschiedenen simulierten Systeme, zeigte, daß zwei verschiedene 

Ordnung induzierende Mechanismen auftreten können. Bei einer ausschließlichen 

Wechselwirkung der kleineren Komponente mit dem modulierten Potential treibt die 

Kettenbildung der kleinen Teilchen entlang der Minima des externen Potentials die Bildung 

von Kristalliten monodisperser Dreiecksgitterstrukturen der großen Teilchen indirekt. 

Sobald jedoch auch, oder ausschließlich die größere Komponente mit dem externen 

Feld wechselwirkt, führt die Energieminimierung durch eine optimale Anordnung der 

großen Komponente bezüglich der Minima des externen Feldes direkt zur Bildung monodisperser, 

rhombischer Kristallite [116, 133]. Im Bereich hoher Stärken des externen, 

periodischen Potentials zeigten die Simulationen, daß der geordnete ’locked floating solid’ 

(LFS), das Quadratgitter im kommensurablen Fall, bei sinkender Packungsdichte 

im System durch eine Rissbildung senkrecht zu den Minima des externen Feldes destabilisiert 

wird [33]. In diesem Regime ist das Subgitter der großen Komponente noch 

stabil, wohingegen die kleinere Komponente entlang der Risse frei diffundieren kann. 

Diese Phase steht im Kontrast zum Laser Induzierten Schmelzen (LIM) in monodispersen 

Systemen, in dem der ’locked floating solid’ (das Dreiecksgitter) entlang der 

Minima des äußeren Feldes schmilzt, da die Fluktuationen der Teilchen senkrecht zu den 

Minima so stark eingeschränkt ist, daß diese entkoppeln. Eine derartige Entkopplung 

benachbarter Potentialminima ist im Quadratgitter geometrisch blockiert. Das Laser Induzierte 

Frieren (LIF) gestaltet sich, je nach Ankopplungsszenario der Teilchensorten 

der Mischung an das externe Feld recht unterschiedlich. Bei einer ausschließlichen Wech- 

252


selwirkung der kleineren Komponente der Mischung mit dem modulierten Feld, tritt 

ein breiter Bereich der Koexistenz des kommensurablen S 1 (AB) Quadratgitters mit der 

Modulierten Flüssigkeit im Phasendiagramm auf [33]. Das Quadratgitter entwickelt sich 

hierbei defektfrei. Der Vergleich von Simulationen mit unterschiedlich starker Ankopplung 

auch der großen Komponente der Mischung an das äußere Feld zeigt, daß diese 

Koexistenz nur in Systemen, in denen die Stärke der Ankopplung der großen Teilchen 

weniger als ein Viertel der Ankopplung der kleinen Teilchen an das modulierte Feld 

beträgt, zu erwarten ist. Bei stärkeren Ankopplungen der großen Komponente, insbesondere 

auch bei einer gleichstarken Ankopplung dieser an das externe Potential, bildet 

sich beim LIF -Übergang stattdessen direkt ein defektbehaftetes S 1 (AB) Quadratgitter 

aus. Simulationen von Systemen, in denen ausschließlich die größere Komponente der 

Mischung mit dem modulierten, äußeren Feld wechselwirkt, zeigen keinen Übergang in 

die kommensurable Quadratgitterstruktur. Die große Komponente der Mischung bildet 

ein rhombisches, bezüglich der Minima des äußeren Feldes orientiertes Gitter, welches 

durchzogen ist von unstrukturierten Ansammlungen der kleineren Komponente. Des weiteren 

konnte gezeigt werden, daß die neuen laser-induzierten Phänomene robust gegen 

leichte Variationen der Systemparameter sind. In Systemen mit ausschließlicher Wechselwirkung 

der kleinen Komponente der Mischung mit dem externen Potential treten das 

Laser Induzierte Entmischen (LID), die Rissbildung und die Koexistenz des LFS mit der 

Modulierten Flüssigkeit, auch bei einer zum S 1 (AB) Quadratgitter inkommensurablen 

Periodizität des externen Feldes auf. Mischungen mit einem Verhältnis der Druchmesser 

ungleich σ B /σ A = 0.414 oder auch Mischungen mit einer Konzentration der großen Komponente 

ungleich 50%, zeigen die neuen laser-induzierten Phänomene auch, sofern ihre 

Packungsdichte im für diese Phänomene relevanten Bereich liegt. Nach diesen systematischen 

Untersuchungen zur kontrollierten Strukturbildung in binären Mischungen unter 

Einfluß eines modulierten, externen Feldes mittels Monte Carlo Computer-Simulationen, 

konzentrierte sich der zweite Teil der vorliegenden Arbeit auf die Untersuchung elastischer 

Eigenschaften zweidimensionaler Systeme. 

Informationen über die elastischen Eigenschaften von Systemen der weichen Materie 

lassen sich, wie z.B. die in dieser Arbeit aufgestellte nicht-lokale Landau Gitterfeldtheorie 

zeigt, direkt aus den mikroskopischen Trajektorien der Teilchen des Systems 

im Ortsraum ermitteln. In der hier entwickelten Gitterfeldtheorie werden die auf einem 

Vergröberungsnetz berechneten mikroskopischen Verzerrungen im Sinne einer Landau 

Theorie als vergröbertes Ordnungsparameterfeld aufgefaßt. Unter Berücksichtigung 

der St. Venant Kompatibilitätsbedingungen, welche garantieren, daß das Verschiebungsfeld 

eindeutig aus einem vorliegenden Verzerrungsfeld berechnet werden kann, kann das 

Landau Funktional eines zweidimensionalen Festkörpers komplett in Abhängigkeit einer 

einzigen, unabhängigen Verzerrungsvariable formuliert werden. Aus diesem Funktional 

lassen sich im Fourier Raum analytisch die Korrelationsfunktionen der Verzerrungen herleiten 

[96]. Die Kenntnis dieser Korrelationsfunktionen, ermöglicht die Berechnung der 

elastischen Module im System. Diese können entweder direkt aus dem ⃗ k = ⃗0 Wert der 

Korrelationsfunktionen, oder aber auch im Falle des Schermoduls durch die Betrachtung 

des langwelligen Grenzfalls entlang spezieller Richtungen im Fourier Raum, bestimmt 

253


werden. Durch die Analyse dieser Korrelationsfunktionen ist es möglich, Aussagen über 

die Korrelationslängen der elastischen Verzerrungen zu machen. Diese zeigen auf welchen 

Längenskalen nicht-lokale Kopplungen in der weichen Materie von Bedeutung sind. 

Monte Carlo Simulationen eines harmonischen Dreiecksgitters wurden zu einem systematischen 

Test dieser nicht-lokalen Landau Gitterfeldtheorie eingesetzt. In den Simulationen 

wurde deutlich, welchen Einfluß z.B. die Wahl des statistischen Ensembles, der 

Randbedingungen, die Einführung eines äußeren, isotropen Drucks oder aber auch das 

Maß der Einbettung des ausgewerteten Volumens in ein dieses umgebendes elastisches 

Kontinuum auf die Verzerrungskorrelationsfunktionen hat. Insbesondere die Studien zur 

Einbettung des ausgewerteten Volumens in ein dieses umgebendes elastisches Kontinuum 

führten zu der Erkenntnis, daß in dieser Situation auch die Verzerrungskorrelationen 

der mikroskopischen, lokalen Rotationen ausgewertet werden müssen. Die aus den Studien 

des Modellsystems gewonnenen Erkenntnisse konnten in der Folge bei der Analyse 

eines experimentellen Systems, einem kolloidalen Kristall, erfolgreich eingesetzt werden 

[96, 116]. Der Vergleich der in Simulation und Experiment berechneten Verzerrungskorrelationsfunktionen 

mit den analytischen Vorhersagen, zeigt, daß die Gitterfeldtheorie 

nicht alle Anregungen im System erfaßt. Die Theorie sagt eine starke Diskontinuität 

in der Korrelationsfunktion der Volumenfluktuationen vorraus. Diese wird nur in Simulationen 

des harmonischen Dreiecksgitters im NpT Ensemble in abgeschwächter Form 

sichtbar. Auch die achtfache Rotationssymmetrie dieser Korrelationsfunktion, aber auch 

der Korrelationsfunktion der mikroskopischen Rotationen konnte weder in den Simulationen, 

noch im Experiment aufgelöst werden. Die Korrelationsfunktionen im Fourier 

Raum nehmen in der Auswertung des Experiments und der Simulationen somit etwas 

zu hohe Werte an. Dies ist gleichbedeutend damit, daß das Landau Funktional in seiner 

Formulierung mit den lokalen, affinen Verzerrungen nicht die gesamte Energie des 

Systems erfaßt. Ein Teil der Energie geht in die Anregung lokaler, nicht-affiner Verzerrungen, 

wie z.B. virtueller Dislokations-Antidislokations Paare. Diese werden in der 

analytischen Theorie vernachläßigt. Die Analyse des Ausmaßes der Nicht-Affinitäten der 

lokalen Fluktuationen zeigt jedoch, daß diese sowohl in den Simulationen als auch im Experiment 

vorhanden sind. Die Auswertung experimenteller Daten zeigte, daß vor allem 

die Verzerrungskorrelationsfunktion der Scherfluktuationen durch topologische Defekte 

in der geordneten Struktur stark in ihrer räumlichen Anisotropie gestört wird. Simulationen 

von Systemen mit eingefrorenen, topologischen Defekten legen es nahe, daß diese 

Störung der Verzerrungskorrelationsfunktionen v. a. durch diffundierende Defekte hervorgerufen 

wird. 

Die Auswirkung lokaler Störungen der Verzerrungsfluktuationen auf das elastische Verhalten 

von Monolagen wurde abschließend an einem Modellsystem, einem System harter 

Scheiben mit Punktstörstellen, untersucht. Eine Interpretation dieses Modells mit eingefrorenen 

Störstellen als Festkörper mit lokalen Verunreinigungen auf Zwischengitterplätzen 

im Rahmen der Theorie der Dielastika, läßt eine Härtung der Monolage erwarten. 

Eine Skalenanalyse der Verzerrungsfluktuationen im simulierten Modellsystem bestätigt 

diese Erwartung [132]. Eine Konzentration von nur 3% Punktstörstellen führt zu einem 

Anstieg des Kompressionsmoduls der Monolage um 5% und einem Anstieg um 25% 

254


im Schermodul. Theoretische Überlegungen im Rahmen der, im Umfeld von Pinning- 

Studien üblichen Mittelwertbildung über die Unordnung im System, deuten darauf hin, 

daß in einer solchen gepinnten Monolage der Schermodul systemgrößenabhängig wird. 

Auch diese Vorhersage konnte durch eine Skalenanalyse der Verzerrungsfluktuationen, 

aber auch durch die direkte Auswertung der Verzerrungskorrelationsfunktionen bestätigt 

werden. 

Mit den Simulationen zur Strukturbildung unter Einfluß eines periodischen, äußeren Feldes 

wurde die Tür in einen weiteren spannenden Bereich der Physik der weichen Materie 

aufgestoßen. Die Vielzahl der Systemparameter, die variiert werden können weckt die 

Neugierde darauf, ob auf diesem Wege die Bildung weiterer komplexerer Gitterstrukturen 

mit einfachen Mitteln induziert werden kann. Da die neu gefundenen laser-induzierten 

Phänomene in der vorliegenden Arbeit in einem Modellsystem, dem athermischen Harte 

Scheiben System, untersucht wurden, stellt sich auch die Frage, welche Rolle das Wechselwirkungspotential 

zwischen den Teilchen spielt. Werden Phänomene wie z.B. das Laser 

Induzierte Entmischen oder aber auch die Rissbildung in weniger stark repulsiven Systemen 

unterdrückt oder verstärkt? Die Analyse der Verzerrungskorrelationsfunktionen ihm 

Rahmen der nicht-lokalen Landau Gitterfeldtheorie gewährt neue Einblicke in die elastischen 

Eigenschaften der Systeme. An ihnen sollte bei Phasenübergängen in die ungeordnete 

Struktur, direkt der Verlust räumlich anisotroper Korrelationen sichtbar gemacht 

werden können. So wäre es sehr interessant, an den Verzerrungskorrelationsfunktionen 

den Übergang von der hergeleiteten, anisotropen Form in die isotrope Ornstein-Zernike 

Form zu verfolgen. Um weitere Einblicke in die Auswirkung nicht-affiner Anregungen auf 

die Form der Verzerrungskorrelationsfunktionen zu erlangen, wäre die Bestimmung der 

Korrelationsfunktionen in amorphen Systemen ein weiterer Schritt. In diesem Zusammenhang 

stellt sich auch die Frage, ob die nicht-lokale Landau Gitterfeldtheorie nicht auf 

elegante Weise um die bisher nicht erfaßten nicht-affinen Beiträge erweitert werden kann. 

Von der Seite der theoretischen Betrachtungen gibt es somit im Umfeld der vorliegenden 

Arbeit noch weitere spannende Fragen zu untersuchen, aber auch die experimentelle Realisierung 

der untersuchten Modellsysteme ist mit den heutigen Techniken durchführbar 

und wird uns zu neuen Erkenntnissen über die physikalischen Eigenschaften der weichen 

Materie verhelfen. 

255

256

ANHANG A 

Herleitung der Fluktuationsformel 

In diesem Appendix wird die Herleitung der Formeln zur direkten Berechnung des Spannungstensors 

für ein System harter Scheiben im Detail beschrieben. Sie orientiert sich 

an dem in [90] skizzierten Weg. 

Der Abstand zweier Punkte im deformierten Körper, die im nichtdeformierten Körper 

den Abstand ⃗ R haben, kann aus diesem wie folgt berechnet werden: 

r = √ ⃗r = [R i R j (δ ij + 2ɛ ij )] 1/2 

(A.1) 

ɛ ij sind hierbei die Komponenten des Lagrang’schen Verzerrungstensors. 

Ausgangspunkt ist der die Elastizität bestimmende Anteil der Freien Energie F : 

F = −kT ln Z C 

Das Konfigurationsintegral der klassischen, kanonischen Zustandssumme Z C läßt sich 

sowohl bzgl. des deformierten Zustands als auch bzgl. des undeformierten Gleichgewichtszustands 

formulieren. Die beiden Zustände sind gemäß der Annahmen der linearen 

Elastizitätstheorie über eine affine Abbildung miteinander verknüpft: r i = M ij R j . Die 

Transformationsmatrix M ij kann in Verbindung mit dem Lagrange’schen Verzerrungstensor 

gebracht werden, wenn man Gleichung (A.1) beachtet. Der direkte Vergleich liefert: 

[MM T ] ij = 2ɛ ij + δ ij . Bzgl. des deformierten Zustands lautet das Konfigurationsintegral 

Z C = 

∫ 

n∏ 

V {ɛ} γ=1 

d ⃗ r αβγ e − P 〈αβ〉 φ(r)/k BT 

257

Anhang A 

Für die Transformation von den Koordinaten im deformierten Zustand zu den Koordinaten 

im undeformierten Gleichgewichtszustand benötigt man die Jacobi-Matrix der 

Transformation: 

{ 

J = [det(M)] N = [det(M)] 2} N/2 

= {det (2[ɛ] + [I])} 

N/2 

Damit lautet das Konfigurationsintegral bzgl. des undeformierten Zustands: 

∫ 

Z C = e −F/kT = Π N γ=1dR ⃗ γ J({ɛ})e − P φ([Rαβ i 

V ({0}) 

Der Spannungstensor 

R αβ 

j (δ ij +2ɛ ij )] 1/2 )/kT 

Die einfache partielle Ableitung der Freien Energie nach den Verzerrungen wird nun zur 

Berechnung des Spannungstensors benötigt. 

σ ij = 1 V 

= − kT 

V 

∣ 

∂F ∣∣∣∣{ɛ}={0} 

∂ɛ ij 

( )∣ 

∂ ∣∣∣∣{ɛ}={0} 

ln Z C 

∂ɛ ij 

( ∫ [( 

= − kT 1 

Π N 

V Z 

γ=1dR ⃗ γ ∂J 

e − P φ([Rαβ i 

C ∂ɛ ij 

( 

+J({ɛ}) − 1 ∑ 

e − P φ([Rαβ i 

kT 

∂ɛ ij 

 

∂φ ∂r αβ 

∂r αβ 

) 

R αβ 

j (δ ij +2ɛ ij )] 1/2 )/kT 

)]∣ ) ∣∣∣∣{ɛ}={0} 

R αβ 

j (δ ij +2ɛ ij )] 1/2 )/kT 

Betrachten wir zunächst den zweiten Summanden dieser Gleichung. Die partielle Ableitung 

des Abstands nach der Verzerrung kann direkt berechnet werden: 

∂r αβ 

∂ɛ ij 

= 1 2 

2R αβ 

i 

R αβ 

j 

[R αβ 

i 

R αβ 

j 

(δ ij + 2ɛ ij )] 1/2 

Da die partiellen Ableitungen bzgl. {ɛ} = {0} ausgewertet werden, kann der Ausdruck 

durch folgenden ersetzt werden: 

∂φ 

∂r αβ ∂r αβ 

∂ɛ ij 

∂φ 1 

∂R αβ 2 

[R αβ 

i 

2R αβ 

i 

R αβ 

j 

(δ ij + 2ɛ ij )] = 1/2 φ′ (R αβ ) Rαβ i 

R αβ 

j 

Hierbei ist R αβ der Abstand der Teilchen α und β im undeformierten Zustand. Da das 

gesamte Konfigurationsintegral Z C bzgl. des undeformierten Zustands ausgewertet wird, 

kann auch in den Exponenten φ([R i R j (δ ij + 2ɛ ij )] 1/2 durch φ(R αβ ) ersetzt werden. Des 

R αβ 

R αβ 

j 

258

Anhang A 

weiteren gilt J({ɛ} = {0}) = 1. Einsetzen vereinfacht den Ausdruck für den Spannungstensor 

zu: 

( ∫ [( ∣ ) 

σ ij = − kT 1 

Π N 

V Z 

γ=1dR ⃗ γ ∂J ∣∣∣∣{ɛ=0} 

e − P φ(Rαβ )/kT 

+ 

C ∂ɛ ij 

( ∑ −φ ′ (R αβ ) R αβ 

i 

R αβ 

)]) 

j 

+ 

e − P φ(Rαβ )/kT 

(A.2) 

kT 

 

R αβ 

Liegt ein differenzierbares Wechselwirkungspotential vor, so ist man nun schon fast fertig. 

Es fehlt nur noch die Berechnung des ersten Summanden, des sogenannten kinetischen 

Anteils. Dazu muß die partielle Ableitung der Jacobi-Matrix bezüglich der Verzerrungen 

bestimmt werden: 

∂J 

= N ∂(det(2[ɛ] + [1])) 

(det(2[ɛ] + [1]))(N/2)−1 

∂ɛ ij 2 ∂ɛ ij 

∣ 

∂J ∣∣{ɛ}={0} 

Ausgewertet an der Stelle {ɛ} = {0} ergibt das: 

∂ɛ ij 

= Nδ ij . Einsetzen ergibt für 

den kinetischen Anteil des Spannungstensors: 

σij kinet = − kT ∫ 

1 

Π N 

V Z 

γ=1dR ⃗ γ Nδ ij e − P φ(Rγδ )/kT 

C 

= − kT ∫ 

Nδ ij 

Π N 

V Z 

γ=1dR ⃗ γ e − P φ(Rγδ )/kT 

C 

= −NkT δ ij /V 

Insgesamt erhält man für die Berechnung des Spannungstensors in einem System mit 

differenzierbaren Wechselwirkungspotential die folgenden Formel: 

σ ij = 1 V 

∂F 

∂ɛ ij 

∣ 

∣∣{ɛ}={0} 

= 1 V 

〈 ∑ 

 


R αβ 〉 

j 

R αβ − Nk BT δ ij 

V 

Im Falle eines nicht-differenzierbaren Potentials muß eine passende Grenzfallbetrachtung 

für den zweiten Summanden in Gleichung (A.2) vorgenommen werden. Das Produkt 

Π N γ=1 liefert N gleiche Integrationsterme. Die Summe ∑ 

ist eine Summe über 

eindeutige Paare < αβ > und liefert daher N(N − 1)/2 Terme. Jeder einzelne dieser 

N(N − 1)/2 Terme der Summe läßt sich wie folgt umschreiben (das Paar < αβ > wird 

aus der Summe gezogen): 

∫ 

d ⃗ R α d ⃗ R β [ 

−φ ′ (R αβ ∫ 

) 

e −φ(Rαβ )/kT 

kT 

Π N γ=1,γ≠α,β d ⃗ R γ (e − P ≠ 

φ(R γδ ) 

kT 

) 

R 

αβ 

i 

R αβ ] 

j 

R αβ 

259

Anhang A 

Man verwendet den allgemeinen Zusammenhang: 

[ 

] 

d e −φ(Rαβ )/kT 

dR αβ = − φ′ (R αβ ) 

kT 


um diese Formel weiter umzuschreiben und erhält: 

∫ 

[ ∫ ( 

)] 

dR ⃗ α dR ⃗ β d[e(−φ(Rαβ )/kT ] 

dR αβ Π N γ≠α,β d R ⃗ γ e − P ≠ φ(Rγδ )/kT R 

αβ 

i 

R αβ 

j 

R αβ 

(A.3) 

Die bisherige Rechnung gilt für ein allgemeines Wechselwirkungspotential φ. Jetzt wird 

der Spezialfall eines Harte Scheiben Systems betrachtet. Dies entspricht dem ’athermischen 

Limes’, in dem der Boltzmannfaktor e −φ(Rαβ )/kT in eine Stufenfunktion übergeht, 

mit Stufen bei R αβ = a (von 0 auf 1) und R αβ = b (von 1 auf 0) im gebundenen Paar. 

Für eine Stufenfunktion gilt: 

[ 

] 

d e −φ(Rαβ )/kT 

→ [δ(R αβ − a) − ν αβ δ(R αβ − b)] = ∆ αβ 

dR αβ 

Der Faktor ν αβ gibt an, ob das Paar gebunden ist ν αβ = 1 oder nicht ν αβ = 0. Letzteres 

entspricht dem reinen Harte Scheiben System. 

Nach einsetzten dieser Dirac’schen Deltafunktionen wird Gleichung (A.3) zu: 

∫ 

[ ∫ ( 

)] 

dR ⃗ α dR ⃗ β ∆ αβ Π N γ≠α,β d R ⃗ γ e − P ≠ φ(Rγδ )/kT R 

αβ 

i 

R αβ 

j 

R αβ 

Der hintere Teil des Integranden ist eine stetige Funktion, die nur in R αβ = a (für 

ν αβ = 0) und falls ν αβ = 1 in R αβ = b ausgewertet wird. 

Der Idee von Farago et al. [90] folgend ersetzt man nun diesen funktionalen Zusammenhang 

durch einen beliebigen anderen, der leichter zu handhaben sein sollte, aber genau 

an der Stelle ( R ⃗ α , R ⃗ β ) den gleichen Wert aufweist. Sei 

[ ∫ ( 

)] 

˜p( R ⃗ α , R ⃗ β ) = 1 Π N γ≠α,β 

Z d R ⃗ γ e − P ≠ φ(Rγδ )/kT 

C 

Die neue Funktion p( R ⃗ α , R ⃗ β ), die ˜p( R ⃗ α , R ⃗ β ) ersetzen soll und welche die Wahrscheinlichkeit 

angibt ein Atom α am Ort R ⃗ α und ein Atom β am Ort R ⃗ β zu finden, ist: 

p( R ⃗ α , R ⃗ β ) = 1 

∫ 


Π N γ≠α,β 

Z d R ⃗ γ e − P ≠ φ(Rγδ )/kT 

C 

Für a < R αβ 

da in diesem Bereich φ(R αβ ) = 0 gilt! Einsetzen in Gleichung (A.3) liefert: 

∫ ( 

R 

αβ 

dR ⃗ α dR ⃗ β i 

R αβ 

) 〈 

j 

R 

αβ 

R αβ ∆ αβ p( R ⃗ α , R ⃗ β i 

R αβ 〉 

j 

) = 


260

Anhang A 

Die Interpretation des Integrals als Ensemblemittelwert ist möglich aufgrund der Wahl 

von p( ⃗ R α , ⃗ R β )! 

Die Summation der N(N − 1)/2 Terme dieser Art liefert den Konfigurations-Anteil des 

Spannungstensors: 

( 〈 

σij 

konf = − kT ∑ R 

αβ 

i 

R αβ 〉) 

j 

V 


 

Für ein nicht differenzierbares Wechselwirkungspotential ist zur Bestimmung des Spannungstensors 

daher folgender Ausdruck auszuwerten: 

σ ij = σ konf 

ij 

+ σ kinet 

ij 

= − kT 

V 

( ∑ 

 

〈 

R 

αβ 

i 

R αβ 〉 ) 

j 

R αβ ∆ αβ + Nδ ij 

Die Herleitung der Formel zur Berechnung des Elastizitätstensors verläuft analog. Ist 

aber noch aufwendiger, da die zweite partielle Ableitung der Freien Energie nach den 

Verzerrungen benötigt wird. Die Berechnung ist in Farago et al. [90] in einem Appendix 

skizziert. Es ist jedoch zu beachten, daß dort ein Vorzeichenfehler auftritt. In Gleichung 

(15) bzw. im Appendix (A27) muß der zweite Summand innerhalb der geschweiften 

Klammer addiert, statt subtrahiert werden. Die korrekte Fluktuationsformel ist in Kapitel 

7 der hier vorliegenden Arbeit angegeben. 

261

262

ANHANG B 

Herleitung der Verzerrungskorrelationsfunktionen mit finiten 

Differenzen 

Die dargelegte Herleitung der Verzerrungskorrelationsfunktionen ist in ihrer Berücksichtigung 

der diskreten Natur des Systems noch nicht ganz konsistent, da die Variablen 

bezüglich ihrer Ableitungen noch als kontinuierlich betrachtet wurden. Dies vereinfacht 

und verkürzt die Darstellung erheblich, so daß der Blick auf das Ziel, der Herleitung der 

Korrelationsfunktionen, nicht unnötig verschleiert wurde. Im Folgenden werden nun auch 

die Ableitungen als finite Differenzen genähert. Zudem wird auch der Wellenvektor ⃗ k als 

diskret behandelt. Die Definitionen der Diskreten Fourier Transformationen schreiben 

sich dann: 

e (n,m) = 1 V 

∑ 

e i 2π L (pn+qm)a ẽ (p,q) 

p,q 

ẽ (p,q) = V ∑ 

e −i 2π L (pn+qm)a e 

N 

(n,m) 

n,m 

δ (p,q),(p ′ ,q ′ ) = 1 ∑ 

N 

δ (n,m),(n ′ ,m ′ ) = 1 N 

n,m 

∑ 

p,q 

e i 2π L ((p−p′ )n+(q−q ′ )m)a 

e −i 2π L (p(n−n′ )+q(m−m ′ ))a 

Die benötigten Ableitungen der Verzerrungen (hier steht ausnahmsweise e für e i ,(i = 

1 − 3), um das Anhäufen von Indizes zu vermeiden) sind nun im Einzelnen: 

∂e 

∂x ≈ e (n+1,m) − e (n−1,m) 

2a 

263

Anhang B 

= 1 V 

= 1 V 

= 1 V 

1 

2a 

1 

2a 

i 

a 

∑ 

p,q 

∑ 

p,q 

ẽ (p,q) 

[ 

e i 2π L (p(n+1)+qm)a − [e i 2π L (p(n−1)+qm)a] 

ẽ (p,q) 

[ 

e i 2π L (pn+qm)a ( e i 2π L pa − [e −i 2π L pa)] 

∑ 

( ) 

ẽ (p,q) e i 2π 2π 

L (pn+qm)a sin 

L pa 

p,q 

∂e 

∂y 

≈ 

e (n,m+1) − e (n,m−1) 

2a 

= 1 1 ∑ [ 

ẽ 

V 2a (p,q) e i 2π L (pn+q(m+1))a − [e i 2π (pn+q(m−1))a] 

L 

p,q 

= 1 1 ∑ [ 

( 

ẽ 

V 2a (p,q) e i 2π L (pn+qm)a e i 2π L qa − [e −i 2π qa)] L 

p,q 

= 1 i ∑ 

( ) 

ẽ 

V a (p,q) e i 2π 2π 


L qa 

p,q 

∂ 2 e 

∂x 2 ≈ 1 ( 

e(n+2,m) − e (n,m) 

2a 2a 

= 1 1 ∑ 

V 4a 2 

= 1 V 

p,q 

1 ∑ 

2a 2 

p,q 

∂ 2 e 

∂y 2 ≈ 1 ( 

e(n,m+2) − e (n,m) 

2a 2a 

= 1 1 ∑ 

V 4a 2 

= 1 V 

p,q 

1 ∑ 

2a 2 

p,q 

− e ) 

(n,m) − e (n−2,m) 

2a 

ẽ (p,q) e i 2π L (pn+qm)a [ e i 2π L 2pa − 1 − 1 + e −i 2π L 2pa] 

( ) ] 

ẽ (p,q) e i 2π 4π 

L 

[cos 

(pn+qm)a L pa − 1 

− e ) 

(n,m) − e (n,m−2) 

2a 

ẽ (p,q) e i 2π L (pn+qm)a [ e i 2π L 2qa − 1 − 1 + e −i 2π L 2qa] 

( ) ] 

ẽ (p,q) e i 2π 4π 

L 

[cos 

(pn+qm)a L qa − 1 

∂ 2 e 

∂x∂y 

≈ 1 ( 

e(n+1,m+1) − e (n−1,m+1) 

2a 

2a 

= 1 1 ∑ 

V 4a 2 

p,q 

− e ) 

(n+1,m−1) − e (n−1,m−1) 

2a 

ẽ (p,q) e i 2π L (pn+qm)a[ e i 2π L (pa+qa) − e i 2π L (−pa+qa) 

−e i 2π L (pa−qa) + e i 2π L (−pa−qa)] 

264

= 1 V 

= 1 V 

1 ∑ 

4a 2 ẽ (p,q) e i 2π (pn+qm)a[ ( L e i 2π L pa e i 2π L qa − e −i 2π qa) L 

p,q 

−e −i 2π L pa ( e i 2π L qa − e −i 2π L qa) ] 

i ∑ 

2a 2 ẽ (p,q) e i 2π L 

[sin 

(pn+qm)a 

p,q 

( ) ( )] 

2π 2π 

L qa 2i sin 

L pa 

( ) ( ) 

ẽ (p,q) e i 2π 2π 2π 


L qa sin 

L pa 

= − 1 1 ∑ 

V a 2 p,q 

= 1 ( 

e(n+1,m+1) − e (n+1,m−1) 

2a 

2a 

≈ 

∂2 e 

∂y∂x 

− e ) 

(n−1,m+1) − e (n−1,m−1) 

2a 

Die Kompatibilitätsbedingung von St. Venant schreibt sich nun als: 

⃗∆ 2 e 1 − (∆ 2 x − ∆ 2 y)e 2 − 4∆ x ∆ y e 3 = 0 

Einsetzen der Definitionen der diskreten Fourier Transformationen ergibt: 

1 1 ∑ 

( ) ( ) ] 

V 2a 2 ẽ 1,(p,q) e i 2π 4π 4π 

L 

[cos 

(pn+qm)a L pa − 1 + cos 

L qa − 1 

p,q 

− 1 1 ∑ 

( ) ( ) ] 

V 2a 2 ẽ 2,(p,q) e i 2π 4π 4π 

L 

[cos 

(pn+qm)a L pa − 1 − cos 

L qa + 1 

p,q 

− 4 −1 ∑ 

( ) ( )] 

V a 2 ẽ 3,(p,q) e i 2π 2π 2π 

L 

[sin 

(pn+qm)a L pa sin 

L qa = 0 

p,q 

Anhang B 

bzw. 

∑ 

p,q 

− cos 

( 

1 

2ẽ1,(p,q) 

[ ( ) ( ) ] 

4π 4π 

cos 

L pa + cos 

L qa − 2 − 1 [ ( ) 4π 

cos 

2ẽ2,(p,q) L pa 

( ) 4π ] [ ( ) ( )] ) 2π 2π 

L qa + 4ẽ 3,(p,q) sin 

L pa sin 

L qa e i 2π L (pn+qm)a = 0 

Der gesamte Ausdruck wird nun in den Fourier Raum transformiert. 

( 

∑ ∑ 1 

V 

N 

n,m 

− cos 

p,q 

2ẽ1,(p,q) 

[ ( ) ( ) ] 

4π 4π 

cos 

L pa + cos 

L qa − 2 − 1 [ ( ) 4π 

cos 


( ) 4π ] [ ( ) ( )] ) 2π 2π 


L pa sin 

L qa e i 2π L (pn+qm)a e −i 2π L (p′ n+q ′ m)a 

265

Anhang B 

= V N 

( 

∑ ∑ 1 

n,m 

− cos 

= V ∑ p,q 

p,q 

2ẽ1,(p,q) 

[ ( ) ( ) ] 

4π 4π 

cos 

L pa + cos 

L qa − 2 − 1 [ ( ) 4π 

cos 


( ) 4π ] [ ( ) ( )] ) 2π 2π 


L pa sin 

L qa e i 2π L ((p−p′ )na+(q−q ′ )ma 

( 

1 

2ẽ1,(p,q) 

[ ( ) ( ) ] 

4π 4π 

cos 

L pa + cos 

L qa − 2 − 1 [ ( ) 4π 

cos 


( ) 4π ] [ ( ) ( )] ) 2π 2π 

− cos 


L pa sin 

L qa 1 

N 

= V ∑ p,q 

( 

1 

2ẽ1,(p,q) 

∑ 

[ ( ) ( ) ] 

4π 4π 

cos 

L pa + cos 

L qa − 2 − 1 2ẽ2,(p,q) 

n,m 

[ 

e i 2π L ((p−p′ )na+(q−q ′ )ma 

( ) 4π 

cos 

L pa 

( ) 4π ] [ ( ) ( )] ) 2π 2π 

− cos 


L pa sin 

L qa δ (p,p ′ ),(q,q ′ ) = 0 

Wie man sieht, muß jeder Summand für sich bereits gleich Null sein, so daß 

[ ( ) ( ) ] 

1 

4π 4π 

cos 

2ẽ1,(p,q) L pa + cos 

L qa − 2 − 1 [ ( ) 4π 

cos 

2ẽ2,(p,q) L pa ( ) 4π ] [ ( ) ( )] 

2π 2π 

− cos 


L pa sin 

L qa = 0 

Diese Bedingung kann unter Zuhilfenahme trigonometrischer Relationen, wie cos(2a) = 

cos 2 (a) − sin 2 (a) und cos 2 (a) = 1 − sin 2 (a) weiter vereinfacht werden: 

[ ( ) ( ) ] 

1 4π 4π 

cos 

2 L pa + cos 

L qa − 2 

= 1 ( ) ( ( ) ( ) ] 

2π 2π 2π 2π 

[cos 2 

2 L pa − sin 

)) 2 

L pa + cos 2 L qa − sin 2 L qa − 2 

= 1 ( ) ( ( ) ( ) ] 

2π 2π 2π 2π 

[1 − sin 2 

2 

L pa − sin 

)) 2 

L pa + 1 − sin 2 L qa − sin 2 L qa − 2 

= 1 ( ) ( )] 

2π 2π 

[−2 sin 2 

2 

L pa − 2 sin 2 L qa ( ) ( )] 

2π 2π 

= − 

[sin 2 L pa + sin 2 L qa 

Analog gilt: 

− 1 [ ( ) ( )] 

4π 4π 

cos 

2 L pa − cos 

L qa 

= − 1 ( ) ( ( ) ( )] 

2π 2π 2π 2π 

[1 − sin 2 

2 

L pa − sin 

)) 2 

L pa − 1 + sin 2 L qa + sin 2 L qa 

266

Anhang B 

= 

[sin 2 ( 2π 

L pa ) 

− sin 2 ( 2π 

L qa )] 

Damit vereinfacht sich die St. Venant Kompatibilitätsbedingung zu: 

ẽ 1,(p,q) 

[ 

sin 2 ( 2π 

L pa ) 

+ sin 2 ( 2π 

L qa )] 

+ ẽ 2,(p,q) 

[ 

sin 2 ( 2π 

L pa ) 

− sin 2 ( 2π 

L qa ) ] 

+ 4ẽ 3,(p,q) 

[sin 

( ) ( )] 

2π 2π 

L pa sin 

L qa 

Diese Gleichung hat dieselbe Struktur, wie die in der ’halbdiskreten’ Herleitung verwendete. 

Auch die Gleichgewichtsbedingungen lassen sich im Fourier Raum wieder durch 

Gleichungen analoger Struktur darstellen: 

( ) ( ) 

2π 2π 

(a 1 ẽ 1 + a 2 ẽ 2 ) sin 

L pa + a 3 ẽ 3 sin 

L qa = 0 

( ) ( ) 

2π 2π 

(a 1 ẽ 1 − a 2 ẽ 2 ) sin 

L qa + a 3 ẽ 3 sin 

L pa = 0 

= 0 

Man kann daher direkt auf die Form der einzelnen, mathematischen Kerne ˜Q ij schließen: 

( ) ( 2a3 − 4a 2 sin ( 2π 

L 

ẽ 1 = − 

pa) sin ( 2π 

L qa) 

) 

a 1 + a 2 sin 2 ( 2π 

L pa) + sin 2 ( 2π 

L qa) ẽ 3 

( ) ( 4a1 + 2a 3 sin ( 2π 

L 

ẽ 2 = − 

pa) sin ( 2π 

L qa) 

) 

a 1 + a 2 sin 2 ( 2π 

L pa) − sin 2 ( 2π 

L qa) ẽ 3 

( ) ( 

a3 − 2a 2 sin 2 ( 2π 

L 

ẽ 1 = 

pa) − sin 2 ( 2π 

L qa) 

) 

2a 1 + a 3 sin 2 ( 2π 

L pa) + sin 2 ( 2π 

L qa) ẽ 3 

Die mathematische Struktur der Korrelationsfunktionen im Fourier Raum bleibt daher 

auch erhalten: 

˜G ii ( ⃗ k ≠ ⃗0) −1 = a i + k 2 c i + k 4 c ′ i + 

3∑ 

j=1,j≠i 

(a j + c j k 2 + c ′ jk 4 )( ˜Q ji ( ⃗ k)) 2 

˜G ii ( ⃗ k = ⃗0) −1 = a i 

267

268

ANHANG C 

Hydrostatischer Druck im binären Fluid 

Analog der Herleitung des Zusammenhangs zwischen dem hydrostatischen Druck in 

einem monodispersen harte Kugel Fluid und der Paarkorrelationsfunktion bzw. ihres 

Kontaktwerts (siehe z.B. [134]) läßt sich ein solcher Zusammenhang auch für eine binäre 

Harte Scheiben Mischung herleiten. Betrachtet man für ein klassisches Gas das Äquipartitionsprinzip 

und den Virialsatz, so sieht man, daß man den hydrostatischen Druck 

im Fluid mit Hilfe der Virialgleichung berechnen kann. In zweidimensionalen Systemen 

lautet diese: 

∫ 

p 

ϱk B T = 1 − 1 1 

2Nk B T Z N (V, T ) 

d⃗r N e −βV ( ⃗ r N ) 

Das Paarpotential für die Mischung läßt sich wie folgt darstellen: 

V (⃗r N ) = 1 2 

N A ∑ 

i,j≠i 

v AA (r ij ) + 1 2 

N B ∑ 

i,j≠i 

N A 

i 

N∑ 

⃗r i ∇ i V (⃗r N ) 

i 

N B 

∑ ∑ 

v BB (r ij ) + v AB (r ij ) 

Man berechnet zunächst das Integral in der Virialgleichung: 

∫ 

∫ 

∫ 

d⃗r N e −βV (⃗rN ) 

d⃗r N e −βV (⃗rN ) 

d⃗r N e −βV (⃗rN ) 1 2 

N∑ 

⃗r i ∇ i V (⃗r N ) = 

i 

N∑ 

i 

( NA 

1 

( ∑N A 

⃗r i ∇ i 

2 

k,l≠k 

∑ 

i 

⎡ 

∑N A 

⃗r i 

⎣ 

k,l≠k 

v AA (r kl ) + 

∂v AA (r kl ) 

∂⃗r i 

+ 

N B ∑ 

k,l≠k 

N B ∑ 

k,l≠k 

∑ ∑ 

v BB (r kl ) + 2 

j 

N A 

k 

N B 

∂v BB (r kl ) ∑N A ∑N B 

+ 2 

∂⃗r i 

k 

l 

) 

v AB (r kl ) = 

l 

⎤ 

∂v AB (r kl ) 

⎦ + 

∂⃗r i 

269

Anhang C 

= 

N B 

∑ 

+ 

∫ 

i 

⎡ 

∑N A 

⃗r i 

⎣ 

k,l≠k 

d⃗r N e −βV (⃗rN ) 1 2 

N B 

∑ ∑ 

+ 

i 

N B 

l≠i 

∂v AA (r kl ) 

∂⃗r i 

+ 

( NA 

∑ ∑ 

i 

N A 

l≠i 

∂v BB (r il ) ∑N B 

⃗r i + 2 

∂⃗r i 

N B ∑ 

k,l≠k 

∂v BB (r kl ) ∑N A ∑N B 

+ 2 

∂⃗r i 

∂v AA (r il ) ∑N A 

⃗r i + 2 

∂⃗r i 

i 

N A 

∑ 

l 

) 

∂v AB (r il ) 

⃗r i 

∂⃗r i 

i 

N B 

∑ 

l 

k 

l 

⃗r i 

∂v AB (r il ) 

∂⃗r i 

∂v AB (r kl ) 

∂⃗r i 

⎤ ) 

⎦ 

Die Doppelsummen über gleiche Teilchensorten enthalten jeweils N A (N A − 1) bzw. 

N B (N B − 1) Paare vom Typ: P 12 = ⃗r 1 (∂v(r 12 )/∂ ⃗r 1 ) + ⃗r 2 (∂v(r 21 )/∂ ⃗r 2 ). Für das Paarpotential 

gilt v(r 12 ) = v(r 21 ). Man kann daher den Term in Abhängigkeit von r 12 

darstellen: P 12 = ⃗r 1 (∂v(r 12 )/∂r 12 ) (∂r 12 /∂ ⃗r 1 ) + ⃗r 2 (∂v(r 12 )/∂r 12 ) (∂r 12 /∂ ⃗r 2 ). Mit r 12 = 

(r1 2 + r2 2 − 2⃗r 1 ⃗r 2 ) 1/2 folgt ∂r 12 

∂ ⃗r 1 

= 1 

r 12 

(⃗r 1 − ⃗r 2 ) und ∂r 12 

∂ ⃗r 2 

= 1 

r 12 

(⃗r 2 − ⃗r 1 ). Setzt man dies ein 

so erhält man 

P 12 = ∂v(r 12) 

∂r 12 

1 

r 12 

( 

r 

2 

1 + r 2 2 − 2⃗r 1 ⃗r 2 

) 

= r12 

∂v(r 12 ) 

∂r 12 

Die beiden gemischten Doppelsummen enthalten N A N B Paare 

∂v AB (r 1A2B ) ∂v AB (r 2B1A ) ∂v AB (r 1A2B ) 

Q 12 = r⃗ 

1A + r⃗ 

2B = r 1A2B 

∂ ⃗ 

∂r⃗ 

2B 

r 1A 

Einsetzen in das Integral liefert: 

[ ( ∫ ∫ 

1 

N A (N A − 1) d⃗r 1 

2 

( 

∫ ∫ 

+ N B (N B − 1) d⃗r 1 

∫ 

+ 

(2N A N B 

d⃗r 1 

∫ 

∫ 

∂v AA (r 12 ) 

d⃗r 2 r 12 

∂r 12 

∫ 

∂v BB (r 12 ) 

d⃗r 2 r 12 

∂r 12 

d⃗r 2 r 12 

∂v AB (r 12 ) 

∂r 12 

∫ 

∫ 

d⃗r N A−2 

d⃗r N A 

∫ 

d⃗r N A−1 

∫ 

∂r 1A2B 

) 

d⃗r N B 

e −βV (⃗rN ) 

) 

d⃗r NB−2 e −βV (⃗rN ) 

) ] 

d⃗r NB−1 e −βV (⃗rN ) 

Dies kann man nun auf die reduzierten Verteilungsfunktionen umschreiben und dann im 

Falle eines homogenen, isotropen Systems durch die jeweiligen radialen Paarverteilungsfunktionen 

ausdrücken. Die Verteilungsfunktionen für die Mischung lauten: 

f (n)A 

N 

( r ⃗N 

) = 

f (n)B 

N 

( r ⃗N 

) = 

f (n+m)AB 

N 

( r ⃗N 

) = 

∫ 

∫ 

∫ 

d 

⃗ 

r N A−n 

d ⃗ r N A 

d 

⃗ 

∫ 

r N A−n 

∫ 

d ⃗ r N B fN (⃗r) 

dr N ⃗ B−n f N (⃗r) 

∫ 

dr NB−m ⃗ f N (⃗r) 

270

Anhang C 

Daraus erhält man die reduzierten Verteilungsfunktionen für die Mischung: 

∫ ∫ 

ϱ (n)A 

N ( ⃗r n N A ! 1 

) = 

dr ⃗ 

(N A − n)! Z N (V, T ) 

N A−n dr N⃗ 

B e 

−βV ( r ⃗N 

) 

∫ ∫ 

ϱ (n)B 

N ( ⃗r n N B ! 1 

) = 

dr ⃗ 

(N B − n)! Z N (V, T ) 

N A dr N ⃗ B−n e −βV ( r ⃗N 

) 

∫ ∫ 

ϱ (n+m)AB 

N 

( ⃗r n N A ! N B ! 1 

) = 

dr ⃗ 

(N A − n)! (N B − m)! Z N (V, T ) 

N A−n dr NB−m ⃗ e −βV ( ⃗ 

Mit diesen Definitionen schreibt sich das Integral wie folgt: 

[ (∫ ∫ 

) (∫ ∫ 

1 

∂v AA (r 12 ) 

d⃗r 1 d⃗r 2 r 12 ϱ (2)A 

N 

2 

∂r (⃗r 1, ⃗r 2 ) + d⃗r 1 

12 

( ∫ 

+ 2 

d⃗r 1 

∫ 

∂v AB (r 12 ) 

d⃗r 2 r 12 ϱ (1+1)AB 

N 

(⃗r 1 , ⃗r 2 ) 

∂r 12 

) ] 

r N ) 

∂v BB (r 12 ) 

d⃗r 2 r 12 ϱ (2)B 

N 

∂r (⃗r 1, ⃗r 2 ) 

12 

In homogenen, isotropen Systemen kann man die hier verwendeten, reduzierten Zweiteilchen-Verteilungsfunktionen 

auf radiale Paarverteilungsfunktionen umschreiben. Dazu 

stellt man zunächst fest, daß im homogenen System kein Ort ausgezeichnet ist, daher 

also die Einteilchen-Verteilungsfunktionen ϱ (1)A 

N 

aufgrund der Normierung von f N ( ⃗ 

ϱ (1)A 

N 

ϱ (1)B 

N 

∫ 

∫ 

und ϱ (1)B 

N 

konstant sind. Sie lassen sich 

r N ) mit den partiellen Teilchendichten identifizieren: 

d⃗r 1 = ϱ (1)A 

N 

V = N A → ϱ A = N A 

V 

d⃗r 1 = ϱ (1)B 

N 

V = N B → ϱ B = N B 

V 

= ϱ(1)A N 

= ϱ(1)B N 

Im unkorrelierten System zerfällt die Verteilungsfunktion in ein Produkt aus Einteilchen- 

Verteilungsfunktionen ϱ (n) 

N ( r ⃗N 

) = Π n i ϱ(i) N (⃗r i). Indem man die Verteilungsfunktionen 

g (n) 

N ( r ⃗N 

) definiert, dividiert man diesen, für uns uninteressanten, unkorrellierten Anteil 

aus den Verteilungsfunktionen raus: g (n) 

N 

= ϱ(n) N /(Πn i ϱ(i) N (⃗r i)). Im Mischsystem erhält man 

für die Zweiteilchen-Verteilungsfunktionen somit: 

g (2)A 

N (⃗r 1, ⃗r 2 ) = 

g (2)B 

N (⃗r 1, ⃗r 2 ) = 

g (2)AB 

N 

(⃗r 1 , ⃗r 2 ) = 

ϱ (2)A 

N 

ϱ (1)A 

N 

(⃗r 1)ϱ (1)A 

ϱ (2)B 

N 

ϱ (1)B 

N 

(⃗r 1)ϱ (1)B 

ϱ (1+1)AB 

N 

ϱ (1)A 

N 

(⃗r 1)ϱ (1)B 

ϱ 2 A 

N (⃗r 2) = 1 

ϱ 2 B 

N (⃗r 2) = 1 

ϱ (2)A 

N (⃗r 1, ⃗r 2 ) 

ϱ (2)B 

N (⃗r 1, ⃗r 2 ) 

N (⃗r 2) = 1 ϱ (1+1)AB 

N 

(⃗r 1 , ⃗r 2 ) 

ϱ A ϱ B 

Im homogenen System ergibt dann das auszuwertende Integral: 

[ ( ∫ ∫ 

) 

1 

ϱ 2 ∂v AA (r 12 ) 

A d⃗r 1 d⃗r 2 r 12 g (2)A 

N 

2 

∂r (⃗r 1, ⃗r 2 ) + 

12 

) 

271

Anhang C 

( ∫ 

+ ϱ 2 B 

d⃗r 1 

∫ 

∫ 

+ 

(2ϱ A ϱ B 

d⃗r 1 

∫ 

d⃗r 2 r 12 

∂v BB (r 12 ) 

∂r 12 

d⃗r 2 r 12 

∂v AB (r 12 ) 

∂r 12 

) 

g (2)B 

N (⃗r 1, ⃗r 2 ) 

) ] 

g (1+1)AB 

N 

(⃗r 1 , ⃗r 2 ) 

Im isotropen System lassen sich die Integrale ∫ ∫ 

d⃗r 1 d⃗r2 → ∫ ∫ 

dr⃗ 

12 d⃗r2 in Integrale der 

Form (zweidimensionales System) V ∫ dr⃗ 

12 = V ∫ 2π 

0 

dϕ ∫ ∞ 

0 

rdr = 2πV ∫ ∞ 

0 

rdr umschreiben. 

Somit gilt im isotropen System für das Integral: 

[ ( ∫ 

) ( ∫ 

) 

1 

2 2πV ϱ 2 A dr 12 r12 

2 ∂v AA (r 12 ) 

g (2)A 

N 

∂r (r 12) + ϱ 2 B dr 12 r12 

2 ∂v BB (r 12 ) 

g (2)B 

N 12 

∂r (r 12) 

12 

∫ 

) 

+ 

(2ϱ ] 

A ϱ B dr 12 r12 

2 ∂v AB (r 12 ) 

g (1+1)AB 

N 

(r 12 ) 

∂r 12 

Für den Spezialfall harter Scheiben lautet das zu lösende Integral: 

∫ 

∫ 

dr 12 r12 

2 ∂v(r 12 ) 

g (2) 

N 

∂r (r 12) = dr 12 r 2 ∂v(r 12 ) 

12 e −βv(r12) e βv(r12) g (2) 

N 12 ∂r (r 12) 

∫ 

∫ 12 

( 

= dr 12 r12 

2 ∂v(r 12 ) 

e −βv(r12) y(r 12 ) = dr 12 r12 

2 − 1 ) [ ] 

d 

e −βv(r 12) 

y(r 12 ) 

∂r 12 β dr 12 

Beachtet man nun, daß y(r 12 ) = e βv(r12) g (2) 

N (r 12) eine in r 12 = σ stetige Funktion ist und 

die Ableitung der Stufenfunktion Θ(r 12 −σ) = e −βv(r12) die Deltafunktion ist ( d 

dr 12 

Θ(r 12 − 

σ) = δ(r − σ)), so sieht man, daß gilt: 

∫ 

∫ ( 

dr 12 r12 

2 ∂v(r 12 ) 

g (2) 

N 

∂r (r 12) = dr 12 r12 

2 − 1 ) [ ] 

d 

Θ(r 12 − σ)) y(r 12 ) 

12 β dr 12 

= − 1 ∫ 

dr 12 r 2 

β 

12δ(r 12 − σ)y(r 12 ) = − 1 β σ2 g (2) 

N (σ+) 

Wobei σ+ andeutet, daß der Kontaktwert der Paarkorrelationsfunktion von Abständen 

größer als dem Teilchendurchmesser σ herkommend berechnet werden muß. Das gesamte 

Integral ergibt für harte Scheiben damit: 

πV 

[ 

ϱ 2 A 

( 

− 1 β 

) 

σAg 2 (2)A 

N 

(σ A+) + ϱ 2 B 

( 

− 1 ) 

β 

σBg 2 (2)B 

N 

(σ B+) 

( 

+2ϱ A ϱ B − 1 ) [ ] 1 2 ] 

β 2 (σ A + σ B ) g (2)AB 1 

N 

([ 

2 (σ A + σ B ) +) 

Diesen Ausdruck setzt man nun wieder in die Virialgleichung ein. In Einheiten von k B T 

kann daher der Druck im zweidimensionalen, homogenen und isotropen, binären Harte 

Scheiben Fluid aus den Kontaktwerten der Paarkorrelationsfunktionen mit Hilfe der 

folgenden Formel berechnet werden: 

p 

k B T = ϱ + π 2 

( 

ϱ 2 Aσ 2 Ag (2)A 

N 

(σ A+) + ϱ 2 Bσ 2 Bg (2)B 

N 

) 

(σ B+) + 2ϱ A ϱ B σABg 2 (1+1)AB 

N 

(σ AB +) 

] 

272

ANHANG D 

Veröffentlichungen und Vorträge 

Teile der hier vorliegenden Arbeit wurden bereits in Fachjournalen veröffentlicht: 

• Field induced ordering phenomena and non-local elastic compliance in two dimensional 

colloidal crystals 

K. Franzrahe, P. Nielaba, A. Ricci, K. Binder, S. Sengupta, P. Keim, G. Maret 

J. Phys.: Condens. Matter, 20, 40, 404218, (2008) 

• Non-local elastic compliance for soft solids: Theory, simulations and experiments 

K. Franzrahe, P. Keim, G. Maret, P. Nielaba and S. Sengupta 

Phys. Rev. E, 78, 026106 (2008) 

• Entropy versus energy: The phase behavior of a hard-disk mixture in a periodic 

external potential 

K. Franzrahe and P. Nielaba 

Phys. Rev. E, 76, 061503 (2007) 

• Two-dimensional model colloids and nano-wires: phase transitions, effects of external 

potentials and quantum effects 

K. Franzrahe, P. Henseler, A. Ricci, W. Strepp, S.Sengupta, M.Dreher, Chr. Kircher, 

M. Lohrer, W. Quester, K. Binder and P. Nielaba 

Comp. Phys. Commun., 169, 197 (2005) 

• Elastic properties, structures and phase transitions in model colloids 

P. Nielaba, K. Binder, D. Chaudhuri, K. Franzrahe, P. Henseler M. Lohrer A. Ricci, 

S. Sengupta and W. Strepp 

J. Phys.: Condens. Matter, 16, 38, S4115-S4136 (2004) 

273

Anhang D 

Weitere Veröffentlichungen findet man in den Proceedings des Hochleistungsrechenzentrums 

in Stuttgart (HLRS) und des ”John von Neuman-Institute for Computing” (NIC) 

am Forschungszentrum Jülich: 

• Computer Simulations of Soft Matter- and Nano-Systems 

K. Franzrahe, J. Neder, M. Dreher, P. Henseler, W. Quester, C. Schieback, 

F. Bürzle, D. Mutter, M. Schach, T. Sorg and P. Nielaba 

High Performance Computing in Science and Engineering 07, 83 (2008) 

Editors E. Nagel, W. Jäger and M. Resch, Springer Verlag 

• Nano-systems in External Fields and Reduced Geometry: Numerical Investigations 

P. Henseler, C. Schieback, K. Franzrahe, F. Bürzle, M. Dreher, J. Neder, 

W. Quester, M. Kläui, U. Rüdiger and P. Nielaba 



• Numerical Investigations of Nano-Systems in Reduced Geometry 

W. Quester, S.H.L. Klapp, M. Dreher, P. Henseler, Chr. Kircher, K. Franzrahe 

and P. Nielaba 



• Numerical Studies of Model Colloids and Nano-Wires 

K. Franzrahe, P. Henseler, M. Dreher, W. Strepp and P. Nielaba 


Editors E. Krause, W. Jäger and M. Resch, Springer Verlag 

• Numerical studies of collective effects in nano-systems 

M. Dreher, D. Fischer, K. Franzrahe, G. Günther, P. Henseler, J. Hoffmann, 

W. Strepp and P. Nielaba 


Editors E. Krause, W. Jäger and M. Resch, Springer Verlag 

• Phase Transitions, Structures and Quantum Effects in Nanosystems 

M. Dreher, D. Fischer, K. Franzrahe, P. Henseler, J. Hoffmann, W. Strepp 

and P. Nielaba 


Editors E. Krause and W. Jäger, Springer Verlag 

• Soft Matter- and Nano-Systems: Computer Simulations 

F. Bürzle, K. Franzrahe, P. Henseler, Ch. Schieback, M. Dreher, J. Neder, 

W. Quester, D. Mutter, M. Schach and P. Nielaba 

NIC Symposium 2008, 245 (2008) 

Editors D. Wolf, G. Münster and M. Kremer, NIC, FZ Jülich 

• Numerical Investigations of Complex Nano-Systems 

M. Dreher, D. Fischer, K. Franzrahe, G. Guenther, P. Henseler, J. Hoffmann, 

274

Anhang D 

W. Strepp and P. Nielaba 

NIC Symposium 2004, 291 (2004) 

Editors D. Wolf, G. Münster and M. Kremer, NIC, FZ Jülich 

Eingeladene Vorträge 

• Field Induced Ordering Phenomena and Elastic Properties in Colloidal Crystals 

CODEF II: Colloidal Dispersions in External Fields, Bad Godesberg, 2008 

• Two Dimensional Model Colloids in External Potentials 

SimBioMa Workshop: Colloidal Systems, Polymers and Liquid Crystals, Universität 

Konstanz, 2007 

• Properties of Colloidal Crystals in Confinement and External Fields 

SFB-TR6 Workshop, Bad Godesberg, 2006 

Weitere Vorträge 

• Colloidal Crystals in 2D: structure and phase transitions 

SFB-TR6 Young Researcher Workshop, Universität Düsseldorf, 2005 

• Monte Carlo Simulations of Hard-Disk Systems: Structural and Elastic Properties 

SFB-TR6 Young Researcher Workshop, FZ Jülich, 2004 

• Numerical Studies of Model Colloids and Nano Wires 

HLRS Stuttgart, 2004 

• Elastic Constants in Modell Colloidal Crystals from Microscopic Strain 

Fluctuations 

SFB-TR6 Young Researcher Workshop, MPIP-Mainz, 2003 

• Elastic Constants in Model Colloidal Crystals from Microscopic Strain 

Fluctuations 

DPT, Universität Augsburg, 2003 

275

276

Literaturverzeichnis 

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283

284

Danksagung 

Mein Dank gilt ... 

... Prof. Dr. Peter Nielaba, der den Anstoß zu den im Rahmen dieser Arbeit erforschten 

Fragestellungen gegeben hat. Vielen Dank für die gute Betreuung und Diskussionsbereitschaft. 

Prof. Dr. Peter Nielaba hat mir zudem die Teilnahme an zahlreichen 

internationalen Konferenzen ermöglicht und mir dadurch die Möglichkeit 

gegeben, meine eigenen Arbeiten einem breiten Publikum zu präsentieren. Die 

Sommerschulen ’Computer Simulations in Condensed Matter’ (Erice, 2005) und 

’Colloids in external Fields’ (Cargèse, 2006) waren eine tolle Chance wissenschaftlich 

auch über das eigene Gebiet hinaus zu sehen und werden mir immer in guter 

Erinnerung bleiben. 

... Prof. Dr. Surajit Sengupta für die gute Kooperation im Bereich der Gitterfeldtheorie 

der Verzerrungskorrelationen. Vielen Dank für die interessanten und hilfreichen 

Diskussionen hinsichtlich der wissenschaftlichen Arbeit, aber auch für die Einblicke 

in die Kultur und Gesellschaft Indiens. 

... Prof. Dr. Kurt Binder für den wissenschaftlichen Austausch im Rahmen des SFB- 

TR6 Teilprojekts C4. Die gemeinsamen Kooperationstreffen waren hilfreich und 

gaben mir oft interessante Impulse für die weitere Forschung. 

... Prof. Dr. Georg Maret und Dr. Peter Keim für die Bereitstellung der Datensätze des 

kolloidalen Kristalls, die mir eine vergleichende Auswertung eines experimentellen 

Systems mit der analytischen Gitterfeldtheorie und den Computer-Simulationen 

ermöglichten. Vielen Dank vor allem an Dr. Peter Keim für den Einsatz am Experiment, 

um einen immer perfekteren Kristall für meine Studie zu erzeugen. 

... dem SFB-Tr6 für das vielseitige, diskussionsfreudige und sehr dynamische Forschungsumfeld, 

das er mir geboten hat. Es hat Spaß gemacht ein Teil davon zu 

sein. 

... den Institutionen, die mir Rechenzeit an Großrechner zur Verfügung gestellt haben: 

dem Hochleistungsrechenzentrum Stuttgart (HLRS) und dem ”John von Neumann 

Institute for Computing” (NIC) am Forschungszentrum Jülich. 

285

Danksagung 

... Allen am Lehrstuhl, die zu einer angenehmen Arbeitsatmosphäre beitgetragen 

haben. 

... All denen, die sich während meiner Promotion in der Administration des Computer 

Clusters engagiert haben. Insbesondere Stefan Gerlach, der die Systeme zur Zeit 

betreut. 

... Christine Schieback, Florian Bürzle und Jörg Neder für viele gute Diskussionen 

im Bereich der Physik, aber auch über die Welt im Allgemeinen. Ob Kaffee, Sushi 

oder Kino, es wurde nie langweilig mit Euch! 

... Virginia Oehmichen, Carmen Schmitt und Claudia Goldmann, die das Physik- 

Kleeblatt vervollständigen, für Euer Interesse an meiner Forschung und viele lustige, 

gemeinsame Ausflüge/Feste. 

... Meiner Familie, insbesondere meinem Vater, für die Unterstützung und das 

Interesse, das Ihr mir immer entgegengebracht habt. 

286

Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

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