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Mathematische Grundlagen
(ca. 31 Std.)
1 Folgen (ca. 13 Std.)
Bei einer Vielzahl von Problemen erfolgt die numerische Lösung durch schrittweises Berechnen von
Näherungswerten, meist durch die Auswertung einer rekursiv dargestellten Folge. Die Schüler lernen,
verschiedene Folgentypen zu unterscheiden und Glieder einer Folge zu berechnen, sie müssen aber
auch in der Lage sein, Bildungsgesetze zu erkennen und zu formulieren. Die Vollständige Induktion
dient dabei im wesentlichen zum Nachweis der Übereinstimmung der expliziten mit der rekursiven
Darstellung einer Folge und sollte nicht zu sehr vertieft werden.
- arithmetische Folgen erster und höherer Ordnung;
geometrische Folgen
explizite und rekursive Darstellung einer Zahlenfolge;
Ermittlung des Bildungsgesetzes;
Auswerten einer Meßreihe, z. B. bei beschleunigter
Bewegung (6 Ph);
Erstellen von Programmen zum Berechnen der
Glieder einer Folge
- Vollständige Induktion Erklärung an einfachen Beispielen;
Hinweis auf die Bedeutung der Vollständigen
Induktion bei der Verifikation von Algorithmen
2 Differenzengleichungen (ca. 18 Std.)
Mit Hilfe von Differenzengleichungen lassen sich unter anderem Wachstums- und Abklingvorgänge
sowie Angebots- und Nachfragezyklen untersuchen und Zins- und Rentenberechnungen durchführen.
Beim Aufstellen und Lösen von Differenzengleichungen sollen die Schüler einerseits Praxisnähe
erfahren, andererseits typische Vorgehensweisen bei der Modellbildung kennenlernen.
- numerische Lösung einer Differenzengleichung
erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten
und konstanter Inhomogenität
die Tilgungsgleichung y k+1 = ay k + b;
graphische Darstellung der Lösung im
(k , y k ) - und im (y k , y k+1 ) - System;
auch Lösung einer allgemeinen Differenzengleichung
erster Ordnung
(6 WR: Tilgung eines Darlehens)
- die Lösungsfälle der Tilgungsgleichung Ermittlung der geschlossenen Lösung;
Diskussion der Lösung in Abhängigkeit von den
Parametern;
Konvergenzuntersuchungen
- lineare Differenzengleichung zweiter Ordnung Beschränkung auf die verallgemeinerte Fibonacci-Gleichung
y k+2 + ay k+1 + by k = 0;
Ermittlung der geschlossenen Lösung;
Berechnungsformel der klassischen Fibonacci-
Zahlen
Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci
(ca. 1170 - ca. 1240)
- Modellbildung mit Differenzengleichungen Diskretisierung dynamischer Prozesse, z. B.