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Zusammenhänge neu überdenken. An die Stelle von Geraden treten Großkreise, das Parallelenaxiom gilt
nicht mehr, und die Winkelsumme ist überraschenderweise nicht mehr für alle Dreiecke gleich. Die
Schüler erfahren dabei, daß geometrische Aussagen nur einen bestimmten Geltungsbereich haben, und
sie erkennen, wie wichtig die Wahl eines geeigneten mathematischen Modells zur Lösung von Anwendungsproblemen
ist.
- Großkreise und Kleinkreise auf der Kugeloberfläche
geographisches Koordinatensystem (6 Ek)
kürzeste (sphärische) Verbindung zweier Kugelpunkte
- Kugelzweieck Seiten, Winkel;
Flächeninhalt
- Kugeldreieck Es werden hier und im folgenden nur Eulersche
Kugeldreiecke betrachtet.
Festlegung von Seiten und Winkeln am Dreikant;
Flächeninhalt;
Polardreieck
Leonhard Euler (1707 - 1783)
- Sätze über Seiten und Winkel im Kugeldreieck Seitensumme, Winkelsumme;
Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln
Dabei läßt sich durch Übergang zum Polardreieck
zu jedem Satz die polare Übertragung
gewinnen.
2 Berechnungen im Kugeldreieck (ca. 18 Std.)
Die Herleitung der Grundformeln des Kugeldreiecks gibt den Schülern Gelegenheit, ihre
trigonometrischen Kenntnisse aufzufrischen und zu festigen. Das systematische Bearbeiten der
Grundaufgaben ermöglicht es, die später auftretenden Anwendungsprobleme zu lösen. Anhand von
geeigneten Zeichnungen und Modellen soll das räumliche Vorstellungsvermögen unterstützt und
weiterentwickelt werden.
- Grundformeln der sphärischen Trigonometrie:
Sinussatz;
Seitenkosinussatz;
Winkelkosinussatz
Herleitung des Winkelkosinussatzes aus dem
Seitenkosinussatz durch Übergang zum Polardreieck
- Lösen der Grundaufgaben Berechnungen im Kugeldreieck
- Anwendungen auf die Erdkugel Entfernung zweier Erdorte;
Kurswinkel, Hinweis auf Loxodrome;
Abstand eines Punktes von einem Großkreis
(6 Ek: Geodäsie)
Anstatt Sinussatz und Seitenkosinussatz direkt aus Betrachtungen am Dreikant zu gewinnen, kann auch
zunächst das rechtwinklige Kugeldreieck behandelt und dann das allgemeine Kugeldreieck entsprechend
zerlegt werden.
Sphärische Trigonometrie
(Anwendungen auf die Erd- und Himmelskugel)
(ca. 28 Std.)
1 Mathematische Geographie (ca. 14 Std.)