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- Meßbarkeit von Flächen Axiome des Flächeninhalts: Nichtnegativität,
Normiertheit, Additivität
- Berechnung von Flächeninhalten durch Grenzprozesse
- das bestimmte Integral als Grenzwert von
Summenfolgen;
Eigenschaften des bestimmten Integrals
Streifenmethode, auch mit verschieden breiten
Streifen;
Hinweis auf die Zerlegungsinvarianz des Flächeninhalts;
Abschätzungen von Flächeninhalten,
z. B. mittels Tabellenkalkulation
(6 G: Archimedes, ca. 287 - 212 v. Chr.)
Begriffe: Untersumme, Obersumme;
Integrand, Integrationsintervall;
Deutung des bestimmten Integrals als Flächenbilanz;
Linearitätseigenschaften
(6 G: Isaac Newton, 1642 - 1727;
Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 - 1716)
Bernhard Riemann (1826 - 1866)
2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (ca. 16 Std.)
und seine Anwendung
Bei stetigen Integranden ermöglicht die Differentialrechnung in zahlreichen Fällen die Auswertung
bestimmter Integrale, wofür der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung die Grundlage bietet.
Die Schüler sollen an dieser Stelle erneut erfahren, wie erfolgreich die Infinitesimalrechnung gerade
auch zur Lösung anspruchsvoller Probleme eingesetzt werden kann. Anhand anwendungsbezogener
Beispiele wird sich die praktische Bedeutung des Hauptsatzes deutlich herausstellen.
- Integralfunktion;
der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- Stammfunktion und Berechnung des bestimmten
Integrals mit Hilfe einer Stammfunktion;
unbestimmtes Integral
Beweis des Hauptsatzes;
Integration als Umkehrung der Differentiation
Stammfunktionen von
x x n (n 0 6, n -1),
x sin x , x cos x ;
Abgrenzung der Begriffe Integralfunktion,
Stammfunktion, unbestimmtes Integral
- Anwendungen insbesondere Berechnung von Flächeninhalten;
auch Volumenberechnungen einfacher Rotationskörper
(6 Ph: Bewegungsvorgänge, Arbeit)
(6 WR, Ek: Mittelwerte)
Anstatt mit der Berechnung von Flächeninhalten zu beginnen, kann man auch die Stammfunktion an
den Anfang stellen.
3 Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen, (ca. 26 Std.)
ihre Behandlung mit den Mitteln der Infinitesimalrechnung
Die Untersuchung der Integralfunktion von x
x -1 zur unteren Grenze 1 zeigt, daß diese Funktion die