Holographie - IFAT - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Fakultät für Naturwissenschaften
Institut für Experimentelle Physik
PHYSIKALISCHES PRAKTIKUM FÜR
FORTGESCHRITTENE
Protokoll zum Versuch
Holographie
Angefertigt von : Sören Giemsch
Studiengang : Physik
Matrikel : 2000
Betreuer : Dr. Bernd Schmeißer
Begonnen : 02.04.2003
Beendet : 23.04.2003
Abgegeben : 24.04.2003
Abtestattermin :

1 Aufgabenstellung
Ziel des Versuches:
Der Versuch vermittelt Erfahrungen auf dem Gebiet der Holographie (Herstellung dreidimensionaler
Aufzeichnungen und Wiedergabe von Objekten) und der Lasertechnik.
1. Es sind Zweistrahl-Hologramme einer Plastik als Reflexions- und Transmissionshologramm
anzufertigen.
2. Die Versuchsbedingungen (insbesondere die Intensitätsverhältnisse und der mechanischoptische
Aufbau) sind zu dokumentieren und die Qualität der Hologramme zu diskutieren.
3. Die Rekonstruktion der Objektstrahlung mittels der Hologramme ist vorzuführen.
Um die Dreidimensionalität der Rekonstruktion zu demonstrieren, sind von mindestens
einem Hologramm unter verschiedenen Winkeln Fotografien anzufertigen.
2 Grundlagen zum Versuch
Die Holographie ist ein Verfahren zur Speicherung und Wiedergabe von Bildern. Hierbei
bleiben sowohl Informationen über die Intensität, als auch (anders als bei der Fotografie)
über die Phase (und damit der Gestalt des Körpers) erhalten. Die grundlegenden Ideen
der Holographie entdeckte 1948 Dennis Gabor; 1971 erhielt er für seine Arbeiten auf diesem
Gebiet den Nobelpreis.
Bestrahlt man ein Objekt mit Licht, so geht von diesem eine sogenannte “Objektwelle“
aus, die alle Informationen (charakterisiert durch Amplitude und Phase) über dieses Objekt
enthält. Die Überlagerung aller Objektwellen des Objektes führt zur Ausbildung des
“Lichtfeldes“. Überlegungen der Elektrodynamik führen zu dem Schluss, das man aus der
Kenntnis einer zweidimensionalen Fläche (unendlich ausgedehnt) aus dem dreidimensionalen
Lichtfeld, auf die Beschaffenheit des gesamten Lichtfeldes schließen kann. Gelänge es
auf einer (genügend großen) Photoplatte dieses Lichtfeld zu speichern, könnte man daraus
zu einem späteren Zeitpunkt das gesamte vom Objekt ausgehende Lichtfeld rekonstruieren
und das rekonstruierte Bild wäre nicht vom Original unterscheidbar. Die gewöhnliche
Fotografie ist dafür unzureichend, denn dort werden nur die Informationen über die Intensität
gespeichert, was zu zweidimensionalen Bildern führt; bei der Holographie hingegen
gehen durch Ausnutzung der Interferenzeigenschaften von elektromagnetischen Wellen die
Informationen über die Phase nicht verloren.
Bei der Holographie trifft die Objektwelle auf den Schirm, gleichzeitig wird der Schirm
aber mit der “Referenzwelle“ direkt bestrahlt. Dadurch entstehen auf der Photoplatte
Interferenzstreifen. Die Informationen über die Objektwelle sind in dem Streifenabstand
und der Modulation der Helligkeit enthalten. Zur Wiedergabe wird der Film mit einer
Lichtwelle beleuchtet, die der Referenzwelle möglichst ähnlich ist. Durch Beugung der Beleuchtungswelle
wird die Objektwelle erzeugt. Blickt ein Beobachter auf das Hologramm,
so nimmt er ein dreidimensionales Bild des Objektes wahr.
3

2.1 Mathematische Formulierung
Eine elektromagnetische Welle ist eine sich ausbreitende Schwingung der Frequenz f. Die
Änderung der elektrischen Feldstärke E(t) an einem bestimmten Punkt der Welle wird
durch
E(t) = A cos(2πft + ϕ) = A cos(ωt + ϕ) (1)
beschrieben. Zur Vereinfachung werden monochromatische ebene Wellen angenommen.
Die Amplitude der Schwingung ist A, ϕ ist ein Phasenfaktor, der durch günstige Wahl
des Koordinatenursprungs zu Null gesetzt werden kann und ω = 2πf ist die Kreisfrequenz.
Wenn sich die Welle in z-Richtung mit der Geschwindigkeit c = fλ (λ - Wellenlänge)
ausbreitet, so schwingt ein Punkt in der Entfernung z vom Ursprung mit einer
Phasenverschiebung, die proportional zu t 0 = z · c −1 ist:
E = A cos(ω(t − t 0 )) = A cos(ωt − kz) = A cos(ωt + Φ) . (2)
Dabei ist k = 2π die Wellenzahl und Φ = −kz die Phase.
λ
Die Verwendung der komplexen Schreibweise
E = Ae −i(ωt+Φ) (3)
bringt oft Vorteile. Bedeutung hat nur der Realteil. Im folgenden sind komplexwertige
Funktionen durch fette Schreibweise gekennzeichnet. Aufgrund der hohen Frequenz
elektromagnetischer Wellen, ist selbige nicht direkt zugänglich sondern wird durch Mittelwertbildung
über viele Perioden erhalten. Aus diesem Grund kann man die zeitliche
Abhängigkeit der Feldstärke unberücksichtigt lassen und einfach schreiben:
E = Ae −iΦ . (4)
Die Objektwelle o(x, y) und die Referenzwelle r(x, y) sind durch
bzw.
o(x, y) = |o(x, y)|e −iΦ = o(x, y)e −iΦ (5)
r(x, y) = re −iΨ = re 2πiσrx (6)
gegeben. Die Objektwelle ist eine schwer zugängliche Funktion, deren Betrag |o(x, y)| =
o(x, y) und Phase Φ(x, y) von den Koordinaten x und y auf der Photoplatte abhängen. Die
Referenzwelle ist meist eine ebene Welle, deren Betrag r bei gleichmäßiger Ausleuchtung
der Platte konstant ist. Die Abhängigkeit der Phase vom Einfallswinkel δ ist leicht anhand
von Abb. 1 klar zu machen. Die sogenannte “Raumfrequenz“ σ r ist die Zahl der Maxima
pro Längeneinheit und gegeben durch
σ r = 1 d r
= sin δ
λ
(7)
Wobei d r der Abstand zweier Maxima ist.
4

Abb. 1: Phase Ψ = −2π∆ der Referenzwelle
λ
Die Intensität I auf der Platte (bzw. in der Photoschicht) ergibt sich aus dem Betragsquadrat
der resultierenden Welle:
I = |r(x, y) + o(x, y)| 2
= [r(x, y) + o(x, y)] ∗ [r(x, y) + o(x, y)]
= |r(x, y)| 2 + |o(x, y)| 2 + r ∗ (x, y)o(x, y) + r(x, y)o ∗ (x, y)
= r 2 + o 2 (x, y) + ro(x, y)e −2πiσrx e −iΦ(x,y) + ro(x, y)e 2πiσrx e iΦ(x,y) (8)
= r 2 + o 2 (x, y) + 2ro(x, y) cos[2πσ r x + Φ(x, y)] (9)
Im letzten Schritt wurde die Beziehung cos ξ = eiξ +e −iξ
2
verwendet. Anhand von Gl. (8)
ist zu erkennen, dass die Intensitätsverteilung auf der Photoplatte Informationen über die
Amplitude o(x, y) (Änderung der Schwärzung der Photoschicht) und die Phase Φ(x, y)
(Änderung des Streifenabstandes) enthält.
Im Fall linearer Amplitudentransmission t (siehe 2.4) erhält man unter Verwendung von
Gl. (24) und einsetzen von Gl. (8):
t(x, y) = t 0 + βτr 2
+ βτo 2 (x, y)
+ βτro(x, y)e −2πiσrx e −iΦ(x,y)
+ βτro(x, y)e 2πiσrx e iΦ(x,y) . (10)
Um die Objektwelle wiederzugeben, wird das Hologramm nochmals mit der Referenzwelle
(Gl. (6)) beleuchtet. Direkt hinter der Schicht ist das resultierende Wellenfeld u(x, y) durch
u(x, y) = r(x, y)t(x, y) (11)
bestimmt. Unter Verwendung der Gleichungen (5),(6) und (10) wird dies zu:
u(x, y) = (t 0 + βτr 2 )r(x, y)
+ βτo 2 (x, y)r(x, y)
}
u 0
+ βτr 2 o(x, y) : u +1
+ βτr 2 o ∗ (x, y)e 4πiσrx : u −1 . (12)
5

Diese Gleichung ist in vier Terme gegliedert und beschreibt die Wirkung des Hologramms
auf die Wiedergabewelle.
Der erste Term drückt aus, wie die Wiedergabewelle beim Durchgang durch das Hologramm
geschwächt wird. Im zweiten Term sind die Raumfrequenzen des Objektes berücksichtigt,
die zu einem sogenannten “Halo“ um die Wiedergabewelle führen (siehe 2.3).
Dieser Halo ist von der Winkelausdehnung des Objektes abhängig. Zusammen bilden diese
zwei Terme die nullte Beugungsordnung. Solange o(x, y) < r gilt, ist dieser Term klein
gegen den ersten.
Der dritte Term entspricht der ersten Beugungsordnung und gibt die Objektwelle wieder.
Ein Beobachter der diese Welle beobachtet, sieht eine Abbildung des Objektes an der
Stelle des ursprünglichen Bildes. Diese Abbildung ist virtuell, denn die Strahlen gehen
divergent vom Hologramm aus (siehe auch Abb. 2).
Der minus ersten Beugungsordnung entspricht der vierte Term. Hierin wird die konjugiert
komplexe Objektwelle beschrieben. Die Multiplikation mit dem Faktor e 4πσrx bedeutet,
dass das Bild ungefähr um den doppelten Winkel verkippt ist, mit dem die Referenzwelle
einfällt (siehe 2.2). Da dies die konjugiert komplexe Objektwelle ist, wechselt die Phase
das Vorzeichen, was einer Spiegelung an der Hologrammebene entspricht; dies führt zu
konvergentem Strahlengang und somit einem reellen Bild. Durch die Spiegelung werden
die Krümmungen vertauscht. Man spricht vom sogenannten “pseudoskopischen“ Bild, im
Gegensatz zum normalen “orthoskopischen“ Bild.
An Gl. (9) sieht man, dass die Intensität proportional ist zum Kosinus einer gewissen
Größe. Betrachtet man zur Vereinfachung eine ebene Objektwelle, so kann man zeigen,
dass damit auch die Amplitudentransmission aus einem kosinusförmigen Beugungsgitter
besteht. Die besondere Eigenart solcher Beugungsgitter ist, dass dabei nur die nullten
und ersten Beugungsordnungen entstehen; dies erklärt, warum in Gl. (12) keine höheren
Beugungsordnungen auftreten, als die genannten.
2.2 Lage des konjugiert komplexen Bildes
Zur Betrachtung der Eigenschaften der konjugiert komplexen Objektwelle wird eine ebene
Welle angenommen, die unter dem Winkel δ 0 auf das Hologramm fällt. Analog zu den
Gleichungen (6) und (7) gelten:
mit
o(x, y) = o e 2iσox = o e 2π λ ix sin δ 0
(13)
σ o = sin δ 0
. (14)
λ
Durch Umkehrung des Exponentenvorzeichens erhält man die konjugiert komplexe Objektwelle;
da der Sinus eine ungerade Funktion ist, kann man das Vorzeichen auch in die
Sinusfunktion ziehen und erhält somit:
o ∗ (x, y) = o e 2π λ ix sin(−δ 0)
. (15)
Aus den Gleichungen (12) und (15) folgt somit für die minus erste Beugungsordnung
u −1 = βτo e 2π λ ix(sin(−δ 0)+2 sin δ)
. (16)
6

Gl. (16) steht für eine Welle unter dem Winkel:
fällt die Objektwelle senkrecht ein, wird dies zu:
sin δ −1 = sin(−δ 0 ) + 2 sin δ ; (17)
sin δ −1 = 2 sin δ ; (18)
Abb. 2 veranschaulicht den Vorgang der Rekonstruktion durch die Wiedergabewelle nochmals.
Abb. 2: Lage der Bilder – A C -Wiedergabewelle;
B V -virtuelles Bild; B r -reelles
Bild
2.3 Raumfrequenzen im Hologramm
Bei der Holographie hat man in der Regel ausgedehnte Objekte. Von jedem Punkt der
Oberfläche geht eine Objektwelle aus. Nimmt man ebene Objektwellen an, die im mittel
senkrecht auf das Hologramm fallen, deren maximaler Einfallswinkel allerdings ±δ 0 ist, so
führt dies zu einem “Raumfrequenzspektrum“ ±σ o . Gl. (13) kann man dann umschreiben
zu
o(x, y) = o(x, y)e 2πi(±σo)x . (19)
Aus Gl. (12) wird damit unter Verwendung der Gleichungen (6) und (19)
u(x, y) = (t 0 + βτr 2 )re 2πiσrx
+ βτo 2 (x, y)re 2πi((±2σo)+σr)x }
u 0
+ βτr 2 (o)(x, y) e 2πi(±σ)x : u +1
+ βτr 2 (o)(x, y)e 2πi((±σo)+2σr)x : u −1 . (20)
7

Der Exponent im zweiten Term kommt dadurch zustande, dass o 2 (x, y) = o(x, y)o ∗ (x, y);
das Raumfrequenzspektrum wird im Extremfall also durch ±2σ o begrenzt.
Aus Gl. (20) lassen sich die Raumfrequenzen direkt ablesen. Das ± Zeichen muss so
gedeutet werden, dass alle Frequenzen innerhalb dieses Bereiches auftreten.
Abb. 3: Raumfrequenzspektren
der ersten und minus
ersten Beugungsordnung und
der nullten Beugungsordnung
mit Halo
Abb. 3 verdeutlicht diesen Umstand nochmals. Für die Objektwelle wurde ein rechteckiges
Verhalten angenommen, woraus auch für u ±1 ein rechteckiges Verhalten folgt. Das Frequenzspektrum
um die ungebeugte Wiedergabewelle ist doppelt so breit und wird Halo
genannt. Für eine gute holografische Aufnahme müssen alle drei Beugungsordnungen getrennt
sein, dies ist der Fall wenn 3 σ o ≦ σ r . Dies führt durch die Gleichungen (7) und (14)
zu der bei der Aufnahme zu beachtenden Bedingung:
3 sin δ o ≦ sin δ . (21)
2.4 Transmissionseigenschaften holografischer Schichten
Durch Belichtung und Entwicklung verändern sich die Eigenschaften der holografischen
Schicht; dies kann die Änderung des Brechungsindexes n, der Dicke d oder des Absorptionskoeffizienten
α sein. Durch die Änderung dieser Größen werden Amplitude und Phase
der Referenzwelle beeinflusst, für die komplexe Änderung der Amplitudentransmission
gilt:
t = e ∆αd e i∆Φ . (22)
Die Änderung von n bzw. d sind dabei in der Verschiebung der Phase ∆Φ berücksichtigt.
Ändert sich nur der Absorptionskoeffizient, hat man ein reines Amplitudenhologramm,
bei alleiniger Änderung der Dicke und/oder des Brechungsindexes ein Phasenhologramm.
Abb. 4 zeigt, dass in einem gewissen Bereich die Amplitudentransmission linear abhängig
ist von der Energiedichte E des elektrischen Feldes, welche im wesentlichen durch die
Belichtungszeit τ und die Intensität bestimmt ist:
E = τI . (23)
Bei Lasern erhält man E aus dem Produkt der Laserleistung P und der Belichtungszeit;
bei gepulsten Lasern entspricht E der Pulsenergie. Liegt der lineare Fall vor. So kann man
für die Amplitudentransmission schreiben:
t = t 0 + βE = t 0 + βτI . (24)
Der Term t 0 entspricht dabei der Transmission ohne Belichtung und β ist negativ und aus
dem Anstieg des linearen Teils der Amplitudentransmissionskurve zu ermitteln. [1]
8

3 Versuchsaufbau und -durchführung
Abb. 4: Amplitudentransmission in
Abhängigkeit von der Belichtung
(schematisch)
In Abb. 5 sieht man den verwendeten Versuchsaufbau um ein Transmissionshologramm
der, ungefähr in der Mitte stehenden, Plastik (Adonis) anzufertigen.
Abb. 5: Versuchsaufbau zur Erstellung eines Transmissionshologramms
Der gesamte Aufbau wurde auf einem schwingungsgedämpften Arbeitstisch montiert. Mechanische
Schwingungen mit Frequenzen über 5 Hz werden dabei gedämpft. Die Eigenfrequenz
ist in vertikale als auch horizontale Richtung je nach Belastung und Luftdruck
2-3 Hz.
Der He-Ne-Laser (1) aus dem Hause UNIPHASE strahlte konstant mit einer Leistung
von ca. 14,1 mW direkt am Ausgang des Lasers bei einer Wellenlänge von λ = 633 nm.
Dies wurde mit dem Laserleistungmessgerät 1815-C von Newport festgestellt; es ist darauf
zu achten, dass die Wellenlänge bei der der Laser strahlt, eingestellt werden muss, da
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ansonsten für unterschiedliche Wellenlängen bei gleicher Leistung unterschiedliche Werte
angezeigt werden würden. Im Anschluss an den Laserausgang folgte der digitale Shutter
Model 845 (2) ebenfalls aus dem Hause Newport. Nach Betätigung eines Hebels an der
Kontrolleinheit öffnete der Shutter eine definierte Zeit lang den Weg und ließ somit den
Strahl passieren. Dieser traf dann auf einen variablen Strahlteiler (3) und wurde dort in
zwei separate Strahlen geteilt. Der nichtreflektierte Strahl wurde durch die Spiegel (4)
und (5) durch die Linse (6) gelenkt. Die Linse war eine Zerstreuungslinse und hatte eine
Brennweite von 0,85 mm. Dadurch wurde der Strahl aufgeweitet und traf auf das Objekt.
Der Adonis wechselwirkte mit dem aufgeweiteten Strahl und die Objektwelle (blau (exemplarisch))
traf auf den holografischen Film, welcher sich in der Halterung (7) befand.
Der gesamte Weg dieses Strahls betrug 1,42 m, inklusive der ca. 0,23 m die der Adonis
vom Film entfernt war. Um die Kohärenzbedingungen einzuhalten musste der Weg
des reflektierten Strahls ebenfalls ca. 1,42 m betragen (die Kohärenzlänge des Lasers ist
ca. 20-25 cm). Aus diesem Grund wurde dieser Strahl über die Spiegel (8), (9) und (10)
durch die Zerstreuungslinse (11) (Brennweite ebenfalls 0,85 mm) gelenkt. Die Linse weitete
den Strahl wiederum auf, die aufgeweitete Referenzwelle leuchtete den Film möglichst
gleichmäßig aus. Die Referenzwelle darf nicht ebenfalls den Adonis beleuchten, was mit
der Wahl des Aufbaus vermieden werden konnte.
Mit Hilfe der Positionierhilfe (12) konnte der Strahl immer so ausgerichtet werden, dass er
sich in allen Punkten des Strahlengangs auf einer Höhe befindet; gleichzeitig diente diese
als Beamblocker.
Die horizontalen (13) und vertikalen (14) Justierschrauben dienen zum leichten kippen
der Spiegel, womit eine Feinpositionierung des Strahles möglich ist.
Da es zu bestmöglichen Ergebnissen bei der Interferenz kommt, wenn die Intensitäten der
interferierenden Wellen vom Betrag ähnlich sind, muss man den variablen Strahlteiler so
einstellen, dass dies auf dem Film der Fall ist. Die Intensitäten der Wellen an der Stelle
des Films sollten mit dem Auge verglichen werden, da dies im Rahmen des Praktikums
der effizienteste Weg ist. Nach dieser Prozedur wurden die Leistungen der beiden Strahlen
direkt nach dem Strahlteiler gemessen. Der reflektierte Strahl hatte eine Leistung von
ca. 0,6 mW und der durchgelassene Strahl von ca. 13,2 mW. Nach dem Aufweiten wiesen
die Strahlen Leistungen von (gleiche Reihenfolge) 0,12 mW und 4,48 mW auf. Trotz diesem
Faktor von immerhin 37 ist die Intensität der Referenzwelle in der Ebene des Films
erkennbar größer als die der Objektwelle.
Um die optimale Belichtungszeit zu finden, wurde ein Stufenbild angefertigt. Die optimale
Belichtungszeit war nach dieser Vorlage ca. 6 s. Danach wurde das eigentliche Hologramm
angefertigt und nach folgenden Schritten entwickelt:
Entwicklung (ca. zwei Minuten in Dokumolentwicklerlösung),
Zwischenwässerung, (ca. zwei Minuten),
ca. eine Minute bleichen im Bleichbad → arbeiten nach Sicht,
ca. fünfminütige Schlusswässerung,
trocknen im Trockenschrank.
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Nach der vollständigen Trocknung des Films wurde dieser wieder in die Halterung getan
und mit der Wiedergabewelle bestrahlt.
Die Ergebnisse sind in den Abbildungen 6 bis 8 wiedergegeben.
Aufgrund von Zeitmangel war es leider nur möglich ein Stufenbild für das Reflexionshologramm
anzufertigen. Der einzige Unterschied lag darin, dass die Referenzwelle von hinten
auf den Film traf.
4 Ergebnisse
Abb. 6 zeigt das erstellte Hologramm. Die Bilder wurden mit einer Digitalkamera von HP
aufgenommen. Bei den einzelnen Aufnahmen variieren die einzelnen Belichtungszeiten,
weswegen die Helligkeiten z.T. unterschiedlich sind. An Abb. 7 kann man deutlich er-
Abb. 6: Bild eines Hologramms
einer Adonisfigur
kennen, dass Hologramme tatsächlich auch die Informationen über die Gestalt des Bildes
speichern. Abb. 8 ist eine Nahaufnahme des Bildes und man kann sehen, dass die Schärfe
Abb. 7: Sichtbarkeit der
Dreidimensionalität eines
Hologramms
11

des Hologramms so gut ist, dass man sogar Details der Figur (z.B. die lockige Haarpracht)
erkennen kann. Auch hier sieht man wieder die Dreidimensionalität des Hologramms.
Abb. 8: Zur Verdeutlichung
der
Schärfe eines
Hologramms
Das Stufenbild des Reflexionshologramms gelang leider nicht sehr gut. Die Intensität war
auf allen drei Abschnitten des Films sehr klein. Im Gegensatz zum Transmissionshologramm,
konnte dieses auch bei Weißlicht in Reflexion betrachtet werden, aber auch dieses
Bild war von geringer Intensität und zudem noch von geringer Schärfe.
5 Zusammenfassung und Diskussion
Bei diesem Experiment wurden Hologramme einer kleinen Figur angefertigt. Bei allen Hologrammen
waren Resultate zu erkennen, allerdings war die Qualität sehr unterschiedlich.
Das einzige zur Auswertung heranziehbare Hologramm war ein Transmissionshologramm.
Wie in den Abbildungen 6 bis 8 zu sehen, konnten die Eigenschaften (vordergründig die
Dreidimensionalität) von Hologrammen gezeigt werden.
Auf allen Hologrammen traten sogenannte Speckles auf. Deren Ursache liegt darin, dass
die mikroskopischen Elemente der Figur das Licht einzeln streuen, die gestreuten Lichtwellen
sind kohärent zueinander und es kommt zu Interferenz, was sich in kleinen helleren oder
dunkleren Punkten auf dem Film äussert. Die Größe der Speckles könnte man reduzieren,
indem man das Objekt näher an den Schirm bringt, da sich damit der Öffnungswinkel
vergrößern und somit die Auflösbarkeit verringern würde. Ebenso könnte man auch eine
Film mit gröberer Körnung benutzen, womit die Speckles dann ebenfalls nicht mehr
auflösbar wären.[1]
Literatur
[1] J. Eichler et al. Holographie. Springer-Verlag, Heidelberg, erste edition, 1993.
[2] Schmeißer et al. Praktikumsanleitung des Fortgeschrittenenpraktikums. Fakultät für
Naturwissenschaften, Otto-von-Guericke-Universität, Magdeburg.
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6 Kommentar
An alle Leute die diesen Versuch nach mir haben. Wie leicht zu bemerken ist,
wurde der größte Teil der Vorbereitungen aus dem Eichler/Ackermann [1] abgeschrieben.
Dies passierte aus dem einfachen Grund, da die Formulierungen
in diesem Buch einfach toll sind und kaum verbessert werden konnten. Allerdings
ist zu sagen, dass jede verwendete Gleichung nachgerechnet wurde und
wer sich die Mühe macht das auch zu tun (was man IMMER machen sollte),
wird feststellen, dass viele Gleichungen im genannten Buch schlichtweg falsch
sind. Also: TRUST FEW AND FIND YOUR OWN WAY OF STYLE!!!
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