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typischen Eigenschaften der schon aus der Mittelstufe bekannten Logarithmusfunktionen hat. Die
natürliche Exponentialfunktion wird als Umkehrfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion definiert;
daraus ergeben sich ihre Eigenschaften. Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen spielen bei
der Beschreibung vieler Probleme aus so unterschiedlichen Bereichen wie etwa Naturwissenschaften,
Wirtschaft und Soziologie eine wichtige Rolle; davon sollen sich die Schüler anhand zahlreicher
Beispiele überzeugen (6 BO).
- die natürliche Logarithmusfunktion und ihre
Eigenschaften;
die Eulersche Zahl e
- Grenzwertdarstellung für die Zahl e
die Integralfunktion
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schrittweise Begründung für das Vorliegen einer
Logarithmusfunktion;
Definition von e durch
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Leonhard Euler (1707 - 1783)
Nachweis
von
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Hinweis auf weitere Berechnungsmöglichkeiten
sowie auf die Irrationalität und die Transzendenz
von e
- Umkehrfunktionen und ihre Ableitung Wiederholung der Begriffe Umkehrbarkeit einer
Funktion und Umkehrfunktion;
Satz von der Ableitung der Umkehrfunktion und
sein Beweis;
Hinweis auf die Ableitung der Potenzfunktionen
mit rationalen Exponenten
- die natürliche Exponentialfunktion als Umkehrfunktion
der ln-Funktion;
Eigenschaften der e-Funktion
- allgemeine Exponentialfunktionen bzw.
Logarithmusfunktionen
Herleitung der Eigenschaften aufgrund des Zusammenhangs
mit der ln-Funktion
Darstellung mit Hilfe der e-Funktion bzw. der ln-
Funktion;
Ableitung und Integration von x a x ,
Ableitung von x log a x
- Aufgaben und Anwendungen Kurvendiskussionen;
Integrationen,
auch
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(6 B: Wachstumsvorgänge, z. B. Wachstum von
Populationen; Weber-Fechnersches Gesetz)
(6 Ek: Bevölkerungswachstum; 6 DW)
(6 Ph, C: Abklingvorgänge, z. B. radioaktiver
Zerfall; Absorptionsvorgänge)
(6 WR: stetige Verzinsung; 6 U: Wachstumsvorgänge)
4 Rationale Funktionen* (ca. 10 Std.)
Mit den gebrochenrationalen Funktionen lernen die Schüler Funktionen kennen, bei deren Un-