atp edition Lateralverhalten elastischer Bahnen vereinfacht modelliert (Vorschau)
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
5 / 2011<br />
53. Jahrgang B3654<br />
Oldenbourg Industrieverlag<br />
Automatisierungstechnische Praxis<br />
<strong>Lateralverhalten</strong> <strong>elastischer</strong><br />
<strong>Bahnen</strong> <strong>vereinfacht</strong> <strong>modelliert</strong> | 24<br />
WIA-PA: A New Standard<br />
for Wireless Communication | 38<br />
Technologie-Roadmap<br />
Automation 2020+ Energie | 46<br />
Life Cycle Cost Model for<br />
Distributed Control Systems | 56
editorial<br />
Smart Grid braucht<br />
Automatisierung<br />
Zur Stillung ihres Energiehungers erzeugt die Menschheit aus fossilen Energieträgern<br />
Strom exakt nach ihrem Bedarf: zu jeder Zeit genau so viel, wie<br />
die Nachfrage erfordert. Die Stromerzeugung aus direkter Sonneneinstrahlung<br />
und Windkraft schränkt diese Freiheit ein, da sie zeitlich und örtlich<br />
unbeeinflussbar schwankt. Zudem gilt es, sie mit den existierenden Energiesystemen<br />
auf fossiler und nuklearer Basis systemkonform zu koppeln.<br />
Die Nutzung der sogenannten regenerativen Energien mit einem derzeit<br />
für 2050 geplanten Anteil von mehr als 50 % im Mix der Primärenergie erfordert<br />
somit einen Paradigmenwechsel:<br />
Elektrische Energie wird nicht mehr zu jeder Zeit in einer nur durch<br />
die Anschlussbedingungen und einen festen Tarif begrenzten Menge<br />
zur Verfügung stehen.<br />
Die flächige Verteilung von direkter Sonneneinstrahlung und Wind<br />
bewirken eine hochgradige Dezentralisierung der Energieerzeugung<br />
(virtuelle Kraftwerke).<br />
Die bisher klare Trennung von Erzeuger und Verbraucher wird<br />
unscharf („Prosumer“).<br />
Große und gleichzeitig flexible Energieverbraucher wie die Elektromobilität<br />
werden zum Ausgleich der Einstrahlungsvolatilität beitragen<br />
müssen.<br />
Damit entsteht ein komplexes EchtzeitOptimierungsproblem! Verfügbarkeit,<br />
Preis und Qualität elektrischer Energie sind unter Berücksichtigung eines<br />
weiterhin vorhandenen, zumindest fossil basierten Energieangebotes unter<br />
Beachtung sozioökonomischer Rahmenbedingungen mittels volatiler Marktbedingungen<br />
zu optimieren und zu steuern. Dafür hat sich der Begriff „Smart<br />
Grid“ etabliert. Das Schlagwort vom „Internet der Energie“ adressiert die<br />
Vernetzung und den notwendigen Informationsfluss. Die adäquaten Szenarien<br />
(„Use Cases“) und die passenden Marktmodelle sind in Arbeit.<br />
Eine solche Komplexität ist ohne das hoch entwickelte methodische Rüstzeug<br />
der Automatisierungstechnik nicht zu bewältigen. Beginnend mit der<br />
Modellierung verteilter Echtzeitsysteme verfügt die Automatisierungstechnik<br />
über mächtige Verfahren zur dynamischen Modellierung und Simulation<br />
sowie zur multikriteriellen Optimierung der Eigenschaften komplexer<br />
Funktionsnetze. Anwendungsfelder im Smart Grid sind zumindest die Automatisierung<br />
in und von Gebäuden („home automation“) und die Automatisierung<br />
der Verteilungsnetze unter Einbezug von in der Fläche verteilten<br />
Erzeugern (Photovoltaik, MiniHeizkraftwerke, Brennstoffzellen). Damit<br />
entsteht die Kopplung mit einer vernetzten Gasversorgung (Erdgas, Biogas).<br />
Eine entsprechende Normung, beginnend bei Planungs und Beschreibungsmethoden<br />
wie IEC 61850, für dynamische Netzmodelle und die<br />
Schnittstelle zwischen dem Energiesystem und den zukünftig aktiven<br />
Marktteilnehmern ist unverzichtbar. Spezifische regulatorische Aspekte<br />
und gesetzliche Anforderungen sind durch Automatisierungs und Informationstechnik<br />
sicherzustellen.<br />
Die Automatisierungstechnik ist unverzichtbare Disziplin im Smart Grid<br />
und muss ihre Rolle frühzeitig annehmen!<br />
Prof. Dr.<br />
Hartwig Steusloff,<br />
Fraunhofer IOSB,<br />
Karlsruhe<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
3
Inhalt 5 / 2011<br />
Verband<br />
6 | Mit Automation die Herausforderungen meistern<br />
Fachhochschulen und Industrie im engen Dialog<br />
Forschung<br />
7 | Mensch und Maschine arbeiten sicher zusammen<br />
Ambidexterer Roboter erlaubt komplexe Operationen<br />
branche<br />
8 | Rekord in der Fertigungsautomatisierung –<br />
Die Prozesstechnik zieht 2011 nach<br />
Smart Grids bringen Zusatzschub für die Branche<br />
9 | Wireless – Der Weg zur optimalen Anwendung<br />
Assembly on the fly für Montage im Fließbetrieb<br />
10 | Abschied von COM und ActiveX: FDT 2.0<br />
basiert auf der Microsoft-.NET-Technologie<br />
14 | Virtuelles Labor für Automatisierungstechnik –<br />
Simulationssoftware erlaubt interaktives Lernen<br />
18 | ISO 26000: Herausforderungen und Chancen –<br />
Starten Sie mit uns ein ISO-26000-Pilotprojekt!<br />
Praxis<br />
20 | DIN EN 62424: Den Übergang zwischen Fließbild<br />
und CAE-System ohne Brüche realisieren<br />
4<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
Verträgt auch<br />
harte Sachen<br />
hauPtbeiträge<br />
24 | <strong>Lateralverhalten</strong> <strong>elastischer</strong><br />
<strong>Bahnen</strong> <strong>vereinfacht</strong> <strong>modelliert</strong><br />
Teil 2<br />
g.brandenburg<br />
38 | WIA-PA: A New Standard<br />
for Wireless Communication<br />
o. Jinsong, L. dan<br />
46 | Technologie-Roadmap<br />
Automation 2020+ Energie<br />
t. Wehnert, M. Winzenick<br />
56 | Life Cycle Cost Model for<br />
Distributed Control Systems<br />
M. dix, r. gitzeL, c. M. stich<br />
rubriken<br />
3 | Editorial<br />
66 | Impressum, <strong>Vorschau</strong><br />
Hohe Langzeitstabilität<br />
bei aggressiven Medien?<br />
Jetzt möglich mit dem<br />
OPTIFLUX 5300.<br />
Denn sein Messrohr aus Hochleistungskeramik<br />
ist speziell für<br />
anspruchsvolle Applikationen<br />
entwickelt. Dazu zählen:<br />
• Hoch korrosive Medien<br />
• Hoch abrasive Medien<br />
• Hohe Temperaturwechsel<br />
Um eine mechanische Belastung<br />
beim Einbau des OPTIFLUX 5300<br />
zu vermeiden, ist das Keramikmessrohr<br />
der Flanschversion<br />
schwimmend gelagert. Damit<br />
ist im Brandfall für höchste<br />
Leckagesicherheit gesorgt.<br />
KROHNE – Chemie ist unsere Welt.<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
5
verband<br />
Mit Automation die Herausforderungen meistern<br />
INtENSIVE DISkUSSIONEN auch bei der Abendveranstaltung<br />
prägen den VDI-Kongress Automation. Bild: VDI<br />
Wie kann die Automation zu einem hohen Sicherheitsstandard<br />
beitragen? Wie hilft sie, globale gesellschaftliche<br />
Herausforderungen zu meistern? Diese Fragen<br />
bilden den roten Faden des VDI-Kongresses Automation<br />
2011 am 28. und 29. Juni in Baden-Baden.<br />
„Die Automation spielt eine bedeutende Rolle beim<br />
Schutz des Menschen und der Umwelt vor Gefahren“, sagt<br />
Tagungsleiter Dr. Peter Adolphs, Geschäftsführer Fabrikautomation<br />
bei Pepperl+Fuchs. „Ohne verantwortungsbewusste<br />
Automation lassen sich die zunehmend komplexen<br />
Anlagen, Prozesse und Systeme nicht sicher beherrschen.“<br />
Adolphs ist in diesem Jahr neuer Leiter des<br />
Automatisierungskongresses, gemeinsam mit Dr. Kurt D.<br />
Bettenhausen von Siemens, Prof. Dr. Ulrich Jumar vom<br />
Institut für Automation und Kommunikation sowie<br />
Dr. Norbert Kuschnerus von Bayer Technology Services.<br />
Das Programm bietet vier parallele Sektionen, zwischen<br />
denen die Teilnehmer wählen können: Design &<br />
Engineering, Methoden & Technologien, Prozessautomation<br />
sowie Automation im Alltag beziehungsweise Fertigungsautomation.<br />
Zu den Vortragsthemen zählen beispielsweise<br />
„Herausforderungen bei der Projektierung<br />
eines Feuer- und Gassystems“, „IO-Link Integration in<br />
Engineering-Tools und Steuerungen“, „Wasser und Abwasser<br />
fordern die Automatisierungstechnik“ oder „Simulationsbasierte<br />
Steuerung von Druckluftstationen“.<br />
Neu ins Programm integriert sind kurze Posterpräsentationen<br />
mit Praxisbeispielen – etwa zum Vergleich numerischer<br />
Löser zur Simulation steifer und hybrider Systeme,<br />
zur Optimierung der Life-Cycle-Kosten von pharmazeutischen<br />
Produktionsanlagen oder zur Plug & Work<br />
Automation in der Intralogistik.<br />
Parallel zum Kongress Automation finden die VDI-<br />
Fachtagungen „Wireless Automation“ (www.vdi.de/<br />
wireless) sowie „Industrielle Robotik“ (www.vdi.de/<br />
robotik) statt. Somit besteht während der Pausen für die<br />
Teilnehmer aller drei Veranstaltungen die Möglichkeit<br />
zum fachlichen Austausch, etwa im Rahmen der gemeinsamen<br />
Fachausstellung. Informationen und Anmeldung:<br />
www.automatisierungskongress.de<br />
VDI WISSENSFORUM,<br />
Kundenzentrum, Postfach 10 11 39,<br />
D-40002 Düsseldorf, Tel. +49 (0) 211 621 42 01,<br />
Internet: www.vdi-wissensforum.de<br />
Fachhochschulen und Industrie im engen Dialog<br />
Der Dialog zwischen Hochschulen und der Industrie<br />
stand beim 8. Fachkolloquium für Angewandte Automatisierungstechnik<br />
in Lehre und Entwicklung an Fachhochschulen<br />
(AALE) im Vordergrund. Das spiegelte sich<br />
erneut in der Struktur der Vortragenden und rund 200<br />
Besucher der Veranstaltung am Göppinger Standort der<br />
Hochschule Esslingen wider: Jeweils etwa die Hälfte kam<br />
aus der Industrie und von Fachhochschulen.<br />
40 Vorträge namhafter Experten, aber auch Beiträge mit<br />
studentischer Beteiligung vermittelten den Teilnehmern<br />
aus Deutschland, Österreich und der Schweiz viele interessante<br />
Ideen und Eindrücke. Als Schwerpunktthemen<br />
kristallisierten sich in diesem Jahr die funktionale Sicherheit,<br />
Energieeffizienz und Objektorientierte Programmierung<br />
in der Automatisierungstechnik heraus. So stellte<br />
der Namur-Vorsitzende Dr. Norbert Kuschnerus in einem<br />
der eröffenden Plenarvorträge die Einschätzung der<br />
Namur zur funktionalen Sicherheit dar.<br />
Ausrichter der Konferenz war in diesem Jahr die Fakultät<br />
„Mechatronik und Elektrotechnik“ der Hochschule Esslingen<br />
am Standort Göppingen. Organisator Professor Dr.-Ing.<br />
Karl-Heinz Kayser von der Hochschule Esslingen in Göppingen<br />
zieht eine positive Bilanz: „Wir haben eine sehr<br />
große und positive Resonanz erfahren und freuen uns, dass<br />
wir ein so hochkarätiges Programm anbieten konnten“.<br />
Professor Dr.-Ing. Reinhard Langmann, Vorsitzender<br />
des Fördervereins der AALE-Konferenz (VFAALE) und<br />
Vorstand des Tagungsbeirats betont: „Besonders wichtig<br />
ist und bleibt der Dialog zwischen den Hochschulen mit<br />
ihren Professoren und den Industrievertretern.“ Diese<br />
Kommunikation sei bedeutsam, damit die Lehrinhalte<br />
auf die Praxis in den Unternehmen abgestimmt und ständig<br />
auf dem Stand der modernen Technik seien.<br />
Der AALE Student Award wurde diesmal verliehen an<br />
Dipl.-Ing. Daniel Tritschler und Steven Rinke BSc.<br />
Tritschler wurde in der Master/Diplomkategorie ausgezeichnet<br />
für seine Arbeit „Entwicklung eines DC/DC-<br />
Wandlers mit großem Übersetzungsverhältnis“. In der<br />
Bachelor-Kategorie erhielt Rinke die Auszeichnung für<br />
die „Entwicklung von echtzeitoptimierten Ansteueralgorithmen<br />
für elektromotorische Ventilaktuatoren“.<br />
Der Tagungsband zur Fachkonferenz 2011 ist soeben<br />
im Oldenbourg Industrieverlag erschienen (978-3-8356-<br />
3238-7).<br />
VFAALE E.V.,<br />
c/o Fachhochschule Düsseldorf,<br />
Fachbereich Elektrotechnik,<br />
Josef-Gockeln-Str. 9, D-40474 Düsseldorf,<br />
Tel. +49 (0) 211 435 13 08, Internet: www.vfaale.de<br />
6<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
forschung<br />
Mensch und Maschine arbeiten sicher zusammen<br />
die 3-d-simUlAtion ermittelt, wo Kameras installiert<br />
werden sollten, die vor Unfällen warnen. Bild: Fraunhofer<br />
Ein intelligentes Monitoring-System soll helfen, Unfälle<br />
zwischen Mensch und Maschine zu verhindern, die<br />
passieren, wenn Bereiche in Produktionshallen schlecht<br />
einsehbar sind. Das Fraunhofer-Institut für Digitale Medientechnologie<br />
IDMT Ilmenau entwickelte das System,<br />
welches mittels Kameratechnik und 3-D-Simulation mögliche<br />
Unfallsituationen erkennt, davor warnt und gegebenenfalls<br />
die Produktion zum Stillstand bringt.<br />
Das zur Einheit gehörende Konfigurations-Tool „Sim4Save“<br />
berechnet die optimale Anzahl und Positionierung<br />
der Überwachungskameras in sicherheitsrelevanten Bereichen.<br />
Im Routinebetrieb werden dann die Daten aller<br />
Kameras, die auch an den Greifarmen der Roboter installiert<br />
sein können, in Echtzeit erfasst, analysiert und ausgewertet.<br />
Eine dazugehörige Kommunikationsplattform<br />
empfängt die Daten des Konfigurators. Kommt es im Arbeitsprozess<br />
zu einer Beinahe-Kollision, ertönt die Warnung.<br />
Ob lediglich ein akustisches Signal zu hören ist oder<br />
sofort die Maschine stillsteht, hängt wie die Anzahl der<br />
Kameras vom Sicherheitsbedürfnis des jeweiligen Unternehmens<br />
und vom Arbeitsverhalten des Roboters ab.<br />
FrAUnhoFer-institUt Für digitAle<br />
medientechnologie idmt,<br />
Ehrenbergstraße 31, D-98693 Ilmenau,<br />
Tel +49 (0) 3677 46 70, Internet: www.idmt.fraunhofer.de<br />
Ambidexterer Roboter erlaubt komplexe Operationen<br />
Neue Möglichkeiten zur Automatisierung im Elektromaschinenbau<br />
entwickelt der Lehrstuhl für Fertigungsautomatisierung<br />
und Produktionssystematik an<br />
der Uni Erlangen. Die Schlüsselkomponente bildet ein<br />
ambidexterer (lat. mit beiden Armen gleich geschickt)<br />
Roboter der Firma Yaskawa Motoman. Mit zwei Armen<br />
mit jeweils sieben Achsen und einer zusätzlichen Drehachse<br />
bietet er eine menschenähnliche Bewegungsflexibilität<br />
bei hoher Dynamik und Traglast. Pro Arm können<br />
Lasten von bis zu 20 kg manipuliert werden. Die Robotersteuerung<br />
erlaubt es, Werkstücke mit beiden Armen<br />
synchron zu manipulieren oder mit jedem Am getrennt<br />
Handhabungsoperationen auszuführen.<br />
Friedrich-AlexAnder-Universität<br />
erlAngen-nürnberg,<br />
Lehrstuhl für Fertigungsautomatisierung und<br />
Produktionssystematik (FAPS),<br />
Egerlandstr. 7-9, D-91058 Erlangen,<br />
Tel +49 9131 852 79 62, Internet: www.faps.uni-erlangen.de<br />
VA Master.<br />
Erste Wahl für<br />
härteste<br />
Umgebungsbedingungen<br />
Ölplattform oder Chemieanlage – der<br />
komplett in nichtrostendem Stahl<br />
ausgeführte Ganzmetall-Schwebekörper<br />
Durchflussmesser VA Master FAM540<br />
mit digitalem Display setzt neue Maßstäbe.<br />
www.abb.de/durchfluss<br />
ABB Automation Products GmbH<br />
Tel.: 0800 111 44 11<br />
Fax: 0800 111 44 22<br />
E-Mail: vertrieb.messtechnik-produkte@de.abb.com<br />
PA_VAMaster-DE_1_3_<strong>atp</strong>EDITION.indd 1 07.02.11 16:35<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
7
anche<br />
Rekord in der Fertigungsautomatisierung –<br />
Die Prozesstechnik zieht 2011 nach<br />
Die deutsche Automatisierungsindustrie zeigt sich für<br />
das laufende Jahr optimistisch. Die hohen Auftragseingänge<br />
der letzten Monate des Jahres 2010 haben sich<br />
2011 fortgesetzt. Für das laufende Jahr erwartet der ZVEI<br />
zehn Prozent Wachstum bei der elektrischen Automatisierungstechnik<br />
– ebenso viel wie bei der Elektroindustie<br />
ingesamt (siehe Beitrag unten).<br />
Bei der Fertigungsautomatisierung wurde der Vorkrisen-Umsatz<br />
bereits übertroffen, die Prozessautomatisierung<br />
dürfte das Vorkrisen-Niveau 2011 erreichen. Der<br />
Anstieg in der Fertigungsautomatisierung war so stark,<br />
dass er auch den Gesamtumsatz über das Niveau des Jahres<br />
2008 hievte. Der Gesamtumsatz wuchs 2010 um über<br />
16 Prozent auf knapp 41 Mrd. Euro. Getragen wurde das<br />
Wachstum vor allem vom Export mit plus 25 Prozent auf<br />
27 Mrd. Euro. Fast 42 Prozent betrug das Wachstum im<br />
Geschäft mit Südostasien. Mit plus 36 Prozent gehören<br />
auch die USA wieder zu den Wachstumsregionen der<br />
Branche. Die Exportquote liegt nun bei fast 83 Prozent.<br />
„Ein solch hohes Wachstum hatten wir nicht erwartet“,<br />
sagte Dr. Gunther Kegel, Vorsitzender des ZVEI-Fachverbands<br />
Automation anlässlich der Hannover-Messe. Einige<br />
Unternehmen melden 30 bis 40 Prozent gewachsenen<br />
Auftragseingang. „Die Lieferzeiten bei einigen Bauteilen<br />
betragen bis zu 20 Wochen, sodass das Umsatzwachstum<br />
den Aufträgen hinterherhinkt“, hob Kegel hervor.<br />
Der Umsatz mit Antrieben stieg 2010 um über 18 Prozent<br />
auf neun Mrd. Euro, der mit Schaltanlagen und Industriesteuerungen<br />
um gut 17 Prozent auf 15,5 Mrd. Euro.<br />
„Der Konjunkturzyklus der Prozessautomatisierung startet<br />
mit ein paar Monaten Verspätung. Der Umsatz in diesem<br />
Bereich ist 2010 um 15,4 Prozent auf 16,4 Mrd. Euro<br />
gestiegen“, erläutert Michael Ziesemer, im Vorstand des<br />
Fachverbands Automation zuständig für dieses Segment.<br />
„Wegen der steigenden Anforderungen an Energieeffizienz<br />
in allen Bereichen rechnen wir mit weiterem Wachstum“,<br />
betont Ziesemer.<br />
Deutschland bleibt mit über zwölf Prozent Produktionsanteil<br />
im Bereich elektrischer Automatisierung weltweit<br />
der größte Nettoexporteur. 2009 ist der Weltmarkt<br />
der elektrischen Automation gegenüber dem Vorjahr insgesamt<br />
um nahezu vier Prozent auf 306 Mrd. Euro gewachsen.<br />
Unsicherheiten sieht der Branchenverband<br />
„EIn solch hohEs Wachstum<br />
hatten wir nicht erwartet“, sagte<br />
Dr. Gunther Kegel, Vorsitzender des<br />
ZVEI-Fachverbands Automa tion.<br />
Bild: ZVEI<br />
jedoch im Zusammentreffen weltweiter Verwerfungen<br />
außerhalb der Branche. Dazu gehören die Gefahr einer<br />
Destabilisierung der arabischen Welt, die unverminderte<br />
Schuldenkrise einiger Länder und die Ereignisse in Japan.<br />
Deren mittel- und langfristige Auswirkungen seien<br />
noch nicht abschätzbar.<br />
ZVEI – ZEntralVErband ElEktrotEchnIk- und<br />
ElEktronIkIndustrIE E.V.,<br />
Lyoner Straße 9,<br />
60528 Frankfurt am Main,<br />
Tel. +49 (0) 69 630 20,<br />
Internet: www.zvei.org<br />
Smart Grids bringen Zusatzschub für die Branche<br />
Der ZVEI hat die Wachstumsprognose<br />
für die deutsche Elektroindustrie<br />
erneut angehoben. Die Elektro-Produktion<br />
dürfte nach der aktuellen<br />
Prognose 2011 um zehn Prozent<br />
zulegen. Im Dezember war der Verband<br />
noch von einem Wachstum um<br />
sieben Prozent ausgegangen. Der<br />
Branchenumsatz wird nach den Vorhersagen<br />
auf gut 180 Mrd. Euro steigen<br />
– also annähernd das Vorkrisenniveau<br />
(182 Mrd. im Jahr 2008). 2010<br />
hatten Produktion und Umsatz um 13<br />
Prozent zugelegt. Erreicht würden<br />
nach den endgültigen Zahlen 164<br />
Mrd. Euro. Im Dezember waren für<br />
2011 nur 162 Mrd. erwartet worden.<br />
dEn um bau dEr<br />
stromnEtZE in<br />
Smart Grids<br />
fordert ZVEI-<br />
Präsident<br />
Friedhelm Loh.<br />
Bild: ZVEI<br />
ZVEI-Präsident Friedhelm Loh betont: „Auf dem Tiefpunkt<br />
der Krise hatten wir befürchtet, es könnte bis zu<br />
sieben Jahre dauern, bis wir zurück auf dem Niveau vor<br />
der Krise sind. Heute wissen wir: Es wird wesentlich<br />
schneller gehen. 2012 könnte der Branchenumsatz bereits<br />
eine neue Höchstmarke erreichen.“ Der jüngsten ZVEI-<br />
Umfrage zufolge planen 79 Prozent der Elektrofirmen, im<br />
laufenden Jahr ihre Stammbelegschaft aufzustocken.<br />
Loh forderte die Bundesregierung zu einem neuen<br />
Energiekonzept auf. Ein Ziel müsse ein sofortiger Ausund<br />
Umbau des Stromnetzes zum Smart Grid sein, um<br />
die erneuerbaren Energien überhaupt integrieren und<br />
ausweiten zu können.<br />
Von Smart Grids erwartet auch der VDE deutlichen<br />
Schub. Die Mitgliedsunternehmen erwarten die stärksten<br />
Wachstumsimpulse in den Bereichen Energieeffizienz<br />
(81 Prozent), Smart Grid (67 Prozent) und Elektromobilität<br />
(62 Prozent). Gerade bei den für die Automatisierungstechnik<br />
interessanten Smart Grids sehen zwei Drittel der<br />
befragten Unternehmen Deutschland in einer Spitzenposition<br />
bei der Technikkompetenz zur Umsetzung dieser<br />
intelligenten Stromnetze.<br />
ZVEI, VdE,<br />
Frankfurt am Main,<br />
Internet: www.zvei.org,<br />
Internet: www.vde.com<br />
8<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
Wireless – Der Weg zur<br />
optimalen Anwendung<br />
Als Entscheidungshilfe für die Auswahl geeigneter<br />
Funklösungen in der Automatisierungstechnik bietet<br />
der ZVEI-Arbeitskreis „Wireless in der Automation“ eine<br />
neue Broschüre an. Sie gibt einen Überblick über den<br />
Einsatz von Funksystemen. Die Betrachtung sowohl wirtschaftlicher<br />
als auch technischer Aspekte unterstützt den<br />
Entscheider bei der Auswahl von Funksystemen und der<br />
Planung seiner Anwendung.<br />
Die Broschüre erläutert Vorteile, aber auch Randbedingungen<br />
der Verwendung von Funk. Basis hierfür sind die<br />
Erfahrungen der beteiligten Herstellerunternehmen und<br />
Forschungseinrichtungen sowohl im Bereich der Prozessals<br />
auch der Fertigungsautomation.<br />
Die Broschüre mit dem Titel „Funklösungen<br />
in der Automation – Überblick und<br />
Entscheidungshilfen“ steht zum kostenlosen<br />
Download auf der ZVEI-Website bereit<br />
(www.zvei.org/automation/publikationen).<br />
ZVEI – ZEntralVErband ElEktrotEchnIk-<br />
und ElEktronIk -IndustrIE,<br />
Lyoner Straße 9, D-60528 Frankfurt am Main<br />
Tel. +49 (0) 69 6302-0,<br />
Internet: www.zvei.org<br />
Assembly on the fly für<br />
Montage im Fließbetrieb<br />
Die IBG Automation wurde mit dem Robotics Award<br />
2011 ausgezeichnet. Sie erhielt den Preis der Robotation<br />
Academy für das Projekt Assembly on the fly, eine<br />
automatisierte Frontend-Montage im Fließbetrieb. Dabei<br />
wird mit einem Roboter das Pkw-Frontend aus der Bereitstellungsposition<br />
entnommen und im Fließbetrieb an der<br />
Karosse montiert. Mit „Assembly on the fly“ lassen sich<br />
laut Jury höhere Produktivität und Qualität bei der Montage<br />
komplexer Bauteile in der Fließfertigung erreichen.<br />
Den zweiten Preis erhielt TOX Pressotechnik für eine<br />
robotergeführte Fügezange zum Setzen von Vollstanznieten<br />
in ultra-hochfeste Werkstoffe. Im Automobilbau ließen<br />
sich damit bis zu 100 Kilogramm pro Fahrzeu einsparen.<br />
Platz drei belegte FerRobotics Compliant Robot<br />
Technology für den aktiven Kontaktflansch – Hand-craft<br />
Power Kit. Damit lassen sich Produktionssequenzen automatisieren,<br />
die sich bisher nur per Hand verrichten<br />
lassen, da sie viel Sensibilität erfordern. Dafür sorgt ein<br />
aktiv gesteuertes Element zwischen Roboter und Werkzeug,<br />
das Widerstand fühlen und aktiv steuern kann.<br />
Die Robotation Academy ist eine herstellerübergreifende<br />
Roboter- und Automationsakademie, die von der Deutschen<br />
Messe gegründet und mit der Volkswagen Coaching<br />
GmbH als Partner betrieben wird.<br />
dEutschE mEssE, robotatIon acadEmy,<br />
Messegelände, D-30521 Hannover,<br />
Tel. +49 (0) 511 890,<br />
Internet: www.robotation.de<br />
• Zellstoff / Papier<br />
• Chemie / Pharma<br />
• Kraftwerke<br />
• Food<br />
ELEKTROTECHNIK<br />
MSR-TECHNIK<br />
MES<br />
AUTOMATION<br />
CONSULTING<br />
ENGINEERING<br />
MONTAGE<br />
INBETRIEBNAHME<br />
SERVICE<br />
Lösungen für<br />
die Industrie<br />
Actemium<br />
Im Vogelsgesang 1a<br />
D-60488 Frankfurt/Main<br />
Tel: +49 (0) 69 / 5005 0<br />
www.actemium.de
Branche<br />
Abschied von COM und ActiveX: FDT 2.0<br />
basiert auf der Microsoft-.NET-Technologie<br />
Erste Produkte mit dem neuen Standard sollen noch in diesem Jahr auf den Markt kommen<br />
Vorhandenes Know-How und Komponenten<br />
können weiter verwendet werden<br />
Konzepte fast<br />
unverändert<br />
FDT 1.2.x DTMs auch<br />
in FDT 2.0 ausführbar<br />
Migrationsstrategien<br />
möglich<br />
Interaktion zwischen<br />
FDT Komponenten<br />
verbessert:<br />
Einfachere<br />
Architektur<br />
Bessere<br />
Dokumentation<br />
Common<br />
Components<br />
eingeführt<br />
Interopera-<br />
bilität<br />
Investitionsschutz<br />
&<br />
Kompatibilität<br />
Zukunfts-<br />
un<br />
sicherheit<br />
Innovations-<br />
potentzial<br />
Bisherige<br />
Anforderungen<br />
2.0<br />
Abdeckung aller FDT-1.2.x-<br />
Anforderungen<br />
Offenheit bzgl. verschiedener<br />
Gerätetypen und Feldbusse<br />
Anwendungsszenarien<br />
DTM Funktionsumfang<br />
Neue Funktionalitäten<br />
ermöglicht<br />
COM/ActiveX-<br />
Einschränkung<br />
eliminiert<br />
Bessere Performance<br />
Sicherheitsaspekte<br />
Life-Cycle-Aspekte<br />
PLC-Tool-Schnittelle<br />
AbwärtskompAtibel<br />
trotz neuer<br />
Leistungsmerkmale<br />
und Funktionen:<br />
die Vorteile<br />
von FDT 2.0 auf<br />
einen Blick.<br />
Mit .NET wird Technologie verwendet, die heute<br />
und auch in Zukunft von Windows unterstützt wird<br />
System<br />
Rahmenapplikation<br />
Rahmenapplikation CC<br />
FDT 1.2-Schnittstelle<br />
DTM<br />
FDT 1.2<br />
DTM CC<br />
DTM<br />
FDT 2.0<br />
Rahmenappl. CC-Schnittstelle<br />
FDT 2.0-Schnittstelle<br />
DTM CC-<br />
Schnittstelle<br />
Der neue<br />
stAnDArD<br />
wird um vorgefertigte<br />
und vorgetestete<br />
„Common<br />
Components“ (CC)<br />
ergänzt, die den<br />
Großteil der<br />
Funktionalität<br />
beisteuern, um<br />
DTMs beziehungsweise<br />
Rahmenapplikationen<br />
für FDT 2.0 zu<br />
entwickeln.<br />
Bilder: FDT Group<br />
Die FDT Group wird im Laufe des Jahres ein Update<br />
des FDT-Standards bereitstellen. Gegenüber der aktuellen<br />
Version 1.2.1 wird FDT 2.0 neben Verbesserungen<br />
auch neue Leistungsmerkmale bieten. Der neue Standard<br />
wird abwärtskompatibel sein. Erste Produkte, die ihn<br />
nutzen, dürften noch vor Ende des Jahrs auf den Markt<br />
kommen. Erstmals öffentlich vorgestellt wurde FTD 2.0<br />
auf der Hannover-Messe.<br />
Der FDT-Standard IEC 62453 erfreut sich seit langem<br />
einer breiten Akzeptanz durch Endanwender sowie Hersteller,<br />
die eine nahtlose Geräte-, Netzwerk- und Anwen-<br />
dungsintegration über sämtliche Bereiche der Prozessund<br />
Fertigungsautomation anstreben. Aktuell werden<br />
mehr als 3000 verschiedene Geräte von FDT-zertifizierten<br />
DTMs (der Gerätetreiber-Software) unterstützt. Damit<br />
ist FDT der am weitesten verbreitete zertifizierte<br />
Standard in der gesamten Branche.<br />
Vierzehn der gängigsten Netzwerkstandards sind bereits<br />
in FDT integriert und einige weitere stehen kurz davor. Die<br />
Installationen reichen von einigen Dutzend Geräten eines<br />
Asset-Management-Systems bis hin zu mehreren zehntausend<br />
Geräten in Prozessleitsystemen oder SPS-Großanlagen.<br />
10<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
Auf Basis diese Erfolgs bereiten die 85 Mitgliedsunternehmen<br />
der FDT Group ein wichtiges Update des FDT-<br />
Standards vor, das mit den vorhandenen Installationen<br />
abwärtskompatibel ist, aber gleichzeitig vielfältige neue<br />
Leistungsmerkmale und Verbesserungen enthält. Im Folgenden<br />
erhalten Sie einen Ausblick auf das, was der erweiterte<br />
Standard zu bieten hat.<br />
FDT 2.0 IST ABWÄRTSKOMPATIBEL<br />
Während der neue Standard FDT 2.0 mit zahlreichen<br />
Erweiterungen und neuen Leistungsmerkmalen aufwartet,<br />
ist die FDT Group dem Grundsatz der Abwärtskompatibilität<br />
treu geblieben. Zu Beginn dieses Prozesses<br />
stand die Einbindung der Anwendungsfälle (der sogenannten<br />
Use Cases) aus den bisherigen Standards, die<br />
Fortführung der Offenheit für sämtliche Feldbus-Protokolle,<br />
die Aufrechterhaltung der grundlegenden Architektur<br />
des Standards und die Unterstützung der vorhandenen<br />
Funktionalität der DTMs. Erst anschließend wurden<br />
neue Use Cases, Erweiterungen, Leistungsmerkmale<br />
und Funktionen in FDT 2.0 eingebunden (siehe Bild 1).<br />
Prozesstechnik:<br />
Sicher und verfügbar?<br />
NEUE TECHNOLOGIE-PLATTFORM<br />
Der aktuelle FDT-Standard in der Version 1.2.1 genießt<br />
einen hohen Verbreitungsgrad und nutzt die erprobten,<br />
mittlerweile jedoch überholten Technologien COM und<br />
ActiveX. FDT 2.0 basiert dagegen auf der modernen Microsoft-.NET-Technologie<br />
und wurde darüber hinaus so<br />
entwickelt, dass er von inkompatiblen Änderungen der<br />
Common Language Runtime (CLR, die Kernkomponente<br />
von .NET) durch Microsoft unabhängig ist. Dank dieser<br />
neuen Technologieplattform können die Software-Entwickler<br />
bei der Erstellung FDT-konformer Produkte mit<br />
aktuellen Werkzeugen arbeiten. So wurde der gesamte<br />
FDT-2.0-Standard in eine integrierte Entwicklungsumgebung<br />
(IDE) mit der Bezeichnung FDT Express eingebunden,<br />
die unter der aktuellen Version von Microsoft<br />
Visual Studio läuft. FDT Express wird allen Mitgliedern<br />
der FDT Group kostenlos zur Verfügung gestellt werden.<br />
VERBESSERTE INTEROPERABILITÄT<br />
Die Interoperabilität über sämtliche Hersteller und Netzwerke<br />
hinweg ist einer der zentralen Vorzüge des FDT-<br />
Standards. Der neue Standard FDT 2.0 wird um vorgefertigte<br />
und vorgetestete „Common Components“ ergänzt,<br />
die den Großteil der Funktionalität beisteuern, um<br />
DTMs beziehungsweise Rahmenapplikationen für FDT<br />
2.0 zu entwickeln (siehe Bild 2). Das erhöht nicht nur die<br />
Interoperabilität für den Endanwender, sondern beschleunigt<br />
zudem die Markteinführung zertifizierter<br />
FDT-Produkte und senkt gleichzeitig die Kosten für die<br />
Gerätehersteller. Die „Frame Common Components“ implementieren<br />
darüber hinaus alles Notwendige seitens<br />
der Rahmenapplikation, um eine Abwärtskompatibilität<br />
mit den bereits installierten DTMs zu gewährleisten.<br />
FDT 2.0 setzt bei der Gerätekonfiguration und -verwaltung<br />
nicht auf Abschottung. Daher werden zusätzlich zu<br />
den DTMs selbstverständlich auch DDs, EDDs und sogar<br />
Überspannungsschutz<br />
vom Spezialisten:<br />
BLITZDUCTOR ® XT mit<br />
Condition Monitoring.<br />
Das Plus an Schutz und<br />
Verfügbarkeit für Ihre<br />
Prozesstechnik.<br />
Mehr Info: www.dehn.de/anz/2096<br />
DEHN + SÖHNE<br />
Überspannungsschutz<br />
Blitzschutz / Erdung<br />
Arbeitsschutz<br />
Postfach 1640 • 92306 Neumarkt<br />
Tel.: 09181 906-123 • Fax: 09181 906-478<br />
www.dehn.de • info@dehn.de<br />
11<br />
Anz C.M.Prozess_<strong>atp</strong>_26.4._97x256.indd 1 <strong>atp</strong> <strong>edition</strong> 31.03.11 16:20<br />
5 / 2011
Branche<br />
die zukünftigen FDI-Gerätepakete (Device Packages) unterstützt.<br />
Sämtliche dieser Verfahren können innerhalb<br />
einer einzigen FDT-Umgebung beliebig miteinander kombiniert<br />
werden.<br />
SCHNELLE .NET-KLASSEN STATT XML-PARSEN<br />
Die FDT-Technologie wird bereits seit fast zehn Jahren<br />
als erfolgreicher Industriestandard eingesetzt. In dieser<br />
Zeit konnten anhand tausender Installationen und Millionen<br />
ausgelieferter FDT-konformer Produkte zahlreiche<br />
Erfahrungen gesammelt werden. Dieser reichhaltige<br />
Erfahrungsschatz bildete die Grundlage für das Update.<br />
Die Anwender werden beispielsweise davon profitieren,<br />
dass Gerätekataloge in kürzester Zeit innerhalb der Rahmenapplikation<br />
aufgebaut werden können, ohne dass<br />
(wie in FDT 1.2.1 notwendig) der gesamte DTM instanziiert<br />
werden muss. Die DTMs wiederum verfügen über<br />
fein abgestufte Möglichkeiten der Datenablage, um einen<br />
schnellen Zugriff auf die einzelnen Geräteparameter zu<br />
ermöglichen. Und schließlich wurde das eher langsame<br />
XML-Parsen des vorherigen Standards zugunsten der<br />
blitzschnellen .NET-Klassen aufgegeben.<br />
mit dem FDT-2.0-Standard wird die FDT Group eine aktualisierte<br />
Lebenszyklus-Richtlinie herausgeben. Sie<br />
weist Endanwendern und Herstellern den besten Weg,<br />
um ihre vorhandenen Produkte langfristig optimal zu<br />
nutzen. Da FDT-Anwendungen miteinander interagierende<br />
Software-Komponenten von möglicherweise mehreren<br />
hundert unterschiedlichen Herstellern umfassen,<br />
wird die FDT Group darüber hinaus einen ebenfalls<br />
überarbeiteten Style Guide veröffentlichen, um eine einheitliche<br />
Darstellung in der Benutzerschnittstelle, unabhängig<br />
vom jeweiligen Hersteller, sicherzustellen.<br />
FAZIT<br />
Der vollständige FDT-2.0-Standard, FDT Express sowie<br />
die FDT Common Components werden im Laufe dieses<br />
Jahres verfügbar sein. Die ersten Produkte, die FDT 2.0<br />
nutzen, werden voraussichtlich noch vor Ende 2011 auf<br />
den Markt kommen. Die Endanwender der Technologie<br />
dürfen eine neue Dimension der intelligenten Geräteintegration<br />
mit FDT 2.0 erwarten.<br />
12<br />
GERINGE CLIENT-ANFORDERUNGEN<br />
FDT-2.0 unterstützt sowohl mehrere FDT-Rahmenapplikationen<br />
mit einer gemeinsamen Datenbasis als auch<br />
eine verteilte N:1-Client/Server-Architektur. Sämtliche<br />
benötigten Leistungsmerkmale, um verteilte Szenarios<br />
zu unterstützen, sind ebenfalls im Standard enthalten.<br />
Hierzu zählen beispielsweise das sogenannte „pessimistische<br />
Sperren“ von Datensätzen für einen Mehrnutzer-<br />
Zugang, unbeaufsichtigte Installationen und die serverbasierte<br />
DTM-Ablage. Der Hersteller der Rahmenapplikation<br />
hat damit die freie Wahl, die DTM-Gerätelogik<br />
nach kommerziellen Erwägungen entweder auf der Client-<br />
oder der Server-Seite der Architektur zu implementieren;<br />
auf dem Client wird in jedem Fall nur die Benutzerschnittstelle<br />
benötigt. Die geringeren Client-Anforderungen<br />
unterstützen Anwendungen auf PDAs, ebenso<br />
wie sonstige nicht-stationäre Client-Architekturen.<br />
Alle Komponenten einer FDT-konformen Architektur<br />
sind als digital signierte Baugruppen (.NET Assemblies)<br />
implementiert, sodass der Anwender eine hohe Sicherheit<br />
in Bezug auf die Quelle der Komponenten erhält. Die<br />
DTMs der Version FDT 2.0 erhalten nun ihren eigenen<br />
digital signierten Konformitätsnachweis. Mit diesem<br />
kann die Rahmenapplikation dem Anwender anzeigen,<br />
welche DTMs zertifiziert sind, ohne auf externe Quellen<br />
zurückgreifen zu müssen. Um die Verwaltung einer bereits<br />
installierten Anwendung zu erleichtern, kann die<br />
Rahmenapplikation eine serverbasierte DTM-Ablage abfragen<br />
und den Anwender automatisch informieren,<br />
wenn für ein vorhandenes Gerät ein aktualisierter DTM<br />
verfügbar ist.<br />
VERBESSERTE LEBENSZYKLUS-UNTERSTÜTZUNG<br />
Viele FDT-basierte Anwendungen erfordern Lebenszyklen,<br />
die weit über 15 Jahre hinausgehen. In Verbindung<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
autoren<br />
Glenn schulz,<br />
Managing Director der FDT<br />
Group<br />
FDt Group Aisbl<br />
bp 20<br />
b-1370 Jodoigne,<br />
tel. +32 10 22 22 51,<br />
e-mail: glenn.schulz@fdtgroup.org<br />
michAel heller, Group<br />
Manager Device Integration<br />
Customer Projects bei M&M<br />
Software<br />
m&m software Gmbh,<br />
industriestr. 5,<br />
D-78112 st. Georgen,<br />
tel. +49 (0) 7724 94 15 59,<br />
e-mail: mhr@mm-software.com
Die erste<br />
intelligente USV<br />
QUINT UPS-IQ<br />
Intelligenz für maximale<br />
Anlagenverfügbarkeit<br />
Mit der iQ-technology sorgen<br />
unterbrechungsfreie Stromversorgungen<br />
(USV) erstmals für 100%-ige<br />
Versorgungssicherheit.<br />
intelligentes Batteriemanagement<br />
optimiert und informiert Sie über<br />
• Restlaufzeit<br />
• Ladezustand<br />
• Lebensdauer<br />
• Leistungsfähigkeit<br />
Mehr informationen unter<br />
telefon (0 52 35) 3-1 20 00 oder<br />
phoenixcontact.de/usv<br />
© Phoenix ContaCt 2011
Branche<br />
Virtuelles Labor für Automatisierungstechnik –<br />
Simulationssoftware erlaubt interaktives Lernen<br />
Hochschule Deggendorf setzt neue Praktikumsform für verschiedene Studiengänge ein<br />
In Automatisierungstechnik-Vorlesungen wurde im<br />
Rahmen der E-Learning-Aktivitäten der Hochschule<br />
Deggendorf ein virtuelles Laborpraktikum auf der Basis<br />
der Win Ers-Simulations-Softwarepakete und der Lernplattform<br />
Moodle entwickelt. Dieses Praktikum wird in<br />
verschiedenen technischen Studiengängen erfolgreich<br />
eingesetzt.<br />
VORAUSSETZUNGEN UND RANDBEDINGUNGEN<br />
Das Thema „Automatisierungstechnik“ ist an der<br />
Hochschule Deggendorf Inhalt verschiedener Vorlesungen<br />
sowohl im auslaufenden Diplom- als auch im<br />
gleichnamigen Bachelorstudiengang „Elektro- und<br />
Informationstechnik“ sowie in den Bachelorstudiengängen<br />
„Mechatronik“ und „Wirtschaftsingenieurwesen“.<br />
Einen Schwerpunkt innerhalb der Vorlesung bildet das<br />
Thema der Sensorik auf Feldebene sowie die Erstellung<br />
neuer beziehungsweise die Interpretation vorhandener<br />
Planungsunterlagen der Automatisierungstechnik wie<br />
Grundfließbilder, Verfahrensfließbilder, RI-Fließbilder<br />
und PLT-Stellenpläne.<br />
Die genannten Studiengänge haben teilweise deutliche<br />
Unterschiede in den inhaltlichen Ausrichtungen<br />
und Schwerpunkten, sodass das elektrotechnische<br />
praktische Vorwissen der Studierenden ebenfalls stu-<br />
diengangsabhängig extrem unterschiedlich ausgeprägt<br />
ist. Es kommt hinzu, dass die Gruppengrößen ebenfalls<br />
sehr stark variieren, was dann wiederum die Planung<br />
eines Laborpraktikums für alle Studiengänge schwierig<br />
macht.<br />
ANFORDERUNGEN<br />
Unter Berücksichtigung der genannten Randbedingungen<br />
wurde ein für alle Studiengänge sinnvolles virtuelles<br />
Labor mit automatisierungstechnischen Themen konzipiert.<br />
Da seit zirka fünf Jahren an der Hochschule Deggendorf<br />
in den verschiedenen Studiengängen verstärkt virtuelle<br />
Lehre eine Rolle spielt, lautete das Ziel, einen entsprechenden<br />
E-Learning-Kurs einzurichten, mit folgenden<br />
Merkmalen und Anforderungen:<br />
möglichst leichte Bedienung und Parametrierung,<br />
ohne dass tiefe praktische elektrotechnische Kenntnisse,<br />
Programmierkenntnisse oder Modellbildungskenntnisse<br />
erforderlich sind<br />
Lösung von Labor-Arbeitsaufträgen und Übungsaufgaben<br />
an einem beliebigem Ort über einen festgelegten<br />
Zeitraum<br />
jederzeitige Möglichkeit zur Diskussion und Klärung<br />
offener Fragen zu den Aufgaben über entsprechende<br />
Foren<br />
BILD 1: Durchfluss regelungs simulation mit dem<br />
WinErs-Modul „Messtechnisches Praktikum“,<br />
hier eine Übersichtsdarstellung.<br />
BILD 2: Durchfluss regelungs simulation mit dem<br />
WinErs-Modul „Messtechnisches Praktikum“,<br />
hier die PLT-Stellenplandarstellung.<br />
14<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
Einreichung der Ergebnisse als Prüfungsvorleistung<br />
beziehungsweise Leistungsnachweis<br />
sofortiger Vergleich der Ergebnisse mit Musterlösungen<br />
nach Abgabe der Lösungen<br />
Inhalte und Themen passend zur Klausur, um eine<br />
bessere Vorbereitung zu ermöglichen<br />
PROJEKTDURCHFÜHRUNG<br />
Der Einsatz von E-Learning eignet sich für die Inhalte<br />
der Lehrveranstaltung mit den genannten Bedingungen<br />
und Anforderungen besonders gut. Die Potenziale des<br />
Einsatzes digitaler Medien in der Lehre liegen in der<br />
orts- und zeitunabhängigen Nutzung, in der multimedialen<br />
Aufbereitung von Lehrinhalten mit der Möglichkeit<br />
der Interaktion mit den Inhalten sowie Kommunikationsmöglichkeiten<br />
zwischen den Lernenden und den<br />
Lernenden mit dem Lehrenden [1].<br />
Diese Anforderungen an den Automatisierungstechnik-E-Learning-Kurs<br />
konnten folgendermaßen erfüllt<br />
werden:<br />
Als E-Learning-Plattform wurde die an der Hochschule<br />
Deggendorf oft eingesetzte Open-Source-Plattform<br />
Moodle benutzt. Die teilnehmenden Studenten<br />
konnten sich über ein Passwort anmelden und die entsprechenden<br />
Dateien (Aufgabenstellungen, Programmpaket,<br />
zusätzliches ergänzendes Informationsmaterial)<br />
herunterladen und mussten in einer festen Zeitspanne<br />
die Aufgaben lösen sowie ihre Lösungen elektronisch<br />
hochladen.<br />
Es wurden die Simulationspakete „WinErs“ des Ingenieurbüros<br />
Dr.-Ing. Schoop verwendet [2, 3]. Eine spezielle<br />
Campus-Lizenz sieht vor, dass beliebig viele Lizenzen<br />
für die Studierenden der Hochschule zur Verfügung<br />
stehen, die Software sowohl innerhalb des hochschuleigenen<br />
PC-Pools als auch auf den privaten Rechnern der<br />
Studierenden installiert werden darf. Besonders diese<br />
Vereinbarung war wichtig für einige Studierende, die<br />
während ihres Auslandssemesters diesen Leistungsnachweis<br />
erbringen wollten.<br />
Inhaltlich wurde schwerpunktmäßig das Modul<br />
„Messtechnisches Praktikum“ benutzt mit potentiometrischen<br />
Standmessungen, DMS-Kraft- und Druckmessungen,<br />
Temperaturmessungen, Durchflussmessungen<br />
und -regelungen. Besonders anschaulich wird im letztgenannten<br />
virtuellen Laboraufbau neben der technischen<br />
Darstellung (Bild 1) auch parallel dazu ein „lebendiger“<br />
PLT-Stellenplan visualisiert, der die besprochenen<br />
theoretischen Vorlesungsinhalte sehr anschaulich<br />
verdeutlicht (Bild 2).<br />
Zentraler Aspekt eines E-Learning-Angebots sind<br />
Simulationen wie die genannten. Diese ermöglichen<br />
eine Interaktivität des Lernenden mit dem System.<br />
Der Lernende kann Parameter eingeben und verändern<br />
und erhält vom System eine Rückmeldung. Die<br />
Simulationen stellen eine höhere Stufe der Interaktivität<br />
dar, es gibt nicht nur vorgefertigte multimediale<br />
Komponenten, sondern je nach Eingabe des Lernenden<br />
werden diese erzeugt und verändert [4].<br />
Weight / in 1000 kg<br />
11<br />
10<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
6 8 10 12 14 16 18 20 22 0 2 4 6 8 10 12<br />
Hour<br />
E+H Boiler House Energy monitoring.[Steam]<br />
E+H Boiler House Energy monitoring.[Gas]<br />
Betriebsmittelverbrauch pro Einheit<br />
des erzeugten Endproduktes<br />
(z. B. pro Kilogramm Dampf)<br />
12.-18.5.2011<br />
Halle 6<br />
Stand 6A71<br />
Endress+Hauser<br />
Messtechnik GmbH+Co. KG<br />
Colmarer Straße 6<br />
79576 Weil am Rhein<br />
Telefon 0 800 EHVERTRIEB<br />
oder 0 800 348 37 87<br />
Telefax 0 800 EHFAXEN<br />
oder 0 800 343 29 36<br />
Energieverlust<br />
effizient stoppen.<br />
0.91<br />
0.9<br />
0.89<br />
0.88<br />
0.87<br />
0.86<br />
0.85<br />
0.84<br />
kWh / kg<br />
Energiemanagement<br />
mit System<br />
Endress+Hauser ist ein weltweit tätiger<br />
Anbieter von Automatisierungslösungen.<br />
Unsere Lösungen zum Energiemanagement<br />
unterstützen Sie, ungenutzte<br />
Potenziale zur Energieeinsparung aufzudecken<br />
und die Energieeffizienz<br />
Ihrer Anlage sicherzustellen. Die Basis<br />
für Energiekostenreduzierung ist ein<br />
individuell auf den Betrieb abgestimmtes<br />
Energiemonitoring-System. Dieses<br />
System ermöglicht einen transparenten<br />
Überblick zu Energieverbräuchen, zu<br />
Wirkungsgraden einzelner Einheiten<br />
und die automatische Verfolgung von<br />
Energiekennzahlen.<br />
Wir bieten Lösungen, zugeschnitten<br />
auf Ihre Anforderungen, anwenderfreundlich,<br />
flexibel und skalierbar.<br />
Sparen Sie nachhaltig Energie – mit<br />
Lösungen von Endress+Hauser.<br />
www.de.endress.com/ems
Branche<br />
Durch die Simulation können die Lerninhalte visualisiert<br />
werden.<br />
Da der Lernende durch die Simulation angeregt wird,<br />
die Inhalte und Gesetzmäßigkeiten zu erforschen, wird<br />
entdeckendes Lernen gefördert. Der Lernende kann<br />
experimentieren, unterschiedliche Parameter einstellen<br />
und so die Einflüsse auf das Ergebnis beobachten<br />
[5]. Neben der Exploration der Lerninhalte werden dem<br />
Lernenden Aufgaben gestellt, die er mithilfe der Simulation<br />
lösen kann. Der Lernende wird also motiviert,<br />
die Inhalte selbst anzuwenden. Auf diese Weise soll<br />
produktives Lernen, das Prozesse des Problemlösens<br />
und Anwendung von Wissen beinhaltet, angeregt werden<br />
[6].<br />
vor allem Visualisierung des Vorlesungsstoffs und<br />
auch zur Prüfungsvorbereitung hat sich dieses virtuelle<br />
Labor bewährt, und es kommt inzwischen regelmäßig<br />
zur Anwendung. Weitere ähnliche technische<br />
Projekte beispielsweise im Themenbereich „Bildverarbeitung“<br />
haben sich angeschlossen und werden fortgeführt.<br />
Das Projekt wurde im Rahmen der NotebookUniversity-Initiative<br />
der Hochschule Deggendorf von dieser unterstützt.<br />
FAZIT<br />
Das virtuelle Automatisierungstechniklabor wurde von<br />
den beteiligten Studenten durchweg positiv bewertet.<br />
Auch Studierende, die in Australien ein Studiensemester<br />
verbrachten, konnten erfolgreich an dem E-Learning-Kurs<br />
teilnehmen. Alle beteiligten Studierenden<br />
konnten fristgerecht ihre Beiträge hochladen. Ihre Lösungen<br />
wurden mit „bestanden“ beziehungsweise<br />
„nicht bestanden“ bewertet. Eine Einzelbewertung mit<br />
Notenvergabe erschien nicht sinnvoll, da eine Zusammenarbeit<br />
einzelner Studenten nie ausgeschlossen werden<br />
kann, aber im Sinne einer gemeinsamen Erarbeitung<br />
des Stoffes und Prüfungsvorbereitung durchaus<br />
auch Vorteile bietet.<br />
Selbstverständlich kann ein virtuelles Labor kein<br />
reales Labor ersetzen. Als Ergänzung, Vertiefung und<br />
referenzen<br />
autoren<br />
Prof. Dr. rer. nat. MartIn<br />
JogwIch lehrt an der<br />
Hochschule Deggendorf in<br />
der Fakultät Elektrotechnik<br />
und Medientechnik die<br />
Fächer Automatisierungstechnik,<br />
Industrielle<br />
Bildverarbeitung und<br />
Physikalische Grundlagen<br />
der Sensorik.<br />
[1] reinmann, G.: Studientext Didaktisches Design. 2010<br />
(http://lernen-unibw.de/sites/default/files/Studientext_DD_april10.pdf)<br />
[2] Schoop, , M.: Lernsoftware, Darstellung von<br />
ablaufsteuerungen.<br />
Iee automatisierung + Datentechnik, hüthig Verlag,<br />
2007<br />
[3] h ass, V. c., Pörtner, r.: Praxis der Bioprozesstechnik.<br />
Spektrum akademischer Verlag, Berlin heidelberg<br />
2008.<br />
[4] Schulmeister, r.: taxonomie der Interaktivität von<br />
Multimedia –<br />
ein Beitrag zur aktuellen Metadaten-Diskussion.<br />
it+ti, 4, 193-199. 2002.<br />
[5] Seel, n.: Psychologie des Lernens.<br />
utB, Stuttgart 2003.<br />
[6] reinmann, G., eppler, M.: Wissenswege.<br />
Methoden für das persönliche Wissensmanagement.<br />
huber Verlag, Bern 2008.<br />
hochschule Deggendorf,<br />
Edlmairstraße 6 + 8, D-94469 Deggendorf,<br />
tel.+49 (0) 991 361 55 18,<br />
E-Mail: martin.jogwich@fh-deggendorf.de<br />
MartIna rEItMaIEr, M.A.<br />
ist Leiterin des Kompetenzzentrums<br />
E-Learning an der<br />
Hochschule Deggendorf.<br />
hochschule Deggendorf,<br />
Edlmairstraße 6 + 8, D-94469 Deggendorf,<br />
tel. +49 (0) 991 361 51 61,<br />
E-Mail: martina.reitmaier@fh-deggendorf.de<br />
16<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
Mehr Diagnose<br />
für intelligente<br />
Sensoren und Aktoren<br />
IO-Link<br />
Intelligente Geräte brauchen<br />
einfache Schnittstellen<br />
Diese Neuerscheinung ist didaktisch so aufgebaut, dass es je<br />
nach Qualifikation, verschiedene Einstiegs-Levels (Einsteiger,<br />
Fortgeschrittene, Experten) gibt.<br />
Das umfassende Kompendium beschreibt die neue, herstellerunabhängige<br />
IO-Link-Schnittstelle. Diese kann über Sensoren und Aktuatoren<br />
auf einfache Weise Daten mit der überlagerten Steuerung austauschen.<br />
Anstatt vieler proprietärer Systeme muss der Anwender in<br />
Zukunft also nur noch ein System kennen. Parametrierungen können<br />
automatisch in die Geräte geladen und umgekehrt Diagnose- und<br />
Wartungsinformationen an die Leitwarte gemeldet werden. Was sich<br />
zunächst komplex anhört, funktioniert mit IO-Link ganz einfach.<br />
Ergänzend zu den detaillierten, theoretischen Beschreibung und ihrer<br />
Vorteile finden Ingenieure und Praktiker aus dem Maschinen- und<br />
Anlagenbau, Betreiber, Instandhalter, Planer und Systemintegratoren<br />
auch vertiefende Übungen und praktische Beispiele.<br />
Autoren: P. Wienzek, J. R. Uffelmann<br />
1. Auflage 2010, 310 Seiten, Broschur<br />
Oldenbourg Industrieverlag München<br />
www.oldenbourg-industrieverlag.de<br />
✁<br />
SOFORTANFORDERUNG PER FAX: +49 (0)201 / 82002-34 oder im Fensterumschlag einsenden<br />
Ja, ich bestelle gegen Rechnung 3 Wochen zur Ansicht<br />
Ex.<br />
IO-Link<br />
1. Auflage 2010 – ISBN: 978-3-8356-3115-1<br />
für € 89,90 (zzgl. Versand)<br />
Die bequeme und sichere Bezahlung per Bankabbuchung wird<br />
mit einer Gutschrift von € 3,- auf die erste Rechnung belohnt.<br />
Firma/Institution<br />
Vorname, Name des Empfängers<br />
Straße/Postfach, Nr.<br />
PLZ, Ort<br />
Telefon<br />
Telefax<br />
E-Mail<br />
Antwort<br />
Vulkan Verlag GmbH<br />
Versandbuchhandlung<br />
Postfach 10 39 62<br />
45039 Essen<br />
Branche/Wirtschaftszweig<br />
Bevorzugte Zahlungsweise Bankabbuchung Rechnung<br />
Bank, Ort<br />
Widerrufsrecht: Sie können Ihre Vertragserklärung innerhalb von zwei Wochen ohne Angabe von Gründen in Textform (z.B. Brief, Fax,<br />
E-Mail) oder durch Rücksendung der Sache widerrufen. Die Frist beginnt nach Erhalt dieser Belehrung in Textform. Zur Wahrung der<br />
Widerrufsfrist genügt die rechtzeitige Absendung des Widerrufs oder der Sache an die Vulkan-Verlag GmbH, Versandbuchhandlung,<br />
Huyssenallee 52-56, 45128 Essen.<br />
Bankleitzahl<br />
✘<br />
Datum, Unterschrift<br />
Kontonummer<br />
PAIOL12010<br />
Nutzung personenbezogener Daten: Für die Auftragsabwicklung und zur Pflege der laufenden Kommunikation werden personenbezogene Daten erfasst und gespeichert. Mit dieser Anforderung erkläre ich mich damit einverstanden, dass ich vom Oldenbourg Industrieverlag oder vom<br />
Vulkan-Verlag per Post, per Telefon, per Telefax, per E-Mail, nicht über interessante, fachspezifische Medienund Informationsangebote informiert und beworben werde. Diese Erklärung kann ich mit Wirkung für die Zukunft jederzeit widerrufen.
Branche<br />
ISO 26000: Herausforderungen und Chancen –<br />
Starten Sie mit uns ein ISO-26000-Pilotprojekt!<br />
Handelt Ihr Unternehmen sozial verantwortlich? Wie arbeiten Ihre Zulieferer?<br />
In Zeiten gestiegener medialer Aufmerksamkeit und zunehmend<br />
bewussten Konsums hat der Nachhaltigkeitsgedanke<br />
in der Industrie massiv an Bedeutung gewonnen.<br />
Selbst die ISO (International Organization for Standardization),<br />
die man eher aus dem Bereich technischer Normen<br />
kennt, nimmt sich dieses Themas in ihrem neuen<br />
ISO-Standard an.<br />
Die „ISO 26000 Guidance on Social Responsibility“<br />
fasst erstmals diverse Einzelforderungen an Nachhaltigkeit<br />
und soziale Verantwortung strukturiert und international<br />
anerkannt zusammen. Die Norm, die am 1. November<br />
2010 in einer weltweiten Abstimmung veröffentlicht<br />
wurde, gibt Empfehlungen, wie sich Organisationen jeglicher<br />
Art verhalten sollten, um ihrer gesellschaftlichen<br />
Verantwortung gerecht zu werden.<br />
MITHILFE DER NORM IMAGEVORTEILE GENERIEREN<br />
Der Standard ist ein Kompromiss aus den unterschiedlichen<br />
Forderungen diverser Interessengruppen. Im Interesse<br />
einer möglichst breiten Akzeptanz bildet die<br />
ISO 26000 deshalb auch keine zertifizierbare Norm, sondern<br />
einen Leitfaden, der gesellschaftlich verantwortliches<br />
Handeln normiert und einen international einheitlichen<br />
Standard setzt.<br />
Vielfach werden die Empfehlungen der Norm bereits<br />
von gesetzlichen Vorgaben erfüllt, insbesondere im stark<br />
reglementierten Deutschland. Dazu gehören der Schutz<br />
der Menschenrechte, arbeitnehmerfreundliche Arbeitsbedingungen<br />
oder teilweise recht weitreichende Umweltschutzvorschriften.<br />
Doch die ISO 26000 geht auch über<br />
die bestehenden Gesetze hinaus. Beispielsweise bestimmt<br />
die Norm, dass „gesellschaftliche Verantwortung“ nicht<br />
bei „juristischer Mitschuld“ endet. Der Begriff „nutznießerische<br />
Mitschuld“ beschreibt in diesem Zusammenhang<br />
Situationen, in denen eine Organisation zum Beispiel<br />
direkten Nutzen durch den von anderen begangenen<br />
Missbrauch von Menschenrechten zieht. Dadurch endet<br />
gesellschaftliche Verantwortung eines Unternehmens<br />
nicht am eigenen Werkstor, sondern schließt auch das<br />
Verhalten der eigenen Zulieferer mit ein.<br />
Die Ausrichtung an der ISO 26000 könnte für Unternehmen<br />
die Chance bieten, ihre Außenwahrnehmung zu optimieren<br />
und Imagevorteile zu generieren. Doch es gibt<br />
auch kritische Stimmen, die den Nutzen der ISO 26000<br />
in Frage stellen.<br />
UNTERSTÜTZUNG FÜR FIRST MOVER<br />
Weil die Norm gerade erst veröffentlicht wurde, gibt es<br />
aus der Praxis noch keine Antworten auf die polarisierende<br />
Diskussion. Welchen Aufwand bedeutet es für Organisationen<br />
tatsächlich, bestehende Prozesse und Strukturen<br />
für die ISO 26000 fit zu machen? Wie kann aus der<br />
Norm der optimale Nutzen für das Unternehmen erreicht<br />
werden? Finden Sie mit uns die Antwort!<br />
Für Sie bietet sich jetzt die Gelegenheit als First Mover<br />
ein Pilotprojekt zur Implementierung der „ISO 26000<br />
Guidance on Social Responsibility“ zu starten. Unser Verlag<br />
bietet Ihnen an, zusammen mit fachkundigen Experten<br />
eine publizistisch begleitete Case Study durchzuführen.<br />
Bei der Beratung zur Seite steht Ihnen dabei Karl-<br />
Christian Bay, Herausgeber und Co-Autor des Buches<br />
„ISO 26000 in der Praxis. Der Ratgeber zum Leitfaden für<br />
soziale Verantwortung und Nachhaltigkeit“ (1.Auflage,<br />
München 2010, Oldenbourg Industrieverlag GmbH).<br />
neuerscheinung: isO 26000<br />
ISO 26000: Ein Standard, der Bekanntes aufgreift<br />
und dabei herausfordert<br />
erstmals schafft ein internationaler standard eine Definition von<br />
gesellschaftlicher Verantwortung. anhand beispielhafter Verhaltensregeln<br />
(Best Practice) bietet die isO 26000 unternehmen,<br />
die im Zuge der wachsenden öffentlichen aufmerksamkeit<br />
bewusster wirtschaften wollen, konkrete handlungsorientierung.<br />
im Oldenbourg industrieverlag erschien jetzt der praxisorientierte<br />
ratgeber zur isO 26000. er vergleicht den standard mit bestehenden<br />
normen und gibt Tipps zur erfolgreichen um setzung im unternehmen.<br />
Fordern Sie ihr exemplar an:<br />
Silvia Spies, Huyssenallee 52-56,<br />
45128 Essen, Tel. +49 (0) 201 82002-14,<br />
E-Mail: s.spies@vulkan-verlag.de, Mehr Infos: www.sr4u.org<br />
herauSgeber: Karl-Christian Bay<br />
1. Auflage 2010, 232 Seiten, Hardcover, 49,90 €<br />
18<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
Nicht Mozart –<br />
und doch ein Klassiker<br />
IMPLEMENTIERUNG WIRD FACHKUNDIG BEGLEITET<br />
Karl-Christian Bay ist Gründer und Inhaber einer Wirtschaftsprüfungs-<br />
und Rechtsanwaltskanzlei, die sich<br />
auf die Beratung von Fragen im Spannungsfeld von betriebswirtschaftlichen,<br />
rechtlichen und ethischen Aspekten<br />
spezialisiert hat. Dies umfasst beispielsweise die<br />
Durchführung von Unternehmenstransaktionen oder<br />
die Beratung hinsichtlich Compliance-Fragestellungen.<br />
So würde die Implementierung des Standards<br />
ISO 26000 in Ihrem Unternehmen mit der Status-Quo-<br />
Analyse und Identifikation von Geschäftsprozessen<br />
und Governance-Strukturen beginnen. Daraus resultierend<br />
werden dann die Anforderungen der ISO 26000<br />
eingegrenzt und der notwendige Anpassungsbedarf<br />
geplant und umgesetzt. Nach Implementierung des<br />
Leitfadens wird eine angemessene Kommunikationsund<br />
Reportingstrategie erarbeitet, die das gesellschaftlich<br />
verantwortliche Verhalten an Konsumenten, Investoren<br />
und sonstige Anspruchsgruppen optimal<br />
kommuniziert. Begleitet wird die Case Study über einen<br />
längeren Zeitraum durch Veröffentlichungen in<br />
unseren Medien.<br />
Viele Unternehmen fühlen sich heute der Nachhaltigkeit<br />
verpflichtet. Die ISO 26000 ist der erste, weltweit<br />
anerkannte Standard, der diesen Leitgedanken in einem<br />
definierten System vereint. Nutzen Sie jetzt den First-<br />
Mover Advantage. Starten Sie mit Karl-Christian Bay<br />
und dem Oldenbourg Industrieverlag ein ISO-26000-Pilotprojekt.<br />
Lassen Sie uns gemeinsam herausfinden,<br />
welche Vorteile die ISO 26000 für Organisationen<br />
bringt. Für ein unverbindliches Informationsgespräch<br />
stehen wir Ihnen gerne jederzeit zur Verfügung.<br />
iniTiaTOren<br />
Karl-chriSTian bay,<br />
Gründer und Inhaber von<br />
BAY Wirtschaftsprüfer | Rechtsanwälte<br />
und Herausgeber des<br />
Buches „ISO 26000 in der Praxis:<br />
Der Ratgeber zum Leitfaden für<br />
soziale Verantwortung und<br />
Nachhaltigkeit“<br />
bay Wirtschaftsprüfer | rechtsanwälte<br />
Werner-von-Siemens-ring 12,<br />
85630 münchen, Tel. +49 (0) 89 46 14 90 60,<br />
e-mail: karl-christian.bay@bay-cc.com<br />
internet: www.bay-cc.com<br />
hanS-Joachim Jauch,<br />
Geschäftsführer des Oldenbourg<br />
Industrieverlags<br />
oldenbourg industrieverlag gmbh,<br />
rosenheimer Straße 145,<br />
d-81671 münchen,<br />
Tel. +49 (0) 89 45 05 14 04,<br />
e-mail: iso26000@oldenbourg.de<br />
internet: www.oiv.de<br />
A01007DE<br />
Wie Mozarts Werke sind die<br />
SAMSON-Ventile der Bauart 240<br />
weltweit bekannt und geschätzt. Auch<br />
sind sie nicht minder vielfältig: abgestuft<br />
wie die Orgelpfeifen, für alle Drücke<br />
und Durchflüsse von adagio bis<br />
allegro erhältlich. Dabei arbeiten die<br />
Ventile ausgesprochen piano – damit<br />
niemand durch einen Paukenschlag<br />
geweckt wird. Die Besetzung können<br />
Sie ganz nach Ihrem Gusto variieren:<br />
Mit Stellungsregler, Magnetventil und<br />
Grenzsignalgeber warten weitere Virtuosen<br />
auf ihren Einsatz.<br />
Sie sind der Dirigent.<br />
Wir haben die Instrumente.<br />
SAMSON AG • MESS- UND REGELTECHNIK<br />
Weismüllerstraße 3 • 60314 Frankfurt am Main<br />
Telefon: 069 4009-0 • Telefax: 069 4009-1507<br />
E-Mail: samson@samson.de • www.samson.de
Praxis<br />
DIN EN 62424: Den Übergang zwischen Fließbild<br />
und CAE-System ohne Brüche realisieren<br />
Die neue Norm nutzen oder die bisherigen Lösungen fortführen?<br />
Seit Januar 2010 gilt die Norm DIN EN 62424 (siehe [3]).<br />
Sie legt fest, wie Aufgaben der Prozessleittechnik in<br />
Fließbildern darzustellen sind. Eine Übergangszeit bis Juli<br />
2012 lässt die Parallelität mit der „DIN 19227 Teil 1 Graphische<br />
Symbole und Kennbuchstaben für die Prozessleittechnik“<br />
(siehe [2]) zu. Dies bedeutet, dass die neue<br />
Norm die Regelungen bis auf Unterabschnitt 3.9 „Einwirkung<br />
auf die Strecke“ ersetzt. Deren Inhalte sollen in<br />
DIN ISO 10628 „Fließschemata für verfahrenstechnische<br />
Anlagen“ (siehe [4]) aufgenommen werden. Für jeden Anlagenbetreiber<br />
stellt sich nun die Frage, ob und wann er<br />
die neue Norm erfüllt und ob er seine softwaretechnische<br />
Lösung nicht durch eine maßgeschneiderte ablöst.<br />
DARSTELLUNG IM FLIESSBILD<br />
Da DIN EN 62424 eine eindeutige Schnittstelle für den<br />
Informationsaustausch zwischen Werkzeugen zur Erstellung<br />
und Bearbeitung von Fließschemata und CAE-Systemen<br />
der Prozessleittechnik definieren soll, musste die<br />
alte Norm durch Präzisierungen, sowohl im Hinblick auf<br />
die Symbolik als auch auf die Beschreibung der Verarbeitungsfunktionalität<br />
abgelöst werden.<br />
Das System von Erst-, Ergänzungs- und Folgebuchstabe<br />
der alten Norm zielte darauf ab, die Funktion der Stelle<br />
und die Verarbeitungsfunktionen in einer Zeichenfolge<br />
zu erfassen. Die Darstellung der PLT-Aufgabe im R&I-<br />
Fließbild erfolgte im Wesentlichen mit Hilfe des „PLT-Eis“,<br />
in dessen oberen Textfeld diese Zeichenfolge einzutragen<br />
war. Die neue Norm sieht nun für diesen Zweck sieben<br />
Textfelder vor, wovon eines die alte Position innerhalb des<br />
Ovals oben behält. Die restlichen sechs Felder stellen die<br />
Alarmebenen von Tripel-Hoch bis Tripel-Tief dar und dienen<br />
der Erfassung von Alarm, Anzeige und Schaltung.<br />
Bild 1-1 gibt einen Eindruck, wie sich die Informationen<br />
rund um das Oval verteilen. In den Textfeldern der Alarmebenen<br />
dürfen nur die Verarbeitungsfunktionen: Alarm<br />
(A), PCS-Statusanzeige von Binärsignalen (O), binäre Steuerungs-<br />
oder Schaltfunktion (S) sowie (Z), wenn sicherheitsrelevant,<br />
auftreten. Die übrigen Verarbeitungsfunktionen<br />
werden an alter Position gemäß einer vorgegebenen<br />
Reihenfolge eingetragen. Der untere Textplatzhalter im<br />
Oval dient der Kennzeichnung der PLT-Aufgabe.<br />
Links vom Oval sind ergänzende Informationen aufzutragen,<br />
wobei von oben nach unten der Unterlieferant,<br />
die Typicalkennzeichnung und eine Geräteinformation<br />
ausgegeben werden kann. Das Oval hat seine Standardverknüpfungspunkte<br />
auf den beiden Hauptachsen. Sechs<br />
weitere Verknüpfungspunkte sind rechts von den Textplatzhaltern<br />
der sechs Alarmebenen zu sehen.<br />
NORM LEGT DREI NEUE SYMBOLE FEST<br />
Schließlich legt die Norm der Form nach drei Symbole für<br />
Sicherheits-, GMP- und Qualitätsrelevanz fest. Sie werden<br />
rechts vom Oval angezeigt, wenn die Anforderungen an die<br />
PLT-Aufgabe so zu kategorisieren sind. Die bevorzugte Lage<br />
der Symbole kann im Konflikt mit der Lage einer Signal- oder<br />
Bild 1-1: Das PLT-Oval für<br />
Anzeige im zentralen Leitstand<br />
Bild 2-1:<br />
Die Darstellung<br />
von Bild B.22 in<br />
Planeds 4.0<br />
Bild 1-2: Das Sechseck<br />
der Leitfunktion<br />
20<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
ARCA_Ins_DU-Ventil_D_90x260.qxd<br />
Wirklinie stehen. Solche Überschneidungen hält die Norm<br />
für nicht immer vermeidbar und deshalb für tolerierbar.<br />
Ist eine der Alarmebenen mit einer Schaltfunktion<br />
belegt, dann ist deren Verknüpfungspunkt zu verwenden,<br />
um die Signallinie zum Verknüpfungspunkt des<br />
Ovals der PLT-Aufgabe zur Leitfunktion anzulegen, die<br />
von dort ihr Eingangssignal erhält.<br />
In DIN 19227 Teil 1 war das Symbol für die Leitfunktion<br />
auch schon vom Oval der Sensor- oder Aktor-Aufgabe<br />
verschieden. Es wurde jedoch unterschieden zwischen<br />
„vom Prozessrechner realisiert“ und „vom Prozessleitsystem<br />
realisiert“. Diese Unterscheidung wurde<br />
aufgegeben. Bild 1-2 zeigt das nun gültige Symbol.<br />
Links vom Sechseck sind drei Textplatzhalter vorgesehen,<br />
deren oberer Inhalt der Unterlieferant sein sollte.<br />
Darunter folgt die Angabe über das zugehörige Typical<br />
und schließlich die Geräteinformation, Bild 1-1 entsprechend.<br />
Eingehende Signallinien müssen ihre Quelle in<br />
Ovalen besitzen, die entweder Sensoren oder Aktoren<br />
repräsentieren. Ausgehende Signallinien müssen auf<br />
einem oder mehreren Ovalen von Aktoren enden.<br />
Innerhalb des Sechsecks steht im oberen Textplatzhalter<br />
die Kategorie (U für Leitfunktion) gefolgt von der<br />
Verarbeitungsfunktion für eine Schaltung (S oder Z). In<br />
Bild 1-2 kommt beides vor, was soviel bedeutet, wie:<br />
„Mindestens ein Sensor oder Aktor besitzen „Z“ als Verarbeitungsfunktion.“<br />
Das Sechseck hat seine Standardverknüpfungspunkte<br />
auf den beiden Hauptachsen.<br />
KONZENTRATION AUF DIE SPEZIFIKATION<br />
Da die Regeln zur Spezifikation der PLT-Aufgaben und<br />
der Leitfunktionen enger gefasst wurden und symboltechnisch<br />
im und um das jeweilige Symbol herum zu platzieren<br />
sind, sollte das Fließbildsystem dem Anwender eine<br />
Eingabehilfe bieten, die ihn sich auf die eigentliche Spezifikation<br />
konzentrieren lässt und die ihn von umständlicher<br />
Gruppierung und Platzierung entlastet.<br />
Für die Verbindung der Aufgaben untereinander und mit<br />
den Leitfunktionen legt die Norm fest, dass Schaltfunktionen<br />
von den Alarmebenen (von deren zugeordneten Verknüpfungspunkten)<br />
aus, mittels gestrichelter Pfeile mit den<br />
Symbolen der PLT-Aufgaben oder Leitfunktionen verbunden<br />
werden, die die Ausgangssignale weiter verarbeiten.<br />
Die übrigen Verbindungen werden von Symbol zu Symbol<br />
mittels gestrichelter Pfeile gezeichnet. Dabei gibt der Pfeil<br />
jeweils die Richtung des Informationsflusses wieder. Verbindungen<br />
der PLT-Aufgabe zum Prozess werden durch<br />
eine richtungslose, durchgezogene Linie dargestellt.<br />
ÜBERGANG VOM FLIESSBILD ZUM CAE-SYSTEM<br />
Bild 2-1 zeigt eine Darstellung von Bild B.22 aus<br />
DIN EN 62424. Im oberen Teil ist eine „2oo3“-Architektur<br />
mit drei Druckmessungen in einer Rohrleitung zu sehen.<br />
Die Signale der drei sicherheitsrelevanten Druck-Hoch-<br />
Hoch-Schaltungen mit Einstufung „SIL 3“ werden von der<br />
Leitfunktion U0062 verarbeitet und beeinflussen die<br />
Stellfunktion Y0069 mit Auf/Zu-Endlagenmeldungen. Die<br />
Durchflussregelung ist druck- und temperaturkompen-<br />
Geregelt Dampf konditionieren!<br />
ARCA<br />
Flow Gruppe<br />
weltweit:<br />
ARCA-<br />
Dampfumformstationen<br />
Argumente, die ziehen:<br />
● bewährte Konstruktion<br />
für extreme Beanspruchung und<br />
mit hoher Lebensdauer<br />
● Applikationsvielfalt in Nennweiten<br />
und Druckbereich<br />
● mehrstufige Dampfreduzierung<br />
und damit geräuscharm<br />
● zuverlässig im Dampf- und<br />
Speisewasserbereich<br />
● servicefreundliche Modulbauweise<br />
ARCA Regler GmbH, Postfach 2120, 47913 Tönisvorst<br />
Tel. 02156-7709-0, Fax 7709-55, sale@arca-valve.com<br />
www.arca-valve.com<br />
Die bessere<br />
Lösung!<br />
Fordern Sie<br />
noch heute ein<br />
Angebot oder<br />
Informationsmaterial<br />
an!<br />
• Zuverlässigkeit in Regelarmaturen, Pumpen & Cryogenics<br />
• Mit Tochtergesellschaften und Partnern in der Schweiz, den<br />
Niederlanden, Indien, VR China, Korea, Japan und Mexiko!<br />
Armaturen AG<br />
von Rohr<br />
ARCA BV<br />
von Rohr
Praxis<br />
siert, wobei Druck und Temperatur im zentralen Leitstand<br />
angezeigt werden. Die Auf-Endlage der Stellfunktion ist<br />
verknüpft mit einer weiteren Leitfunktion U0070.<br />
Für einen bruchlosen Übergang vom Fließbild zum<br />
CAE-System bedeutet dies, dass alle verfahrenstechnisch<br />
relevanten Anforderungen an die Instrumentierung<br />
mit Bezug auf die jeweilige Verarbeitungsfunktion<br />
im CAE-System adäquat abgebildet werden können.<br />
SPEZIFIKATIONEN WERDEN ZUSAMMENGEFÜHRT<br />
Betrachtet man in Bild 2-1 Sensor-PLT-Aufgaben, dann<br />
sieht man, dass sie ihre Einbauorte in Rohrleitungen haben.<br />
Jeder dieser Einbauorte repräsentiert den Sitz eines<br />
Feldgeräts. Zwei Anforderungen muss das CAE-System<br />
erfüllen: Zum einen muss es in der Lage sein, den Signalfluss<br />
wiederzugeben und zum anderen, die logische Verschaltung<br />
der Stellen in Stellenplänen zu ermöglichen.<br />
Es gehören also die Spezifikation der Signalverarbeitung<br />
aus verfahrenstechnischer Sicht aufgrund der Betriebsparameter<br />
einerseits und die gerätetechnische Spezifikation<br />
andererseits zusammen. Ersteres beschreibt die Anforderungen<br />
an die Gerätetechnik und letzteres deren Realisierung<br />
im Hinblick auf Beschaffung und Montage.<br />
Bild 2-2 zeigt den bruchlosen Übergang vom Fließbild in<br />
das CAE-System. Beispielhaft hervorgehoben ist die Leitfunktion<br />
U0062. Auf derselben Hierarchie-Ebene sind die<br />
übrigen Messstellen, die Aktorstelle und Leitfunktionen<br />
aufgeführt. Schaut man eine Ebene tiefer, dann sind dort<br />
die ein- und ausgehenden Signallinien dargestellt. Der<br />
oberste Knoten verweist auf den Aktor. Er zeigt eine sicherheitsrelevante<br />
Schaltung Z an, die das Ventil schließt. Die<br />
Aktorstelle selbst ist als „sicherheitsrelevant“ markiert.<br />
Die Eingangssignale der Leitfunktion kommen entsprechend<br />
der „2oo3“-Architektur von drei Messstellen in<br />
derselben Rohrleitung. In Bild 2-1 ist bei der Messstelle<br />
P0060 der Einbauort hervorgehoben dargestellt. Der hohe<br />
Integrationsgrad zwischen Fließbild-Software und CAE-<br />
System zeigt sich dann, wenn die Betriebsdaten und die<br />
Einbauortdaten im Fließbild erfasst und für die Spezifikation<br />
im CAE-System nutzbar gemacht werden können.<br />
EINGABEAUFWAND WIRD REDUZIERT<br />
Im vorliegenden Fall liegen die Betriebsdaten bei der<br />
Rohrleitung. Dies ist in der Realität so und dies sollte auch<br />
in der Software so sein. Gleiches gilt für die technischen<br />
Daten der Rohrleitung. Das heißt für die Beschaffung der<br />
Geräte, dass Betriebs- und Rohrleitungsdaten nur einmal<br />
erfasst werden müssen. Der Eingabeaufwand wird reduziert<br />
und vermeidet Fehler durch falsche Übertragung.<br />
Eine mögliche Realisierung zeigt Bild 2-2. „-B01“ repräsentiert<br />
das Stellenelement im CAE-System. Als Symbol<br />
quellen<br />
Die aussagen zur norm Din en 62424 in diesem Beitrag<br />
beziehen sich auf die ausgabe von Januar 2010, diejenigen<br />
zur norm Din 19227 Teil 1 auf die ausgabe von Oktober<br />
1993. Die Bilder des artikels wurden mit dem Cae-system<br />
Planeds 4.0 der Planets software GmbH erstellt.<br />
Bild 2-2: Die Leitfunktion U0062<br />
Bild 2-3: Die Aktor- und Sensor-Stellen sowie Leitfunktionen<br />
22<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
wird es mit anderen Symbolen im Stellenplan verschaltet.<br />
Eine Ebene tiefer steht der Verweis in das Fließbild zur<br />
Rohrleitung RL0001. Ein hochintegriertes System ermöglicht<br />
mit komfortabler „Gehe-zu“-Funktionalität den<br />
Sprung in das Fließbild, wo dann gemäß Bild 2-1 die Wirklinie<br />
als Einbauort hervorgehoben dargestellt wird.<br />
Damit ist es völlig gleichgültig, ob das Messstellenblatt<br />
als typisches Dokument des CAE-Systems aus diesem<br />
oder aus dem Fließbildsystem angestoßen wird. Stets<br />
wird auf dieselben Daten zugegriffen.<br />
So wie Bild 2-2 die komplette Verknüpfung zwischen den<br />
Leitfunktionen, Aktor- und Sensor-Stellen in Bild 2-1 zeigt,<br />
so kann ein entsprechendes Listendokument generiert werden,<br />
aus dem die netzwerkartigen Verknüpfungen in linearisierter<br />
Form etwa als Abschaltketten dokumentiert werden.<br />
Eine Suche über Fließbildgrenzen hinweg erübrigt<br />
sich, weil das Dokument nicht nur die Vermaschung aufzeigt,<br />
sondern auch sagt, in welchem Fließbild die einzelne<br />
Stelle oder die Leitfunktion dokumentiert ist.<br />
| EC12-09G |<br />
Robust und kompakt:<br />
der Embedded-PC mit<br />
Intel ® Atom .<br />
Die CX5000-Serie von Beckhoff.<br />
liTeraTur<br />
[1] Bergmann, Jürgen: rechnergestützte Projektierung von<br />
Prozeßautomatisierungssystemen mit dem Cae-system<br />
PlaneDs; shaker Verlag, aachen 2000<br />
[2] Din 19227 Teil 1 Oktober 1993: Graphische symbole und<br />
Kennbuchstaben für die Prozeßleittechnik – Darstellung<br />
von aufgaben, Beuth Verlag, Berlin 1993<br />
[3] Din en 62424 Januar 2010: Darstellung von aufgaben<br />
der Prozessleittechnik – Fließbilder und Datenaustausch<br />
zwischen eDV-Werkzeugen zur Fließbilderstelllung und<br />
Cae-systemen, Beuth Verlag, Berlin 2009<br />
[4] Din en isO 10628 März 2001: Fließschemata für<br />
verfahrenstechnische anlagen – allgemeine regeln,<br />
Beuth Verlag, Berlin 2001<br />
auTOr<br />
Arno Schmidt,<br />
Produktmanager<br />
bei Planets Software<br />
Halle 23, Stand A24<br />
Halle 15,<br />
Stand<br />
D25/E26<br />
www.beckhoff.de/CX5000<br />
Die Embedded-PC-Serie CX5000 für die Hutschienenmontage:<br />
Geeignet zum fl exiblen Einsatz als kompakter Industrie-PC oder als<br />
PC-basierte Steuerung für SPS, Motion Control und Visualisierung:<br />
Intel ® -Atom-Z530-CPU 1,1 GHz (CX5010) oder 1,6 GHz (CX5020)<br />
Robustes und kompaktes Magnesiumgehäuse<br />
Erweiterter Betriebstemperaturbereich von -25…60 °C<br />
Lüfterlos, ohne rotierende Bauteile (Compact-Flash als Speichermedium)<br />
I/O-Interface für EtherCAT-Klemmen und Busklemmen<br />
Optionsplatz für serielle oder Feldbus-Schnittstellen<br />
Integrierte 1-Sekunden-USV<br />
Planets Software Gmbh<br />
Planetenfeldstr. 97, d-44379 dortmund,<br />
tel. +49 (0) 231 555 78 31 17,<br />
E-mail: arno.schmidt@planets-software.de,<br />
internet: www.planeds.de<br />
IPC<br />
I/O<br />
Motion<br />
Automation<br />
CX1020/CX1030<br />
Embedded-PC mit<br />
Intel ® -Pentium ® -<br />
M-CPU, 1,8 GHz<br />
oder Intel ® -<br />
Celeron ® -M-ULV-<br />
CPU, 1 GHz<br />
CX1010<br />
Embedded-PC<br />
mit Pentium ® -<br />
MMX-kompatibler<br />
CPU,<br />
500 MHz<br />
CX9000/CX9010<br />
Ethernet-<br />
Controller mit<br />
Intel ® -IXP420-<br />
XScale ® -Techno -<br />
logie, 266 MHz<br />
oder 533 MHz<br />
CX8000<br />
Feldbus Controller<br />
mit ARM9-CPU,<br />
400 MHz z.B. für<br />
PROFIBUS, PROFI-<br />
NET, EtherCAT und<br />
Ethernet
hauptBeitRag<br />
<strong>Lateralverhalten</strong> <strong>elastischer</strong><br />
<strong>Bahnen</strong> <strong>vereinfacht</strong> <strong>modelliert</strong><br />
Teil 2: Anwendung des Fadenmodells auf Mehrwalzensysteme<br />
Das seitliche Verlaufen von durchlaufenden Stoffbahnen in der Papier-, Kunststoff- und<br />
Textilindustrie wird mihilfe von Bahnkantenregelungen korrigiert. In Teil 1 wurde die<br />
ausgedehnte Bahn durch eine Harfe von Fäden ohne Querkopplungen in einem System<br />
aus zwei angetriebenen Walzen angenähert. Zwei Grenzfälle wurden behandelt: Ein Faden<br />
unter Zugspannung bei vernachlässigten Biegespannungen und ein Faden bei Biegung<br />
unter Vernachlässigung der Zugspannung. Ein Faden mit vorherrschender Zugspannung<br />
stellt demnach ein Verzögerungsglied 1. Ordnung dar, das dieselbe Zeitkonstante aufweist,<br />
wie sie für das Longitudinalverhalten charakteristisch ist. Bei Biegung wird die Zeitkonstante<br />
kleiner, ohne dass sich die Systemordnung ändert. Der erreichbare Fadenversatz<br />
relativ zu einer Schwenkwalze vermindert sich. Im folgenden Teil 2 werden ein Drei- und<br />
ein Vierwalzensystem untersucht, das letztgenannte nur für den Fall überwiegender Zugspannung.<br />
Für diese industrie-üblichen Systeme werden nicht angetriebene Schwenkwalzen<br />
zwischen angetriebenen Klemmstellen zu Grunde gelegt.<br />
SCHLAGWÖRTER Durchlaufende Bahn / Bahnlauf-Regelsysteme / Seitenkantenregelung /<br />
Bahnkantenregelung<br />
Simplified Mathematical Model of Lateral Behavior of Moving Elastic Webs –<br />
Part 2: Applying the Threads Model to Multi-Roller Systems<br />
The lateral position of a moving web in production lines for the paper, plastics and textile<br />
industries has to be corrected by means of web guiding systems. In Part 1 the continuous<br />
two- dimensional web has been approximated through a harp of non-interlinking threads<br />
in a system of two driven rollers. Two important cases have been investigated: A thread<br />
with predominant tensile stress and a thread with predominant bending stress. The thread<br />
with predominant tensile stress revealed to be a first-order lag with the same time constant<br />
as is characteristic for the longitudinal web dynamics. The thread with bending stress<br />
exhibits a smaller time constant and a smaller reachable displacement relative to a guiding<br />
roller. In the following Part 2 a three and a four roller system is investigated, the latter<br />
one being investigated only in the case of predominant tensile stress of the thread. In<br />
these industrial systems non-driven guiding rollers are assumed which are located between<br />
driven rollers.<br />
KEYWORDS Moving web / lateral web dynamics / web guide system / web edge control<br />
24<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
Die in Teil 1 dargestellte mathematische Behandlung<br />
eines Systems aus zwei angetriebenen Walzen,<br />
die von Fäden in Form einer Fadenharfe<br />
umschlungen werden, wird im folgenden Teil 2<br />
auf ein System aus drei und vier Walzen ausgedehnt,<br />
in dem nicht angetriebene Schwenkwalzen zwischen<br />
zwei angetriebenen Klemmstellen angeordnet sind.<br />
3. Dreiwalzensystem<br />
3.1 massenbilanzen bei angetriebener und nicht<br />
angetriebener schwenkwalze<br />
Longitudinale Schwenkung mit<br />
angetriebener Schwenkwalze<br />
Im Dreiwalzensystem nach Bild 5 sei aus systematischen<br />
Gründen zunächst angenommen, dass außer<br />
den Klemmstellen 1 und 3 auch die Schwenkwalze 2<br />
angetrieben sei und ein Drehmoment um die z<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2<br />
1<br />
12<br />
12<br />
01<br />
2 1 12<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() () ()<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3 2 23<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
() () ()<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
l<br />
l<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
c<br />
23 12<br />
23<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
=−<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
ε<br />
ε<br />
v<br />
v<br />
sl<br />
v<br />
v<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
2 12 3<br />
23<br />
23<br />
2<br />
12<br />
12<br />
1<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
=<br />
= + ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε ()<br />
z<br />
v<br />
s<br />
2<br />
2<br />
̃δ ()<br />
-Achse<br />
aufbringen kann. Die klein dargestellten Umlenkwalzen<br />
seien ohne jeden Einfluss. Die Dehnungen<br />
lauten auf Grund der Massenbilanzen in Kontrollraum<br />
1-2 und 2-3<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2<br />
1<br />
12<br />
12<br />
01<br />
2 1 12<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() () ()<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3 2 23<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
() () ()<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
l<br />
l<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
c<br />
23 12<br />
23<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
=−<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
ε<br />
ε<br />
v<br />
v<br />
sl<br />
v<br />
v<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2 12 3<br />
23<br />
23<br />
2<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃δ<br />
(3.1.1)<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2<br />
1<br />
12<br />
12<br />
01<br />
2 1 12<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() () ()<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3 2 23<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
() () ()<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
l<br />
l<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
c<br />
23 12<br />
23<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
=−<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
ε<br />
ε<br />
v<br />
v<br />
sl<br />
v<br />
v<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2 12 3<br />
23<br />
23<br />
2<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃δ<br />
(3.1.2)<br />
Einsetzen von Gl. (3.1.1) in (3.1.2) liefert mit<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2<br />
1<br />
12<br />
12<br />
01<br />
2 1 12<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() () ()<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3 2 23<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
() () ()<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
l<br />
l<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
c<br />
23 12<br />
23<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
=−<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
ε<br />
ε<br />
v<br />
v<br />
sl<br />
v<br />
v<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2 12 3<br />
23<br />
23<br />
2<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃δ<br />
nach<br />
Umformungen das Ergebnis<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2<br />
1<br />
12<br />
12<br />
01<br />
2 1 12<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() () ()<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3 2 23<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
() () ()<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
l<br />
l<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
c<br />
23 12<br />
23<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
=−<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
ε<br />
ε<br />
v<br />
v<br />
sl<br />
v<br />
v<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2 12 3<br />
23<br />
23<br />
2<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃δ<br />
(3.1.3)<br />
mit<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2<br />
1<br />
12<br />
12<br />
01<br />
2 1 12<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() () ()<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3 2 23<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
() () ()<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
l<br />
l<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
c<br />
23 12<br />
23<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
=−<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
ε<br />
ε<br />
v<br />
v<br />
sl<br />
v<br />
v<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
2 12 3<br />
23<br />
23<br />
2<br />
12<br />
12<br />
1<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
=<br />
= + ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε ()<br />
z<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
v<br />
t<br />
z<br />
l<br />
2<br />
2<br />
23<br />
12<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
12<br />
2<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
()<br />
( )<br />
=− + +<br />
→+ ≈ 2<br />
12<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
0<br />
0<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
() ()<br />
t<br />
t<br />
z<br />
l<br />
t<br />
F t F t<br />
z<br />
z<br />
→∞ =<br />
→+ ≈<br />
→∞ =<br />
≠<br />
F t F t<br />
F t F t<br />
F t F t t<br />
F<br />
y<br />
y<br />
z y E<br />
z<br />
12 23<br />
12 23<br />
12 12 2<br />
23<br />
() ()<br />
() ()<br />
() ()cos ( )<br />
(<br />
=<br />
≠<br />
≈<br />
α<br />
t F t t<br />
t<br />
F t F t F t<br />
s<br />
y<br />
E<br />
Ei<br />
) ( )cos ()<br />
cos ( )<br />
() () ()<br />
()<br />
≈<br />
≈<br />
≈<br />
≈<br />
23 3<br />
12 23 13<br />
12<br />
1<br />
α<br />
α<br />
ε̃ ≈ =<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
23 13<br />
() ()<br />
s<br />
s<br />
(3.1.4)<br />
Um den Einfluss der Schwenkung auf die Dehnungen zu<br />
untersuchen, wird Gl. (3.1.2) in Gl. (3.1.1) eingesetzt<br />
sowie Gl. (2.3.7) verwendet. Ändert sich allein<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v<br />
v<br />
c<br />
2<br />
1<br />
12<br />
12<br />
01<br />
2<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
= + +<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
= + +<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v<br />
v<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
l<br />
l<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
c<br />
23 12<br />
23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
=−<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ −<br />
ε<br />
ε<br />
T<br />
l<br />
v<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
23<br />
23<br />
2<br />
12<br />
12<br />
1<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
=<br />
= +<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε ()<br />
z<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
v<br />
t<br />
z<br />
l<br />
2<br />
2<br />
23<br />
12<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
12<br />
2<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
()<br />
( )<br />
=− + +<br />
→+ ≈ 2<br />
12<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
0<br />
0<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
() ()<br />
t<br />
t<br />
z<br />
l<br />
t<br />
F t F t<br />
z<br />
z<br />
→∞ =<br />
→+ ≈<br />
→∞ =<br />
≠<br />
F t F t<br />
F t F t<br />
F t F t t<br />
F<br />
y<br />
y<br />
z y E<br />
z<br />
12 23<br />
12 23<br />
12 12 2<br />
23<br />
() ()<br />
() ()<br />
() ()cos ( )<br />
(<br />
=<br />
≠<br />
≈<br />
α<br />
t F t t<br />
t<br />
F t F t F t<br />
s<br />
y<br />
E<br />
Ei<br />
) ( )cos ()<br />
cos ( )<br />
() () ()<br />
()<br />
≈<br />
≈<br />
≈<br />
≈<br />
23 3<br />
12 23 13<br />
12<br />
1<br />
α<br />
α<br />
ε̃ ≈ =<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
23 13<br />
() ()<br />
s<br />
s<br />
so folgt<br />
mit Gl. (2.3.7)<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2<br />
1<br />
12<br />
12<br />
01<br />
2 1 12<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() () ()<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3 2 23<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
() () ()<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
l<br />
l<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
c<br />
23 12<br />
23<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
=−<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
ε<br />
ε<br />
v<br />
v<br />
sl<br />
v<br />
v<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
2 12 3<br />
23<br />
23<br />
2<br />
12<br />
12<br />
1<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
=<br />
= + ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε ()<br />
z<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
v<br />
t<br />
z<br />
l<br />
2<br />
2<br />
23<br />
12<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
12<br />
2<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
()<br />
( )<br />
=− + +<br />
→+ ≈ 2<br />
12<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
0<br />
0<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
() ()<br />
t<br />
t<br />
z<br />
l<br />
t<br />
F t F t<br />
z<br />
z<br />
→∞ =<br />
→+ ≈<br />
→∞ =<br />
≠<br />
F t F t<br />
F t F t<br />
F t F t t<br />
F<br />
y<br />
y<br />
z y E<br />
z<br />
12 23<br />
12 23<br />
12 12 2<br />
23<br />
() ()<br />
() ()<br />
() ()cos ( )<br />
(<br />
=<br />
≠<br />
≈<br />
α<br />
t F t t<br />
t<br />
F t F t F t<br />
s<br />
y<br />
E<br />
Ei<br />
) ( )cos ()<br />
cos ( )<br />
() () ()<br />
()<br />
≈<br />
≈<br />
≈<br />
≈<br />
23 3<br />
12 23 13<br />
12<br />
1<br />
α<br />
α<br />
ε̃ ≈ =<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
23 13<br />
() ()<br />
s<br />
s<br />
(3.1.5)<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2<br />
1<br />
12<br />
12<br />
01<br />
2 1 12<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() () ()<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3 2 23<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
() () ()<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
l<br />
l<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
c<br />
23 12<br />
23<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
=−<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
ε<br />
ε<br />
v<br />
v<br />
sl<br />
v<br />
v<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
2 12 3<br />
23<br />
23<br />
2<br />
12<br />
12<br />
1<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
=<br />
= + ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε ()<br />
z<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
v<br />
t<br />
z<br />
l<br />
2<br />
2<br />
23<br />
12<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
12<br />
2<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
()<br />
( )<br />
=− + +<br />
→+ ≈ 2<br />
12<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
0<br />
0<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
() ()<br />
t<br />
t<br />
z<br />
l<br />
t<br />
F t F t<br />
z<br />
z<br />
→∞ =<br />
→+ ≈<br />
→∞ =<br />
≠<br />
F t F t<br />
F t F t<br />
F t F t t<br />
F<br />
y<br />
y<br />
z y E<br />
z<br />
12 23<br />
12 23<br />
12 12 2<br />
23<br />
() ()<br />
() ()<br />
() ()cos ( )<br />
(<br />
=<br />
≠<br />
≈<br />
α<br />
t F t t<br />
t<br />
F t F t F t<br />
s<br />
y<br />
E<br />
Ei<br />
) ( )cos ()<br />
cos ( )<br />
() () ()<br />
()<br />
≈<br />
≈<br />
≈<br />
≈<br />
23 3<br />
12 23 13<br />
12<br />
1<br />
α<br />
α<br />
ε̃ ≈ =<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
23 13<br />
() ()<br />
s<br />
s<br />
(3.1.6)<br />
Die Grenzwerte der Sprungantworten lauten<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2<br />
1<br />
12<br />
12<br />
01<br />
2 1 12<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() () ()<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3 2 23<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
() () ()<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
l<br />
l<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
c<br />
23 12<br />
23<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
=−<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
ε<br />
ε<br />
v<br />
v<br />
sl<br />
v<br />
v<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
2 12 3<br />
23<br />
23<br />
2<br />
12<br />
12<br />
1<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
=<br />
= + ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε ()<br />
z<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
v<br />
t<br />
z<br />
l<br />
2<br />
2<br />
23<br />
12<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
12<br />
2<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
()<br />
( )<br />
=− + +<br />
→+ ≈ 2<br />
12<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
0<br />
0<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
() ()<br />
t<br />
t<br />
z<br />
l<br />
t<br />
F t F t<br />
z<br />
z<br />
→∞ =<br />
→+ ≈<br />
→∞ =<br />
≠<br />
F t F t<br />
F t F t<br />
F t F t t<br />
F<br />
y<br />
y<br />
z y E<br />
z<br />
12 23<br />
12 23<br />
12 12 2<br />
23<br />
() ()<br />
() ()<br />
() ()cos ( )<br />
(<br />
=<br />
≠<br />
≈<br />
α<br />
t F t t<br />
t<br />
F t F t F t<br />
y<br />
E<br />
Ei<br />
) ( )cos ()<br />
cos ( )<br />
() () ()<br />
≈<br />
≈<br />
≈<br />
≈<br />
23 3<br />
12 23 13<br />
1<br />
α<br />
α<br />
(3.1.7)<br />
und<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2<br />
1<br />
12<br />
12<br />
01<br />
2 1 12<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() () ()<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3 2 23<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
() () ()<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
l<br />
l<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
c<br />
23 12<br />
23<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
=−<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
ε<br />
ε<br />
v<br />
v<br />
sl<br />
v<br />
v<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
2 12 3<br />
23<br />
23<br />
2<br />
12<br />
12<br />
1<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
=<br />
= + ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε ()<br />
z<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
v<br />
t<br />
z<br />
l<br />
2<br />
2<br />
23<br />
12<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
12<br />
2<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
()<br />
( )<br />
=− + +<br />
→+ ≈ 2<br />
12<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
0<br />
0<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
() ()<br />
t<br />
t<br />
z<br />
l<br />
t<br />
F t F t<br />
z<br />
z<br />
→∞ =<br />
→+ ≈<br />
→∞ =<br />
≠<br />
F t F t<br />
F t F t<br />
F t F t t<br />
F<br />
y<br />
y<br />
z y E<br />
z<br />
12 23<br />
12 23<br />
12 12 2<br />
23<br />
() ()<br />
() ()<br />
() ()cos ( )<br />
(<br />
=<br />
≠<br />
≈<br />
α<br />
t F t t<br />
t<br />
F t F t F t<br />
y<br />
E<br />
Ei<br />
) ( )cos ()<br />
cos ( )<br />
() () ()<br />
≈<br />
≈<br />
≈<br />
≈<br />
23 3<br />
12 23 13<br />
1<br />
α<br />
α<br />
(3.1.8)<br />
Bei einer Schwenkwinkeländerung treten keine bleibenden<br />
Dehnungsänderungen auf.<br />
Longitudinale Schwenkung mit<br />
nicht angetriebener Schwenkwalze<br />
Ist die Schwenkwalze nicht angetrieben, trägheitslos und<br />
reibungsfrei gelagert, so kann sie kein Drehmoment um<br />
die z-Achse aufbringen. Dies erzwingt gleichgroße tangentiale<br />
Kraftkomponenten<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2<br />
1<br />
12<br />
12<br />
01<br />
2 1 12<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() () ()<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3 2 23<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
() () ()<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
l<br />
l<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
c<br />
23 12<br />
23<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
=−<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
ε<br />
ε<br />
v<br />
v<br />
sl<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
c2 12<br />
23<br />
23<br />
2<br />
12<br />
12<br />
1<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
=<br />
= + ̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε ()<br />
z<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
v<br />
t<br />
z<br />
l<br />
2<br />
2<br />
23<br />
12<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
12<br />
2<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
()<br />
( )<br />
=− + +<br />
→+ ≈ 2<br />
12<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
0<br />
0<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
() ()<br />
t<br />
t<br />
z<br />
l<br />
t<br />
F t F t<br />
z<br />
z<br />
→∞ =<br />
→+ ≈<br />
→∞ =<br />
≠<br />
F t F t<br />
F t F t<br />
F t F t t<br />
F<br />
y<br />
y<br />
z y E<br />
z<br />
12 23<br />
12 23<br />
12 12 2<br />
23<br />
() ()<br />
() ()<br />
() ()cos ( )<br />
(<br />
=<br />
≠<br />
≈<br />
α<br />
t F t t<br />
y<br />
E<br />
) ( )cos ()<br />
≈ 23 3<br />
α<br />
. Die Schwenkwalze<br />
kann nur axiale Kraftkomponenten aufnehmen,<br />
die ungleich groß sein können,<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2<br />
1<br />
12<br />
12<br />
01<br />
2 1 12<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() () ()<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3 2 23<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
() () ()<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
l<br />
l<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
c<br />
23 12<br />
23<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
=−<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
ε<br />
ε<br />
v<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
c2<br />
23<br />
23<br />
2<br />
12<br />
12<br />
1<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
=<br />
= +<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε ()<br />
z<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
v<br />
t<br />
z<br />
l<br />
2<br />
2<br />
23<br />
12<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
12<br />
2<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
()<br />
( )<br />
=− + +<br />
→+ ≈ 2<br />
12<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
0<br />
0<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
() ()<br />
t<br />
t<br />
z<br />
l<br />
t<br />
F t F t<br />
z<br />
z<br />
→∞ =<br />
→+ ≈<br />
→∞ =<br />
≠<br />
F t F t<br />
F t F t<br />
F t F t t<br />
y<br />
y<br />
12 23<br />
12 23<br />
() ()<br />
() ()<br />
() ()cos ( )<br />
=<br />
≠<br />
≈<br />
α<br />
, sodass<br />
auch die Fadenkräfte ungleich groß sein können,<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2<br />
1<br />
12<br />
12<br />
01<br />
2 1 12<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() () ()<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3 2 23<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
() () ()<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
l<br />
l<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
c<br />
23 12<br />
23<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
=−<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
ε<br />
ε<br />
v<br />
v<br />
sl<br />
v<br />
v<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
2 12 3<br />
23<br />
23<br />
2<br />
12<br />
12<br />
1<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
=<br />
= + ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε ()<br />
z<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
v<br />
t<br />
z<br />
l<br />
2<br />
2<br />
23<br />
12<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
12<br />
2<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
()<br />
( )<br />
=− + +<br />
→+ ≈ 2<br />
12<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
0<br />
0<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
() ()<br />
t<br />
t<br />
z<br />
l<br />
t<br />
F t F t<br />
z<br />
z<br />
→∞ =<br />
→+ ≈<br />
→∞ =<br />
≠<br />
F t F t<br />
F t F t<br />
F t F t t<br />
F<br />
y<br />
y<br />
z y E<br />
z<br />
12 23<br />
12 23<br />
12 12 2<br />
23<br />
() ()<br />
() ()<br />
() ()cos ( )<br />
(<br />
=<br />
≠<br />
≈<br />
α<br />
t F t t<br />
y<br />
E<br />
) ( )cos ()<br />
≈ 23 3<br />
α<br />
. Da aber gilt<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2<br />
1<br />
12<br />
12<br />
01<br />
2 1 12<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() () ()<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3 2 23<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
() () ()<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
l<br />
l<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
c<br />
23 12<br />
23<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
=−<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
ε<br />
ε<br />
v<br />
v<br />
sl<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
c2 12<br />
23<br />
23<br />
2<br />
12<br />
12<br />
1<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
=<br />
= + ̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε ()<br />
z<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
v<br />
t<br />
z<br />
l<br />
2<br />
2<br />
23<br />
12<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
12<br />
2<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
()<br />
( )<br />
=− + +<br />
→+ ≈ 2<br />
12<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
0<br />
0<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
() ()<br />
t<br />
t<br />
z<br />
l<br />
t<br />
F t F t<br />
z<br />
z<br />
→∞ =<br />
→+ ≈<br />
→∞ =<br />
≠<br />
F t F t<br />
F t F t<br />
F t F t t<br />
F<br />
y<br />
y<br />
z y E<br />
z<br />
12 23<br />
12 23<br />
12 12 2<br />
23<br />
() ()<br />
() ()<br />
() ()cos ( )<br />
(<br />
=<br />
≠<br />
≈<br />
α<br />
t F t t<br />
t<br />
y<br />
E<br />
Ei<br />
) ( )cos ()<br />
cos ( )<br />
≈<br />
≈<br />
23 3<br />
1<br />
α<br />
α<br />
und<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2<br />
1<br />
12<br />
12<br />
01<br />
2 1 12<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() () ()<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3 2 23<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
() () ()<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
l<br />
l<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
c<br />
23 12<br />
23<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
=−<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
ε<br />
ε<br />
v<br />
v<br />
sl<br />
v<br />
v<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
2 12 3<br />
23<br />
23<br />
2<br />
12<br />
12<br />
1<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
=<br />
= + ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε ()<br />
z<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
v<br />
t<br />
z<br />
l<br />
2<br />
2<br />
23<br />
12<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
12<br />
2<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
()<br />
( )<br />
=− + +<br />
→+ ≈ 2<br />
12<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
0<br />
0<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
() ()<br />
t<br />
t<br />
z<br />
l<br />
t<br />
F t F t<br />
z<br />
z<br />
→∞ =<br />
→+ ≈<br />
→∞ =<br />
≠<br />
F t F t<br />
F t F t<br />
F t F t t<br />
F<br />
y<br />
y<br />
z y E<br />
z<br />
12 23<br />
12 23<br />
12 12 2<br />
23<br />
() ()<br />
() ()<br />
() ()cos ( )<br />
(<br />
=<br />
≠<br />
≈<br />
α<br />
t F t t<br />
t<br />
F t F t F t<br />
y<br />
E<br />
Ei<br />
) ( )cos ()<br />
cos ( )<br />
() () ()<br />
≈<br />
≈<br />
≈<br />
≈<br />
23 3<br />
1<br />
α<br />
α<br />
mit<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
2<br />
1<br />
12<br />
12<br />
01<br />
2 1 12<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() () ()<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + +<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
ε<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3 2 23<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
() () ()<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
l<br />
l<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
c<br />
23 12<br />
23<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
=−<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
ε<br />
ε<br />
v<br />
v<br />
sl<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
c2 12<br />
23<br />
23<br />
2<br />
12<br />
12<br />
1<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
=<br />
= + ̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε ()<br />
z<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
v<br />
t<br />
z<br />
l<br />
2<br />
2<br />
23<br />
12<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
12<br />
2<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
δ<br />
()<br />
( )<br />
=− + +<br />
→+ ≈ 2<br />
12<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
0<br />
0<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
δ<br />
ε<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
() ()<br />
t<br />
t<br />
z<br />
l<br />
t<br />
F t F t<br />
z<br />
z<br />
→∞ =<br />
→+ ≈<br />
→∞ =<br />
≠<br />
F t F t<br />
F t F t<br />
F t F t t<br />
F<br />
y<br />
y<br />
z y E<br />
z<br />
12 23<br />
12 23<br />
12 12 2<br />
23<br />
() ()<br />
() ()<br />
() ()cos ( )<br />
(<br />
=<br />
≠<br />
≈<br />
α<br />
t F t t<br />
t<br />
F t F t F t<br />
s<br />
y<br />
E<br />
Ei<br />
) ( )cos ()<br />
cos ( )<br />
() () ()<br />
()<br />
≈<br />
≈<br />
≈<br />
≈<br />
23 3<br />
12 23 13<br />
1<br />
α<br />
α<br />
ε̃ ≈ =<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
() ()<br />
s<br />
s<br />
, darf in guter Nä-<br />
GünTHER BRAnDEnBuRG, tu München<br />
25<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
δ̃<br />
2<br />
δ̃<br />
2<br />
s z2<br />
ε ̃ s<br />
12<br />
() s = δ̃<br />
2<br />
() s<br />
ε ̃12<br />
() hauptBeitRag<br />
z2<br />
s = 1δ<br />
̃ + 2<br />
() Ts<br />
12s<br />
v<br />
1 + T s v<br />
ε̃<br />
23<br />
12<br />
2<br />
2 T12s<br />
1 z2<br />
T̃<br />
̃<br />
12 εs<br />
23<br />
=− 1 z2<br />
δ<br />
=− 1 + T12s1δ<br />
̃ + 2 T23s<br />
v<br />
1 + T s1<br />
+ T s v<br />
12 23<br />
2<br />
ε̃<br />
ε̃<br />
12<br />
12<br />
z2<br />
ε̃<br />
(<br />
12<br />
t z→+ 0)<br />
2<br />
(<br />
≈ δ2<br />
t →+ 0)<br />
≈ δ2<br />
l12<br />
l12<br />
ε̃<br />
12<br />
( t →∞ ) = 0<br />
( t →∞ ) = 0<br />
z2<br />
ε̃<br />
23( t z→+ 2 0)<br />
≈ δ<br />
ε̃<br />
23( t →+ 0)<br />
≈ δ2<br />
l23<br />
l23<br />
ε̃<br />
23( t →∞ ) = 0<br />
ε̃<br />
( t →∞ ) = 0<br />
23<br />
2<br />
BiLD 5:<br />
Dreiwalzen-System<br />
mit longitudinaler<br />
Schwenkung<br />
der Klemmstelle 2<br />
() ≠ F () t<br />
F () t ≠ F () t<br />
z12 z23<br />
z12 z23<br />
ṽ<br />
() s ≈ ṽ<br />
() s<br />
c2 c3<br />
26<br />
y12() = Fy23()<br />
t<br />
F () t = F () t<br />
y12 y23<br />
12<br />
() t ≠ F23()<br />
t<br />
F () t ≠ F () t<br />
12 23<br />
Fz12() t ≈ Fy12 ()cos t αE2( t)<br />
Fz12() t ≈ Fy12 ()cos t αE2( t)<br />
1 ⎡ ṽc3() s − ṽc1()<br />
s ⎤<br />
ε̃ ̃ ̃<br />
13() s ≈ε12() s ≈ε23()<br />
s ≈<br />
01 ̃<br />
1 + T<br />
sl12<br />
() s<br />
ṽ<br />
̃<br />
c2() s ≈ vc3()<br />
s<br />
13s<br />
⎢ε̃<br />
() s +<br />
v<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
z23(<br />
t) ≈ Fy23( t)cos αE3()<br />
t<br />
Fz<br />
23(<br />
t) ≈ Fy23( t)cos αE3()<br />
t<br />
l<br />
v 1 ṽc3() s − ṽc1()<br />
s<br />
̃ ̃ ̃<br />
c3()<br />
t ⎡<br />
⎤<br />
13<br />
l12 + l23<br />
T<br />
ε13() s ≈ε12() s ≈ε23()<br />
s ≈ ε̃<br />
01()<br />
s +<br />
13<br />
= =<br />
cos αEi<br />
( t)<br />
≈ 1<br />
1 + T1<br />
3s<br />
⎢<br />
v<br />
⎥<br />
cos αEi<br />
( t)<br />
≈ 1<br />
v v<br />
⎣<br />
⎦<br />
sl̃<br />
12<br />
() s<br />
herung F12() t ≈ F23() t ≈ F13()<br />
t angenommen 1 ⎡ werden ṽ<br />
und lässigbar, l13 l12 so + ldass für die Dehnungen nach Gln. (3.1.1)<br />
c2() s − ṽc1()<br />
s<br />
23<br />
F12() t ≈ F23() t ≈ F13()<br />
t<br />
T<br />
⎤<br />
ε̃<br />
13<br />
= =<br />
daher auch<br />
12()<br />
s ≈<br />
01<br />
1+<br />
⎢ε<br />
̃ () s +<br />
T und (3.1.2) v gilt v<br />
12s<br />
⎣<br />
v<br />
⎥<br />
⎦<br />
1 ⎡ ṽc3() s − ṽc1()<br />
s ⎤<br />
ε̃ ̃ ̃<br />
13() s ≈ε12() s ≈ε23()<br />
s ≈<br />
01<br />
ε̃<br />
12<br />
() s ≈ ε̃<br />
= ε̃<br />
23() s<br />
13()<br />
s<br />
ε̃<br />
12()<br />
s ≈ ε̃<br />
= ε̃<br />
23() s<br />
13()<br />
s (3.1.9)<br />
1 + T1<br />
3s<br />
⎢ε̃<br />
() s +<br />
v<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
1 ⎡ ṽc2() s − ṽc1()<br />
s ⎤<br />
1 ⎡ ṽc<br />
() s − ṽc<br />
() sε<br />
̃12()<br />
ssl̃<br />
≈()<br />
s ⎤<br />
3 2 23<br />
01<br />
Konsequenterweise kann dann auf der Schwenkwalze<br />
1+<br />
⎢ε<br />
̃ () s +<br />
⎥<br />
(3.1.13)<br />
ε̃23() s ≈ ⎢ε̃12<br />
(s)<br />
+<br />
+ l13 ⎥Tl12 s+<br />
⎣ l23<br />
v<br />
1 + T ⎦<br />
23s<br />
⎣<br />
v T13<br />
= v = ⎦<br />
l13 l12 + l23<br />
keine Gleitzone auftreten, das heißt die gesamte Umschlingungszone<br />
wird durch eine Haftzone<br />
v v T13<br />
= =<br />
1 ⎡ 1<br />
eingenommen.<br />
Weiterhin ist die Konsequenz, 1 + dass T23s<br />
1 +<br />
⎛ ṽ<br />
v v<br />
c1 ⎞ T12s<br />
vc2 vc3<br />
= ̃<br />
1 ⎡ ṽc<br />
s − ṽc<br />
s sl̃<br />
01<br />
−<br />
() s ⎤<br />
3 2 23<br />
⎜ε<br />
T12s<br />
v<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
− ̃ ̃ ⎤<br />
⎢<br />
+ ⎥<br />
ṽ<br />
̃<br />
c2ṽ() s ≈ vc3()<br />
̃<br />
c2() s ≈ vcs3()<br />
s<br />
⎣<br />
ε̃1<br />
+<br />
23() Ts<br />
12≈<br />
s v v ε̃12<br />
(s)<br />
+<br />
+<br />
1 + T1<br />
⎢⎦<br />
⎥<br />
23s<br />
⎣ ⎡ ṽc3() vs − ṽc2<br />
s v<br />
ε̃<br />
⎦<br />
23() s ≈ ε̃12()<br />
s + 1 ⎡ () ⎤ ṽc2() s − ṽc1()<br />
s ⎤<br />
ṽ<br />
s ṽ<br />
c2() ≈<br />
c3()<br />
s<br />
(3.1.10) 1 + 1T s<br />
⎢<br />
12<br />
23⎡<br />
⎣ v()<br />
s ≈<br />
01<br />
1 ⎛ ṽ<br />
c1 ⎞<br />
v<br />
⎥<br />
1+<br />
⎢ε<br />
̃ () s +<br />
T12s<br />
vc2 vc3<br />
ṽ<br />
s ṽ<br />
c2() ≈<br />
c3()<br />
s<br />
= ̃<br />
01<br />
−<br />
ṽ<br />
s ṽ<br />
c2() ≈<br />
c3()<br />
s<br />
1 + T23s<br />
1 + T s<br />
⎜ε<br />
12<br />
v<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
− ⎦<br />
⎥<br />
c3v()<br />
ct3<br />
() t<br />
T12s<br />
⎣ ̃ ̃ v<br />
̃ε<br />
⎤ ⎦<br />
13<br />
⎢<br />
+ ⎥<br />
1 ⎣ ⎡ 1 ⎛ ṽ 1+<br />
T s v v<br />
1 ⎞ 12 ⎦<br />
ist. Vom Ausgang der Klemmstelle 2 bis zum Eingang = −<br />
3<br />
t<br />
der ṽ<br />
Klemmstelle ̃<br />
c2() s ≈ vc3()<br />
s<br />
+ + ⎝<br />
⎜<br />
⎠<br />
⎟ − T12s<br />
ṽ 2<br />
ṽ<br />
⎤<br />
c c c3<br />
⎢ sl̃<br />
ε̃<br />
01<br />
+ ⎥<br />
1 T<br />
v t<br />
3 bildet sich näherungsweise eine<br />
23s<br />
1 T<br />
12sl<br />
() ̃<br />
12s<br />
12<br />
s () s<br />
⎣<br />
1 v ⎡ 1+<br />
T12ṽs<br />
c<br />
() vs − ṽcv<br />
() s⎦<br />
sl̃<br />
() s ⎤<br />
3 2 23<br />
( z0 − z1 ) cosδ<br />
≈ z0<br />
−z1<br />
ε̃23() s ≈ ⎢ε̃12<br />
(s)<br />
+<br />
+ ⎥<br />
einheitliche Fadengeschwindigkeit vc3()<br />
t aus, mit der ̃ε<br />
1<br />
13<br />
+ T23s<br />
⎣<br />
v (3.1.14) v ⎦<br />
der sl v<br />
̃<br />
12<br />
tsFaden die Schwenkwalze antreibt. Die Geschwindigkeit<br />
sl̃<br />
12<br />
1 1 ⎡ ⎡ ṽc3v() ̃s ṽ<br />
c3() −s −c1v()<br />
̃sc1()<br />
⎤s<br />
⎤<br />
c3()<br />
() s der Schwenkwalze ist infolge<br />
sl̃<br />
dieser Näherungen<br />
ohne Einfluss auf die Fadendehnung, 1 T für die mit nicht angetriebener Schwenkwalze<br />
( RP2 + l23)<br />
γ<br />
2()<br />
t ε̃ ̃ 1 ⎡ ̃ 1 ⎛ ṽ<br />
c1 ⎞ T12s<br />
c2 c3<br />
Axiale Translation und laterale = Schwenkung ̃<br />
01<br />
−<br />
12<br />
() s<br />
z0 − z1 ) cosδ<br />
≈ z0<br />
−z1<br />
1 + T23s<br />
1 +<br />
⎜ε<br />
T12s<br />
v<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
− ⎤<br />
1<br />
+<br />
z̃<br />
⎢<br />
⎥<br />
2<br />
s<br />
̃<br />
12 2<br />
1+<br />
T s v<br />
⎣<br />
12 ⎦<br />
12s l s<br />
13ε̃() s ≈ε ̃<br />
12() s ̃<br />
23()<br />
s ≈ ̃<br />
13() s ≈ε12() s ≈ε23()<br />
s ≈<br />
01<br />
() =− δ ()<br />
1 + T1<br />
3s<br />
⎢ε<br />
() s01<br />
+<br />
1 + T<br />
v<br />
⎥<br />
1⎣3<br />
s<br />
⎢ε̃<br />
() s +<br />
v<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎦ ⎦<br />
+<br />
nach<br />
̃<br />
1 ⎡ ṽc3() s − ṽc1()<br />
s ⎤<br />
ε<br />
sl<br />
̃ 12<br />
̃ s ̃<br />
13() () s<br />
≈Gl. ε (3.1.1)<br />
12() ≈ε<br />
gilt<br />
23()<br />
s ≈ ε̃<br />
01()<br />
s +<br />
In beiden Fällen bildet sich<br />
1 + T1<br />
3s<br />
⎢ 1 ⎡<br />
⎣<br />
v<br />
ṽ<br />
⎥<br />
c3() s − ṽc1()<br />
s ⎤<br />
⎛ R ⎞ l<br />
in guter Näherung eine einheitliche<br />
1Dehnung<br />
+ +<br />
ε̃ s ̃ s ̃ s<br />
⎦<br />
13() ≈ε12() ≈ε23()<br />
≈ ε̃<br />
P2<br />
13<br />
l13 l12 l+<br />
12l⎛<br />
23<br />
+ l23<br />
R ⎞<br />
P2<br />
2<br />
−T 01()<br />
s +<br />
1 ⎡ ṽc3() s − ṽc1()<br />
s ⎤<br />
1 + T ε̃ s ̃ s ̃<br />
13() ≈ε12() ≈ε23()<br />
s ≈ ε̃<br />
01()<br />
s +<br />
13s<br />
⎢<br />
⎣<br />
v<br />
⎥<br />
⎦ z̃<br />
2() s =− ̃<br />
1 + T1<br />
3<br />
⎢<br />
12 2<br />
⎣<br />
v<br />
⎥<br />
1 ⎡ ṽc3() − ṽc1()<br />
s ⎤<br />
12s l () s<br />
⎝<br />
⎜1<br />
̃ε<br />
13<br />
⎠<br />
⎟ ( nach + TGl. ) s(3.1.11) 12 23<br />
+ 1+<br />
aus.<br />
2s<br />
T<br />
t<br />
13T= 13<br />
= = =<br />
e<br />
1<br />
12 23<br />
l<br />
0<br />
23<br />
⎝<br />
⎜<br />
̃ ̃ ̃<br />
⎦<br />
ε13() s ≈ε s s<br />
l<br />
12() ≈ε<br />
13<br />
l12 + l<br />
23()<br />
≈ ε̃<br />
z<br />
( )<br />
23 ⎠<br />
⎟ T T s<br />
z̃<br />
l<br />
3() s = ̃2<br />
01()<br />
s 1+<br />
T ̃3<br />
() s =<br />
l<br />
23<br />
T13<br />
= =<br />
1 + T1<br />
3s<br />
⎢<br />
⎣<br />
v<br />
⎥ (3.1.11)<br />
2 23γ ̃<br />
2()<br />
s<br />
23s z () s ≈ + 1 + T23s z s 1 1<br />
̃<br />
T s T s l ̃ s v v v v<br />
2() =−<br />
12δ2()<br />
1 +<br />
12<br />
1 +<br />
23<br />
1+ ( T12 + T23 ) s+<br />
T12T23s<br />
⎦<br />
v v<br />
l13 l12 + l<br />
3.2 Fadenkinematik ( z<br />
bei 0<br />
−<br />
angetriebener<br />
z1 ) cosδ1<br />
≈1<br />
z0⎡<br />
−⎡z1<br />
und ṽc2ṽ() s − ṽ<br />
c2() s −c1v()<br />
̃sc1()<br />
⎤s<br />
⎤<br />
23<br />
−T mit T13<br />
= =<br />
t 2s<br />
l13 l12 + l23<br />
e<br />
ε̃<br />
1<br />
v v<br />
T13<br />
= =<br />
z̃3<br />
() s = ̃2<br />
l<br />
v v<br />
l12 + l23<br />
T13<br />
l13 l12 + l<br />
1 T23s z () s 12ε̃<br />
() s ≈<br />
≈ + 1 + T23s z ̃ s 01<br />
α<br />
nicht angetriebener schwenkwalze 1 1<br />
E<br />
≠ 0<br />
1<br />
T s T s l ̃ s<br />
2() +<br />
⎢<br />
̃<br />
12()<br />
s ≈ ε () s01<br />
+<br />
1T=− +<br />
12s<br />
⎢ε<br />
̃ () s +<br />
T<br />
⎥<br />
12 ⎣s<br />
⎣ v<br />
12δ<br />
v<br />
⎥<br />
2()<br />
⎦ ⎦<br />
− 2( T12 + T23<br />
) s<br />
1 +<br />
12<br />
1 +<br />
23<br />
23<br />
( 0)<br />
e<br />
1 ⎡ ṽc2() s − ṽc1()<br />
s ⎤<br />
ε̃<br />
13<br />
=<br />
12()<br />
s<br />
=<br />
≈v<br />
v<br />
(3.1.12) z̃<br />
4<br />
() s ≈ l ̃<br />
1<br />
Im Abschnitt 2-3 eines 23 z̃<br />
γ<br />
2() 2s<br />
=− Dreiwalzensystems<br />
̃<br />
12 2<br />
v 01<br />
+<br />
1+<br />
T<br />
⎢ε<br />
̃ () s<br />
⎥<br />
ε̃<br />
12s<br />
1 ⎡<br />
⎣<br />
v<br />
ṽc2() s − ṽc1()<br />
s ⎤<br />
1+<br />
T34s<br />
1 T12s l δ () s nach Bild 5<br />
Ti−<br />
1, i<br />
= l / v<br />
+<br />
i−1,<br />
i<br />
⎦<br />
12()<br />
s ≈<br />
01<br />
+<br />
1 ⎡ ṽc2() s − ṽc1()<br />
s ⎤<br />
1+<br />
T<br />
⎢ε<br />
̃ () s<br />
sind zwei Einflüsse durch die 1Klemmstelle 1 ⎡ ⎡ ṽc2 () szu −berück-<br />
sichtigen, und ⎥ zwar zum einen 1 + 1Tderen +<br />
ṽc<br />
() s sl̃<br />
() s ⎤<br />
3ṽc<br />
() s −2ṽc<br />
() s<br />
23sl<br />
̃ () s ⎤<br />
3 2 23<br />
ε̃<br />
12()<br />
s<br />
⎥<br />
≈<br />
01<br />
+<br />
1+<br />
T<br />
⎢ε<br />
̃ () s<br />
α<br />
12s<br />
⎣<br />
v<br />
E<br />
≠ 0<br />
ε̃23ε̃() s ≈ ̃<br />
23() s ≈ ⎢ε12<br />
⎢ε̃(s<br />
12)<br />
(s + ) + + + ⎥ ⎥<br />
⎦<br />
23Ts23<br />
Diese<br />
1 ⎡ ṽ<br />
12s<br />
⎣<br />
v<br />
c2() s − ṽc1()<br />
s<br />
⎣s<br />
⎣Bewegung und v v zum v v ⎦ ⎦<br />
⎤<br />
⎦<br />
−T 12()<br />
s ņberlegungen 1 01<br />
+<br />
1+<br />
1T ⎢ε<br />
̃⎡<br />
() s treffen ṽ<br />
s v<br />
s ⎡<br />
c3() für − den ̃c2<br />
ṽc<br />
() s − ṽc<br />
() s ⎥()<br />
sgeraden ε̃<br />
sl̃<br />
⎤ wie für den<br />
t 2s<br />
−Tt 2s<br />
anderen<br />
gebogenen () s ⎤<br />
R l<br />
3 2 23<br />
12s<br />
23() ⎣ s v<br />
23() ≈ Faden ε̃<br />
w2
1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+ T s v v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃<br />
̃<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
ist jedoch klein gegen die Fußpunktverschiebung<br />
des Fadens und wird vernachlässigt. Diese<br />
Fußpunktverschiebung, das heißt der Fadenversatz,<br />
ist nach Gl. (2.1.2)<br />
1<br />
1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
≈ +<br />
s<br />
T s<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + + (3.2.1)<br />
Dieser wird nach Ablauf einer kleinen, meist vernachlässigbaren<br />
Totzeit<br />
l<br />
l<br />
v<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
3 12 23<br />
23<br />
12<br />
3 2<br />
1<br />
1<br />
=<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε ()<br />
() ()<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
+ +<br />
−<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
c c c<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
)<br />
=<br />
+ +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) +<br />
l<br />
t<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
P<br />
23 2<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
1 1<br />
γ ()<br />
1<br />
1<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+ +<br />
( ) +<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
P<br />
̃γ ()<br />
e<br />
T s<br />
l<br />
l<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
P<br />
≈<br />
+<br />
=<br />
+ +<br />
− +<br />
2( )<br />
34<br />
23 2<br />
23<br />
2<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1 1<br />
̃γ<br />
3<br />
12 23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1 1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) + +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
P<br />
23 2<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
1 1 1<br />
̃γ ()<br />
s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
P<br />
P<br />
=<br />
+ +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) + +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
1+ +<br />
( ) +<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
̃γ ()<br />
zum Durchlaufen der Haftzone als<br />
Fußpunktverschiebung des Fadens im Abschnitt 2-3<br />
wirksam. Analog zu Gl. (2.2.3) ergibt sich mit Gl. (3.2.1)<br />
der Fadenversatz auf Klemmstelle 3 zu<br />
12 s<br />
̃ε ()≈ 1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + + (3.2.2)<br />
Der Fadenversatz<br />
̃ ̃ ̃<br />
s s s<br />
T<br />
13 12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() () ()<br />
≈ ≈ ≈ +<br />
ε ε ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
13<br />
13 12 23<br />
12<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= =<br />
+<br />
≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
wird geglättet auf der Klemmstelle 3<br />
wirksam.<br />
Als wichtiges Ergebnis ist festzuhalten, dass es für diese<br />
beiden Gleichungen keine Rolle spielt, ob es sich bei der<br />
Schwenkwalze um eine angetriebene oder eine ideale,<br />
nicht angetriebene Klemmstelle handelt. Durch die Eigenschaft<br />
bedingt, dass eine trägheitslose und reibungsfrei<br />
gelagerte Schwenkwalze zwar keine tangentialen, aber<br />
axiale Kräfte aufnehmen kann, werden die Zeitkonstanten<br />
beider Fadenabschnitte wirksam – im Gegensatz zu den<br />
Dehnungen: Diese werden gemäß Gl. (3.1.11) – bei Annahme<br />
einer idealisierten Schwenkwalze – in guter Näherung<br />
gleichgroß und gehorchen der Gesamtzeitkonstante<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
v s v s<br />
v<br />
t<br />
sl<br />
s<br />
s s s<br />
T<br />
c<br />
c<br />
c<br />
2 3<br />
3<br />
12<br />
13 12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
() () ()<br />
≈<br />
≈ ≈ ≈ +<br />
ε ε ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
13<br />
13 12 23<br />
12<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= =<br />
+<br />
≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
.<br />
Diese Aussage kann verallgemeinert werden: Wenn bei<br />
instationärer Bewegung in einem System ein Faden in eine<br />
angetriebene oder nicht angetriebene, reale oder idealisierte<br />
Leitwalze<br />
1<br />
1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
≈ +<br />
s<br />
T s<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
unter einem Winkel<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
v s v s<br />
v<br />
t<br />
sl<br />
s<br />
s s s<br />
T<br />
c<br />
c<br />
c<br />
2 3<br />
3<br />
12<br />
13 12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
() () ()<br />
≈<br />
≈ ≈ ≈ +<br />
ε ε ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
13<br />
13 12 23<br />
12<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= =<br />
+<br />
≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
einläuft, so wird<br />
für den Fadenversatz<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
z s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
z s<br />
M<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23 12<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
3<br />
1 2 3<br />
() () ()<br />
(<br />
=<br />
+<br />
=<br />
+ +<br />
) ( ) ( )<br />
, ,<br />
= + ≈ + = + +<br />
+<br />
−<br />
e<br />
T s z s T s z s T s<br />
R<br />
v s<br />
T<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
t<br />
P<br />
P<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
̃<br />
̃<br />
12<br />
12 2<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1 2 2<br />
s l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
P<br />
T s<br />
t<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
=<br />
≈ +<br />
=<br />
+<br />
−<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
R<br />
v s<br />
T s<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
, ,<br />
() ()<br />
≈<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+ +<br />
2<br />
3<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12 2<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
auf dieser Leitwalze die Zeitkonstante<br />
T l v<br />
i i i i<br />
−<br />
−<br />
=<br />
1 1<br />
, , / wirksam. Im Abschnitt<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
v<br />
t<br />
sl<br />
s<br />
s s s<br />
T<br />
c3<br />
12<br />
13 12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
()<br />
()<br />
() () ()<br />
≈ ≈ ≈ +<br />
ε ε ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
13<br />
13 12 23<br />
12<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= =<br />
+<br />
≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
v<br />
t<br />
sl<br />
s<br />
s s s<br />
T<br />
c3<br />
12<br />
13 12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
()<br />
()<br />
() () ()<br />
≈ ≈ ≈ +<br />
ε ε ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
13<br />
13 12 23<br />
12<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= =<br />
+<br />
≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
12<br />
v<br />
v<br />
s<br />
̃ε ()≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
3<br />
1 2 2<br />
z s<br />
e T s<br />
t<br />
̃ ()=<br />
+<br />
−<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
R<br />
v s<br />
T s<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
, ,<br />
() ()<br />
≈<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+ +<br />
2<br />
3<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
l<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
v s v s<br />
v<br />
t<br />
sl<br />
s<br />
s s s<br />
T<br />
c<br />
c<br />
c<br />
2 3<br />
3<br />
12<br />
13 12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
() () ()<br />
≈<br />
≈ ≈ ≈ +<br />
ε ε ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
13<br />
13 12 23<br />
12<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= =<br />
+<br />
≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
v s v s<br />
v<br />
t<br />
sl<br />
s<br />
s s s<br />
T<br />
c<br />
c<br />
c<br />
2 3<br />
3<br />
12<br />
13 12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
() () ()<br />
≈<br />
≈ ≈ ≈ +<br />
ε ε ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
13<br />
13 12 23<br />
12<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= =<br />
+<br />
≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
wirkt die<br />
Zeitkonstante<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
v s v s<br />
v<br />
t<br />
sl<br />
s<br />
s s s<br />
T<br />
c<br />
c<br />
c<br />
2 3<br />
3<br />
12<br />
13 12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
() () ()<br />
≈<br />
≈ ≈ ≈ +<br />
ε ε ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
13<br />
13 12 23<br />
12<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= =<br />
+<br />
≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
v s v s<br />
v<br />
t<br />
sl<br />
s<br />
s s s<br />
T<br />
c<br />
c<br />
c<br />
2 3<br />
3<br />
12<br />
13 12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
() () ()<br />
≈<br />
≈ ≈ ≈ +<br />
ε ε ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
13<br />
13 12 23<br />
12<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= =<br />
+<br />
≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
v s v s<br />
v<br />
t<br />
sl<br />
s<br />
s s s<br />
T<br />
c<br />
c<br />
c<br />
2 3<br />
3<br />
12<br />
13 12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
() () ()<br />
≈<br />
≈ ≈ ≈ +<br />
ε ε ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
13<br />
13 12 23<br />
12<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= =<br />
+<br />
≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
v s v s<br />
v<br />
t<br />
sl<br />
s<br />
s s s<br />
T<br />
c<br />
c<br />
c<br />
2 3<br />
3<br />
12<br />
13 12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
() () ()<br />
≈<br />
≈ ≈ ≈ +<br />
ε ε ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
13<br />
13 12 23<br />
12<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= =<br />
+<br />
≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
glättend auf die eingeleitete Anregung.<br />
Faden mit Biegung bei longitudinaler Schwenkung<br />
Infolge der Biegung des Fadens geht gemäß Abschnitt 2-3<br />
jetzt die reduzierte Zeitkonstante<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
v s v s<br />
v<br />
t<br />
sl<br />
s<br />
s s s<br />
T<br />
c<br />
c<br />
c<br />
2 3<br />
3<br />
12<br />
13 12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
() () ()<br />
≈<br />
≈ ≈ ≈ +<br />
ε ε ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
13<br />
13 12 23<br />
12<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= =<br />
+<br />
≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
v s v s<br />
v<br />
t<br />
sl<br />
s<br />
s s s<br />
T<br />
c<br />
c<br />
c<br />
2 3<br />
3<br />
12<br />
13 12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
() () ()<br />
≈<br />
≈ ≈ ≈ +<br />
ε ε ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
13<br />
13 12 23<br />
12<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= =<br />
+<br />
≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
v s v s<br />
v<br />
t<br />
sl<br />
s<br />
s s s<br />
T<br />
c<br />
c<br />
c<br />
2 3<br />
3<br />
12<br />
13 12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
() () ()<br />
≈<br />
≈ ≈ ≈ +<br />
ε ε ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
13<br />
13 12 23<br />
12<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= =<br />
+<br />
≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
v s v s<br />
v<br />
t<br />
sl<br />
s<br />
s s s<br />
T<br />
c<br />
c<br />
c<br />
2 3<br />
3<br />
12<br />
13 12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
() () ()<br />
≈<br />
≈ ≈ ≈ +<br />
ε ε ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
13<br />
13 12 23<br />
12<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= =<br />
+<br />
≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + + ein, und mit Gl.<br />
(3.1.5) ergibt sich<br />
̃<br />
s<br />
T<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
()≈ +<br />
ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
23<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε ()<br />
() ()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
01<br />
2 1<br />
12<br />
+<br />
−<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
(s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
+<br />
−<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z<br />
z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
̃<br />
̃<br />
1<br />
12 2<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
l<br />
s<br />
s<br />
T<br />
()<br />
()≈ +<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
=− + + δ<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃<br />
δ ()<br />
() ()<br />
= + + ̃ ̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
v s v s<br />
v<br />
t<br />
sl<br />
s<br />
s s s<br />
T<br />
c<br />
c<br />
c<br />
2 3<br />
3<br />
12<br />
13 12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
() () ()<br />
≈<br />
≈ ≈ ≈ +<br />
ε ε ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
13<br />
13 12 23<br />
12<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= =<br />
+<br />
≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + + (3.2.3)<br />
Faden ohne Biegung bei axialer Translation<br />
Eine bei<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
()<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
γ<br />
z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
ˆγ<br />
einsetzende, axiale Translation der Walze 2<br />
nimmt den Faden mit und löst im Abschnitt 2-3 einen<br />
mit<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
v<br />
s<br />
s<br />
s<br />
T<br />
c3<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
≈ ≈ +<br />
ε<br />
ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
3 12 23<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε ()<br />
() ()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
=<br />
+<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
+<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
(s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
+ +<br />
−<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z<br />
z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
δ<br />
cos 1<br />
12<br />
12 2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
T s l<br />
s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
()<br />
()<br />
− +<br />
+<br />
≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
l<br />
v<br />
i<br />
i<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
,<br />
=− + +<br />
−<br />
δ<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
δ ()<br />
() ()<br />
+<br />
= + + ablaufenden Ausgleichsvorgang aus, in den die<br />
dann folgende Fußpunktverschiebung auf Klemmstelle 2<br />
eingeht. Man erhält in Analogie zu Gl. (2.2.3) und Einsetzen<br />
von (2.2.1)<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
v s v s<br />
v<br />
t<br />
sl<br />
s<br />
s s s<br />
T<br />
c<br />
c<br />
c<br />
2 3<br />
3<br />
12<br />
13 12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
() () ()<br />
≈<br />
≈ ≈ ≈ +<br />
ε ε ε<br />
3<br />
01<br />
3 1<br />
13<br />
13 12 23<br />
12<br />
s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= =<br />
+<br />
≈<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12<br />
01<br />
2 1<br />
23<br />
23<br />
12<br />
+<br />
+<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
≈<br />
+ T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
c<br />
c<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
()<br />
() ()<br />
() (s<br />
v s v s<br />
v<br />
sl<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
)<br />
() () ()<br />
+<br />
−<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
3 2 23<br />
23 12<br />
01<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ε<br />
c c c<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
z z z z<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
13<br />
0 1 0<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
̃<br />
̃<br />
̃ε<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + + (3.2.4)<br />
Faden mit Biegung bei axialer Translation<br />
In gleicher Weise folgt jetzt in Analogie zu Gl. (2.2.9) und<br />
Einsetzen von (2.2.5)<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
z s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
z s<br />
M<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
1 2 3<br />
() () ()<br />
(<br />
=<br />
+<br />
=<br />
+ +<br />
) ( ) ( )<br />
, ,<br />
= + ≈ + = + +<br />
+<br />
−<br />
e<br />
T s z s T s z s T s<br />
R<br />
v s<br />
T<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
t<br />
P<br />
P<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
̃<br />
̃<br />
12<br />
12 2<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1 2 2<br />
s l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
P<br />
T s<br />
t<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
=<br />
≈ +<br />
=<br />
+<br />
−<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
R<br />
v s<br />
T s<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
, ,<br />
() ()<br />
≈<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+ +<br />
2<br />
3<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12 2<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
(3.2.5)<br />
Faden ohne Biegung bei lateraler Schwenkung<br />
Analog zu Gl. (2.2.3) und mit Gl. (2.3.1) folgt für den Faden<br />
ohne Biegung für das System von Bild 1<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
z s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
z s<br />
M<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
1 2 3<br />
() () ()<br />
(<br />
=<br />
+<br />
=<br />
+ +<br />
) ( ) ( )<br />
, ,<br />
= + ≈ + = + +<br />
+<br />
−<br />
e<br />
T s z s T s z s T s<br />
R<br />
v s<br />
T<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
t<br />
P<br />
P<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
̃<br />
̃<br />
12<br />
12 2<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1 2 2<br />
s l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
P<br />
T s<br />
t<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
=<br />
≈ +<br />
=<br />
+<br />
−<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
R<br />
v s<br />
T s<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
, ,<br />
() ()<br />
≈<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+ +<br />
2<br />
3<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12 2<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
(3.2.6)<br />
Der optimale Fall für<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
z s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
z s<br />
M<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
1 2 3<br />
() () ()<br />
(<br />
=<br />
+<br />
=<br />
+ +<br />
) ( ) ( )<br />
, ,<br />
= + ≈ + = + +<br />
+<br />
−<br />
e<br />
T s z s T s z s T s<br />
R<br />
v s<br />
T<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
t<br />
P<br />
P<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
̃<br />
̃<br />
12<br />
12<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1 2 2<br />
s l<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
P<br />
T s<br />
t<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
() ()<br />
()<br />
=<br />
≈ +<br />
=<br />
+<br />
−<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
R<br />
v s<br />
T s<br />
T<br />
M<br />
M<br />
P<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
, ,<br />
() ()<br />
≈<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+ +<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃γ<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
nach Gl. (3.3.3) lautet<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
z s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
z s<br />
M<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
1 2 3<br />
() () ()<br />
(<br />
=<br />
+<br />
=<br />
+ +<br />
) ( ) ( )<br />
, ,<br />
= + ≈ + = + +<br />
+<br />
−<br />
e<br />
T s z s T s z s T s<br />
R<br />
v s<br />
T<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
t<br />
P<br />
P<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
̃<br />
̃<br />
12<br />
12 2<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1 2 2<br />
s l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
P<br />
T s<br />
t<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
=<br />
≈ +<br />
=<br />
+<br />
−<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
R<br />
v s<br />
T s<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
, ,<br />
() ()<br />
≈<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+ +<br />
2<br />
3<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12 2<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
(3.2.7)<br />
Das System ist jetzt von erster Ordnung.<br />
Faden mit Biegung bei lateraler Schwenkung<br />
Analog zu Gl. (2.2.9) und mit Gl. (2.3.7) folgt für den Faden<br />
mit Biegung<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
z s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
z s<br />
M<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
1 2 3<br />
() () ()<br />
(<br />
=<br />
+<br />
=<br />
+ +<br />
) ( ) ( )<br />
, ,<br />
= + ≈ + = + +<br />
+<br />
−<br />
e<br />
T s z s T s z s T s<br />
R<br />
v s<br />
T<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
t<br />
P<br />
P<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
̃<br />
̃<br />
12<br />
12 2<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1 2 2<br />
s l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
P<br />
T s<br />
t<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
=<br />
≈ +<br />
=<br />
+<br />
−<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
R<br />
v s<br />
T s<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
, ,<br />
() ()<br />
≈<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+ +<br />
2<br />
3<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12 2<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
z s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
z s<br />
M<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
1 2 3<br />
() () ()<br />
(<br />
=<br />
+<br />
=<br />
+ +<br />
) ( ) ( )<br />
, ,<br />
= + ≈ + = + +<br />
+<br />
−<br />
e<br />
T s z s T s z s T s<br />
R<br />
v s<br />
T<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
t<br />
P<br />
P<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
̃<br />
̃<br />
12<br />
12 2<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1 2 2<br />
s l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
P<br />
T s<br />
t<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
=<br />
≈ +<br />
=<br />
+<br />
−<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
R<br />
v s<br />
T s<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
, ,<br />
() ()<br />
≈<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+ +<br />
2<br />
3<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12 2<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
(3.2.8)<br />
Im optimalen Fall<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
z s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
z s<br />
M<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
1 2 3<br />
() () ()<br />
(<br />
=<br />
+<br />
=<br />
+ +<br />
) ( ) ( )<br />
, ,<br />
= + ≈ + = + +<br />
+<br />
−<br />
e<br />
T s z s T s z s T s<br />
R<br />
v s<br />
T<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
t<br />
P<br />
P<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
̃<br />
̃<br />
12<br />
12 2<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1 2 2<br />
s l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
P<br />
T s<br />
t<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
=<br />
≈ +<br />
=<br />
+<br />
−<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
R<br />
v s<br />
T s<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
, ,<br />
() ()<br />
≈<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+ +<br />
2<br />
3<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃γ<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
kürzen sich Zähler und Nenner<br />
im ersten Term rechts, und es bleibt stehen<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
z s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
z s<br />
M<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
1 2 3<br />
() () ()<br />
(<br />
=<br />
+<br />
=<br />
+ +<br />
) ( ) ( )<br />
, ,<br />
= + ≈ + = + +<br />
+<br />
−<br />
e<br />
T s z s T s z s T s<br />
R<br />
v s<br />
T<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
t<br />
P<br />
P<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
23<br />
̃<br />
̃<br />
12<br />
12 2<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1 2 2<br />
s l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
P<br />
T s<br />
t<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
=<br />
≈ +<br />
=<br />
+<br />
−<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
R<br />
v s<br />
T s<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
, ,<br />
() ()<br />
≈<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+ +<br />
2<br />
3<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12 2<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
(3.2.9)<br />
Das System ist wieder von erster Ordnung.<br />
4. Vierwalzensystem<br />
Gegeben ist das System aus vier Klemmstellen nach Bild<br />
6a und Bild 6b. Die folgende Behandlung dieses Systems<br />
beschränkt sich auf den technisch wichtigen Fall des Fadens<br />
ohne Biegung.<br />
Die Klemmstellen 1 und 4 seien angetrieben und in<br />
ihrer räumlichen Lage fest. Die nicht angetriebenen<br />
Klemmstellen 2 und 3 befinden sich auf einem Drehrahmen<br />
und sind parallel zueinander, lateral zur Laufrichtung<br />
des Fadens, um den links von der Klemmstelle<br />
1 gezeichneten Drehpunkt<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( ) ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t R t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
z<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
̃γ ()<br />
()<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t<br />
R<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
12<br />
schwenkbar. Später wird<br />
der Drehpunkt zwischen den Klemmstellen 2 und 3 oder<br />
rechts von Klemmstelle 4 angeordnet. Der Schwen k-<br />
radius sei<br />
γ<br />
z<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
z t R<br />
t<br />
P<br />
P<br />
2<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
()<br />
()<br />
()<br />
() ()<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
=− +<br />
→∞ =−<br />
→<br />
γ<br />
∞<br />
→ +<br />
+<br />
( )<br />
t<br />
z<br />
z<br />
R l t<br />
P<br />
( )<br />
()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
0<br />
2<br />
1<br />
3<br />
0<br />
2 23 2<br />
0<br />
̃<br />
γ<br />
und erstrecke sich von<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( ) ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t R t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
̃γ ()<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
M<br />
bis zum Mittelpunkt<br />
der Klemmstelle 2. Die nicht angetriebenen Walzen<br />
seien trägheitslos und reibungsfrei gelagert. Diese Anordnung<br />
unterscheidet sich von der in Bild 1 dadurch, dass<br />
der Faden von der Klemmstelle 1 vertikal zur Klemmstelle<br />
2 geführt wird. Die detaillierte Ableitung der Beziehungen<br />
findet sich in Anhang A 3. Hier werden die Ergebnisgleichungen<br />
zusammengefasst.<br />
Um perspektivische Darstellungen zu vermeiden, wurden<br />
Draufsicht (unten), Vorderansicht (oben Mitte) und<br />
Seitenansichten (oben links und rechts) dargestellt. Die<br />
27<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
hauptBeitRag<br />
BiLD 6A: Koordinatensysteme im Vierwalzensystem: Drehpunkt rechts von Klemmstelle 2<br />
BiLD 6B: Fadenverlauf im Vierwalzensystem: Drehpunkt rechts von Klemmstelle 2<br />
BiLD 6: Koordinatensysteme und Fadenverlauf im Vierwalzensystem<br />
28<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
Seitenansichten sind – abweichend von der Norm bei technischen<br />
Zeichnungen – aus Gründen der Anschaulichkeit<br />
vertauscht, das heißt die Seitenansicht von links ist auf der<br />
linken und die von rechts auf der rechten Seite gezeichnet.<br />
Es werden gemäß Bild 6a die raumfesten Koordinatensysteme<br />
3<br />
1 2 2<br />
z s<br />
e T s<br />
t<br />
̃ ()=<br />
+<br />
−<br />
3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
R<br />
v s<br />
T s<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
, ,<br />
() ()<br />
≈<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+ +<br />
2<br />
3<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12 2<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
bis<br />
3<br />
1 2<br />
z s<br />
̃ ()=<br />
+ 3<br />
1 2 3<br />
1 2 3<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
M<br />
M<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
, ,<br />
() ()<br />
≈<br />
+<br />
=<br />
+ +<br />
3<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12 2<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
gewählt und die<br />
bewegten Koordinatensysteme<br />
3 3 3 3<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃γ<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
sowie<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃γ<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
eingeführt. Die Nullpunkte liegen in den<br />
Mittelpunkten der Walzen. Alle Systeme sind linksdrehend.<br />
Ein Fadenversatz auf einer Walze<br />
3 3 3 3<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃γ<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
3 3 3 3<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃γ<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
z z z z<br />
0 1 0<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
()<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
γ<br />
z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
4<br />
34 1<br />
1 1<br />
()<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
T<br />
= + + 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ (<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
relativ<br />
zum Koordinatensystem<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃γ<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
bekommt den tief<br />
gestellten Index<br />
z z z z<br />
0 1 0<br />
−<br />
( ) ≈ −<br />
δ<br />
cos 1<br />
2<br />
12<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z s<br />
e<br />
T s z s T<br />
T s<br />
t<br />
() ()<br />
() ()<br />
=− +<br />
= + ≈ +<br />
−<br />
δ<br />
s z s T s T s l s<br />
T l v<br />
z s<br />
E<br />
i i i i<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
2<br />
12 23<br />
12 2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
() ()<br />
/<br />
()<br />
, ,<br />
=− + +<br />
≠<br />
=<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
α<br />
=<br />
+<br />
≈<br />
+<br />
=−<br />
+ +<br />
−<br />
e<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
t 2<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
2<br />
12 23<br />
̃<br />
̃<br />
() ()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
12 2<br />
3<br />
23<br />
2<br />
23<br />
12<br />
12<br />
2<br />
l<br />
s<br />
z s<br />
T s z s T s<br />
T s<br />
T s z<br />
s<br />
M<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
δ ()<br />
() () ()<br />
= + = + +<br />
und den hoch gestellten Index<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
x<br />
y<br />
,<br />
( ) ( ) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
, heißt<br />
also<br />
2 3<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
12<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
R<br />
l<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
P<br />
̃<br />
̃γ<br />
/<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
. Der Fadenversatz relativ zur geschwenkten Walze<br />
2 lautet dann zum Beispiel<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
3<br />
23<br />
12 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
z s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
x<br />
y<br />
̃<br />
̃γ<br />
() ()<br />
,<br />
( ) (<br />
=<br />
+<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
() () ()<br />
() (<br />
,<br />
, ,<br />
, ,<br />
,<br />
z<br />
x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
()<br />
,<br />
, ,<br />
z<br />
x y z<br />
z<br />
z<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
i<br />
k<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃ .<br />
4.1 Drehpunkt links Von klemmstelle 2<br />
Klemmstelle 2<br />
Relativ zum ruhenden<br />
R<br />
l<br />
= +<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
z<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
z t R<br />
t<br />
P<br />
P<br />
2<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
()<br />
()<br />
()<br />
() ()<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
=− +<br />
→∞ =−<br />
→<br />
γ<br />
∞<br />
→ +<br />
+<br />
( )<br />
=<br />
+ +<br />
t<br />
z<br />
z<br />
R l t<br />
z<br />
z<br />
s<br />
R<br />
l<br />
P<br />
P<br />
( )<br />
()<br />
()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
0<br />
1 1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
0<br />
2 23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
23<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) + +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
P<br />
12 23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
1<br />
1 1<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
2 2<br />
0<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( ) lim<br />
( )<br />
s<br />
z<br />
t<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
T T s<br />
l<br />
s<br />
P<br />
→ =<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
→∞<br />
3 2<br />
2<br />
23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
2 23 2<br />
1<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
s<br />
R<br />
l<br />
l<br />
s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
P<br />
= +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
→+<br />
z t l<br />
z s l s<br />
z<br />
R<br />
l<br />
w<br />
3<br />
0<br />
23<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
2 23<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
() ()<br />
→∞ =<br />
=<br />
zu<br />
R<br />
l<br />
= +<br />
( )<br />
γ<br />
=<br />
+ +<br />
z<br />
s<br />
R<br />
l<br />
P<br />
()<br />
( )<br />
1 1<br />
3<br />
0<br />
2<br />
23<br />
̃<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) + +<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎠<br />
⎟<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
P<br />
12 23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
1<br />
1 1<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
2 2<br />
0<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( ) lim<br />
( )<br />
s<br />
z<br />
t<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
T T s<br />
l<br />
s<br />
P<br />
→ =<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
→∞<br />
3 2<br />
2<br />
23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
2 23 2<br />
1<br />
0<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
s<br />
R<br />
l<br />
l<br />
s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
P<br />
= +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
→+<br />
z t l<br />
z s l s<br />
z<br />
R<br />
l<br />
w<br />
3<br />
0<br />
23<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
2 23<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
() ()<br />
→∞ =<br />
=<br />
BiLD 7:<br />
Fadenverlauf im<br />
Vierwalzensystem:<br />
Drehpunkt zwischen<br />
Klemmstelle 2 und 3<br />
BiLD 8:<br />
Fadenverlauf im<br />
Vierwalzensystem:<br />
Drehpunkt rechts<br />
von Klemmstelle 4<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
31
( ) γ<br />
γ<br />
̃<br />
T s<br />
T s<br />
3<br />
12 23<br />
2<br />
2 1 1<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
(4.2.10)<br />
c) Es sei<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃<br />
12 23<br />
( )( )<br />
z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
,<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 2 2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 2 2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
Der Drehpunkt liegt jetzt im Mittelpunkt der Walze 3.<br />
Man erhält aus Gl. (4.2.3)<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
(4.2.11)<br />
Die Grenzwerte der Sprungantwort lauten<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
12 23<br />
2<br />
2 1 1<br />
( )<br />
()<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
γ<br />
z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
(4.2.12)<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃<br />
T s<br />
T s<br />
12 23<br />
2 1 1<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
(4.2.13)<br />
Da das Zählerpolynom den Wert 1 annimmt und die differenzierenden<br />
Anteile weggefallen sind, wird das System<br />
noch träger.<br />
Klemmstelle 4<br />
Dieser Fadenversatz von Gl. (4.2.3) wird nun an Klemmstelle<br />
4 weitergegeben und auf Klemmstelle 4 verzögert<br />
wirksam. Man erhält mit Hilfe von Gl. (4.2.3) die beiden<br />
Formen<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
()<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
γ<br />
z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
(4.2.14)<br />
Der stationären Endwerte der Sprungantwort lauten<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
()<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
γ<br />
z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
(4.2.15)<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
()<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
γ<br />
z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
(4.2.16)<br />
Für die drei Sonderfälle a) bis c) ergeben sich die vier<br />
„geglätteten“ Ausdrücke<br />
a)<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
()<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
γ<br />
z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 12 23 12 23<br />
2 2<br />
T T s T T s<br />
s<br />
̃γ ()<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
()<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
γ<br />
z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
()<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
γ<br />
z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
(4.2.17)<br />
b)<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
()<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
γ<br />
z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
()<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
γ<br />
z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
(4.2.18)<br />
c)<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
()<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
γ<br />
z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
0<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
,<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
()<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
γ<br />
z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
( ) γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
()<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
γ<br />
z<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
3<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
( )<br />
(<br />
( )=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ<br />
s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
) (<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
l<br />
z t l<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
23 2<br />
3<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
=<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
(4.2.19)<br />
Die Grenzwerte der Sprungantworten lauten in diesen<br />
drei Fällen<br />
γ<br />
γ<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
l T T<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
23 12<br />
0 0<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
= + − + 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
12 23<br />
2<br />
34<br />
12<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + − +<br />
s T T s R<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
T s<br />
T<br />
p<br />
̃γ ()<br />
T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z<br />
p<br />
23 12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4 23<br />
4<br />
0<br />
0 0<br />
12 23<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
t<br />
z t l<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
e<br />
p<br />
T<br />
T<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
≈<br />
− +<br />
(<br />
̃<br />
̃<br />
)<br />
+<br />
→∞<br />
( )= →∞<br />
( )=<br />
s<br />
T s l<br />
z t z t l<br />
1 34<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
( ) ( )<br />
(4.2.20)<br />
γ<br />
γ<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
l T T<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
23 12<br />
0 0<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
= + − + 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
12 23<br />
2<br />
34<br />
12<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + − +<br />
s T T s R<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
T s<br />
T<br />
p<br />
̃γ ()<br />
T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z<br />
p<br />
23 12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4 23<br />
4<br />
0<br />
0 0<br />
12 23<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
t<br />
z t l<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
e<br />
p<br />
T<br />
T<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
≈<br />
− +<br />
(<br />
̃<br />
̃<br />
)<br />
+<br />
→∞<br />
( )= →∞<br />
( )=<br />
s<br />
T s l<br />
z t z t l<br />
1 34<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
( ) ( )<br />
(4.2.21)<br />
4.3 Drehpunkt rechts Von klemmstelle 3<br />
Aus Gründen der Vollständigkeit wird untersucht,<br />
wie sich das Systemverhalten ändert, wenn der Drehpunkt,<br />
wie in Bild 8 gezeichnet, rechts der Klemmstelle<br />
3 liegt.<br />
Die Berechnung dieses Falls in Anhang A 3.3 zeigt,<br />
dass diese Variante keine praktische Bedeutung hat. Die<br />
maßgebende Übertragungsfunktion lautet<br />
γ<br />
γ<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
l T T<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
23 12<br />
0 0<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
= + − + 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
12 23<br />
2<br />
34<br />
12<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + − +<br />
s T T s R<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
T s<br />
T<br />
p<br />
̃γ ()<br />
T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z<br />
p<br />
23 12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4 23<br />
4<br />
0<br />
0 0<br />
12 23<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
t<br />
z t l<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
e<br />
p<br />
T<br />
T<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
≈<br />
− +<br />
(<br />
̃<br />
̃<br />
)<br />
+<br />
→∞<br />
( )= →∞<br />
( )=<br />
s<br />
T s l<br />
z t z t l<br />
1 34<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
( ) ( )<br />
(4.3.1)<br />
Eine der Wurzeln des Zählerpolynoms liegt in der linken,<br />
die andere in der rechten s-Halbebene: Das System ist also<br />
allpasshaltig.<br />
Grenzwerte der Sprungantwort lauten<br />
γ<br />
γ<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
l T T<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
23 12<br />
0 0<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
= + − + 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
12 23<br />
2<br />
34<br />
12<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + − +<br />
s T T s R<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
T s<br />
T<br />
p<br />
̃γ ()<br />
T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z<br />
p<br />
23 12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4 23<br />
4<br />
0<br />
0 0<br />
12 23<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
t<br />
z t l<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
e<br />
p<br />
T<br />
T<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
≈<br />
− +<br />
(<br />
̃<br />
̃<br />
)<br />
+<br />
→∞<br />
( )= →∞<br />
( )=<br />
s<br />
T s l<br />
z t z t l<br />
1 34<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
( ) ( )<br />
(4.3.2)<br />
und<br />
γ<br />
γ<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
l T T<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
23 12<br />
0 0<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
= + − + 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
12 23<br />
2<br />
34<br />
12<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + − +<br />
s T T s R<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
T s<br />
T<br />
p<br />
̃γ ()<br />
T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z<br />
p<br />
23 12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4 23<br />
4<br />
0<br />
0 0<br />
12 23<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
t<br />
z t l<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
e<br />
p<br />
T<br />
T<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
≈<br />
− +<br />
(<br />
̃<br />
̃<br />
)<br />
+<br />
→∞<br />
( )= →∞<br />
( )=<br />
s<br />
T s l<br />
z t z t l<br />
1 34<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
( ) ( )<br />
(4.3.3)<br />
Für den ausgezeichneten Punkt<br />
γ<br />
γ<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
l T T<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
23 12<br />
0 0<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
= + − + 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
34<br />
12<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + − +<br />
s<br />
T T s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s T T s<br />
z<br />
23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
̃4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4 23<br />
4<br />
0<br />
0 0<br />
12 23<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
t<br />
z t l<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
e<br />
p<br />
T<br />
T<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
≈<br />
− +<br />
(<br />
̃<br />
̃<br />
)<br />
+<br />
→∞<br />
( )= →∞<br />
( )=<br />
s<br />
T s l<br />
z t z t l<br />
1 34<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
( ) ( )<br />
und für große<br />
Zeiten lässt sich Gl. (4.3.1) gemäß Gl. (A3.3.18) durch ein<br />
Totzeitglied<br />
T<br />
l<br />
v<br />
l<br />
l<br />
v<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
v s v s<br />
v<br />
c<br />
c<br />
13<br />
13 12 23<br />
23<br />
23<br />
12<br />
3 2<br />
1<br />
1<br />
= =<br />
+<br />
≈ + +<br />
−<br />
⎡<br />
⎣<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
ε<br />
ε<br />
() ()<br />
() ()<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
= + + −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ − +<br />
+<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
23 12<br />
01<br />
1 12<br />
12<br />
2 3<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
T s<br />
T s<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
c c c<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
ε<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
+<br />
( )<br />
=<br />
+ +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) +<br />
R l t<br />
z<br />
s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
P<br />
P<br />
2 23 2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
1 1<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
̃<br />
1<br />
1<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
4<br />
0<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+ +<br />
( ) +<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
()<br />
s<br />
e<br />
T s<br />
l<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
w<br />
P<br />
≈<br />
+<br />
=<br />
+ +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) +<br />
z<br />
s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
P<br />
3<br />
0<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
1 1<br />
()<br />
( )<br />
̃<br />
1<br />
1<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
4<br />
0<br />
+<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+ +<br />
( ) +<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
()<br />
s<br />
e<br />
T s<br />
l<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
w<br />
P<br />
≈<br />
+<br />
<br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s R<br />
P<br />
M<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12<br />
2<br />
12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
=− + =− + 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
()<br />
()<br />
()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
̃<br />
genannt und gegen den<br />
Uhrzeigersinn positiv gezählt (vgl. Bild 6a). Der bisherige<br />
Schenkwinkel<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( ) ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t R t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s R<br />
P<br />
M<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12<br />
2<br />
12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
=− + =− + 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
()<br />
()<br />
()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
̃<br />
(vgl. Bild 2a) wird nach wie<br />
vor im Uhrzeigersinn positiv gezählt. Dann gilt nach<br />
Gl. (2.3.5)<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( ) ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t R t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s R<br />
P<br />
M<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12<br />
2<br />
12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
=− + =− + 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
()<br />
()<br />
()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
̃<br />
(A3.1.1)<br />
Der Schwenkradius sei<br />
( )<br />
̃z<br />
s<br />
3<br />
0 ( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
1<br />
1 1<br />
0 0<br />
12 23<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
T s T s l s<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
()<br />
( )<br />
γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
P<br />
p<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ 2 23<br />
2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
1<br />
0 0<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
t<br />
z t R p ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 2 23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3 2<br />
2 3<br />
23<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+<br />
( ) =<br />
= +<br />
= =<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
R<br />
R<br />
l<br />
z<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
() ()<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
̃<br />
̃<br />
̃4<br />
0<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1<br />
1<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
T T s T T<br />
( )= + + +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) + 23<br />
2 23 2<br />
2 23<br />
4<br />
0<br />
12 23 34<br />
2<br />
1<br />
1 1 1<br />
s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
T s T s T s l<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
( )<br />
=<br />
( )=<br />
+<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
( )<br />
3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
und reiche bis zum Mittelpunkt<br />
von Walze 2. Die Drehung des Rahmens beginne<br />
zum Zeitpunkt<br />
γ<br />
γ<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
l T T<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
23 12<br />
0 0<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
= + − + 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
12 23<br />
2<br />
34<br />
12<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + − +<br />
s T T s R<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
T s<br />
T<br />
p<br />
̃γ ()<br />
T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z<br />
p<br />
23 12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4 23<br />
4<br />
0<br />
0 0<br />
12 23<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
t<br />
z t l<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
e<br />
p<br />
T<br />
T<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
≈<br />
− +<br />
(<br />
̃<br />
̃<br />
)<br />
+<br />
→∞<br />
( )= →∞<br />
( )=<br />
s<br />
T s l<br />
z t z t l<br />
1 34<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
( ) ( )<br />
γ<br />
γ<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
l T T<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
23 12<br />
0 0<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
= + − + 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
12 23<br />
2<br />
34<br />
12<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + − +<br />
s T T s R<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
T s<br />
T<br />
p<br />
̃γ ()<br />
T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z<br />
p<br />
23 12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4 23<br />
4<br />
0<br />
0 0<br />
12 23<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
t<br />
z t l<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
e<br />
p<br />
T<br />
T<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
≈<br />
− +<br />
(<br />
̃<br />
̃<br />
)<br />
+<br />
→∞<br />
( )= →∞<br />
( )=<br />
s<br />
T s l<br />
z t z t l<br />
1 34<br />
23 2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
( ) ( )<br />
. Die Bewegung der Walze 2 setzt<br />
sich aus einer Drehung um ihren Mittelpunkt mit dem<br />
Winkel γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( ) ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t R t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s R<br />
P<br />
M<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12<br />
2<br />
12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
=− + =− + 2<br />
2<br />
1<br />
()<br />
()<br />
s<br />
z̃<br />
nach Gl. (2.3.5) und der axialen Translation<br />
des Mittelpunktes nach Gl. (2.3.4) zusammen, wie in<br />
Abschnitt 2.3 gezeigt.<br />
Wenn der Faden in der Mittellinie von Walze 1 und<br />
2, also seine Projektion auf die (<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( ) ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t R t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s R<br />
P<br />
M<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12<br />
2<br />
12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
=− + =− + 2<br />
2<br />
1<br />
()<br />
()<br />
s<br />
z̃<br />
)-Ebene durch<br />
den Mittelpunkt der Walzen läuft, so führt die Rotation<br />
der Walze um ihren Mittelpunkt nur zu einer<br />
Verdrillung ohne Änderung des Fadenwinkels,<br />
wenn der Einfluss der Walzenradius’<br />
t R γ<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
P<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
( ) ()= + + +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( )<br />
T T s<br />
z t l<br />
12 23<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
1+ +<br />
( )<br />
→∞ =<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
( )<br />
( )<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s R<br />
s<br />
z<br />
P<br />
4<br />
0<br />
34<br />
23 2<br />
2<br />
1<br />
12<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
()<br />
()<br />
() ()<br />
() ()<br />
= +<br />
= + ̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
( )<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
z<br />
z<br />
s<br />
R R T T s T T<br />
P<br />
P<br />
p<br />
→∞ =<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0 2 3 12 23 12 23<br />
1<br />
̃<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
1 1<br />
1 1<br />
12 23<br />
2<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 2<br />
T s<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
R<br />
T T s T T<br />
p<br />
P<br />
p<br />
(<br />
+ +<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
1<br />
0<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
3<br />
2<br />
12 23<br />
T T s T T s<br />
z t R<br />
R<br />
R<br />
T T<br />
p<br />
P<br />
p<br />
̃( ) s<br />
T T s<br />
R<br />
z t R<br />
R<br />
R<br />
R<br />
R<br />
P<br />
p<br />
P<br />
p<br />
p<br />
P<br />
2<br />
12 23<br />
2 2 3<br />
3<br />
0<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2 2 3<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
=<br />
→∞<br />
( )=<br />
+<br />
= +<br />
(<br />
̃<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
3<br />
0<br />
3 2<br />
2 23<br />
3<br />
0<br />
2 3<br />
23<br />
2<br />
=<br />
<br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s R<br />
P<br />
M<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12<br />
2<br />
12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
=− + =− + 2 ()<br />
s<br />
angenommen sei. Verläuft<br />
der Faden hingegen außerhalb der Mittellinie,<br />
so tritt bei der Rotation auch eine Änderung des Fadenwinkels<br />
auf. Diese ist jedoch gegenüber der Winkeländerung<br />
infolge der Translation in erster Näherung<br />
vernachlässigbar.<br />
Die Translation des Mittelpunktes<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( ) ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t R t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
z<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
̃γ ()<br />
()<br />
der Walze 2 nach<br />
Gl. (2.3.4) lautet, wie in Abschnitt 2.3 ausgeführt,<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( ) ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t R t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
̃γ ()<br />
(A3.1.2)<br />
Die Projektion dieser Strecke auf die ruhende<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t<br />
R<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
12<br />
-Achse<br />
ist<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( ) ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t R t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
̃γ ()<br />
(A3.1.3)<br />
Dann gilt für kleine Änderungen im s-Bereich<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( ) ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t R t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
0 12 12<br />
) ( )/<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
̃z t l<br />
z<br />
T s<br />
T s<br />
M<br />
(A3.1.4)<br />
Bei<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( ) ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t R t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= =<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
M<br />
M R s<br />
P2 2<br />
̃γ ()<br />
wird auch<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( ) ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t R t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
1<br />
̃γ ()<br />
()<br />
. Zum Zeitpunkt<br />
γ<br />
γ<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
l T T<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
23 12<br />
0 0<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
= + − + 23 12<br />
12<br />
34<br />
12<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
+<br />
( ) +<br />
(<br />
= + − +<br />
s<br />
T<br />
T s<br />
T<br />
T s<br />
T T s T T<br />
T T s T<br />
z<br />
23 12 2<br />
12 23 12<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
+ +<br />
( ) +<br />
̃4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4 23<br />
4<br />
0<br />
0 0<br />
12 23<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
t<br />
z t l<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
e<br />
p<br />
T<br />
T<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
≈<br />
− +<br />
(<br />
̃<br />
̃<br />
)<br />
+<br />
s<br />
T s l<br />
1 34<br />
23 2<br />
̃γ<br />
γ<br />
γ<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
t<br />
z t l<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
l T T<br />
4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
23 12<br />
0 0<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
= + − + 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
34<br />
12<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
= + − +<br />
s<br />
T T s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s T T s<br />
z<br />
p<br />
23 12 23<br />
2<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
̃4<br />
0<br />
4<br />
0<br />
23 2<br />
4 23<br />
4<br />
0<br />
0 0<br />
12 23<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
t<br />
z t l<br />
R<br />
l<br />
z<br />
s<br />
e<br />
p<br />
T<br />
T<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞ =<br />
=<br />
≈<br />
− +<br />
(<br />
̃<br />
̃<br />
)<br />
+<br />
s<br />
T s l<br />
1 34<br />
23 2<br />
̃γ<br />
, der<br />
Schwenkung um den Drehpunkt<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( ) ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t R t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
2 12<br />
0<br />
) ( )/<br />
( )<br />
= = ≠<br />
̃z t l<br />
M<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t<br />
R<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
) ( )/<br />
( )<br />
= = ≠<br />
̃z t l<br />
z<br />
M<br />
, wird die Translation<br />
unter Voraussetzung der Haftbedingung (V4) dem auf<br />
Klemmstelle 2 haftenden Faden mitgeteilt. Dadurch entsteht<br />
ein Faden-Anfangswinkel<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
γ<br />
2 2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
23<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=−<br />
=<br />
=<br />
z<br />
x<br />
l<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
,<br />
() ()<br />
() ()cos ( ) ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t R t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
) ( )/<br />
( )<br />
= = ≠<br />
̃z t l<br />
z<br />
T s<br />
T s<br />
M (A3.1.5)<br />
33<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
Der Fadenversatz relativ zum ruhenden<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s R<br />
P<br />
M<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12<br />
2<br />
12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
=− + =− + 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
()<br />
()<br />
()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
̃<br />
-System lautet<br />
nach Gl. (2.2.1)<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s R<br />
P<br />
M<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12<br />
2<br />
12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
=− + =− + 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
()<br />
()<br />
()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
̃<br />
(A3.1.6)<br />
Relativ zum mitbewegten<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s R<br />
P<br />
M<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12<br />
2<br />
12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
=− + =− + 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
()<br />
()<br />
()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
̃<br />
-System, also relativ zum<br />
Mittelpunkt von Walze 2, führt der Faden eine Bewegung<br />
in negativer Richtung aus. Der Fadenversatz lautet:<br />
γ<br />
2 2 2<br />
=<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
() ()cos ( ) ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t R t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s R<br />
P<br />
M<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12<br />
2<br />
12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
=− + =− + 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
()<br />
()<br />
()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
̃<br />
(A3.1.7)<br />
Man beachte, dass<br />
γ<br />
2 2 2<br />
=<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
() ()cos ( ) ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t R t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s R<br />
P<br />
M<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12<br />
2<br />
12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
=− + =− + 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
()<br />
()<br />
()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
̃ der Fadenversatz ist und<br />
γ<br />
γ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
=<br />
=<br />
z t R t<br />
z<br />
z t R t<br />
M<br />
P<br />
M<br />
P<br />
( )<br />
( )<br />
() ()<br />
() ()cos ( ) ( )<br />
() ()<br />
(<br />
( )<br />
( )<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
λ<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
12<br />
0<br />
0<br />
t R t<br />
z s R s<br />
z<br />
t<br />
P<br />
M<br />
P<br />
M<br />
≈<br />
≈<br />
><br />
><br />
=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
0 0 0<br />
1 1<br />
2 12<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0 12<br />
12<br />
2<br />
12<br />
) ( )/<br />
() ()<br />
( )<br />
( )<br />
= = ≠<br />
= + = +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z t l<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s z s T s<br />
M<br />
M<br />
T s R<br />
s<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s R<br />
P<br />
M<br />
P<br />
12<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12<br />
2<br />
12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
()<br />
=− + =− + 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
()<br />
()<br />
()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
̃<br />
gemäß<br />
den Definitionen von Abschnitt 4 das Koordinatensystem<br />
bezeichnet. Verwechslungen sind kaum möglich.<br />
Klemmstelle 3<br />
Die Klemmstelle 3 führt keine Relativbewegung gegenüber<br />
der Klemmstelle 2 aus. Die Verschiebung des Fadens<br />
relativ zur Klemmstelle 2 wird an Klemmstelle 3 weitergegeben.<br />
Dabei kommt die Zeitkonstante<br />
̃ ̃ ̃<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R s<br />
z<br />
z<br />
P<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
() () ()<br />
= + =− + + γ<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2 23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z s R l s<br />
z<br />
z s z s R<br />
M<br />
p<br />
P<br />
≈ +<br />
( )<br />
= +<br />
γ<br />
+<br />
( ) =− + + + +<br />
( )<br />
l<br />
s<br />
T s T s R s R l s<br />
z<br />
P<br />
P<br />
23 2<br />
23 12<br />
2 2 2 23 2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
γ γ γ<br />
() () ()<br />
(0 12 23<br />
12 23<br />
2 23<br />
1 1 1<br />
1 1<br />
) ()<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
R<br />
l<br />
P<br />
= − + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
̃γ 2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
2 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
()<br />
s<br />
T T s T T s R T T s T T s<br />
P<br />
=<br />
+<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
l<br />
T T s T T s<br />
s<br />
l R l T T s R<br />
P<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
23 2 23 12 23<br />
1<br />
̃γ ()<br />
P l T T s<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
2 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
1<br />
1 1<br />
+<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
T T s<br />
P<br />
P<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) + +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+ +<br />
( ) + T T s<br />
l<br />
s<br />
12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ ()<br />
ins Spiel, da<br />
die Klemmstelle 3 auf den Faden eine axiale Kraft ausübt<br />
(vgl. Abschnitt 3.2). Man erhält mit Gl. (A3.1.7) die Verschiebung<br />
des Fadens relativ zum Mittelpunkt der<br />
Klemmstelle 3 zu<br />
̃ ̃ ̃<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R s<br />
z<br />
z<br />
P<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
() () ()<br />
= + =− + + γ<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2 23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z s R l s<br />
z<br />
z s z s R<br />
M<br />
p<br />
P<br />
≈ +<br />
( )<br />
= +<br />
γ<br />
+<br />
( ) =− + + + +<br />
( )<br />
l<br />
s<br />
T s T s R s R l s<br />
z<br />
P<br />
P<br />
23 2<br />
23 12<br />
2 2 2 23 2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
γ γ γ<br />
() () ()<br />
(0 12 23<br />
12 23<br />
2 23<br />
1 1 1<br />
1 1<br />
) ()<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
R<br />
l<br />
P<br />
= − + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
̃γ 2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
2 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
()<br />
s<br />
T T s T T s R T T s T T s<br />
P<br />
=<br />
+<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
l<br />
T T s T T s<br />
s<br />
l R l T T s R<br />
P<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
23 2 23 12 23<br />
1<br />
̃γ ()<br />
P l T T s<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
2 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
1<br />
1 1<br />
+<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
T T s<br />
P<br />
P<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) + +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+ +<br />
( ) + T T s<br />
l<br />
s<br />
12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ ()<br />
(A3.1.8)<br />
Nachdem sich der Koordinaten-Nullpunkt des<br />
̃ ̃ ̃<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R s<br />
z<br />
z<br />
P<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
() () ()<br />
= + =− + + γ<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2 23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z s R l s<br />
z<br />
z s z s R<br />
M<br />
p<br />
P<br />
≈ +<br />
( )<br />
= +<br />
γ<br />
+<br />
( ) =− + + + +<br />
( )<br />
l<br />
s<br />
T s T s R s R l s<br />
z<br />
P<br />
P<br />
23 2<br />
23 12<br />
2 2 2 23 2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
γ γ γ<br />
() () ()<br />
(0 12 23<br />
12 23<br />
2 23<br />
1 1 1<br />
1 1<br />
) ()<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
R<br />
l<br />
P<br />
= − + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
̃γ 2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
2 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
()<br />
s<br />
T T s T T s R T T s T T s<br />
P<br />
=<br />
+<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
l<br />
T T s T T s<br />
s<br />
l R l T T s R<br />
P<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
23 2 23 12 23<br />
1<br />
̃γ ()<br />
P l T T s<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
2 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
1<br />
1 1<br />
+<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
T T s<br />
P<br />
P<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) + +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+ +<br />
( ) + T T s<br />
l<br />
s<br />
12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ ()<br />
-Systems,<br />
also der Mittelpunkt der Walze 3, gegenüber dem<br />
ruhenden<br />
̃ ̃ ̃<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R s<br />
z<br />
z<br />
P<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
() () ()<br />
= + =− + + γ<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2 23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z s R l s<br />
z<br />
z s z s R<br />
M<br />
p<br />
P<br />
≈ +<br />
( )<br />
= +<br />
γ<br />
+<br />
( ) =− + + + +<br />
( )<br />
l<br />
s<br />
T s T s R s R l s<br />
z<br />
P<br />
P<br />
23 2<br />
23 12<br />
2 2 2 23 2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
γ γ γ<br />
() () ()<br />
(0 12 23<br />
12 23<br />
2 23<br />
1 1 1<br />
1 1<br />
) ()<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
R<br />
l<br />
P<br />
= − + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
̃γ 2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
2 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
()<br />
s<br />
T T s T T s R T T s T T s<br />
P<br />
=<br />
+<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
l<br />
T T s T T s<br />
s<br />
l R l T T s R<br />
P<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
23 2 23 12 23<br />
1<br />
̃γ ()<br />
P l T T s<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
2 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
1<br />
1 1<br />
+<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
T T s<br />
P<br />
P<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) + +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+ +<br />
( ) + T T s<br />
l<br />
s<br />
12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ ()<br />
-System in positiver Richtung nach der<br />
Funktion<br />
̃ ̃ ̃<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R s<br />
z<br />
z<br />
P<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
() () ()<br />
= + =− + + γ<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2 23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z s R l s<br />
z<br />
z s z s R<br />
M<br />
p<br />
P<br />
≈ +<br />
( )<br />
= +<br />
γ<br />
+<br />
( ) =− + + + +<br />
( )<br />
l<br />
s<br />
T s T s R s R l s<br />
z<br />
P<br />
P<br />
23 2<br />
23 12<br />
2 2 2 23 2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
γ γ γ<br />
() () ()<br />
(0 12 23<br />
12 23<br />
2 23<br />
1 1 1<br />
1 1<br />
) ()<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
R<br />
l<br />
P<br />
= − + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
̃γ 2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
2 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
()<br />
s<br />
T T s T T s R T T s T T s<br />
P<br />
=<br />
+<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
l<br />
T T s T T s<br />
s<br />
l R l T T s R<br />
P<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
23 2 23 12 23<br />
1<br />
̃γ ()<br />
P l T T s<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
2 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
1<br />
1 1<br />
+<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
T T s<br />
P<br />
P<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) + +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+ +<br />
( ) + T T s<br />
l<br />
s<br />
12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ ()<br />
(A3.1.9)<br />
bewegt, ist die Fadenabweichung auf Klemmstelle 3 relativ<br />
zum ruhenden<br />
̃ ̃ ̃<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R s<br />
z<br />
z<br />
P<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
() () ()<br />
= + =− + + γ<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2 23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z s R l s<br />
z<br />
z s z s R<br />
M<br />
p<br />
P<br />
≈ +<br />
( )<br />
= +<br />
γ<br />
+<br />
( ) =− + + + +<br />
( )<br />
l<br />
s<br />
T s T s R s R l s<br />
z<br />
P<br />
P<br />
23 2<br />
23 12<br />
2 2 2 23 2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
γ γ γ<br />
() () ()<br />
(0 12 23<br />
12 23<br />
2 23<br />
1 1 1<br />
1 1<br />
) ()<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
R<br />
l<br />
P<br />
= − + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
̃γ 2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
2 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
()<br />
s<br />
T T s T T s R T T s T T s<br />
P<br />
=<br />
+<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
l<br />
T T s T T s<br />
s<br />
l R l T T s R<br />
P<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
23 2 23 12 23<br />
1<br />
̃γ ()<br />
P l T T s<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
2 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
1<br />
1 1<br />
+<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
T T s<br />
P<br />
P<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) + +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+ +<br />
( ) + T T s<br />
l<br />
s<br />
12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ ()<br />
-System<br />
̃<br />
̃<br />
s<br />
T s z s T s T s R s<br />
P<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
()<br />
) () ()<br />
= + =− + + γ<br />
()<br />
) ()<br />
) ()<br />
2 23 2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
s R l s<br />
s z s R<br />
p<br />
P<br />
≈ +<br />
( )<br />
= +<br />
γ<br />
+<br />
( ) =− + + + +<br />
( )<br />
l<br />
s<br />
T s T s R s R l s<br />
P<br />
P<br />
23 2<br />
23 12<br />
2 2 2 23 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ γ γ<br />
() () ()<br />
12 23<br />
12 23<br />
2 23<br />
1 1 1<br />
1 1<br />
s)<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
R<br />
l<br />
P<br />
= − + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
̃γ 2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
2 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
()<br />
s<br />
T T s T T s R T T s T T s<br />
P<br />
=<br />
+<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
l<br />
T T s T T s<br />
s<br />
l R l T T s R<br />
P<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
23 2 23 12 23<br />
1<br />
̃γ ()<br />
P l T T s<br />
T T s T T s<br />
s<br />
s<br />
2 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
1<br />
1 1<br />
+<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
̃γ ()<br />
)<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
T T s<br />
P<br />
P<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) + +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+ +<br />
( ) + T T s<br />
l<br />
s<br />
12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ ()<br />
̃ ̃ ̃<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R s<br />
z<br />
z<br />
P<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
() () ()<br />
= + =− + + γ<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2 23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z s R l s<br />
z<br />
z s z s R<br />
M<br />
p<br />
P<br />
≈ +<br />
( )<br />
= +<br />
γ<br />
+<br />
( ) =− + + + +<br />
( )<br />
l<br />
s<br />
T s T s R s R l s<br />
z<br />
P<br />
P<br />
23 2<br />
23 12<br />
2 2 2 23 2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
γ γ γ<br />
() () ()<br />
(0 12 23<br />
12 23<br />
2 23<br />
1 1 1<br />
1 1<br />
) ()<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
R<br />
l<br />
P<br />
= − + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
̃γ 2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
2 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
()<br />
s<br />
T T s T T s R T T s T T s<br />
P<br />
=<br />
+<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
l<br />
T T s T T s<br />
s<br />
l R l T T s R<br />
P<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
23 2 23 12 23<br />
1<br />
̃γ ()<br />
P l T T s<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
2 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
1<br />
1 1<br />
+<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
T T s<br />
P<br />
P<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) + +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+ +<br />
( ) + T T s<br />
l<br />
s<br />
12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ ()<br />
(A3.1.10)<br />
Weitere Umformungen mit den Zwischenschritten<br />
̃ ̃ ̃<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R s<br />
z<br />
z<br />
P<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
() () ()<br />
= + =− + + γ<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2 23 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
2<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z s R l s<br />
z<br />
z s z s R<br />
M<br />
p<br />
P<br />
≈ +<br />
( )<br />
= +<br />
γ<br />
+<br />
( ) =− + + + +<br />
( )<br />
l<br />
s<br />
T s T s R s R l s<br />
z<br />
P<br />
P<br />
23 2<br />
23 12<br />
2 2 2 23 2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
γ γ γ<br />
() () ()<br />
(0 12 23<br />
12 23<br />
2 23<br />
1 1 1<br />
1 1<br />
) ()<br />
s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
T s<br />
R<br />
l<br />
P<br />
= − + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
̃γ 2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
2 12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
()<br />
s<br />
T T s T T s R T T s T T s<br />
P<br />
=<br />
+<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤ ⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
l<br />
T T s T T s<br />
s<br />
l R l T T s R<br />
P<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
23 2 23 12 23<br />
1<br />
̃γ ()<br />
P l T T s<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
2 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
1<br />
1 1<br />
+<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
=<br />
+ +<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
T T s<br />
P<br />
P<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) + +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+ +<br />
( ) + T T s<br />
l<br />
s<br />
12 23<br />
2 23 2<br />
̃γ ()<br />
(A3.1.11)<br />
liefern das Ergebnis<br />
̃z<br />
s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
P<br />
P<br />
3<br />
0<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
1 1 1<br />
( ) ()=<br />
+ +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) + +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
2<br />
12 23<br />
23 2<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
1 1<br />
1 1 1<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
=<br />
+ +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
( ) + +<br />
T s<br />
T s<br />
l<br />
s<br />
R<br />
l<br />
T T s<br />
R<br />
P<br />
̃γ ()<br />
P<br />
l<br />
T T s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
2<br />
23<br />
12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+ +<br />
( ) +<br />
̃γ () (A3.1.12)<br />
Dieses wird in Abschnitt 4.1 des Hauptteils genauer diskutiert.<br />
Klemmstelle 4<br />
Diese Faden-Fußpunktverschiebung ̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
= +<br />
= + 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s R<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
= + = + +<br />
γ<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
M<br />
p<br />
M<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=<br />
= + 3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s T s R s R<br />
p<br />
P<br />
p<br />
= +<br />
= + + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ 3 2<br />
3<br />
0 2 3 12 23 12 23<br />
12 2<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
γ (<br />
()<br />
( )<br />
s<br />
z<br />
s<br />
R R T T s T T<br />
T<br />
T<br />
P<br />
p<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
+ + 3 12 23<br />
2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
1 1<br />
1<br />
( ) +<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
(<br />
+<br />
s<br />
T T s<br />
R<br />
R<br />
R<br />
T T s T T<br />
T<br />
p<br />
P<br />
p<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
+<br />
( ) +<br />
T s T T s<br />
wird nun auf die<br />
Klemmstelle 4 übertragen und führt dort zum geglätteten<br />
Fadenversatz<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
= +<br />
= + 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s R<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
= + = + + γ<br />
γ<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
M<br />
p<br />
M<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=<br />
= + 3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s T s R s R<br />
p<br />
P<br />
p<br />
= +<br />
= + + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ 3 2<br />
3<br />
0 2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 2<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
s<br />
z<br />
s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
T<br />
P<br />
p<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ + 3 12 23<br />
2 2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1 1<br />
1<br />
( ) +<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
s<br />
T T s<br />
s<br />
R<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
T<br />
p<br />
P<br />
p<br />
̃γ ()<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
+<br />
( ) +<br />
T s T T s<br />
s<br />
̃γ ()<br />
(A3.1.13)<br />
in den die Gl. (A.3.1.12) einzusetzen ist. Es wird vorausgesetzt,<br />
dass die Verschiebung<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
= +<br />
= + 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s R<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
= + = + + γ<br />
γ<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
(<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
M<br />
p<br />
M<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=<br />
= + 3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s T s R s R<br />
p<br />
P<br />
p<br />
= +<br />
= + + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ 3 2<br />
3<br />
0 2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 2<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
s<br />
z<br />
s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
T<br />
P<br />
p<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ + 3 12 23<br />
2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1 1<br />
1<br />
( ) +<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
s<br />
T T s<br />
R<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
T<br />
p<br />
P<br />
p<br />
̃γ<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
+<br />
( ) +<br />
T s T T s<br />
̃γ<br />
die Verschiebung<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
() (<br />
()<br />
= +<br />
= + 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s R<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
() ()<br />
() ()<br />
= + γ<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
M<br />
p<br />
M<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=<br />
= + 3<br />
0<br />
3<br />
3<br />
0<br />
23 1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T<br />
=<br />
= + + ̃<br />
̃<br />
3<br />
0 2 3<br />
12<br />
1<br />
1<br />
̃ ()<br />
( )<br />
z<br />
s<br />
R<br />
R<br />
T<br />
P<br />
p<br />
=<br />
+ +<br />
⎡<br />
⎣<br />
+<br />
2<br />
3<br />
2<br />
1 1<br />
1<br />
(<br />
=<br />
+ +<br />
(<br />
+<br />
R<br />
R<br />
R<br />
T<br />
p<br />
P<br />
p<br />
(<br />
nicht beeinflusst.<br />
A 3.2 Drehpunkt zwischen Klemmstelle 1<br />
und Klemmstelle 4<br />
Der Drehpunkt befinde sich zwischen den Klemmstellen<br />
1 und 4. Wieder ist der Fadenversatz auf Klemmstelle 3<br />
und 4 zu ermitteln, wobei analog zu Abschnitt A 3.1 vorgegangen<br />
wird.<br />
Klemmstelle 2<br />
Wie aus Bild 7 ersichtlich ist, ändert sich der Fadenwinkel<br />
gegenüber Bild 6a in entgegen gesetzter Richtung. Der<br />
Fadenversatz auf der Walze 2 wird jetzt positiv und lautet<br />
analog zu Gl. (A3.1.7)<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
= +<br />
= + 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s R<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
= + = + + γ<br />
γ<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
M<br />
p<br />
M<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=<br />
= + 3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s T s R s R<br />
p<br />
P<br />
p<br />
= +<br />
= + + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ 3 2<br />
3<br />
0 2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 2<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
s<br />
z<br />
s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
T<br />
P<br />
p<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ + 3 12 23<br />
2 2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1 1<br />
1<br />
( ) +<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
s<br />
T T s<br />
s<br />
R<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
T<br />
p<br />
P<br />
p<br />
̃γ ()<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
+<br />
( ) +<br />
T s T T s<br />
s<br />
̃γ ()<br />
(A3.2.1)<br />
Klemmstelle 3<br />
Der Fadenversatz auf Klemmstelle 2 wird an Klemmstelle<br />
3 weitergegeben und analog zu Gl. (A3.1/8) wird<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
= +<br />
= + 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s R<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
= + = + + γ<br />
γ<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
M<br />
p<br />
M<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=<br />
= + 3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s T s R s R<br />
p<br />
P<br />
p<br />
= +<br />
= + + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ 3 2<br />
3<br />
0 2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 2<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
s<br />
z<br />
s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
T<br />
P<br />
p<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ + 3 12 23<br />
2 2<br />
3 2<br />
( ) +<br />
s<br />
T T s<br />
s<br />
R P ̃γ ()<br />
(A3.2.2)<br />
Der Nullpunkt des mitbewegten<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
= +<br />
= + 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s R<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
= + = + + γ<br />
γ<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
M<br />
p<br />
M<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=<br />
= + 3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s T s R s R<br />
p<br />
P<br />
p<br />
= +<br />
= + + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ 3 2<br />
3<br />
0 2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 2<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
s<br />
z<br />
s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
T<br />
P<br />
p<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ + 3 12 23<br />
2<br />
3 2<br />
( ) +<br />
s<br />
T T s<br />
R P<br />
-Systems bewegt sich<br />
in positiver Richtung gegenüber dem festen<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
= +<br />
= + 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s R<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T<br />
P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
= + = +<br />
γ<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
M<br />
p<br />
M<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=<br />
= + 3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
() (<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s<br />
T s R p<br />
P<br />
= +<br />
= + + ̃ ̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
3<br />
0 2 3 12 2<br />
12 2<br />
1<br />
1<br />
̃ ()<br />
( )<br />
z<br />
s<br />
R R T T<br />
T<br />
T<br />
P<br />
p<br />
=<br />
+ + +<br />
(<br />
⎡<br />
⎣<br />
+ + 3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
12 2<br />
1 1<br />
( ) +<br />
=<br />
+ + +<br />
(<br />
(<br />
s<br />
R<br />
R<br />
R<br />
T<br />
T<br />
p<br />
P<br />
p<br />
-System<br />
nach der Funktion<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
= +<br />
= + 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s R<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
= + = + + γ<br />
γ<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
M<br />
p<br />
M<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=<br />
= + 3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s T s R s R<br />
p<br />
P<br />
p<br />
= +<br />
= + + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ 3 2<br />
3<br />
0 2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 2<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
s<br />
z<br />
s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
T<br />
P<br />
p<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ + 3 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1 1<br />
( ) +<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
s<br />
T T s<br />
s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
P<br />
p<br />
̃γ ()<br />
(A3.2.3)<br />
Die Fadenabweichung auf Klemmstelle 3 relativ zum ruhenden<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
= +<br />
= + 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s R<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
= + = + + γ<br />
γ<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
M<br />
p<br />
M<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=<br />
= + 3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s T s R s R<br />
p<br />
P<br />
p<br />
= +<br />
= + + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ 3 2<br />
̃γ ()<br />
s<br />
-System ist dann<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
= +<br />
= + 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s R<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
= + = + + γ<br />
γ<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
M<br />
p<br />
M<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=<br />
= + 3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s T s R s R<br />
p<br />
P<br />
p<br />
= +<br />
= + + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ 3 2<br />
3<br />
0 2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 2<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
s<br />
z<br />
s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
T<br />
P<br />
p<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ + 3 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1 1<br />
( ) +<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
s<br />
T T s<br />
s<br />
R<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
P<br />
p<br />
̃γ ()<br />
s<br />
̃γ ()<br />
(A3.2.4)<br />
Einsetzen von Gl. (A3.2.2) ergibt<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
= +<br />
= + 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s R<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
= + = + + γ<br />
γ<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
M<br />
p<br />
M<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=<br />
= + 3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s T s R s R<br />
p<br />
P<br />
p<br />
= +<br />
= + + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ 3 2<br />
3<br />
0 2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 2<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
s<br />
z<br />
s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
T<br />
P<br />
p<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ + 3 12 23<br />
2 2<br />
3<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1 1<br />
( ) +<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
s<br />
T T s<br />
s<br />
R<br />
T T s T T s<br />
P<br />
̃γ ()<br />
(A3.2.5)<br />
woraus folgt<br />
34 <strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
hauptBeitRag
̃z<br />
s<br />
R R T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
P<br />
p<br />
3<br />
0 2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1 1<br />
( ) ()=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ 2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1 1<br />
1<br />
()<br />
s<br />
R<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
T T s T<br />
p<br />
P<br />
p<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) + T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z s R s<br />
M<br />
p<br />
23<br />
2 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
4 2<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
() (<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
= +<br />
=− )<br />
()<br />
()<br />
( ) () ( ) ()<br />
( )<br />
̃ ̃ ̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
z z z s z R<br />
z<br />
s<br />
l<br />
T<br />
M<br />
p<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
4 2<br />
3<br />
0 23 12<br />
= + = −<br />
=<br />
− +<br />
γ<br />
T s T T s R<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
T T s<br />
p<br />
23 12 23<br />
2<br />
4<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1 1<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
=<br />
− +<br />
( )<br />
̃γ ()<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z<br />
s<br />
p<br />
12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
4<br />
0<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
(<br />
( )<br />
) = + − +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1<br />
1 1<br />
34<br />
23 12 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
12 23 12 2<br />
T s<br />
l T T s T T s R<br />
T T s T T<br />
p<br />
3<br />
2 2<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T<br />
T<br />
p<br />
̃γ ()<br />
= + − +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) − =<br />
+<br />
−<br />
s<br />
T T s<br />
l<br />
s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
R<br />
T s<br />
T<br />
p<br />
12 23<br />
2 23 2<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23<br />
4<br />
0<br />
1 2<br />
1<br />
̃γ ()<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
0<br />
12 23<br />
12 23<br />
23 2<br />
2 12 23<br />
s<br />
e<br />
z<br />
s<br />
T T s<br />
T T s l e<br />
Ts<br />
T<br />
T<br />
≈<br />
≈<br />
+<br />
+<br />
−<br />
+<br />
≈ − +<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
( ) () γ<br />
s<br />
T T s<br />
l<br />
z<br />
s<br />
e<br />
T s<br />
l<br />
23 2<br />
4<br />
0<br />
2<br />
34<br />
23 2<br />
12 23<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
( ) ()≈<br />
+<br />
− +<br />
( )<br />
(A3.2.6)<br />
Klemmstelle 4<br />
Diese Faden-Fußpunktverschiebung<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z<br />
s<br />
T<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
4<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
= +<br />
= + 12<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s R<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s R<br />
P<br />
P<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
γ ()<br />
() ()<br />
() ()<br />
= + = + + γ<br />
γ<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
M<br />
p<br />
M<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=<br />
= + 3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
3 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
() ()<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s T s R s R<br />
p<br />
P<br />
p<br />
= +<br />
= + + +<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ 3 2<br />
3<br />
0 2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 2<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
()<br />
( )<br />
s<br />
z<br />
s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
T<br />
P<br />
p<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ + 3 12 23<br />
2 2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1 1<br />
1<br />
( ) +<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+<br />
s<br />
T T s<br />
s<br />
R<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
T<br />
p<br />
P<br />
p<br />
̃γ ()<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
+<br />
( ) +<br />
T s T T s<br />
s<br />
̃γ ()<br />
wird nun auf die<br />
Klemmstelle 4 übertragen und führt dort zum geglätteten<br />
Fadenversatz<br />
̃z<br />
s<br />
R R T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
P<br />
p<br />
3<br />
0 2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1 1<br />
( ) ()=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ 2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1 1<br />
1<br />
()<br />
s<br />
R<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
T T s T<br />
p<br />
P<br />
p<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) + T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z s R s<br />
M<br />
p<br />
23<br />
2 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
4 2<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
() (<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
= +<br />
=− )<br />
()<br />
()<br />
( ) () ( ) ()<br />
( )<br />
̃ ̃ ̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
z z z s z R<br />
z<br />
s<br />
l<br />
T<br />
M<br />
p<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
4 2<br />
3<br />
0 23 12<br />
= + = −<br />
=<br />
− +<br />
γ<br />
T s T T s R<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
T T s<br />
p<br />
23 12 23<br />
2<br />
4<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1 1<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
=<br />
− +<br />
( )<br />
̃γ ()<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z<br />
s<br />
p<br />
12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
4<br />
0<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
(<br />
( )<br />
) = + − +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1<br />
1 1<br />
34<br />
23 12 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
12 23 12 2<br />
T s<br />
l T T s T T s R<br />
T T s T T<br />
p<br />
3<br />
2 2<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T<br />
T<br />
p<br />
̃γ ()<br />
= + − +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) − =<br />
+<br />
−<br />
s<br />
T T s<br />
l<br />
s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
R<br />
T s<br />
T<br />
p<br />
12 23<br />
2 23 2<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23<br />
4<br />
0<br />
1 2<br />
1<br />
̃γ ()<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
0<br />
12 23<br />
12 23<br />
23 2<br />
2 12 23<br />
s<br />
e<br />
z<br />
s<br />
T T s<br />
T T s l e<br />
Ts<br />
T<br />
T<br />
≈<br />
≈<br />
+<br />
+<br />
−<br />
+<br />
≈ − +<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
( ) () γ<br />
s<br />
T T s<br />
l<br />
z<br />
s<br />
e<br />
T s<br />
l<br />
23 2<br />
4<br />
0<br />
2<br />
34<br />
23 2<br />
12 23<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
( ) ()≈<br />
+<br />
− +<br />
( )<br />
(A3.2.7)<br />
Diese Gleichung wird in Abschnitt 4.2 des Hauptteils interpretiert.<br />
a 3.3 Drehpunkt rechts von klemmstelle 3<br />
Die Rechnung erfolgt ganz analog zu den beiden Fällen<br />
A 3.1 und A 3.2.<br />
Klemmstelle 2<br />
Der Fadenversatz relativ zu Walze 2 (vgl. Bild 8) wird wie<br />
im Fall A 3.2 positiv und lautet analog zu Gl. (A3.2.1)<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
T<br />
P<br />
p<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
s<br />
T T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
12 23<br />
2 2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1 1<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
= + +<br />
( )<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
12<br />
23 4<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
R P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
()<br />
()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
23 2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() ()<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s l R P<br />
̃ ̃ ̃<br />
= + = + + +<br />
( )γ ()<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
MT<br />
p<br />
M<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
4 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=−<br />
= +<br />
γ<br />
T<br />
p<br />
P<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s T s l R<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
4 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
23 4<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
()<br />
= −<br />
= + + +<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ 2 4 2<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
s R s<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s R<br />
T<br />
p<br />
p<br />
−<br />
=<br />
− +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
T T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
=<br />
− +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
̃γ ()<br />
T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z t R<br />
z t l<br />
P<br />
23 12 23<br />
2 23 2<br />
3<br />
0<br />
4 2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
0<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
ˆγ<br />
(A3.3.1)<br />
Klemmstelle 3<br />
Dieser Fadenversatz wird an Klemmstelle 3 weitergegeben,<br />
und analog zu Gl. (A3.2.2) ergibt sich<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
T<br />
P<br />
p<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
s<br />
T T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
12 23<br />
2 2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1 1<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
= + +<br />
( )<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
12<br />
23 4<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
R P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
()<br />
()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
23 2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() ()<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s l R P<br />
̃ ̃ ̃<br />
= + = + + +<br />
( )γ ()<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
MT<br />
p<br />
M<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
4 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=−<br />
= +<br />
γ<br />
T<br />
p<br />
P<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s T s l R<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
4 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
23 4<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
()<br />
= −<br />
= + + +<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ 2 4 2<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
s R s<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s R<br />
T<br />
p<br />
p<br />
−<br />
=<br />
− +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
T T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
=<br />
− +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
̃γ ()<br />
T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z t R<br />
z t l<br />
P<br />
23 12 23<br />
2 23 2<br />
3<br />
0<br />
4 2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
0<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
ˆγ<br />
(A3.3.2)<br />
Der Nullpunkt des mitbewegten<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
T<br />
P<br />
p<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
s<br />
T T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
12 23<br />
2 2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1 1<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
= + +<br />
( )<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
12<br />
23 4<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
R P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
()<br />
()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
23 2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() ()<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s l R P<br />
̃ ̃ ̃<br />
= + = + + +<br />
( )γ ()<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
MT<br />
p<br />
M<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
4 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=−<br />
= +<br />
γ<br />
T<br />
p<br />
P<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s T s l R<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
4 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
23 4<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
()<br />
= −<br />
= + + +<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ 2 4 2<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
s R s<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s R<br />
T<br />
p<br />
p<br />
−<br />
=<br />
− +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
T T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
=<br />
− +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
̃γ ()<br />
T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z t R<br />
z t l<br />
P<br />
23 12 23<br />
2 23 2<br />
3<br />
0<br />
4 2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
0<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
ˆγ<br />
-Systems bewegt sich<br />
in negativer Richtung gegenüber dem festen<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
T<br />
P<br />
p<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
s<br />
T T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
12 23<br />
2 2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1 1<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
= + +<br />
( )<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
12<br />
23 4<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
R P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
()<br />
()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
23 2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() ()<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s l R P<br />
̃ ̃ ̃<br />
= + = + + +<br />
( )γ ()<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
MT<br />
p<br />
M<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
4 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=−<br />
= +<br />
γ<br />
T<br />
p<br />
P<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s T s l R<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
4 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
23 4<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
()<br />
= −<br />
= + + +<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ 2 4 2<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
s R s<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s R<br />
T<br />
p<br />
p<br />
−<br />
=<br />
− +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
T T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
=<br />
− +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
̃γ ()<br />
T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z t R<br />
z t l<br />
P<br />
23 12 23<br />
2 23 2<br />
3<br />
0<br />
4 2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
0<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
ˆγ<br />
-System<br />
nach der Funktion<br />
̃z<br />
s<br />
R R T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
P<br />
p<br />
3<br />
0 2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1 1<br />
( ) ()=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ 2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1 1<br />
1<br />
()<br />
s<br />
R<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
T T s T<br />
p<br />
P<br />
p<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) + T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z s R s<br />
M<br />
p<br />
23<br />
2 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
4 2<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
() (<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
= +<br />
=− )<br />
()<br />
()<br />
( ) () ( ) ()<br />
( )<br />
̃ ̃ ̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
z z z s z R<br />
z<br />
s<br />
l<br />
T<br />
M<br />
p<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
4 2<br />
3<br />
0 23 12<br />
= + = −<br />
=<br />
− +<br />
γ<br />
T s T T s R<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
T T s<br />
p<br />
23 12 23<br />
2<br />
4<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1 1<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
=<br />
− +<br />
( )<br />
̃γ ()<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z<br />
s<br />
p<br />
12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
4<br />
0<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
(<br />
( )<br />
) = + − +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1<br />
1 1<br />
34<br />
23 12 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
12 23 12 2<br />
T s<br />
l T T s T T s R<br />
T T s T T<br />
p<br />
3<br />
2 2<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T<br />
T<br />
p<br />
̃γ ()<br />
= + − +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) − =<br />
+<br />
s<br />
T T s<br />
l<br />
s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
R<br />
T s<br />
p<br />
12 23<br />
2 23 2<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23<br />
4<br />
0<br />
1 2 ̃γ ()<br />
Ts<br />
(A3.3.3)<br />
Die Fadenabweichung auf Klemmstelle 3 relativ zum ruhenden<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
T<br />
P<br />
p<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
s<br />
T T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
12 23<br />
2 2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1 1<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
= + +<br />
( )<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
12<br />
23 4<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
R P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
()<br />
()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
23 2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() ()<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s l R P<br />
̃ ̃ ̃<br />
= + = + + +<br />
( )γ ()<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
MT<br />
p<br />
M<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
4 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=−<br />
= +<br />
γ<br />
T<br />
p<br />
P<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s T s l R<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
4 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
23 4<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
()<br />
= −<br />
= + + +<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ 2 4 2<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
s R s<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s R<br />
T<br />
p<br />
p<br />
−<br />
=<br />
− +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
T T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
=<br />
− +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
̃γ ()<br />
T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z t R P 23 12 23<br />
2 23 2<br />
3<br />
0<br />
4 2<br />
0<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
( )<br />
-System ist dann analog zu Gl. (A3.2.4)<br />
̃z<br />
s<br />
R R T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
P<br />
p<br />
3<br />
0 2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1 1<br />
( ) ()=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ 2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1 1<br />
1<br />
()<br />
s<br />
R<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
T T s T<br />
p<br />
P<br />
p<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) + T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z s R s<br />
M<br />
p<br />
23<br />
2 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
4 2<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
() (<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
= +<br />
=− )<br />
()<br />
()<br />
( ) () ( ) ()<br />
( )<br />
̃ ̃ ̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
z z z s z R<br />
z<br />
s<br />
l<br />
T<br />
M<br />
p<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
4 2<br />
3<br />
0 23 12<br />
= + = −<br />
=<br />
− +<br />
γ<br />
T s T T s R<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
T T s<br />
p<br />
23 12 23<br />
2<br />
4<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1 1<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
=<br />
− +<br />
( )<br />
̃γ ()<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z<br />
s<br />
p<br />
12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
4<br />
0<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
(<br />
( )<br />
) = + − +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1<br />
1 1<br />
34<br />
23 12 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
12 23 12 2<br />
T s<br />
l T T s T T s R<br />
T T s T T<br />
p<br />
3<br />
2 2<br />
34<br />
12 23 12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s<br />
s<br />
T s<br />
T T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T<br />
T<br />
p<br />
̃γ ()<br />
= + − +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
+ +<br />
( ) − =<br />
s<br />
T T s<br />
l<br />
s<br />
T T s T T s<br />
l<br />
R p 12 23<br />
2 23 2<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
23<br />
4<br />
0<br />
̃γ ()<br />
(A3.3.4)<br />
Einsetzen von Gl. (A3.3.2) ergibt<br />
̃z<br />
s<br />
T s<br />
R R T T s T T s<br />
T<br />
T<br />
P<br />
p<br />
4<br />
0<br />
34<br />
2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()= + + + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
= + + + +<br />
( ) +<br />
s<br />
T T s<br />
s<br />
R<br />
T s<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
p<br />
P<br />
p<br />
12 23<br />
2 2<br />
2<br />
34<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
1<br />
1 1<br />
̃γ ()<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) +<br />
= + +<br />
( )<br />
1<br />
1<br />
1<br />
12 23 12 23<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
12<br />
23 4<br />
T T s T T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s l<br />
R P<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
()<br />
()<br />
2<br />
3<br />
1<br />
23<br />
2<br />
1<br />
23 12<br />
23 2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
()<br />
() ()<br />
() ()<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z s T s T s l R P<br />
̃ ̃ ̃<br />
= + = + + +<br />
( )γ ()<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ()<br />
s<br />
z<br />
z<br />
z s R s<br />
z<br />
z z z<br />
MT<br />
p<br />
M<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
4 2<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
̃ ̃ ̃<br />
=−<br />
= +<br />
γ<br />
T<br />
p<br />
P<br />
s z R<br />
z<br />
s<br />
T s T s l R<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
4 2<br />
3<br />
0<br />
23 12<br />
23 4<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
( ) ()<br />
( )<br />
()<br />
()<br />
= −<br />
= + + +<br />
( )<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ 2 4 2<br />
3<br />
0 23 12 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
1<br />
() ()<br />
()<br />
( )<br />
s R s<br />
z<br />
s<br />
l T T s T T s R<br />
T<br />
p<br />
p<br />
−<br />
=<br />
− +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
12 23<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
s<br />
T s<br />
s<br />
T T s T T s<br />
R<br />
l<br />
T<br />
p<br />
( ) +<br />
( )<br />
=<br />
− +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
̃γ ()<br />
T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z t R<br />
z t l<br />
P<br />
23 12 23<br />
2 23 2<br />
3<br />
0<br />
4 2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
0<br />
( ) +<br />
→+<br />
( )=<br />
→∞<br />
( )=<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
3 2<br />
ˆγ<br />
(A3.3.5)<br />
Nach Umformung folgt das Ergebnis<br />
̃z<br />
s<br />
R R T T s T T s<br />
T s<br />
T s<br />
P<br />
p<br />
3<br />
0 2 3 12 23 12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1<br />
1 1<br />
( ) ()=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
̃γ 2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
12 23 12 23<br />
2<br />
12 23 12<br />
1 1<br />
1<br />
()<br />
s<br />
R<br />
R<br />
R<br />
T T s T T s<br />
T T s T<br />
p<br />
P<br />
p<br />
=<br />
+ + +<br />
( ) +<br />
( )<br />
+ +<br />
( ) + T s<br />
s<br />
z<br />
s<br />
T s z<br />
s<br />
z s R s<br />
M<br />
p<br />
23<br />
2 2<br />
4<br />
0<br />
34<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
4 2<br />
1<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
̃<br />
γ<br />
γ<br />
()<br />
() ()<br />
() (<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
= +<br />
=− )<br />
()<br />
()<br />
( ) () ( ) ()<br />
( )<br />
̃ ̃ ̃ ̃ ̃<br />
̃<br />
z z z s z R<br />
z<br />
s<br />
l<br />
T<br />
M<br />
p<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
3<br />
1<br />
4 2<br />
3<br />
0 23 12<br />
= + = −<br />
=<br />
− +<br />
γ<br />
T s T T s R<br />
T s<br />
T s<br />
s<br />
T T s<br />
p<br />
23 12 23<br />
2<br />
4<br />
12 23<br />
2<br />
12 23<br />
1 1<br />
1<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+<br />
( ) +<br />
( )<br />
=<br />
− +<br />
( )<br />
̃γ ()<br />
+<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
T T s<br />
R<br />
l<br />
T T s T T s<br />
l<br />
s<br />
z<br />
s<br />
p<br />
12 23<br />
2 4<br />
23<br />
12 23 12 23<br />
2 23 2<br />
4<br />
0<br />
1<br />
̃<br />
̃<br />
γ ()<br />
(<br />
( )<br />
) = + − +<br />
⎡( ) +<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
+ +<br />
( ) +<br />
1<br />
1 1<br />
34<br />
23 12 23 12 23<br />
2<br />
4<br />
12 23 12 2<br />
T s<br />
l T T s T T s R<br />
T T s T T<br />
p<br />
3<br />
2 2<br />
2 4<br />
s<br />
s<br />
R p ̃γ ()<br />
(A3.3.6)<br />
Wählen Sie einfach das Bezugsangebot,<br />
das Ihnen zusagt!<br />
Als<br />
· Heft das gedruckte, zeitlos-klassische Fachmagazin<br />
Als<br />
· ePaper das moderne, digitale Informationsmedium für<br />
Computer, Tablet oder Smartphone<br />
Als<br />
· Heft + ePaper die clevere Abo-plus-Kombination<br />
ideal zum Archivieren<br />
NEU<br />
Jetzt als Heft<br />
oder als ePaper<br />
erhältlich<br />
Die Referenzklasse für die<br />
Automatisierungstechnik<br />
Erfahren Sie auf höchstem inhaltlichem Niveau,<br />
was die Automatisierungsbranche bewegt. Alle<br />
Hauptbeiträge werden im Peer-Review-Verfahren<br />
begutachtet, um Ihnen maximale inhaltliche<br />
Qualität zu garantieren.<br />
Genießen Sie ein einzigartiges Lektüreerlebnis,<br />
das ausgezeichnete Layout und die exklusive<br />
Produktausstattung.<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong> erscheint in der Oldenbourg Industrieverlag GmbH, Rosenheimer Str. 145, 81671 München<br />
Alle Bezugsangebote und Direktanforderung<br />
finden Sie im Online-Shop unter<br />
www.<strong>atp</strong>-online.de<br />
Oldenbourg Industrieverlag<br />
www.<strong>atp</strong>-online.de
( 0) ()<br />
z z 1 ( 0) () 1<br />
P3<br />
2<br />
̃ 3<br />
= ̃3<br />
+ z̃<br />
M T3()<br />
s = z̃<br />
3<br />
−Rp4γ̃<br />
2<br />
1+ 1+ T12 + T23 s T12T23s<br />
2<br />
R R T T s T T s<br />
0<br />
( 0 1<br />
z̃ ) P2 + ⎡<br />
p3 1<br />
(<br />
̃z<br />
) 12 P<br />
T s T s l 23 R<br />
12 23<br />
3<br />
3<br />
()= s<br />
⎣ + ( + ) + ⎤<br />
Rp2<br />
⎦<br />
23 4<br />
1 +<br />
23<br />
1 +<br />
( ̃γ 2<br />
() s − R<br />
̃γ<br />
( 1+<br />
T p 4<br />
γ̃<br />
2<br />
() s<br />
12s) ( 1+<br />
T<br />
12<br />
z s<br />
P<br />
T s T s l R<br />
23s)<br />
2<br />
() s<br />
= Rp2<br />
γ̃<br />
s<br />
2 2()<br />
1+ ( T12 + T23 ) s+ T12T23s<br />
( 0)<br />
1 1<br />
2<br />
̃3<br />
() =<br />
23 4<br />
1 +<br />
R<br />
23<br />
1 +<br />
( + ) γ̃<br />
2<br />
() s − Rp<br />
4<br />
γ̃<br />
2<br />
() s<br />
l T T s T T s R<br />
P3<br />
2<br />
0 1 23<br />
− ⎡(<br />
(<br />
1+ ( 112<br />
+ ( T12 + T23 ) s+<br />
T12T23s<br />
)<br />
̃z<br />
) 12 23 12 23 p4<br />
4<br />
()= s<br />
⎣<br />
+<br />
+ ⎤<br />
( 0)<br />
z̃<br />
⎦<br />
4 ( t →+ 0)=<br />
0 ̃γ s<br />
R<br />
1<br />
p2<br />
2<br />
+<br />
2 2()<br />
hauptBeitRag<br />
( 0) 1T34s<br />
1+ ( T12 + T23<br />
)s+<br />
T12T23s<br />
= Rl − ⎡( T + T ) s+<br />
T T s R<br />
( 0 ) 23 12 23 12 23 p4<br />
z3<br />
() s =<br />
⎣<br />
⎤<br />
p2<br />
̃<br />
⎦ γ̃<br />
s<br />
2 2()<br />
z s<br />
1+ ( T12 + T23 ) s+ T12T s<br />
2<br />
̃γ<br />
2()<br />
s<br />
T s z ( 0)<br />
̃<br />
s<br />
4<br />
() = ̃3<br />
()<br />
1<br />
23<br />
+<br />
34<br />
( 0)<br />
R<br />
2 p4<br />
l − ⎡( T( 1<br />
+<br />
T12s) s( 1+<br />
T T<br />
23s<br />
(<br />
) s R<br />
0 ) 23 12 23 12 23 p4<br />
z3<br />
() s =<br />
⎣<br />
⎤<br />
̃<br />
⎦<br />
1− ⎡(<br />
̃γ<br />
2()<br />
s<br />
⎣ T + T z) ̃s+<br />
T T s ⎤<br />
12 23 4 ( t →∞<br />
12 23<br />
)<br />
⎦<br />
= l23γ2<br />
1<br />
l23<br />
( 1+<br />
T12s) ( 1+<br />
T23s)<br />
R<br />
= l s<br />
2 p4<br />
( 0) z s 1− ⎡(<br />
1<br />
⎣<br />
T12 + T23 ) s+<br />
T12T23s<br />
⎤<br />
⎦ Rl<br />
2 23 p4<br />
=<br />
T s − ⎡( z ( 0)<br />
̃<br />
s<br />
4<br />
() = ̃3<br />
()<br />
+<br />
2 23γ̃<br />
2()<br />
( 0)<br />
z̃<br />
M3() s =− 1 RTp4γ<br />
̃<br />
34s2(<br />
s)<br />
1+<br />
( 12 23 12 23<br />
2<br />
l T T s T T s R<br />
2<br />
1 +<br />
0 1 23<br />
− ⎡(<br />
(<br />
34<br />
T l ̃ s<br />
2 23γ2()<br />
12<br />
+ T23 ) s+<br />
T12T23s<br />
1⎣<br />
⎤<br />
̃z<br />
l T T<br />
0 1 23<br />
− ⎡( 12<br />
+<br />
(<br />
+ ( T12<br />
+ T23 ) s+<br />
12T23s<br />
⎦<br />
z̃<br />
) 23 ) ) 12 23 12 23 p4<br />
4<br />
() s =<br />
⎣<br />
s+<br />
T 12<br />
T 23<br />
s ⎤<br />
⎦<br />
Rp4<br />
4<br />
()= s<br />
⎣<br />
+ ) + ⎤<br />
⎦<br />
̃γ s<br />
l<br />
1 +<br />
2 2()<br />
T ̃γ<br />
2()<br />
s<br />
34s<br />
1+ ( T12 + T23<br />
)s+<br />
T<br />
23<br />
( 0)<br />
Die Grenzwerte = der Sprungantwort llauten<br />
̃<br />
12 +<br />
T<br />
T23s<br />
( 0) () 1 ( 0) () 1<br />
s<br />
2 23γ2()<br />
34s<br />
( 1+<br />
T12s) ( 1+<br />
T23s)<br />
z̃ 4<br />
( t →∞ ̃ ) ̃=<br />
l()<br />
23γ<br />
̃ ̃<br />
3<br />
= z3<br />
+ zM3<br />
s<br />
2= z3<br />
−Rp4γ<br />
2<br />
(A3.3.10)<br />
( 0)<br />
z̃<br />
s R1<br />
+ ̃( T12<br />
s + T23 ) s+<br />
T12T23s<br />
M3() =−<br />
p4γ<br />
2(<br />
)<br />
R<br />
2 p4<br />
1− ⎡( R<br />
2 p4<br />
( 0)<br />
⎣ T + T ) s+<br />
T T s ⎤<br />
12 23 12 23<br />
z̃<br />
3 ( t →+ 0)=<br />
RP<br />
4γ2<br />
(A3.3.7) Die Gln. (A3.3.10) 1<br />
⎦<br />
( 0( 0)<br />
) () 1 ( 0) () 1<br />
̃z̃3<br />
( t →+ z̃ 0z)=<br />
̃ () RsP<br />
4γ2z̃ R ̃<br />
3<br />
=<br />
3<br />
+<br />
M3<br />
=<br />
3<br />
−<br />
p4γ<br />
z s<br />
1 unterscheiden sich l 1− ⎡( 12<br />
1 von ⎣ T + T23 ) s+<br />
T T s ⎤<br />
23<br />
12 23<br />
Gln. (A3.3.6) ⎦<br />
= l<br />
( 0 )<br />
̃3<br />
()<br />
2 23 2<br />
2<br />
und<br />
1+ ( T12 + T23 ) + T12 l 2<br />
nur durch ein Glättungsglied. Daher<br />
= s<br />
l s<br />
23<br />
+<br />
2 23γ̃<br />
2()<br />
1l<br />
T− ⎡( sT<br />
γ̃<br />
() gibt Gl. (A3.3.6) Einblick<br />
in das Verhalten<br />
l s<br />
1 +<br />
2 23γ ̃<br />
2(<br />
( )<br />
34<br />
1+<br />
( T12 23 ) s+<br />
T12T23<br />
T<br />
s<br />
z̃<br />
0 34s<br />
1+ ( T12 + T23 ) s+<br />
T T s<br />
3<br />
() s =<br />
23 ⎣ + T 12 23 ) s+<br />
T T s ⎤<br />
12 23 ⎦ Rp4<br />
̃γ<br />
2()<br />
s<br />
12 23<br />
( 0)<br />
( 1+<br />
T des Systems.<br />
12s) ( 1+<br />
T23s)<br />
z̃<br />
3 ( t →∞)=<br />
l2<br />
3ˆγ<br />
2<br />
( 0)<br />
1<br />
( 0)<br />
2<br />
z̃<br />
=<br />
3 ( t →∞l<br />
)= − ⎡( l2T3 ˆγ<br />
2+<br />
T s T T s R<br />
(A3.3.8)<br />
( )<br />
z̃<br />
0 3<br />
() s =<br />
23 ⎣ 12 23 ) + ⎤<br />
z̃<br />
23 2<br />
12 23 ⎦ p4<br />
( 1+<br />
s) ( 1<br />
23s)<br />
l γ̃<br />
()<br />
Zunächst s 4<br />
( t →∞ )<br />
l<br />
=<br />
2<br />
bestätigt T der T Sonderfall s T s R<br />
0 1 23<br />
−<br />
l23γ<br />
( 0)<br />
R<br />
2<br />
2 p4<br />
1− ⎡ ⎡(<br />
(<br />
̃γ<br />
2()<br />
s<br />
̃z<br />
( 1+<br />
T12s) ( 1+<br />
T23s)<br />
) 12 23 23 p4<br />
4<br />
()= s<br />
⎣<br />
+ ) + ⎤<br />
⎣( T z̃<br />
4 ( t →+<br />
⎦<br />
0)=<br />
0<br />
12<br />
+ T23<br />
) s + T ⎤<br />
12T23s<br />
⎦ l23<br />
̃γ s<br />
1 +<br />
2 2()<br />
T=<br />
34s<br />
1+ ( T12 + T23<br />
)s+<br />
T s l s<br />
23<br />
( 0)<br />
Rp<br />
Klemmstelle 1− ⎡( T4<br />
2 4<br />
z s<br />
1<br />
2 23γ ̃<br />
2<br />
1+ ( T<br />
(<br />
⎣ 12<br />
+ T23<br />
)<br />
0 )<br />
12<br />
+ T23 ) s+<br />
T12T23<br />
̃3<br />
() =<br />
s + T T s ⎤<br />
2<br />
lz̃<br />
234<br />
( t →∞ R ) = l γ<br />
2 223 2 p4<br />
23 2<br />
12 23 ⎦<br />
Dieser = Fadenversatz wird geglättet l<br />
T12T23s + 1<br />
+ R− (<br />
p⎡( 4( T +<br />
12 T 23) s + − T = s 0<br />
23<br />
l ̃ auf s Klemmstelle 4<br />
⎣<br />
T12 + T ⎤<br />
12 23 ) s+<br />
T12T12 23s l s<br />
γ̃<br />
() s<br />
23<br />
2 23γ 2()<br />
1<br />
R<br />
⎦ l<br />
p4<br />
23 2<br />
wirksam: 1+ ( T12 + T23 ) s+<br />
T12T23s<br />
= 1<br />
l ̃ s<br />
1 +<br />
2 23γ2()<br />
( 0)<br />
T 34s<br />
1 l − ⎡(<br />
z̃<br />
1+<br />
( T12 ) s+<br />
23RT12T23s<br />
p2<br />
4<br />
= l23<br />
( 1+<br />
T12s) ( 1+<br />
T23s)<br />
l γ̃<br />
() s (A3.3.11)<br />
4<br />
( s) =<br />
⎣ + ) + ⎤<br />
23<br />
T12 T23 s T12T23s ⎦ Rp4<br />
̃γ +<br />
2 2()<br />
s<br />
1 T34s<br />
1+ ( T12 + T23 ) s+<br />
T12T2<br />
3s<br />
2<br />
T T<br />
− ⎡( + ) +<br />
( 0)<br />
1 l<br />
z̃<br />
4<br />
( s) =<br />
⎣<br />
⎤<br />
1<br />
23<br />
T12 T23 s T12T23s ⎦ R<br />
12<br />
+ ⎛<br />
23<br />
T12T23<br />
l ⎞<br />
( 0)<br />
23<br />
p4<br />
s12<br />
,<br />
= ⎜<br />
1± 1+<br />
4<br />
R ⎟<br />
2<br />
̃γ<br />
1 +<br />
2 2()<br />
s z̃<br />
−<br />
4<br />
( t →∞ ) =<br />
l23 T<br />
γ<br />
( 2T12 + Tp4<br />
23 ) s<br />
2<br />
12T<br />
1<br />
23<br />
⎜− ⎡( 12 23<br />
T34s<br />
1+ ( T12 + T23 ) s+<br />
T12T2<br />
3s<br />
( T( 0)<br />
T R<br />
12<br />
+<br />
12 23 e<br />
23 ) p4<br />
⎟<br />
2 ⎝<br />
l23<br />
z̃<br />
4<br />
() s ≈ ⎠<br />
+ T s l 23γ̃<br />
2<br />
die T12T23<br />
Gl. s + (4.2.11). R<br />
1<br />
⎣ T + T ) s+<br />
T T s ⎤<br />
⎦<br />
p4( T12 + T23<br />
) s − = 0<br />
l23<br />
= 1 l s<br />
34<br />
R<br />
1 +<br />
2 p4<br />
1− ⎡( T12 + T23 ) s+<br />
T12T23s<br />
1<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ l<br />
z̃<br />
0 3<br />
() s =<br />
1<br />
R<br />
2 23<br />
̃γ<br />
2()<br />
T34s<br />
1+ ( T12 + Tp<br />
23 4 ) s+<br />
T12T23s<br />
( )<br />
Interessant T ist l es, die Nullstellen 2 23 2<br />
23<br />
12 23 23<br />
= l s<br />
1 +<br />
2 23<br />
̃γ<br />
2()<br />
1+ ( T12 + T23 ) s><br />
+ 0T12T23s l γ̃<br />
() s Zählerpolynoms<br />
( 0) ( 0)<br />
2<br />
z̃3<br />
( t →∞)= z̃4<br />
( t →∞)=<br />
l23γ2<br />
T34s<br />
1+ ( T12 + T23<br />
) s+<br />
T12T23s<br />
( T<br />
R<br />
12<br />
+<br />
23 ) p4<br />
(A3.3.9) 1 T12 + 1T<br />
⎛<br />
23<br />
=<br />
23 2<br />
( 1+<br />
T12s) ( 1+<br />
T23s)<br />
l γ̃<br />
() s T T l ⎞<br />
2<br />
l23<br />
T 12 23 23<br />
s12<br />
12T ,<br />
= 23s + ( T12 + T⎜<br />
23 − ) 1s± − 1+<br />
4=<br />
0<br />
⎟ (A3.3.12)<br />
2<br />
2 T12T23<br />
⎜ Rp4<br />
( T T R<br />
12<br />
+<br />
23 ) p4<br />
⎟<br />
⎝<br />
Der stationäre 2 Endwert l23<br />
der Sprungantwort lautet<br />
T12T23s + ( T12 + T23<br />
) s− = 0<br />
4<br />
R<br />
1 T12 T23<br />
s R ⎠<br />
zu bestimmen. Diese lauten<br />
p<br />
− ( + )<br />
p4<br />
T<br />
1<br />
0)<br />
l23<br />
2z̃( + T<br />
T T s 3 R<br />
() s ≈<br />
l<br />
12T<br />
s l<br />
23<br />
T<br />
l ̃<br />
23γ2()<br />
s<br />
12 23<br />
2<br />
23<br />
p4( 12Ts<br />
1+<br />
+ T23<br />
( T) s<br />
12<br />
+ − T<br />
R23<br />
) s=<br />
0<br />
≈ e<br />
> 0<br />
2<br />
p4<br />
T<br />
( T T R<br />
12T+<br />
23 ) p4<br />
1+<br />
RefeRenzen<br />
s<br />
1−<br />
s<br />
2 Ts<br />
2<br />
≈ e<br />
T<br />
Rp4 = l23<br />
1−<br />
s<br />
1 T12 + T ⎛<br />
23<br />
T12T23<br />
l ⎞<br />
4<br />
23<br />
2<br />
s12<br />
,<br />
= 1⎜<br />
1 12 ± 1 + 234s R p<br />
− ( T )<br />
⎟<br />
2<br />
2 0<br />
z<br />
T)<br />
12T23<br />
⎜<br />
1 T<br />
( 0 12<br />
T23<br />
s<br />
T12 + T ̃<br />
)<br />
23<br />
3<br />
() − ( 12<br />
+ T<br />
[1] Brandenburg, g.: Über das Verhalten durchlaufender<br />
[10] Campbell, 23<br />
+ ) ( Tl<br />
23 T R<br />
12<br />
+<br />
) p4<br />
⎟<br />
̃(<br />
3<br />
() s ≈ 1<br />
⎝<br />
+ D. p.: s process Dynamics. new York,<br />
l ̃ () ⎠<br />
12 23<br />
23 2()<br />
1+<br />
s<br />
+ ( T<br />
( 0<br />
2<br />
2 T<br />
z<br />
12 T<br />
̃<br />
) 23<br />
3<br />
() s ≈<br />
l ̃<br />
23γ<br />
2<br />
≈ e<br />
− ( + )<br />
12<br />
+ T23<br />
) s l 23γ<br />
γ̃<br />
s<br />
s<br />
( 0<br />
1+ ( T2<br />
2 T<br />
+ T ) s<br />
12 T<br />
z̃<br />
) 3<br />
s ≈<br />
l23 2<br />
≈ e<br />
− ( + ) 23 s<br />
<strong>elastischer</strong> Stoffbahnen bei Kraftübertragung durch<br />
() John Wiley & Sons, γ̃<br />
inc. 1958. Chapter l23γ̃<br />
3: forming,<br />
2<br />
Coulomb'sche Reibung in einem System angetriebener,<br />
propulsion, T12 + T23<br />
1−<br />
and s guidance. Section 8: Web guidance,<br />
s<br />
umschlungener Walzen. Dr.-ing.-Diss. l ̃<br />
23γ<br />
th München 1971 T T pp. l 152-156 2<br />
2<br />
12 23 23<br />
T12 + T > 0<br />
[2] Brandenburg, 23<br />
1−<br />
s g.: ein mathematisches Modell für eine R[11] p4 2=<br />
Shelton, l<br />
T T R23<br />
J.J.: a simplified model for lateral behaviour<br />
p<br />
2<br />
( 12<br />
+<br />
23 ) 4<br />
durchlaufende elastische Stoffbahn in einem System<br />
T<br />
1+<br />
of s short − 2( T12web + T23<br />
) sspans. proc. of the 6th int. Conf. on Web<br />
( 0 e<br />
angetriebener, umschlungener Walzen. Regelungstechnik z̃<br />
) 2 Ts<br />
4<br />
()≈ shandling ≈ e<br />
−<br />
− 2( T12 + T23<br />
) s<br />
( 0 T 1<br />
12<br />
( 0 e<br />
z̃<br />
z̃<br />
) 4<br />
()≈ s<br />
l ̃<br />
1−<br />
) s<br />
4<br />
23γ<br />
1<br />
2<br />
1+<br />
T34s<br />
2 T12 T23<br />
s R T23<br />
s<br />
3<br />
() s ≈ − ( (iWeB) + l23 ) γ̃<br />
2001. 2 Web handling Research<br />
1+<br />
T34s<br />
und prozeßdatenverarbeitung 21 (1973), h. 3, S. 69-77; h. 4, Center, Oklahoma p State<br />
23 2()<br />
− ( 1<br />
+ ( T)<br />
12<br />
+ T23<br />
) s l γ̃<br />
univ., s Stillwater, Oklahoma uSa.<br />
S. 125-130; h. 5, S. 157-162<br />
paper 31<br />
0)<br />
l23<br />
z̃( [3] Brandenburg, g.; tröndle, h.-p.: Das Verhalten durchlaufender<br />
<strong>elastischer</strong> Stoffbahnen bei ortsabhängiger Verteilung T <strong>elastischer</strong> T12 + und T visko<strong>elastischer</strong> Stoffbahnen zwischen<br />
3<br />
() s ≈[12] tröndle, h..p.: zum l ̃<br />
23γdynamischen 2()<br />
s Verhalten transportierter<br />
1+ ( T12 + T23<br />
) s<br />
23<br />
von elastizitätsmodul, Querschnitt und Dichte. Siemens 1+<br />
s 1+<br />
s<br />
( 0<br />
z̃<br />
) aufeinanderfolgenden 2<br />
3<br />
()<br />
2 Klemmstellen.<br />
T12 T23<br />
s<br />
s<br />
Ts<br />
l ̃<br />
23γ2 ≈ e − ( + ) Dr.-ing. Diss. tu<br />
l ̃<br />
23γ<br />
forschungs- und entwicklungsberichte 4 (1975) nr. 6, S. R<br />
2<br />
p4 = l ≈ e<br />
−<br />
23 T München T 1973<br />
12<br />
+ T23<br />
359-367<br />
1−[13] Sievers, s 1−<br />
L., s<br />
2 2<br />
Balas, M. J., flotow, a.: Modeling of web<br />
[4] Brandenburg, g.: Verallgemeinertes prozeßmodell für<br />
1 T<br />
( 0 12<br />
T23<br />
s<br />
z̃<br />
) 3<br />
() s ≈ − conveyance ( + )<br />
system for multivariable control. ieee trans.<br />
fertigungsanlagen mit durchlaufenden und anwendung auf autom. Control,<br />
Rp4<br />
= l<br />
2()<br />
1+ ( T23<br />
12 23 ) s l γ̃<br />
vol.<br />
T s 33, no. 6, pp. 524-531, Jun. 1988<br />
antrieb und Registerregelung bei Rotationsdruckmaschinen.<br />
habilitationsschrift, technische universität München, ( 0<br />
[14] Young, 12<br />
+ T23<br />
1+<br />
g. e., Shelton, s J. J., fang, B.: interaction of web span:<br />
z̃<br />
) 3<br />
()<br />
2<br />
T12 T23<br />
s<br />
s part ≈ i – Statics. trans. l ̃<br />
23γ2 ≈aSMe, e − ( + J. ) Dyn. l ̃<br />
23γSyst. Meas. Control,<br />
2<br />
1976<br />
Vol. T ( 12<br />
+ T<br />
12 + T23<br />
) s 23<br />
T 1111, ( 0 e−<br />
no. 3, pp. s 490-496, Sept. part ii – Dynamics. trans.<br />
[5] Brandenburg, g.: prozeßmodelle für durchlaufende 1+<br />
s z̃<br />
) s ≈<br />
+ T s l ̃<br />
4<br />
() aSMe, J. Dyn. 2 Syst.<br />
23γ2<br />
Meas. Control, Vol. 111, no. 3, 1989. pp.<br />
2 Ts<br />
≈ e<br />
− 1<br />
elastische <strong>Bahnen</strong> in kontinuierlichen fertigungsanlagen. 497-504, Sept. 34 1989<br />
T<br />
VDi-Berichte nr. 276, 1977, S 241-256<br />
1−<br />
s 2<br />
R[15] p4<br />
= Young, l g. e., Shelton, J. J., Kardamilas, C. : Modeling and<br />
23<br />
[6] Olsen, J. e.: Lateral mechanics of an imperfect web. proc. of control of multiple web span using state estimation. trans.<br />
the 6th int. Conf. on Web handling (iWeB) 2001. Web<br />
aSMe, J. Dyn. Syst. Meas. Control, Vol. 111, no. 3, pp.<br />
− +<br />
T12 +<br />
( T12 T23<br />
) s<br />
handling Research Center, Oklahoma State univ., Stillwater,<br />
( 0 e 23<br />
z̃<br />
1<br />
) 505-510, Sept.<br />
+ s ≈ s<br />
( 0<br />
z̃<br />
) 3<br />
()<br />
2<br />
T12 T23<br />
s<br />
s ≈ + T s l 1989<br />
̃<br />
4<br />
()<br />
23γ<br />
Oklahoma uSa. paper 30<br />
[16] Shelton, 2<br />
1 J.J.; Reid, K.n.:<br />
l ̃<br />
23γ2 ≈ e − ( + Lateral ) and longitudinal dynamic<br />
34<br />
l ̃<br />
23γ2<br />
[7] Shelton, J.J.: Lateral dynamics of a moving web. ph.D.<br />
behaviour T12 + T and control of moving webs. trans. aSMe, Journal<br />
23<br />
1−<br />
s<br />
dissertation, Oklahoma State univ., Stillwater, OK, 1968<br />
of Dynamic 2 Systems, Measurement, and Control, vol. 115,<br />
[8] Shelton, J.J.; Reid, K.n.: Lateral dynamics of a real moving no. 2, pp. 309-317, Jun. 1993<br />
web. transactions of the aSMe, Sept. 1971, pp. 180-186 [17] Young, g. e., Reid, K. n.: Lateral and longitudinal dynamic<br />
Rp4<br />
= l<br />
[9] Shelton, J.J.; Reid, K.n.: Lateral dynamics of an idealized<br />
23<br />
behavior and control of moving webs. Journ. of Dyn.<br />
moving web. Journal of Dynamic Systems, Measurement, Systems, Measurement and Control, trans. of the aSMe,<br />
and Control Sept. 1971, pp. 187-192<br />
− ( T12 + T23<br />
) s<br />
( 0 e<br />
June 1993, Vol. 115, pp. 308-317<br />
z̃<br />
) s ≈<br />
+ T s l ̃<br />
4<br />
()<br />
23γ2<br />
1<br />
34<br />
( ( ) + )<br />
36<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
1<br />
0 34<br />
12 233<br />
12 23<br />
( ) +<br />
( )<br />
z<br />
3<br />
()<br />
s<br />
2 23 2<br />
1<br />
0 23<br />
2 p4<br />
( )<br />
̃ ()<br />
3<br />
() =<br />
2 23 2<br />
1+ ( T12 + T23 ) s+<br />
T12T23s l 1<br />
s + T12 + T23 s T12T23s<br />
1− γ̃<br />
()<br />
⎣ T12 + T23<br />
s T ⎤<br />
12T23s<br />
⎦ 2<br />
( 0)<br />
( 0)<br />
1<br />
23 2<br />
()<br />
=<br />
23 2<br />
1<br />
=<br />
23 2<br />
( 1+<br />
T12s) ( 1+<br />
T23s)<br />
l γ̃<br />
() s ( 1+<br />
T12s) ( 1+<br />
T23s)<br />
l s<br />
( 0)<br />
⎡(<br />
z̃<br />
4( 0)<br />
( t →∞ ) = l23γ2<br />
̃γ ()<br />
4<br />
→∞ 23 z̃<br />
4<br />
( t →∞ ) = l23γ<br />
2<br />
4<br />
23 23 l12 23<br />
2<br />
p4<br />
=<br />
( 0)<br />
l − ⎡( ̃γ<br />
2<br />
2()<br />
z̃ 4<br />
( s) =<br />
⎣<br />
) + ⎤<br />
23<br />
T12 23<br />
s T12Tl<br />
23s ⎦<br />
4<br />
1<br />
T 12 T 23 23<br />
s R s<br />
2 23γ ̃<br />
2<br />
()<br />
p<br />
1+ ( T12 + T23 ) s+<br />
T12T− 23( s + ) ̃γ +<br />
2 2()<br />
s<br />
1 T34s<br />
1+ 0( ) T12 + T23 ) s+<br />
T12T2<br />
3s<br />
l23<br />
z<br />
( 0 )<br />
s<br />
1<br />
z̃( 3<br />
() s ≈<br />
3<br />
()<br />
z s<br />
2 23 2<br />
2<br />
l23<br />
12 23 12 2<br />
23 T ()<br />
1<br />
l23γ̃<br />
2()<br />
s<br />
( 0 )<br />
̃<br />
( 0 )<br />
3<br />
() =<br />
̃3<br />
() = 2 23 2<br />
1+ 2 23 2<br />
1+ ( T12 + T23 ) s+<br />
T12T23s l ̃<br />
( T<br />
γ () s<br />
12<br />
+ T23 ) s+<br />
T12T23s l s<br />
2 p4<br />
γ̃<br />
()<br />
⎡( 12 23 1<br />
+ (<br />
12 T12 23<br />
+<br />
T23<br />
R)<br />
s<br />
2 2<br />
1− ⎡( 12 23 12 23<br />
23<br />
1<br />
⎣ T + T ) s+<br />
T s ⎤<br />
( 0)<br />
1 l − ⎡(<br />
z̃<br />
⎦ l<br />
T s R T s<br />
23<br />
T12 T23<br />
2<br />
s Rp4 T12 T23<br />
s<br />
l<br />
12 23<br />
p4( 12<br />
+<br />
23 ) − = 0<br />
2 23<br />
̃γ 4<br />
( s) =<br />
⎣ + ) + ⎤<br />
23<br />
T12 T23 s T12T23s ⎦ Rp4<br />
23<br />
̃γ<br />
= +<br />
2 2()<br />
s<br />
1 T<br />
1<br />
23<br />
12 23<br />
= +<br />
p4( +<br />
23 ) − = 0<br />
R<br />
p4<br />
Rp4<br />
23p<br />
4 2<br />
12 23<br />
1<br />
23=<br />
2<br />
()<br />
23 2<br />
( 1+<br />
T12s) ( 1+<br />
T23s)<br />
l ̃<br />
( 1+<br />
T<br />
γ () s<br />
12s) ( 1+<br />
T23s)<br />
l s l s<br />
23<br />
̃<br />
1 +<br />
2 23<br />
̃γ 34s<br />
1+ T<br />
γ ()<br />
34s<br />
1+ R( ( T12 + T23 pT4 =<br />
12<br />
+ lT23<br />
)<br />
) s+<br />
T12T2<br />
3s<br />
s+<br />
T12T23s<br />
R<br />
2 p4<br />
1− ⎡( 12 23<br />
2<br />
23<br />
1 T T<br />
12<br />
+ ⎛<br />
23<br />
23<br />
23<br />
T12T23<br />
l ⎞<br />
12 l<br />
1 T<br />
2<br />
0 23<br />
12<br />
T23<br />
s<br />
T 23<br />
,<br />
1 T12 + T23<br />
⎛ s<br />
T12T23<br />
l<br />
⎞<br />
12 ,<br />
= ⎜<br />
12T23s +<br />
− 1± 1+<br />
4<br />
⎟<br />
( 12<br />
+ T23<br />
) s− z̃<br />
) 3<br />
() s = ≈ 0<br />
− ( 12 23<br />
1<br />
⎣ T + T ) s+<br />
T T s ⎤<br />
⎦<br />
+ ) l23<br />
=<br />
l<br />
p4<br />
23 2()<br />
2<br />
23<br />
s<br />
2<br />
2<br />
12 23<br />
12 (A3.3.13)<br />
12 ,<br />
= 2 ⎜ − 1± 1+<br />
4<br />
2<br />
23 2 T ⎟<br />
2 T T<br />
23<br />
2<br />
12 ⎜<br />
l<br />
R<br />
T12T23s + Rp4( T12 + T23<br />
23<br />
( T T R<br />
12<br />
+<br />
23 ) p4<br />
⎟<br />
12 23<br />
p4 12 p4<br />
12 23<br />
⎜<br />
T) s<br />
23<br />
12 T− 23s + =<br />
R0<br />
p4<br />
1 T12 T23<br />
s l l<br />
s s<br />
1 +<br />
2 23<br />
̃γ<br />
2()<br />
T γ̃<br />
34s<br />
1+ ( T12 + T23<br />
) s+<br />
T12T23s<br />
+ ( + )<br />
p<br />
4( T12 + T23<br />
) s<br />
( T T Rp<br />
12<br />
+<br />
23 ) 4<br />
⎟ ⎝<br />
− = 0 und mit Hilfe der Padé-Approximation<br />
Rp4<br />
⎠<br />
⎝<br />
Rp4<br />
p4<br />
⎠<br />
Da immer gilt<br />
2<br />
l23<br />
T T<br />
12T 23s +<br />
1+<br />
( T12 + T23<br />
) s− = 0<br />
Ts 1+<br />
T12 T23<br />
T12T23<br />
l<br />
T<br />
23<br />
1 12<br />
+ lT<br />
⎛<br />
23 23<br />
12 23<br />
> 0<br />
2<br />
23<br />
2<br />
1 TT12 23<br />
12 > 0<br />
23<br />
2<br />
( 12 T Rp<br />
p4<br />
12<br />
+ 23<br />
23 )<br />
12<br />
+ T23<br />
⎛ l ⎞<br />
R s<br />
23<br />
23<br />
T12T23<br />
l ⎞<br />
2 Ts<br />
≈ e<br />
2<br />
p4<br />
Ts<br />
≈ e<br />
−<br />
s12<br />
,<br />
= ⎜ − 1± 23<br />
23 4<br />
12<br />
( T,<br />
T R<br />
s 1+<br />
12 ,<br />
= 4 ⎜ ⎟<br />
2<br />
− 1± 1+<br />
4<br />
⎟<br />
T<br />
T (A3.3.17)<br />
2<br />
12<br />
+<br />
2 T12T23<br />
⎜<br />
23<br />
)<br />
p4<br />
2<br />
(A3.3.14)<br />
12 23<br />
2( TT TT<br />
12 12 23<br />
⎜ R<br />
12<br />
+<br />
23 ) p4<br />
⎟<br />
1−<br />
⎝<br />
23<br />
p4<br />
( T T R<br />
12<br />
+<br />
23 ) p4<br />
⎟<br />
s<br />
1−<br />
s<br />
⎝ ⎠<br />
⎠ T2<br />
2<br />
folgt 1+<br />
s 2<br />
liegt einer dieser Wurzeln<br />
4<br />
12 p<br />
4<br />
1 T<br />
( 0)<br />
12<br />
T23<br />
s R in der linken, die andere in der<br />
4<br />
rechten s-Halbebene: p<br />
− ( + )<br />
Das System 1ist Talso 12<br />
Tallpasshaltig.<br />
23<br />
s R Ts<br />
≈ e<br />
p<br />
12 23<br />
T12T23<br />
l<br />
T<br />
23<br />
− ( + )<br />
12 23<br />
> 0 T12T23<br />
l<br />
1<br />
23<br />
(<br />
−0<br />
s<br />
T<br />
2 23<br />
Für 0)<br />
l<br />
2 T 12 T 23<br />
23<br />
z3<br />
0)<br />
() große 2 Zeiten, > 0<br />
T T R also l23kleine<br />
z̃( 2<br />
3<br />
23 2<br />
( p<br />
2<br />
̃(<br />
3<br />
() s ≈<br />
23<br />
l ̃3<br />
() s, ≈kann Gl. (A3.3.6) folgendermaßen<br />
12 23<br />
( T T Rp<br />
p4<br />
12<br />
l ̃<br />
12<br />
+<br />
23 )<br />
) 12<br />
+ T T<br />
23<br />
()<br />
1 s<br />
− ( 12<br />
+ T + ) 23<br />
+<br />
1+<br />
s<br />
s<br />
( 0 2<br />
2<br />
4<br />
23γ2()<br />
s<br />
23γ2()<br />
s +<br />
) 4<br />
12 2<br />
2 T<br />
12 T<br />
z̃<br />
3<br />
s<br />
23<br />
23<br />
1+ T12 + T23<br />
s<br />
1genähert + ( T12 + T werden:<br />
23 )<br />
( )<br />
) ( 0<br />
≈<br />
l ̃<br />
12 23<br />
23 2<br />
e<br />
− ( + ) s<br />
() z̃<br />
) γ<br />
l ̃<br />
3<br />
()<br />
2<br />
T12 T23<br />
s<br />
s ≈<br />
23γ<br />
l<br />
2 23γ̃2 ≈ e − ( (A3.3.18)<br />
+ ) l23γ̃2<br />
T + T T<br />
s<br />
1−<br />
s<br />
12<br />
+ T23<br />
1−<br />
s<br />
T 2<br />
2<br />
Rp4 4<br />
23<br />
p4 = l<br />
Rp4 = l23<br />
23<br />
12 23<br />
4<br />
1 T 4<br />
p<br />
1 T12 T23<br />
s R p<br />
12<br />
T23<br />
s R 12<br />
+ T23<br />
1+<br />
s<br />
p<br />
− ( + )<br />
Der ( 0 Fadenversatz − 2<br />
12 + T23<br />
s<br />
− ( +<br />
( 2)<br />
auf Walze 23 T 12 verhält T sich für den ausgezeichneten<br />
)<br />
z̃<br />
) 3<br />
s ≈<br />
0)<br />
l<br />
( 0<br />
l<br />
23<br />
z̃( 0<br />
0)<br />
)<br />
l23<br />
3<br />
() s ≈<br />
23<br />
̃(<br />
3<br />
() z̃( 3<br />
() s l<br />
≈<br />
̃<br />
23γ2()<br />
s<br />
) 23 2<br />
≈ e<br />
− ( + ) 23 s<br />
() γ̃<br />
l23γ̃<br />
2<br />
2( 12 + T23<br />
) s<br />
4<br />
()≈<br />
e<br />
TPunkt<br />
( 0<br />
R<br />
2<br />
1+ T ()<br />
( 0 12 ) 3<br />
() 1<br />
T 23 2<br />
l ̃<br />
( 23γ2()<br />
(A3.3.15) s<br />
12<br />
+ T23<br />
) s<br />
z̃<br />
4<br />
s<br />
l ̃<br />
23γ<br />
2<br />
( 0 12<br />
T23<br />
s<br />
z̃<br />
) 23 2()<br />
3<br />
() s ≈ − ( 12 + )<br />
23<br />
1+ ( T12 1 T<br />
23 2()<br />
1+ ( T12 + T23<br />
) s l γ̃<br />
s<br />
( 0 12<br />
T23<br />
s<br />
z̃<br />
) 3<br />
() s ≈ − +<br />
( T23<br />
)<br />
) 12<br />
+ T23<br />
p4<br />
= l für große Zeiten wie ein Totzeitglied.<br />
+ )<br />
1<br />
23<br />
()≈<br />
1−<br />
s<br />
s<br />
Der<br />
+ T<br />
Fadenversatz 2<br />
34s<br />
auf Walze 4 lautet demgemäß<br />
23 2()<br />
1+ ( T12 + T23<br />
) s l γ̃<br />
s<br />
− ( T12 + T23<br />
) s<br />
− 2( T ( 0 e<br />
12 + T23<br />
) s<br />
Ist Rp4 außerdem = l<br />
e z<br />
) s ≈<br />
23<br />
p4 noch Rp4 = l23, so wird<br />
+ T s l ̃<br />
4<br />
()<br />
23γ<br />
( 0<br />
2<br />
z̃<br />
) 4<br />
()≈ s<br />
l ̃<br />
23γ<br />
2<br />
1<br />
34<br />
(A3.3.19)<br />
23<br />
1+<br />
T s<br />
2 23 2<br />
T 1<br />
T<br />
1+<br />
s<br />
Ts<br />
1+<br />
s<br />
( 0 2 Ts<br />
e<br />
− 12 23<br />
2 Ts<br />
) ≈ e<br />
−<br />
3<br />
() T 1 T<br />
( 0<br />
23 2()<br />
T 1 s<br />
12 23<br />
12<br />
T23<br />
s<br />
z̃<br />
) 3<br />
() s ≈ − ( + )<br />
( 0 12<br />
T23<br />
s<br />
z̃<br />
) 3<br />
() s ≈ − ( + )<br />
23 2()<br />
1 T 23 2()<br />
1 TT12 T23<br />
s l γ̃<br />
s<br />
12<br />
T23<br />
s l γ̃<br />
s<br />
(A3.3.16)<br />
+ ( + ) + ( + )<br />
−<br />
1−<br />
s<br />
2<br />
2<br />
T<br />
1+<br />
s<br />
T 2<br />
1+<br />
Ts<br />
s<br />
≈ e<br />
−<br />
Ts T12 + T23<br />
2<br />
T<br />
( 0<br />
1+<br />
) 3<br />
()<br />
s<br />
T12 T23<br />
s<br />
z̃<br />
− +<br />
12<br />
+ T23<br />
−<br />
Ts<br />
T ≈ e<br />
−<br />
1<br />
1 s<br />
( −<br />
+<br />
0 ) s<br />
23 2<br />
3<br />
()<br />
2<br />
T<br />
T12 T23<br />
s<br />
s ≈<br />
l ̃<br />
23γ<br />
≈ ez<br />
̃<br />
− ( ( 0 ) + ) l ̃<br />
23γ2<br />
T12 + T23<br />
1−<br />
3<br />
()<br />
2<br />
T12 T23<br />
s<br />
2<br />
1−<br />
s s ≈<br />
l γ̃<br />
≈ e − ( + ) l γ̃<br />
2<br />
T s<br />
12<br />
+ T23<br />
1−<br />
s<br />
[18] f orrest Jr., a. 2 W.: the lateral response und 2control of<br />
T12 + T<br />
a multi-span 23<br />
1+<br />
12 web 23 s system to dynamic T12 + Tchanges 23 to the<br />
Rp4<br />
( 1+<br />
( 0<br />
s<br />
z̃<br />
) p<br />
0<br />
4<br />
) ( 0<br />
= l23<br />
Rp4<br />
= l<br />
3<br />
()<br />
T12 23 s<br />
z̃<br />
23 ) 2 − ( + )<br />
3<br />
()<br />
2<br />
T12 T23<br />
s<br />
3<br />
()<br />
2<br />
T12 T23<br />
s<br />
web s ≈and conveyance l hardware.<br />
23γ̃2s<br />
≈≈e − ( + proc. ) l of<br />
23γ̃<br />
the 6th int.<br />
23<br />
l23γ̃2 ≈ e − ( Conf.<br />
2<br />
+ ) l ̃<br />
23γ2<br />
on Web<br />
T12 T23<br />
2<br />
1−handling +<br />
12 (iWeB) T12 + T23<br />
23 s 2001. Web handling Research<br />
1−<br />
s<br />
Center, Oklahoma 2 State univ., Stillwater,<br />
− T12 + T23<br />
s<br />
( 0<br />
) − ( 2 Oklahoma uSa.<br />
T12 + T23<br />
) s<br />
z<br />
4<br />
( 0 () e<br />
̃<br />
) paper 33.<br />
s ≈<br />
23 2<br />
+ T34s l<br />
− ( T12 + T23<br />
) s<br />
̃<br />
4<br />
()<br />
23γ<br />
( 0 e<br />
[19] 2<br />
R p 1<br />
z̃<br />
) s ≈<br />
34<br />
+ T s l ̃<br />
4<br />
()<br />
23γ<br />
p4<br />
= agilla, l p. R.; Dwibedula, R. V. et al.: Lateral control<br />
23<br />
2 of a<br />
1<br />
p4<br />
Rp4<br />
= l23<br />
web 23using estimated velocity feedback. proc. 34 of the 6th int.<br />
Conf. on Web handling (iWeB) 2001. Web handling<br />
− ( T12 + T23<br />
) s<br />
−<br />
− ( T12 + T23<br />
)<br />
( T + T ) s<br />
( 0 e s<br />
12 23<br />
z̃<br />
) Research Center,<br />
( 0<br />
s ≈<br />
) ( 0 e<br />
4<br />
() + T s l Oklahoma State univ.,<br />
4<br />
()<br />
23γ̃<br />
2<br />
1<br />
23 z̃<br />
) s ≈<br />
2<br />
+ T s l<br />
Stillwater,<br />
Oklahoma uSa. paper ̃<br />
4<br />
() 34.<br />
23γ2<br />
34<br />
1<br />
34<br />
[20] Shin, K.-h., 34Kwon, S.-O. et al.: feedforward control of the<br />
lateral position of a moving web using system identification.<br />
ieee trans. on industry applications, Vol. 40, no. 6,<br />
november/ December 2004<br />
[21] Shin, K.-h., Kwon, S.-O.: the effect of tension on the<br />
lateral dynamics and control of a moving web. ieee trans.<br />
on industry applications, Vol. 43, no. 2, March/april 2007<br />
[22] Brandenburg, g.: Vereinfachtes prozessmodell für das<br />
Seitenkantenverhalten durchlaufender, <strong>elastischer</strong><br />
<strong>Bahnen</strong>. tagungsband SpS/ipC/DRiVeS 2010, nürnberg<br />
2010, S. 95-110<br />
[23] Kessler, g.: Das zeitliche Verhalten einer kontinuierlichen<br />
elastischen Bahn zwischen zwei aufeinanderfolgenden<br />
Walzenpaaren. Regelungstechnik 8(1960), S. 436-439 und<br />
9(1961), S. 154-159<br />
[24] Szaó, i.: einführung in die technische Mechanik. Berlin,<br />
göttingen, heidelberg: Springer-Verlag 1954<br />
[25] Bestemann, p. g. J.; Limpens, C. h. L.; Babuska, R.; Otten,<br />
B. J.; Verhaegen, M.: Modeling and identification of a Strip<br />
guidance process with internal feedback. ieee trans. of<br />
Cotrol System technology, Vol. 6, nO. 1, Jan. 1998, pp.<br />
88-102<br />
23 2 23 2<br />
⎡( ) +<br />
34<br />
autOR<br />
ManuSKRipteingang<br />
04.08.2010<br />
Im Peer-Review-Verfahren begutachtet<br />
univ. PROf. i. R.<br />
DR.-inG. HABiL. GünTHER<br />
BRAnDEnBuRG (geb. 1935)<br />
studierte Elektrotechnik an<br />
der Technischen Universität<br />
München und war anschließend<br />
sechs Jahre Entwicklungs-<br />
und Projektierungsingenieur<br />
bei Siemens in<br />
München und Erlangen. 1971 promovierte er am<br />
Lehrstuhl für Elektrische Antriebstechnik der<br />
TU München, erwarb mit der Habilitation 1976<br />
die Lehrbefähigung für „Sondergebiete der<br />
elektrischen Antriebstechnik“ und wurde 1978<br />
zum Universitätsprofessor ernannt. Seit 1990<br />
war er am Institut für Mechatronik der TU München<br />
tätig und trat 2001 in den Ruhestand. Er<br />
befasste sich in Lehre und Forschung mit der<br />
Technologie und Antriebstechnik von elektrisch-mechanischen<br />
Systemen, speziell von<br />
Rotationsdruckmaschinen und Hochpräzisions-<br />
Werkzeugmaschinen. Seit 2001 übt er eine<br />
beratende Tätigkeit auf dem Gebiet der Mechatronik,<br />
insbesondere der Fertigungsanlagen mit<br />
durchlaufenden <strong>Bahnen</strong>, mit dem Schwerpunkt<br />
Druckmaschinen aus.<br />
Technische universität München,<br />
institut für Mechatronik,<br />
Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik,<br />
Boltzmannstr. 15, D-85748 Garching,<br />
Tel. +49 (0) 89 28 91 51 95,<br />
E-Mail: Brandenburg@tum.de<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
37
HAuPTbeITRAg<br />
WIA-PA: A New Standard for<br />
Wireless Communication<br />
Specification and Application Examples<br />
The paper provides background and challenges of industrial wireless technology and<br />
summarizes the present state of standardization. It introduces characteristics of WIA-PA,<br />
a specification for industrial wireless networks for process automation, and its network<br />
composition, network topology and protocol stack architecture. WIA-PA is currently subject<br />
of international standardization. Furthermore, a comparison between WIA-PA and<br />
the other main industrial wireless network specifications, WirelessHART and ISA100.11a,<br />
is provided. Finally, four applications are presented.<br />
KEYWORDS Wireless Communication / Process Automation / WIA-PA / WirelessHART /<br />
ISA100.11a<br />
WIA-PA: ein neuer Standard für drahtlose Kommunikation –<br />
Spezifikation und Anwendungen in der Prozessautomation<br />
Der Beitrag beschreibt den Hintergrund und die Herausforderungen an die industrielle<br />
drahtlose Kommunikation und fasst den Normungsprozess zusammen. Es werden Eigenschaften<br />
von WIA-PA, eine Spezifikation für industrielle drahtlose Netzwerke in der<br />
Prozessautomation, vorgestellt und in deren Netzwerkaufbau, die Netzwerktechnologie<br />
und den Protokoll-Stack eingeführt. WIA-PA ist zur Zeit Gegenstand der internationalen<br />
Normung. Weiterhin wird WIA-PA mit den anderen beiden wichtigen Spezifikationen auf<br />
diesem Gebiet, WirelessHART und ISA100.11a, verglichen. Schließlich werden vier Anwendungen<br />
vorgestellt<br />
SchlagWöRtER Drahtlose Kommunication / Prozessautomation / WIA-PA /<br />
WirelessHART / ISA100.11a<br />
38<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
OuYang JinSOng anD liu Dan,<br />
Instrumentation Technology and economy Institute, beijing, P. R. China<br />
Industrial automation technology has gone through<br />
phases of analog instrumentation up to the seventies,<br />
digital control systems from the seventies on and fieldbus<br />
based control systems that came up at the end of<br />
the 20th century. As a new technology, wireless sensor<br />
networks are arising now, with their characteristics of<br />
low installation cost and easy usage. They give plant<br />
owners the opportunity to monitor a whole industrial<br />
process at low investment costs and to obtain important<br />
process parameters that are difficult to get on-line with<br />
wired sensors. Therefore, such networks face broad application<br />
prospects in various industries like oil and gas,<br />
petrochemical, process, metallurgy as well as fresh and<br />
waste water treatment.<br />
1. Challenges for Wireless TeChnology<br />
A transmission over wireless media is not as protected<br />
as one over wired media. In an industrial environment,<br />
on the one hand, there may exist several wireless<br />
networks according to such standards as IEEE 802.11<br />
[1], Bluetooth, and IEEE 802.15.4 [2], that share the 2.4<br />
GHz frequency band and may interfere with each<br />
other; and on the other hand, multipath effects caused<br />
by e.g. machines and metal pipelines influence the<br />
signals as well as electromagnetic noise produced by<br />
electric drives. Therefore, various problems such as<br />
dispersion, multipath, interference, attenuation, node<br />
sleeping, node hiding, safety and security related problems<br />
frequently occur during transmission. In short,<br />
compared with commercial wireless technology, industrial<br />
wireless technology has to fulfill higher requirements<br />
with respect to reliability, real-time, low<br />
power consumption, safety and security.<br />
2. sTandardizaTion of Wireless neTWorks<br />
A key problem hindering the acceptance of the industrial<br />
wireless networks is the lack of a mature<br />
and unified international standard. Recently, some<br />
international organizations have been actively promoting<br />
the standardization of industrial wireless<br />
network and have achieved several solutions, such<br />
as WirelessHART, ISA100.11a, and WIA-PA (Wireless<br />
Network for Industrial Automation – Process<br />
Automation).<br />
WirelessHART is a specification of an industrial<br />
wireless network which has been defined by the HART<br />
Communication Foundation (HCF). In 2004, HCF announced<br />
the beginning of the specification works and<br />
set up a working group. In September 2008, the wirelessHART<br />
Communication Specification (HART 7.1)<br />
had been approved by the IEC (International Electrotechnical<br />
Commission) as a Publicly Available Specification<br />
(IEC/PAS 62591 Ed.1).<br />
ISA100.11a is a standard for industrial wireless measurement<br />
and control drawn up by the International<br />
Society of Automation (ISA). In December 2004, ISA<br />
initiated the standardization process and set up a working<br />
group. In September 2009, the result had been<br />
approved as the ISA100.11a standard [3]. It will be<br />
submitted to the American National Standards Institute<br />
(ANSI) for approval as an ANSI standard.<br />
WIA-PA is a communication protocol based on a<br />
certain kind of wireless network system architecture<br />
that has been developed by the Chinese Industrial<br />
Wireless Alliance (CIWA) due to an urgent need expressed<br />
by users in the field of process automation.<br />
On October 31st, 2008, WIA-PA became a Publicly<br />
Available Specification (PAS) of IEC with number IEC/<br />
PAS 62601 [4]. Now WIA-PA is submitted to the Standardization<br />
Administration of China (SAC) for approval<br />
as a Chinese national standard.<br />
Within IEC, the working group SC 65C WG 16 is in<br />
charge of the above mentioned standardization. WirelessHART<br />
has already been published as IEC<br />
62591:2010-04 [5], while WIA-PA is still passing the<br />
voting stages of the IEC standardization process.<br />
ISA100.11a is planned to be submitted to IEC for consideration<br />
as an IEC standard.<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
39
HAuPTbeITRAg<br />
FiguRE 1:<br />
Typical topology of<br />
a WIA-PA network<br />
osi layer funcion Wia-Pa<br />
Application<br />
Provides the user with network capable<br />
application<br />
al (Provides the user with network<br />
capable application)<br />
Presentation<br />
Converts application data between<br />
network and local machine formats<br />
Session<br />
Connection management services for<br />
applications<br />
Transport<br />
Provides network independent,<br />
transparent message transfer<br />
or<br />
FiguRE 2:<br />
ISO OSI<br />
basic<br />
reference<br />
model<br />
mapped to<br />
WIA-PA<br />
Network<br />
Data link<br />
Physical<br />
end-to-end routing of packets.<br />
resolving network addresses<br />
establishes data packet structure, framing,<br />
error detection, bus arbitration<br />
Mechanical/ electrical connection.<br />
Transmits raw bit stream<br />
nl (Power-optimized redundant path,<br />
star and mesh networking)<br />
dlsl<br />
(Hybrid CSMA and TDMA, AFS, AFH, TH)<br />
ieee sTd 802.15.4-2006 MaC<br />
Phy<br />
(Ieee STD 802.15.4-2006-based radios)<br />
NW<br />
SM<br />
gW<br />
Cluster<br />
head<br />
Cluster<br />
head<br />
Routing device<br />
Routing device<br />
Cluster<br />
member<br />
Field<br />
device<br />
Cluster<br />
member<br />
Field<br />
device<br />
Cluster<br />
member<br />
Field<br />
device<br />
Cluster<br />
member<br />
Field<br />
device<br />
Cluster<br />
member<br />
Field<br />
device<br />
Cluster<br />
member<br />
Field<br />
device<br />
FiguRE 3:<br />
Hybrid centralized<br />
and distributed<br />
system management<br />
40<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
3. Wia-Pa sPeCifiCaTion<br />
3.1 overview<br />
WIA-PA specifies system architecture and a communication<br />
protocol that is based on IEEE 802.15.4. Its main features<br />
are hybrid star and mesh hierarchical topology,<br />
system management, two-level communication resource<br />
allocation, adaptive frequency hopping, and two-level<br />
packet aggregation and disaggregation (see also [6]).<br />
3.2 device types<br />
Five types of WIA-PA devices are specified:<br />
Host computer<br />
Gateway device(GW)<br />
Routing device<br />
Field device<br />
Handheld device.<br />
To improve reliability, there may be redundant gateway<br />
devices and routing devices in a WIA-PA network, which<br />
operates as hot backup.<br />
In order to facilitate management, WIA-PA specifies<br />
five kinds of logical roles:<br />
Gateway<br />
Network Manager (NM)<br />
Security Manager (SM)<br />
Cluster head<br />
Cluster member<br />
3.3 network topology<br />
As illustrated in Figure 1, WIA-PA supports a hybrid star<br />
and mesh hierarchical network topology.<br />
The first level of a WIA-PA network consists of a mesh<br />
topology, where routing devices and gateway devices are<br />
deployed, whereas the second level forms a star topology,<br />
where routing devices, field devices, and handheld devices<br />
(if present) are deployed.<br />
3.4 Protocol architecture<br />
The WIA-PA protocol architecture, which is illustrated<br />
in Figure 2, is based on the ISO OSI Basic Reference Model<br />
(ISO 7489 [7]). It defines the Data Link Sub-Layer<br />
(DLSL), Network Layer (NL) and Application Layer (AL),<br />
while its PHYsical (PHY) and Medium Access Control<br />
sub-layer (MAC) are based on IEEE 802.15.4.<br />
3.5 fraMeWork of sysTeM ManageMenT<br />
WIA-PA supports hybrid centralized and distributed<br />
management schemes as shown in Figure 3. The system<br />
management is implemented by NM, SM, and cluster<br />
heads. The cluster heads are directly managed by NM<br />
and SM; and they have the privilege of managing cluster<br />
members.<br />
The NM performs the following tasks:<br />
constructing and maintaining the mesh topology<br />
comprised of cluster heads and the star topology comprised<br />
of cluster heads and cluster members<br />
allocating communication resources to cluster heads<br />
in mesh topology and allocating communication resources<br />
to cluster heads which they will pass over to<br />
members of their cluster<br />
monitoring performance of the WIA-PA network including<br />
device status, path health and channel condition.<br />
The SM performs the following tasks:<br />
authorizing the cluster heads and cluster members<br />
that are attempting to join the WIA-PA network<br />
managing keys in the whole network, including key<br />
generation, key distribution, key recovery and key<br />
revocation<br />
authorizing the end-to-end communication relationships.<br />
A cluster head performs the following tasks:<br />
constructing and maintaining the star topology<br />
allocating communication resources that have been<br />
allocated to it by the NM to members of its cluster<br />
delivering results of monitoring its cluster to the NM<br />
managing the keys used in its cluster<br />
authorizing a communication relationship to another<br />
cluster head<br />
authorizing the communication relationships between<br />
it and cluster members.<br />
3.6 superframe structure<br />
In order to guarantee real-time and reliable communication,<br />
WIA-PA only takes into account the beacon enabled<br />
IEEE 802.15.4 superframe structure. The WIA-PA superframe<br />
structure is shown in Figure 4.<br />
The Contention Access Period (CAP) as defined in the<br />
IEEE 802.15.4 superframe is used for device joining, intracluster<br />
management, and retrials in a WIA-PA superframe.<br />
The Contention Free Period (CFP) as defined in the<br />
IEEE 802.15.4 superframe is used for communication<br />
between mobile devices and the cluster head in a WIA-PA<br />
superframe.<br />
The Inactive period as defined in the IEEE 802.15.4<br />
superframe is used for intra-cluster communication,<br />
inter-cluster communication, and sleeping in the WIA-<br />
PA superframe.<br />
3.7 Multi-access and adaptive frequency hopping<br />
A WIA-PA network supports the following multi-address<br />
access mechanisms:<br />
Intra-superframe: Beacon, CFP, intra- and inter-cluster<br />
communication periods use the Time Division Multiple<br />
Access (TDMA) mechanism. CAP uses the Carrier<br />
Sense Multiple Access (CSMA) mechanism.<br />
Inter-superframe: Different routing devices use different<br />
channels in the active period by adopting the<br />
Frequency Division Multiple Access (FDMA) mechanism.<br />
If there are not enough channels, the WIA-PA<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
41
HAuPTbeITRAg<br />
network uses the TDMA mechanism to enhance the<br />
system capacity.<br />
The WIA-PA network supports three frequency hopping<br />
mechanisms:<br />
Adaptive Frequency Switch (AFS): within a WIA superframe<br />
cycle Beacon, CAP and CFP use the same<br />
channel and change it according to the channel condition<br />
in the next superframe cycle.<br />
Adaptive Frequency Hopping (AFH): within a WIA<br />
superframe cycle the communication channel for the<br />
intra-cluster period is irregularly changed for each<br />
timeslot according to the actual channel condition.<br />
Timeslot Hopping (TH): within a WIA superframe<br />
cycle, the transmit/receive frequency for the intercluster<br />
period is regularly changed for each timeslot<br />
to compensate for interference and fading.<br />
The multi-address access and adaptive frequency hopping<br />
mechanisms are listed in Table 1.<br />
3.8 PaCkeT aggregaTion and disaggregaTion<br />
The WIA-PA network supports a two-level packet aggregation<br />
mechanism in order to reduce the number of packets<br />
to be forwarded.<br />
Data aggregation. If a field device has more than one<br />
User Application Object (UAOs), it will choose to invoke<br />
a data aggregation mechanism according to its<br />
aggregation flag. This mechanism will reduce communication<br />
frequency usage.<br />
Packet aggregation. If a routing device receives packets<br />
from more than one field device, it will choose<br />
to invoke the packet aggregation mechanism according<br />
to its aggregation flag. This mechanism will<br />
reduce the number of packets sent from the routing<br />
device to the gateway device.<br />
Disaggregation is carried out by the GW.<br />
4. CoMParison of Wia-Pa To WirelessharT<br />
and isa100.11a<br />
Table 2 shows a comparison with respect to the following<br />
five aspects: architecture, system management, communication<br />
technologies, networking technologies and application<br />
technologies.<br />
5. aPPliCaTions of Wia-Pa<br />
Up to now, WIA-PA networks have been applied in various<br />
industries like petrochemical and metallurgical as well<br />
FiguRE 4:<br />
WIA-PA superframe<br />
is based on the<br />
beacon enabled<br />
IEEE 802.15.4<br />
superframe.<br />
ieee<br />
802.15.4<br />
Wia-Pa<br />
Basic MaC mechanism<br />
dlsl hopping<br />
mechanism<br />
Beacon Beacon TDMA<br />
CAP CAP CSMA<br />
CFP CFP TDMA<br />
Frequency Division Multiple Access<br />
(FDMA)<br />
AFS<br />
Intra-cluster period TDMA AFH<br />
Inactive<br />
Inter-cluster period TDMA TH<br />
Sleeping – –<br />
tablE 1: Hopping mechanisms<br />
42<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
Comparison of Wia-Pa WirelessharT isa100.11a<br />
architecture<br />
system management<br />
Communication<br />
technologies<br />
networking technologies<br />
Network<br />
composition<br />
Protocol stack<br />
System management<br />
scheme<br />
System manager<br />
as Single point of<br />
failure<br />
Host computer, gateway<br />
device, routing device, field<br />
device, and handheld device<br />
IEEE 802.15.4 physical layer<br />
and MAC layer; defining DLSL,<br />
network, and application layer<br />
Hybrid centralized and<br />
distributed<br />
Can be avoided by redundancy<br />
Network manager, gateway<br />
and field device<br />
IEEE 802.15.4 physical layer;<br />
defining DLL, network,<br />
transport, and application<br />
layer<br />
Centralized<br />
Can be avoided<br />
by redundancy<br />
Field device and infrastructure<br />
device<br />
IEEE 802.15.4 physical layer;<br />
defining DLL, network,<br />
transport, and application<br />
layer<br />
Centralized ( a distributed<br />
one is under discussion)<br />
Can be avoided by redundancy<br />
Manager address Fixed assignment Fixed assignment Dynamically assigned<br />
Packet<br />
aggregation<br />
Security<br />
Two-level aggregation Not supported In field devices<br />
DLL and application layer;<br />
optionally symmetric and<br />
asymmetric keys<br />
DLL and transport layer;<br />
symmetric key<br />
DLL and network layer;<br />
optionally symmetric and<br />
public (128-bit)<br />
Timeslot durations Flexible All slots are 10 ms Flexible: one duration per<br />
network<br />
IEEE 802.15.4 Physical layer and MAC layer Physical layer Physical layer<br />
compatibility<br />
Superframe<br />
structure<br />
Multi-access<br />
mechanism<br />
Frequency<br />
hopping<br />
Based on IEEE 802.15.4 No structure<br />
superframe structure<br />
Mixed CSMA, TDMA and FDMA Mixed TDMA and CSMA<br />
No structure<br />
Mixed TDMA and CSMA<br />
AFH, AFS and TH Channel hopping Slow hopping, fast hopping<br />
and mixed hopping<br />
Network topology Hybrid mesh and star Mesh or star<br />
(star is not recommended)<br />
Routing function<br />
Routing<br />
technology<br />
Fragmentation<br />
and reassembly<br />
Joining of field<br />
devices and<br />
routing devices<br />
Field devices have no routing<br />
function<br />
Static redundant routing<br />
Network layer<br />
All devices have routing<br />
function<br />
Source, graph, and<br />
hybrid source/graph and<br />
superframe<br />
Network and application<br />
layers<br />
Mesh<br />
Field devices have no routing<br />
function<br />
Source, graph, and hybrid<br />
source/graph<br />
Application layer<br />
Distinguished Not distinguished Not distinguished<br />
Leaving of devices Actively and passively Not distinguished Not distinguished<br />
application technologies<br />
Support of other<br />
protocols<br />
Multiple application<br />
protocols<br />
Application<br />
definition<br />
Wired/Wireless HART,<br />
Profibus, Modbus and FF;<br />
Virtual device<br />
Wired HART, EDDL<br />
Wired/Wireless HART,<br />
Profibus, Modbus and FF;<br />
informative material about<br />
adapters and tunneling<br />
protocols available<br />
Yes, at gateway side No Yes, at gateway side<br />
Object-oriented (UAO), simple Commands Object-oriented (UFO),<br />
complex<br />
Alert function Report method Command Alter object<br />
Communication<br />
between application<br />
Objects<br />
VCR Not supported Parameter of UFO<br />
tablE 2: Comparison of WIA-PA to WirelessHART and ISA100.11a<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
43
HAuPTbeITRAg<br />
FiguRE 5: Pressure and temperature transmission system,<br />
installed around a boiler with fluidized-bed combustion<br />
FiguRE 6: Oil well remote measurement system<br />
Energy<br />
Consumption<br />
Evaluate<br />
Motor<br />
Efficiency<br />
Evaluate<br />
MotorMonitor<br />
WIA-PA Adapter<br />
Motormonitoring center<br />
Device Status<br />
Forecast<br />
WIA-PA Network<br />
FiguRE 7: Rolling plant equipped<br />
with bearing temperature sensors<br />
MotorDrive System<br />
stator<br />
current<br />
voltage<br />
Reasoning Modle<br />
Speed<br />
Evaluate<br />
Stator<br />
Resistant<br />
Evaluate<br />
Energy and Efficiency<br />
Efficiency<br />
Evaluate<br />
Rotor<br />
Failure<br />
Energy<br />
Consumption<br />
Statistics<br />
Stator Bearing<br />
Failure Failure<br />
Nameplate<br />
Info<br />
Equipment Health<br />
MotorControl Center<br />
FiguRE 8: Motor efficiency on-line monitoring system<br />
as in power plants, buildings, and wastewater treatment<br />
plants. Use cases were for instance:<br />
temperature and pressure data acquisition<br />
pipeline leak detection<br />
condition monitoring of electrical drives.<br />
In the following, a few examples are described.<br />
5.1 Pressure and TeMPeraTure<br />
MoniToring sysTeM<br />
In order to expand production, a paper company in<br />
northeast China built a new boiler to supply steam to the<br />
turbine for power generation of that plant. In a combined<br />
process, also the company buildings and the near-by city<br />
can be supplied with heat in winter.<br />
To better control the process, it was decided to equip<br />
the pipeline leading through the steam generator with a<br />
pressure and temperature monitoring system. As the<br />
combustion chamber is of the fluidized-bed type, it is<br />
quite extended and therefore difficult to access by a wired<br />
network. Instead, ten WIA-PA pressure transmitters<br />
and ten WIA-PA temperature transmitters were installed,<br />
see Figure 5. Their data are transmitted to a monitoring<br />
system in the control room. The WIA-PA pressure and<br />
temperature transmitters are all battery-powered.<br />
This system was installed in December, 2007, and<br />
keeps operating satisfactorily.<br />
44<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
5.2 o il Well reMoTe MeasureMenT<br />
and ConTrol sysTeM<br />
An oil field company in northeast China wanted to improve<br />
its wells, equipped with rod pumps. Fast and accurately<br />
determining the indicator diagram of such a well<br />
is a basic requirement for analyzing its operation. Therefore,<br />
the engineers of this facility developed a system capable<br />
of acquiring all data that are necessary to determine<br />
the indicator diagram. It stores these data and transmits<br />
them upon request of the control center. There, the<br />
conditions of all wells are monitored and supervised.<br />
Five WIA-PA nodes are installed at each well, for<br />
measuring stroke, load, pressure, temperature, and current.<br />
Figure 6 shows the structure of the oil well remote<br />
measurement system.<br />
5.3 Bearing TeMPeraTure MoniToring sysTeM<br />
A cold rolling plant in a steel factory in northeast China<br />
employs hundreds of rollers in the continuous annealing<br />
lines. Predictive condition monitoring of the rollers provides<br />
early failure warnings, resulting in increased availability<br />
and significant cost savings. 406 thermocouple<br />
sensors equipped with WIA_PA interfaces have been installed<br />
within a space of 200 m length, 20 m width and<br />
30 m height. Each sensor continuously monitors the bearing<br />
temperature of a roller, as shown in Figure 7.<br />
ReFeReNZeN<br />
[1] Ieee Standard for Information technology –Telecommunications and<br />
information exchange between systems - Local and metropolitan area<br />
networks - Specific requirements, Part 11: Wireless LAN Medium Access<br />
Control (MAC) and Physical Layer (PHY) Specifications, 2007<br />
[2] Ieee 802.15.4: Ieee Standard for Information technology - Telecommunications<br />
and information exchange between systems - Local and metropolitan<br />
area networks - Specific requirements, Part 15.4: Wireless Medium Access<br />
Control (MAC) and Physical Layer (PHY), Specifications for Low-Rate Wireless<br />
Personal Area Networks (WPANs), 2009<br />
[3] ISA-100.11a: Wireless systems for industrial automation: Process control and<br />
related applications, 2009<br />
[4] IeC/PAS 62601: Industrial communication networks - Fieldbus specifications<br />
- WIA-PA communication network and communication profile, ed. 1.0, 2009<br />
[5] IeC 62591: Industrial communication networks - Wireless communication<br />
network and communication profiles – WirelessHARTTM, ed. 1.0, 2010<br />
[6] Wei Liang, Xiaoling Zhang, Yang Xiao, Fuqiang Wang, Peng Zeng, and Haibin<br />
Yu: Survey and experiments of WIA-PA specification of industrial wireless<br />
network, published online, Wireless Communications and Mobile Computing,<br />
Wiley InterScience, www.interscience.wiley.com, 2010<br />
[7] ISo 7498-2:1989: Information processing systems - open Systems Interconnection<br />
- basic Reference Model, 1989<br />
AuToReN<br />
5.4 e leCTriCal drive effiCienCy<br />
MoniToring sysTeM<br />
Saving energy consumed by electrical drives is one of the<br />
ten important energy saving projects of the 11th Five-<br />
Year Plan proposed by the National Development and<br />
Reform Commission of China. Online monitoring is foreseen<br />
to provide the necessary findings for this.<br />
A set of twenty drives was selected and equipped with<br />
sensors and transmitters to measure the relevant mechanical<br />
and electrical quantities such as voltage, current,<br />
and torque. A monitoring system pre-processes these and<br />
sends the resulting data through a WIA-PA wireless network<br />
to the WIA-PA gateway. From there it is forwarded<br />
to the host PC. The latter finally displays the operational<br />
status of each motor including input and output power<br />
as well as the efficiency, see Figure 8.<br />
6. ConClusion<br />
WIA-PA is a communication protocol that has been developed<br />
by the Chinese Industrial Wireless Alliance<br />
(CIWA) due to an urgent need expressed by users in the<br />
field of process automation. WIA-PA is submitted to the<br />
Standardization Administration of China (SAC) for approval<br />
as a Chinese national standard. Because of its<br />
useful characteristics and features, it will be applied<br />
worldwide in the future.<br />
MANuSKRIPTeINgANg<br />
17.11.2010<br />
Im Peer-Review-Verfahren begutachtet<br />
PROF. OuYang JinSOng (born in 1964) is<br />
President of the Instrumentation Technology<br />
and Economy Institute, P. R. China (ITEI) and<br />
General Secretary of China National Technology<br />
Committee 124. The latter is commissioned<br />
by the Standardization Administration<br />
of China with standardization in the field of<br />
Industrial Process Measurement and Control<br />
(SAC/TC124). Prof. Ouyang’s carrer in<br />
research and standardization in the automation and instrumentation<br />
industry began in 1987. Since 1988, he has been the<br />
speaker of the Chinese delegation to IEC/TC65 and participated<br />
in the work of many groups of this committee. He also oversaw<br />
the standardization work for EPA and WIA-PA, two communication<br />
protocols recently being developed in China.<br />
instrumentation technology & Economy institute (itEi),<br />
P.R. china, 397a guanganmenwai Str., beijing, 100055, china,<br />
tel. (86)-10-63461005, E-Mail: ouyangjs@tc124.com<br />
DR. liu Dan (born in 1977) is Senior Engineer<br />
of Instrumentation Technology and Economy<br />
Institute, P. R. China (ITEI). Her professional<br />
career includes research on fieldbus technology<br />
since 2000. She developed and tested industrial<br />
communication protocol stacks. She has also<br />
participated in the research and standardization<br />
work for EPA and WIA-PA from the initial stage.<br />
instrumentation technology & Economy institute (itEi),<br />
P.R. china, 397a guanganmenwai Str., beijing, 100055, china,<br />
tel. (86)-10-63461005, E-Mail: liud@tc124.com<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
45
HauptBEitRaG<br />
Technologie-Roadmap<br />
Automation 2020+ Energie<br />
Zukunftsmärkte für die Automationstechnologien<br />
Das globale Energiesystem befindet sich in einer Phase des grundlegenden Wandels. Für<br />
Automatisierungstechnologien ergeben sich hier neue Einsatzfelder – und auch neue<br />
Anforderungen. Mit der Integrierten Technologie-Roadmap II für Automation setzt der<br />
ZVEI den 2006 initiierten, sehr erfolgreichen Roadmapping-Prozess zur Früherkennung<br />
von technologischen, marktlichen, politischen und gesellschaftlichen Entwicklungen<br />
fort. In der neuen Roadmap wurden als wichtig und zukunftsträchtig erkannte Marktsegmente<br />
weiter vertieft. Hierfür wurden wichtige Trends in der Energiewirtschaft als Zukunftsmärkte<br />
für die Automationstechnologien analysiert. Gemeinsam mit Experten aus<br />
der Energie- und der Automationsbranche wurden Automatisierungsbedarfe abgeleitet<br />
und Handlungsstrategien entworfen.<br />
SCHLAGWÖRTER Erneuerbare Energien / Smart Grids / Biotreibstoffe / CCS / Wasserstoff<br />
Future Markets and new challenges for automation technology<br />
The global energy system faces massive changes. For automation technologies, new markets<br />
emerge – and new challenges. After the huge success of the first integrated roadmap<br />
automation, initiated in 2006, the ZVEI continues its roadmapping activities. The new<br />
roadmap automation 2020+ assesses in detail market segments that appear to be important<br />
and promising for the future. For this reason, key trends of the energy sector were analysed.<br />
Together with experts from the energy sector and automation technology, future automation<br />
needs were identified and strategies related to future markets were derived.<br />
KEYWORDS Renewable Energy / Smart Grids / Biofuel / CCS / Hydrogen<br />
46<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
TimOn WEHnERT, iZt<br />
mARKuS WinzEniCK, ZVEi<br />
Angesichts der gestiegenen Dynamik und Komplexität<br />
der Umfeldbedingungen für Unternehmen<br />
kommt der Früherkennung und dem Monitoring<br />
technologischer, marktbezogener, politischer<br />
und gesellschaftlicher Entwicklungen eine immer<br />
größere Bedeutung für den Innovationserfolg zu. Dies<br />
gilt besonders in Krisenzeiten. In vielen Kundenbranchen<br />
werden jetzt Überlegungen angestellt, wie mithilfe der Automation<br />
die eigenen Produktionsprozesse <strong>vereinfacht</strong>,<br />
beschleunigt und sicherer gemacht werden können.<br />
Um Trends, Herausforderungen und Bedarfe besser<br />
verstehen zu können, geht der ZVEI mit der Erstellung<br />
einer Integrierten Technologie-Roadmap für die Automation<br />
neue Wege. Er setzt damit den 2006 erstmals initiierten<br />
Roadmapping-Prozess fort [1], [2]. In der neuen<br />
Roadmap wurden als wichtig und zukunftsträchtig erkannte<br />
Innovationsfelder weiter vertieft sowie insbesondere<br />
auch internationale Aspekte thematisiert, welche<br />
in der ersten Phase des Roadmapping nur eine untergeordnete<br />
Rolle gespielt hatten. Zu den Schwerpunkten des<br />
neuen Roadmap-Prozesses gehörte neben Wasser und<br />
Megacities das Thema Energie.<br />
1. Themen der roadmap energie<br />
Energietechnologien stellen einen vielversprechenden<br />
Wachstumsmarkt dar. Durch die ernormen Infrastrukturbedarfe<br />
der Energiewirtschaft ergeben sich große Potenziale<br />
für Automatisierungslösungen. Aber nicht nur die<br />
Größe dieser Märkte ist relevant, sondern auch ihre Qualität<br />
als Leitmärkte für innovative Produkte.<br />
Die Roadmap Automation 2020+ Energie fokussiert<br />
dabei auf fünf Bereiche innerhalb der Energiewirtschaft:<br />
Regenerative Kraftwerke<br />
Stoffliche und energetische Nutzung von Biomasse<br />
Intelligente Netze – Smart Grids<br />
CO 2 Abscheidung und Speicherung (CCS)<br />
Wasserstoff als Energiespeicher<br />
Diese Bereiche wurden ausgewählt, weil sie mittel- bis<br />
langfristig ein sehr hohes Entwicklungspotenzial aufweisen<br />
und von großer Bedeutung für die Automatisierungsbranche<br />
sind. Der Fokus wurde aber bewusst auf<br />
solche Teilbereiche der Energiewirtschaft gelegt, in<br />
denen hohe Unsicherheiten bestehen. Weder die Entwicklungen<br />
in der Energiewirtschaft sind hier vorhersehbar,<br />
noch sind die korrespondierenden Automatisierungsbedarfs<br />
einfach ableitbar. Die Roadmap 2020+<br />
setzt sich damit von der Vorgänger-Roadmap Automation<br />
2015 ab, deren Anliegen es eher war, einen breiten<br />
Überblick im Energiebereich zu liefern und etablierte<br />
Märkte zu untersuchen.<br />
1.1 die entwicklung der roadmap – ein dialogprozess<br />
Die Erstellung der Roadmap basiert auf einem Methodenmix<br />
(vergleiche BILD 1) und weist somit eine hohe Robustheit<br />
auf. Die Herleitung der Automatisierungsbedarfe<br />
erfolgte aus vergleichsweise stabilen mittel- und langfristigen<br />
Trends. Bei der Bewertung der Zukunftsmärkte<br />
und der sich daraus ergebenden Automatisierungsbedarfe<br />
stützt sich die Roadmap auf einen intensiven<br />
Dialog mit bedeutsamen Stakeholdern. Gemeinsam mit<br />
Wirtschaft, Wissenschaft, Investoren, Projektentwicklern<br />
und Infrastrukturbetreibern wurden konkrete Technologiebedarfe<br />
und Anforderungen identifiziert, um die<br />
Potenziale dieser Märkte besser einschätzen und erschließen<br />
zu können.<br />
Insgesamt haben an dem Roadmap-Prozess über 90<br />
Experten, Hersteller und Anwender aus der Automationsbranche<br />
und der Energiewirtschaft teilgenommen.<br />
Dies geschah in Form von sechs moderierten Workshops.<br />
Inhaltlich begleitet und gelenkt wurde der Roadmap-<br />
Prozess von der Steuerungsgruppe, die sich aus Vertretern<br />
der Unternehmen, die die Erstellung der Roadmap<br />
finanziert haben, sowie aus Vertretern des Zentralverbands<br />
der Elektrotechnischen Industrie (ZVEI) und des<br />
Instituts für Zukunftsstudien und Technologiebewertung<br />
(IZT) zusammensetzt.<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
47
HauptBEitRaG<br />
2. ZukunfTsmärkTe<br />
Weltweit sind dauerhaft enorme Investitionen in Energieinfrastrukturen<br />
zu erwarten. Die Internationale Energieagentur<br />
geht von über einer Billion US-Dollar jährlich<br />
aus [3]. Derzeit fällt zwar nur ein kleiner Anteil auf die in<br />
dieser Roadmap untersuchten Technologiefelder – es handelt<br />
sich jedoch um Bereiche mit rasanter Wachstumsund<br />
Innovationsdynamik.<br />
In einzelnen Segmenten gibt es bereits heute schon<br />
sehr lukrative Märkte für Automationstechnologien. Mit<br />
dem Zeithorizont 2020 und darüber hinaus werden viele<br />
Felder ein massives Bedeutungswachstum erfahren.<br />
Bild 2 gibt einen Überblick über die Marktrelevanz der<br />
einzelnen Technologiefelder für die Automatisierungsbranche<br />
im Zeithorizont 2020. Dabei wurden Technologiefelder,<br />
die ein langfristiges Potenzial aufweisen (etwa<br />
Wasserstoff, CCS, Bioraffinerien), niedriger bewertet als<br />
Technologiefelder, die bis 2020 ein großes Marktpotenzial<br />
erwarten lassen. Zu bemerken ist, dass die Aussagen<br />
für die einzelnen Technologiefelder mit unterschiedlichen<br />
Unsicherheiten behaftet sind, die im Wesentlichen<br />
aus schwer abschätzbaren Marktentwicklungen für die<br />
Energietechnologien selbst herrühren. Die Breite der<br />
Balken in Bild 2 repräsentiert die Unsicherheit der Entwicklung<br />
im jeweiligen Technologiefeld im Bezug auf<br />
die Marktrelevanz für Automatisierungstechnologien.<br />
Zudem sind in dieser Darstellung lediglich die Automa-<br />
Schritt 1 Schritt 2 Schritt 3 Schritt 4<br />
Trendanalyse<br />
Interviews Workshops Roadmap<br />
Erwartete<br />
Zukunftstrends<br />
-Megatrends<br />
-Energiewirtschaft<br />
-Technologien<br />
-Politik/Recht<br />
Qualitative Befragung<br />
-Treiber<br />
-Hemmnisse<br />
-Automatisierungsbedarfe<br />
Workshops mit<br />
-Experten<br />
-Herstellern<br />
-Anwendern<br />
-Stakeholdern<br />
Roadmap:<br />
-Schlüsseltechnologien<br />
-Zukunftsmärkte<br />
-Wildcards<br />
-Empfehlungen<br />
BiLD 1:<br />
Vorgehensweise<br />
im Roadmap-<br />
Prozess<br />
-Gesellschaft<br />
Basisstudien<br />
Marktrelevanz für Automatisierungstechnologien<br />
niedrig mittel hoch<br />
Smart Grids<br />
BiLD 2:<br />
Marktrelevanz der<br />
untersuchten<br />
Technologiefelder<br />
der Energiewirtschaft<br />
für die<br />
Automatisierungsbranche<br />
im<br />
Zeithorizont 2020;<br />
Einschätzung der<br />
Mitglieder des<br />
Roadmap-<br />
Steuerungskreises<br />
Wind<br />
Biogas<br />
Biotreibstoffe<br />
Wasserstoff<br />
Solarthermische Kraftwerke<br />
Bioraffinerien<br />
CCS<br />
Photovoltaik<br />
Geothermie<br />
48<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
tisierungsbedarfe für den Betrieb der Anlagen, nicht<br />
jedoch für die Produktion der jeweiligen Technologien<br />
berücksichtigt.<br />
2.1 smart grids – ein großer markt für die automatisierung<br />
Aktuell verändern sich die Anforderungen an die Stromnetze:<br />
Nicht mehr wenige große, sondern viele kleine dezentrale<br />
Erzeuger existieren, fluktuierende erneuerbare<br />
Energien werden ins Netz gespeist und die räumliche<br />
Distanz zwischen Stromerzeugung und -verbrauch<br />
wächst. Das führt dazu, dass die Regelanforderungen an<br />
die Netze steigen. Aus diesen Anforderungen ergeben sich<br />
neue Automatisierungsherausforderungen für Erzeugungs-<br />
und Lastmanagement sowie Netzüberwachung<br />
und -steuerung (siehe Bild 3).<br />
Aus den untersuchten Feldern dürfte der Bereich Intelligente<br />
Stromnetze (Smart Grids) der Markt mit der<br />
größten Relevanz für die AT-Branche insgesamt werden.<br />
Hier ist ein großer Bedarf umfangreicher Automatisierungslösungen<br />
zu erwarten. Diese reichen von der<br />
Haustechnik bis zur Netzleittechnik auf Höchstspannungsebene.<br />
Gefragt sind spezielle Komponenten wie<br />
auch komplexe Systemlösungen. Der Markt ist einerseits<br />
durch allgemeine Trends in der Energiewirtschaft<br />
und die strategischen Antworten der Energieversorgungsunternehmen<br />
getrieben. Er wird jedoch auch im-<br />
Zukunftstrends<br />
Automatisierungsbedarf<br />
Technologien<br />
• Dezentralisierung:<br />
„Millionen statt tausender<br />
Erzeuger“<br />
• Starke Zunahme<br />
fluktuierende Erzeugung<br />
• Bidirektionaler Stromfluss<br />
Erzeugungs- und<br />
Lastmanagement<br />
• Verbesserte Prognose<br />
(Last & Wetter)<br />
• Plug&Play-Lösungen<br />
• Offene bidirektionale<br />
Kommunikationsstandards<br />
•Schnellere DCS<br />
•Wechselrichter für<br />
Netzdienstleistungen<br />
•Smart Meter Language<br />
•IKT Gateway<br />
•Visualisierungstools<br />
• Liberalisierung des<br />
Marktes<br />
• Energieversorger wird<br />
zum Energiedienstleister<br />
• Prosumer (privater<br />
Kleinerzeuger, adaptive<br />
Konsumenten)<br />
Netzüberwachung und -<br />
steuerung<br />
• Netzmonitoring<br />
• Selbstheilendes<br />
Übertragungs- und<br />
Verteilnetz<br />
• Flexible Schutzsysteme<br />
• Schnell reagierende<br />
Leistungselektronik<br />
•FACTS Bauteile<br />
•Phasorenmessgeräte<br />
•Sensoren für Leiterüberwachung,<br />
Kriechstrom,<br />
Temperaturüberwachung<br />
•Anpassungsfähige<br />
Schutzeinrichtungen<br />
•Intelligent Electronic<br />
Devices (IEDs)<br />
•Elektronische Messwandler<br />
•Intelligente Umspannwerke<br />
•Backscatter Radio<br />
Technologie<br />
BiLD 3:<br />
Zukunftstrends<br />
und Automatisierungsbedarf<br />
für Smart Grids<br />
(Darstellung IZT)<br />
Zukunftstrends<br />
Automatisierungsbedarf<br />
Technologien<br />
• Klimaschutz<br />
• Strategische<br />
Versorgungssicherheit<br />
• Steigender Anteil<br />
erneuerbarer und<br />
dezentraler Energien<br />
(EU: 20% bis 2020)<br />
• Steigender Stromanteil<br />
am Endenergieverbrauch<br />
Anlagensteuerung<br />
• Hohe dynamische<br />
Regelbarkeit<br />
• Beitrag zur Netzstabilität<br />
• Verbesserte kurz- und<br />
langfristige<br />
Wetterprognosen<br />
• Plug&Play-Lösungen<br />
• Leistungsfähigere DCS<br />
• Bidirektionale Kommunikationstechnologien<br />
• Intelligente Sensorik und<br />
Aktorik für:<br />
- Betriebs- und<br />
Prozessparameter<br />
- Sonnen-Tracking<br />
- Nachführung von<br />
Spiegeln<br />
Wartung und Fernanalyse<br />
• Condition Monitoring<br />
• Vorausschauende<br />
Diagnose<br />
• Sensorik zur<br />
Komponentenüberwachung<br />
• Sensorik Ölqualität<br />
• Zustandsüberwachungssysteme<br />
• Expertensystem<br />
BiLD 4:<br />
Zukunftstrends<br />
und Automatisierungsbedarf<br />
für regenerative<br />
Kraftwerke<br />
(Darstellung IZT)<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
49
HauptBEitRaG<br />
mer wieder konkret durch politische Rahmengesetzgebung<br />
bestimmt.<br />
Kurzfristig sind die größten Märkte in Europa und<br />
USA zu sehen. Mittelfristig werden Smart-Grid-Ansätze<br />
auch in Schwellenländern Einsatz finden. In China besteht<br />
vor allem ein hoher Bedarf an HGÜ-Leitungen (inklusive<br />
der notwendigen Leistungselektronik), um Strom<br />
aus Wasser- und Kohlekraftwerken in die weit entfernten<br />
Ballungszentren zu bringen. In Europa wird der Markt<br />
für Smart Grids unter anderem durch politische Vorgaben<br />
befördert, wie etwa die Verpflichtung, intelligente<br />
Stromzähler einzuführen (in Deutschland ab 2010).<br />
Wichtige Weichenstellungen sind innerhalb der nächsten<br />
fünf Jahre zu erwarten. In den aktuell laufenden Pilot-<br />
und Demonstrationsvorhaben werden technische<br />
Konzepte, Geschäftsmodelle und Standards entwickelt,<br />
die für die weitere Entwicklung des gesamten Markts<br />
prägend sein werden.<br />
2.2 e rneuerbare energien –<br />
langfristig hohe Wachstumsraten<br />
Die erneuerbaren Energien haben im letzten Jahrzehnt<br />
eine sehr hohe Wachstumsdynamik erfahren. Diese Entwicklung<br />
ist sehr stark getrieben durch staatliche Förderungen.<br />
Neben Klimaschutzaspekten steht hier häufig die<br />
Erhöhung der strategischen Versorgungssicherheit im<br />
Vordergrund. Global gesehen kann der weitere Ausbau<br />
der erneuerbaren Energien als langfristig sehr stabiler<br />
Trend angesehen werden. Bis 2050 decken erneuerbare<br />
Energien den Energieverbrauch zur Hälfte. [4].<br />
Kurzfristig (bis 2020) werden neben Biomasse vor allem<br />
Windkraftanlagen bei den erneuerbaren Energien dominieren.<br />
Mittelfristig (nach 2020) wird Wind eine stärkere<br />
Verwendung auch außerhalb der Industrienationen finden.<br />
Solarenergie wird zunächst in Ländern mit starker<br />
Förderung wachsen, sich mittelfristig als wettbewerbsfähige<br />
Alternative in sonnenreichen Industrieländern mit<br />
hohen Stromkosten ausbreiten. Mit einem starken globalen<br />
Wachstum ist nach 2030 zu rechnen. Diese Prozesse<br />
sind zumindest mittelfristig weniger durch technische<br />
Entwicklungen oder geographische (klimatische) Potenziale<br />
als vielmehr durch politische Vorgaben aufgrund<br />
der Klimaschutzproblematik geprägt.<br />
Insgesamt ist der Einsatz erneuerbarer Energien an<br />
einen Paradigmenwechsel geknüpft, der langfristig einen<br />
massiven Einfluss auf das Energiesystem als ganzes, insbesondere<br />
aber auf die Elektrizitätswirtschaft haben<br />
wird. Zusätzlich und teilweise substituierend zu den<br />
Strukturen großer Kraftwerke werden eine große Anzahl<br />
von kleinen (oft standardisierten) Anlagen errichtet werden.<br />
Dabei kann es sinnvoll sein, diese räumlich stärker<br />
zu verteilen (Beispiel Biomasse um Transportwege zu<br />
minimieren) oder zu konzentrieren (wie etwa bei großen<br />
Offshore-Windparks). Für die Automatisierungstechnik<br />
hat diese Dezentralisierung weitreichende Folgen. Statt<br />
komplexe und zum Teil maßgeschneiderte Lösungen für<br />
ein Großkraftwerk zu liefern, sind jetzt immer mehr kleine,<br />
leicht zu bedienende, kostengünstige und robuste<br />
Lösungen für einen Massenmarkt gefragt.<br />
Automatisierungsbedarfe für regenerative Kraftwerke<br />
bestehen vor allem in zwei Bereichen: bei der Anlagensteuerung<br />
und in den Bereichen Wartung und Fernanalyse<br />
(siehe BILD 4). Dabei können die AT-Werkzeuge für<br />
diese beiden Bereiche nicht strikt getrennt werden. Decentralized<br />
Control Systems (DCS) für die Anlagensteuerung<br />
können auch für Fernwartungsaufgaben genutzt<br />
werden. Im Gegenzug können Informationen aus der<br />
Fernanalyse und dem Anlagenmonitoring als Grundlage<br />
für die Anlagensteuerung verwendet werden. Bei der<br />
Anlagensteuerung gehen die Aspekte (a) Fernsteuerung<br />
der einzelnen Anlage und (b) Management eines Anlagenverbundes<br />
fließend ineinander über.<br />
Wind – Spitzenreiter bei regenerativen Kraftwerken<br />
Kurzfristig (bis 2020) stellen Windkraftanlagen den interessantesten<br />
Markt für AT-Anwendungen dar. Hier geht<br />
es um die Betriebsoptimierung (Regelbarkeit, Beträge zur<br />
Netzstabilität) und um eine automatisierte Wartung und<br />
Fernanalyse. Gerade in Offshore-Windparks dürfte ein<br />
effektives Condition Monitoring ein zentraler Schlüssel<br />
für die Wettbewerbsfähigkeit von Windkraftanlagen werden.<br />
Ob hierfür von der Automatisierungsbranche lediglich<br />
Komponenten geliefert werden oder ein breiteres<br />
Spektrum von Systemlösungen mit hoher Wertschöpfung<br />
angeboten werden kann, hängt von der strategischen Positionierung<br />
der Anlagenbauer und deren möglichen Kooperationen<br />
mit AT-Firmen ab.<br />
Photovoltaik – Automation in der Produktion<br />
Bei Solartechnologien besteht der unmittelbar größte<br />
Markt für AT-Produkte in der Produktion. Gerade bei der<br />
Photovoltaik handelt es sich um einen Markt mit extremen<br />
Wachstumsraten (im Mittel > 50 % jährlich in den<br />
letzten zehn Jahren). Mittelfristig sind auch weiterhin<br />
hohe Ausbauraten bei den Produktionsstätten zu erwarten.<br />
Ein bedeutender Automationsbedarf besteht in der<br />
vorgelagerten Siliziumproduktion (chemische Industrie)<br />
und bei der Zell- und Modulproduktion selbst, für die<br />
zunehmend von spezialisierten Anbietern schlüsselfertige<br />
Produktionsstätten angeboten werden.<br />
Solarthermische Kraftwerke<br />
Auch bei solarthermischen Kraftwerken steht der Übergang<br />
von der manuellen Produktion in die industrielle<br />
automatisierte Produktion an. Für die Anlagen selbst werden<br />
Überwachungs- und Steuerungssysteme für die ausgedehnten<br />
Spiegelfelder sowie angepasste Leittechnik der<br />
konventionellen Stromerzeugungseinheiten benötigt.<br />
Wenn sich die aktuelle Entwicklung in diesem Feld innerhalb<br />
der nächsten ein bis drei Jahre verstetigt, dann<br />
könnte im Zeitraum bis 2020 ein lukrativer Markt für die<br />
Automationsbranche entstehen.<br />
Optimierung der energetischen Biomasseverwertung<br />
Biogasanlagen für die anaerobe Vergärung werden derzeit<br />
mit integrierter Steuerung vertrieben, es besteht aber<br />
noch ein hohes Potenzial zur Prozessoptimierung. Die<br />
Prozesse zur Herstellung von Biotreibstoffen der ersten<br />
Generation gelten als weitestgehend ausgereift und verstanden.<br />
Für die Prozesse der thermochemischen Bio-<br />
50<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
massevergasung, die notwendig für Biotreibstoffe der<br />
zweiten Generation und langfristig für integrierte Bioraffinerien<br />
sind, besteht jedoch noch ein hoher Bedarf<br />
an Prozessoptimierung und damit einhergehend eine<br />
Überwachung der Prozessparameter und Steuerung der<br />
Prozesse. Für die Umwandlung von Biomasse gilt, die<br />
Eingangsstoffe, auf Energiegehalt und Störstoffe zu analysieren,<br />
um die Verarbeitungsprozesse besser steuern<br />
zu können und die Abrechnung zu vereinfachen. Ziel ist<br />
die Integration verschiedener Einzelprozesse in eine Bioraffinerie,<br />
um möglichst ressourceneffizient unterschiedliche<br />
Rohstoffe mit verschiedenen Verfahren zu diversen<br />
Produkten zu verarbeiten.<br />
2.3 Langfristig attraktiv – Wasserstoff,<br />
Co 2 -abscheidung und Bioraffinerien<br />
Es wurden drei Märkte identifiziert die langfristig (also<br />
nach 2020) ein hohes Entwicklungspotenzial für die AT-<br />
Branche haben könnten. Allerdings sind diese drei Märkte<br />
sehr unterschiedlich strukturiert:<br />
Wasserstoff als Energiespeicher<br />
Langfristig ist davon auszugehen, dass Wasserstofftechnologien<br />
(als Energiespeicher) an Bedeutung gewinnen.<br />
Sehr wahrscheinlich werden zunächst Einsatzfelder im<br />
Verkehrsbereich entstehen (Brennstoffzelle). Hier würden<br />
sich vielfältige AT-Bedarfe beim Handling von Wasserstoff<br />
ergeben. Es handelt sich um einen Massenmarkt<br />
(Tankstellen, Fahrzeuge), der mit überschaubarem AT-<br />
Entwicklungsbedarf zu erschließen ist. Größte Unsicherheit<br />
besteht beim Zeithorizont. Wie der Markt wächst,<br />
hängt von sehr unterschiedlichen Faktoren ab, wie zum<br />
Beispiel von technologischen Entwicklungen bei Wasserstoffspeichern<br />
und Brennstoffzellen oder der Investitionsbereitschaft<br />
in die nötige Infrastruktur (Pipelines,<br />
Tankstellen).<br />
CO 2 -Abscheidung und Speicherung<br />
Für die CO 2 -Abscheidung und Speicherung ist die zeitliche<br />
Entwicklung relativ gut abschätzbar (Kommerzialisierung<br />
ab 2020). Unsicherheiten bestehen in der<br />
Größe der Märkte für die jeweiligen Zielregionen (Europa,<br />
USA, China). Probleme mit der langfristig sicheren<br />
Lagerung und mangelnde öffentliche Akzeptanz<br />
könnten, insbesondere in Europa, zum Fallstrick für<br />
diese Technologielinie werden. Für die AT-Branche<br />
geht es vor allem darum, Konzepte aus anderen Bereichen<br />
zu übertragen und weiter zu entwickeln, um einen<br />
zusätzlichen Markt für Kraftwerksleittechnik und Prozessautomation<br />
zu erschließen.<br />
Bioraffinerien<br />
Auch im Bereich Bioraffinerien ist mit Kommerzialisierungen<br />
im Wesentlichen erst nach 2020 zu rechnen. Der<br />
Weg zu integrierten Bioraffinerien führt über die Optimierung<br />
der Biomassevergasung und Biotreibstoffherstellung.<br />
Langfristig ist hier ein großer Markt mit umfangreichen<br />
und komplexen Automatisierungsanforderungen<br />
zu erwarten. Getrieben wird der Markt langfristig<br />
durch die Verknappung fossiler Energieträger. Er<br />
kann kurzfristig jedoch stark durch politische Vorgaben<br />
(mit der Zielsetzung der Versorgungssicherheit) beschleunigt<br />
werden. Unklar sind häufig jedoch die verfahrenstechnischen<br />
Umsetzungen in zukünftigen Bioraffinerien,<br />
sodass die konkreten AT-Bedarfe derzeit<br />
selten spezifiziert werden können.<br />
3. sChLüsseLTeChnoLogien<br />
Um adäquate Automatisierungslösungen für die in der<br />
Roadmap betrachteten Bereiche der Energiewirtschaft<br />
anbieten zu können, sind erhebliche Entwicklungsanstrengungen<br />
nötig. Dabei sind jedoch selten völlige Neuentwicklungen<br />
gefragt. Häufig besteht die Anforderung<br />
in der Weiterentwicklung, Optimierung oder Anpassung<br />
von prinzipiell vorhandenen Verfahren und Technologien.<br />
Der größte technologische Entwicklungsbedarf wurde<br />
im Bereich der Sensorik identifiziert. Für die Prozessautomation<br />
in den Feldern Biomassenutzung, Wasserstofftechnologien<br />
und CO 2 -Abscheidung besteht eine wichtige<br />
Herausforderung darin, Verfahren aus anderen Branchen<br />
etwa der Pharmaindustrie, der Oleochemie oder dem<br />
Brauereiwesen zu übertragen und auf die speziellen energiewirtschaftlichen<br />
Bedürfnisse anzupassen. Die Anwendungsfelder<br />
mit dem höchsten technischen Entwicklungsbedarf<br />
sind intelligente Stromnetze (Smart Grids)<br />
sowie langfristig auch Bioraffinerien.<br />
Insgesamt werden von der Energiebranche angepasste<br />
Systemlösungen nachgefragt. Ein Angebot reiner<br />
Einzelprodukte ist daher häufig nicht ausreichend. Vielfach<br />
sind auch spezielle Softwareapplikationen mit zu<br />
entwickeln, um den Einsatz von AT-Komponenten überhaupt<br />
erst zu ermöglichen oder für die Kunden attraktiv<br />
zu machen.<br />
Eine generelle Anforderung ist die Robustheit von<br />
Komponenten, da der Einsatz vielfach in kleinen,<br />
räumlich weit verstreuten Anwendungen stattfindet,<br />
bei denen Wartung beziehungsweise Ersatz von Komponenten<br />
schwierig ist (zum Beispiel Offshore-Windräder,<br />
Pipelines für Wasserstoff oder CO 2 ). Zugleich<br />
herrschen zum Teil extreme Umgebungsbedingungen<br />
(Wetter, aggressive Medien), die hohe Materialanforderungen<br />
nach sich ziehen. Eine große Anforderung<br />
stellt auch die Systemverfügbarkeit der AT-Lösungen<br />
dar. Unter dem Blickwinkel der energetischen Versorgungssicherheit<br />
etwa wäre ein hohes Maß an Redundanzen<br />
(wie etwa in der Leittechnik konventioneller<br />
Großkraftwerke) erforderlich. Wie dies in den Kostenstrukturen<br />
kleiner, dezentraler Systeme abbildbar sein<br />
könnte, ist derzeit noch ungewiss.<br />
3.1 sensorik<br />
Messgeräte und Sensoren sind der Bereich, für den der<br />
höchste technische Entwicklungsbedarf identifiziert<br />
wurde. Dabei geht es meist darum, Messverfahren, die im<br />
Labormaßstab vorhanden sind, in feldtaugliche Komponenten<br />
zu überführen.<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
51
HauptBEitRaG<br />
Der größte Entwicklungsbedarf für neue Sensoren<br />
besteht im Bereich der Biomassenutzung. Hier geht<br />
es vor allem um die Charakterisierung der Eingangsstoffe<br />
sowie um die Bestimmung von Prozessparametern<br />
für die hochkomplexen bio- oder thermochemischen<br />
Prozesse. Für eine große Anzahl von Messgrößen<br />
gibt es hier derzeit keine praxistauglichen<br />
Sensoren.<br />
Für effizientere fossile Kraftwerke (überkritische<br />
Kraftwerke mit hohen Frischedampfparametern)<br />
werden Messgeräte zur Komponentenüberwachung<br />
benötigt (Temperatur- und Stressmonitoring).<br />
Ein weiteres wichtiges Einsatzfeld sind Windkraftanlagen,<br />
wo Sensoren für Condition Monitoring benötigt<br />
werden (zum Beispiel Metallabrieb in Öl).<br />
Langfristig werden auch verstärkt Sensoren für das<br />
Handling von Wasserstoff im Verkehrsbereich zum<br />
Einsatz kommen (beispielsweise für Wasserstofftankstellen).<br />
Perspektivisch könnten auch Messgeräte zum Monitoring<br />
von CO 2 -Pipelines und -Lagerstätten relevant<br />
werden.<br />
Übergreifend wurden folgende Entwicklungsanforderungen<br />
identifiziert:<br />
Für fast alle Sensoren gilt der Bedarf: kleiner, robuster,<br />
billiger. Kostenreduktionen sind entscheidend,<br />
um die Sensoren für Massenanwendungen platzieren<br />
zu können. Häufig sind Kostenreduktionen, gegenüber<br />
dem heute gängigen Verfahren, um einen Faktor<br />
10 notwendig.<br />
In den meisten Einsatzfeldern ergeben sich hohe Robustheitsanforderungen.<br />
Korrosionsbeständigkeit ist<br />
zum Beispiel in Offshore-Windkraftanlagen oder<br />
beim Transport von CO 2 von hoher Relevanz. In Biogasanlagen<br />
oder Bioraffinerien sind Messgeräte häufig<br />
einem Gemisch aus aggressiven Medien (wie Ammoniak)<br />
ausgesetzt. In Kraftwerken ist Hitzebeständigkeit<br />
ein wichtiger Faktor.<br />
Vielfach wird es nötig sein, berührungslose Verfahren<br />
(wie zum Beispiel NIR-Spektroskopie, tuneable<br />
Lasers und so weiter) anzuwenden.<br />
In einigen Bereichen, beispielsweise der Charakterisierung<br />
von Biomasseeingangsstoffen oder bei Wasserstofftankstellen,<br />
ist es notwendig, eichfähige Verfahren<br />
zu entwickeln.<br />
3.2 software und modellierung<br />
Wie oben bereits erwähnt, bestehen Entwicklungsherausforderungen<br />
häufig in der Anpassung und Weiterentwicklung<br />
von bereits bestehenden Verfahren und Technologien.<br />
In diesem Zusammenhang spielt die Softwareentwicklung<br />
eine wichtige Rolle. Durch Programme<br />
für spezifische Anwendungen können Märkte für technische<br />
Komponenten häufig überhaupt erst erschlossen<br />
werden. Zugleich gibt es einige Bereiche, in denen die<br />
Komplexität der zu automatisierenden Prozesse sehr<br />
hoch ist. Daher ist es notwendig, Modellierungstools und<br />
Expertensysteme zu entwickeln, die es erlauben, große<br />
Datenmengen aus unterschiedlichsten Quellen zu handhaben.<br />
Wichtige Beispiele sind:<br />
Erzeugungsprognosen für Elektrizität aus wetterabhängigen<br />
Quellen (Wind und Sonne),<br />
Steuerungs- und Managementsysteme für verteilte<br />
Erzeuger (virtuelles Kraftwerk) mit geeigneten<br />
Schnittstellen an Handelsplattformen (Strombörse)<br />
und<br />
Expertensysteme für Condition Monitoring besonders<br />
für Wind, getrieben von den hohen Anforderungen<br />
der Wartungsoptimierung für schwer erreichbare<br />
Offshore-Windanlagen.<br />
Für die Prozessautomation von Biogas- und Biotreibstoffanlagen<br />
müssen Modelle und Parameterbibliotheken<br />
entwickelt werden, die die komplexen und<br />
hoch sensitiven bio- oder thermochemischen Prozesse<br />
adäquat abbilden können. Die Modellierungswerkzeuge<br />
(Softwareplattformen) können größtenteils aus<br />
der chemischen Industrie übernommen werden.<br />
3.3 management- und Leitebene<br />
Die Anforderungen an zukünftige Managementsysteme<br />
und Leittechnik lassen sich im Wesentlichen aus folgenden<br />
Trends in der Energiewirtschaft ableiten:<br />
Zunahme kleiner, dezentraler Anlageneinheiten<br />
(Energieerzeuger),<br />
Größere räumliche Distanzen zwischen oder innerhalb<br />
von Anlagen,<br />
Dynamisierung von ehemals statischen Prozessen,<br />
Steuerung von komplexen und hoch sensitiven Prozessen.<br />
Diese Trends sind – mit unterschiedlicher Gewichtung<br />
– bestimmend für die meisten der im Folgenden aufgeführten<br />
Entwicklungsbedarfe.<br />
Größere Datenmengen – schnellere<br />
Decentralized Control Systems<br />
Eine übergreifende Anforderung, die die Grundlage für<br />
viele Management- und Steuerungskonzepte bildet, ist<br />
die Weiterentwicklung von Decentralized Control Systems<br />
(DCS). Eine große Anzahl der diskutierten Automationslösungen<br />
basiert auf dem Auslesen, Übertragen<br />
und Analysieren von enormen Datenmengen in Echtzeit.<br />
Räumlich verteilte Systeme werden auf zentrale Leitwarten<br />
aufgeschaltet und von dort überwacht und optimiert.<br />
Gerade die Konzepte zu Smart Grids, aber auch<br />
Ansätze zur automatisierten dynamischen Steuerung<br />
von regenerativen Kraftwerken erfordern ein schnelleres<br />
Handling größerer Datenmengen, als es mit heutigen<br />
DCS-Systemen praktikabel ist. Dabei ist es im niedrigen<br />
Leistungsbereich (etwa KWK-Versorgung einzelner Häuser<br />
mit Brennstoffzellen, die aber zu einem virtuellen<br />
Kraftwerk zusammengefasst werden) möglich, dass aus<br />
Kostengründen Systeme mit SCADA-Funktionalitäten<br />
verwendet werden.<br />
52<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
Schnelle Datenübertragung mit<br />
Schnittstellen-Standards<br />
Um die dezentral anfallenden Daten in zentralen Leitwarten<br />
zeitnah analysieren und verarbeiten zu können, sind<br />
schnelle Datenübertragungstechnologien notwendig. Hier<br />
stehen verschiedene Lösungen (UMTS, PLC, LAN und so<br />
weiter) und Protokolle zu Verfügung. Um eine unkomplizierte<br />
Anbindung dezentraler Systeme an zentrale Datenverarbeitungssysteme<br />
zu gewährleisten, sind standardisierte<br />
Schnittstellen notwendig. Ziel ist, dass sich dezentrale<br />
Anlagen im Plug-and-Play-Verfahren an zentralen<br />
Leitwarten anmelden.<br />
Dynamisierung der Anlagensteuerung<br />
Eine Herausforderung, die in unterschiedlichsten Feldern<br />
auftritt, ist, dass etablierte verfahrens- und prozesstechnische<br />
Technologien, die bisher auf statischen Betrieb<br />
optimiert wurden, in Zukunft dynamisch betrieben werden<br />
müssen.<br />
Statische Prozesse aus der Chemie müssen auf die<br />
Regelanforderungen der Energiewirtschaft angepasst<br />
werden. Beispiele sind Elektrolyse zur Wasserstoffproduktion<br />
sowie Verfahren zur CO 2 -Abscheidung.<br />
Turbinen und Generatoren in regenerativen Kraftwerken<br />
(Windanlagen, solarthermische Kraftwerke)<br />
müssen auf Teillastbetrieb optimierbar sein, um das<br />
wetterabhängige, fluktuierende Leistungsangebot<br />
maximal nutzen zu können.<br />
Aktive Steuerung der Stromnetze<br />
Für die Umsetzung von aktiv gesteuerten Smart Grids<br />
sind neben den oben genannten Softwarelösungen zur<br />
Modellierung, Management und Steuerung von Energieanlagen<br />
auch eine Reihe von technischen Weiterentwicklungen<br />
nötig.<br />
Im Bereich der Netzleittechnik müssen schnell reagierende<br />
Leistungselektronik sowie schnell schaltbare<br />
Spulen und Kondensatoren (FACTS) zur Leistungsflusssteuerung<br />
und Blindleistungsbereitstellung<br />
(weiter-)entwickelt werden.<br />
Eine wichtige Herausforderung ist die zunehmende<br />
Bidirektionalität des Stromflusses. Hierauf müssen<br />
auch die Sicherheitssysteme angepasst werden, die<br />
darüber hinaus dynamisch parametrisierbar sein<br />
müssen, um auch bei immer geringeren Kurzschlussströmen<br />
fehlerfrei zu arbeiten.<br />
Ein großer Entwicklungsbedarf besteht bei digitalen,<br />
fernauslesbaren und ansteuerbaren, also den intelligenten<br />
Stromzählern. Neben den Zählern selbst müssen<br />
auch die entsprechenden Managementsysteme<br />
entwickelt werden. Dabei ist es noch offen, welche<br />
Datenübertragungstechnologien (und -standards)<br />
verwendet werden.<br />
Für das Erzeugungs- und Lastmanagement müssen<br />
kleine, billige und leicht zu bedienende Steuerungseinheiten<br />
entwickelt werden. Mögliche Einsatzfelder<br />
reichen von mittelgroßen Einheiten, wie Windrädern<br />
oder Kraft-Wärme-Kopplungsanlagen, über Einfamilienhausbrennstoffzellen,<br />
Elektroautos zu Kleinstverbrauchern,<br />
wie fernsteuerbare Kühlschränke oder<br />
Waschmaschinen.<br />
Kompatibilität und einfache Bedienbarkeit<br />
Zur Einbindung von regenerativen Kraftwerken, aber<br />
auch anderen kleinen Erzeugern und Verbrauchern in ein<br />
aktiv gesteuertes Smart Grid, ist es notwendig, dass Steuerungseinheiten<br />
einen Plug-and-Play-Charakter aufweisen:<br />
Einfache Installation, automatische Konfiguration<br />
und effiziente Kommunikation sind essenzielle Vorbedingungen,<br />
wenn Tausende oder gar Millionen unterschiedlicher<br />
Anlagen zu einem virtuellen Kraftwerk zusammengeschlossen<br />
werden sollen. Hier sind umfassende, herstellerübergreifende<br />
Standards notwendig.<br />
Für viele Anwendungen ist es notwendig, dass Management-<br />
und Leitsysteme einfacher zu bedienen sind,<br />
als das für bisherige Systeme der Fall ist. Regenerative<br />
Kraftwerke werden oft nebenbei zum eigentlichen Kerngeschäft<br />
des Besitzers betrieben – Biogasanlagen etwa<br />
durch Landwirte. Das heißt also, dass die Mechanismen<br />
zur Steuerung der komplexen chemischen Vergärungsprozesse<br />
vor dem Nutzer quasi „versteckt“ werden müssen.<br />
Das Interface muss selbsterklärend sein und nur die<br />
wichtigsten Informationen enthalten. Das System selbst<br />
muss eigenständig Optimierungsarbeiten übernehmen<br />
und dabei fehlertolerant bleiben.<br />
faZiT und ausBLiCk<br />
In den neuen, schnell wachsenden Bereichen der Energiewirtschaft<br />
ergeben sich jetzt und zukünftig lukrative<br />
Einsatzfelder für Automatisierungstechnologien.<br />
Die technologischen Entwicklungsbedarfe für angepasste<br />
AT-Lösungen sind durchweg überschaubar.<br />
Trotzdem sind gezielte Anpassungen nötig. Lediglich<br />
bestehende Komponenten anzubieten, wird nicht genügen,<br />
um sich in den in der Roadmap untersuchten<br />
Feldern zu positionieren.<br />
Vielmehr muss eine aktive Erschließung dieser neuen<br />
Märkte sowohl technologische Weiterentwicklungen als<br />
auch gezielte Marketingstrategien umfassen. In manchen<br />
Bereichen – etwa bei den intelligenten Stromnetzen –<br />
könnte es für Automatisierungsunternehmen sogar vorteilhaft<br />
sein, neue Märkte aktiv mitzugestalten.<br />
Wichtige Handlungsstrategien hierzu wären:<br />
Neue Geschäftsmodelle: In den im Beitrag beschriebenen<br />
Märkten besteht hohes Wertschöpfungspotenzial<br />
durch die Kopplung von Produkten und Dienstleistungen<br />
(zum Beispiel bei der Fernüberwachung<br />
und im Datenmanagement). Zugleich definieren neue<br />
Geschäftsmodelle in der Energiewirtschaft auch Anforderungen<br />
und Anwendungspotenziale für Automatisierungstechnologien.<br />
AT-Hersteller können hier<br />
Märkte selbst mitentwickeln, indem sie gezielt selbst<br />
Energiedienstleistungen anbieten. Dabei kann es für<br />
AT-Firmen durchaus sinnvoll sein, mit Anlagenbauern<br />
oder Energiedienstleistern strategische Partnerschaften<br />
einzugehen.<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
53
HauptBEitRaG<br />
Strategische Allianzen für Forschung und Entwicklung:<br />
Wenn Systemlösungen entwickelt werden sollen,<br />
ist ein großes, spezialisiertes Wissen der jeweiligen Verfahrens-<br />
und Prozesstechnik nötig. Die Anlagenhersteller<br />
sind jedoch nicht bereit, dieses Know-how leichtfertig<br />
aus der Hand zu geben. Um angepasste Automatisierungslösungen<br />
entwickeln zu können, wird es also oftmals<br />
notwendig sein, langfristige, vertrauensvolle<br />
Partnerschaften mit Anlagenherstellern einzugehen.<br />
Direkter Draht zu den Enkunden, Nutzern und kommunalen<br />
Entscheidern: Die Automatisierungsindustrie ist<br />
gezwungen, die aufgezeigten Märkte aktiv zu erschließen.<br />
Zur Deckung des Bedarfs an integrierten Systemlösungen<br />
genügt es nicht, dass grundsätzlich verwendbare<br />
Komponenten am Markt verfügbar sind. Vielmehr<br />
müssen spezielle Entwicklungen und Anpassungen gemäß<br />
den Bedürfnissen der Nutzer in den verschiedenen<br />
Branchen vorgenommen werden. Dies gilt insbesondere<br />
in nicht so hochtechnisierten Ländern, in denen Produktionsanlagen<br />
oftmals mit deutlich geringer qualifiziertem<br />
Personal gefahren und gewartet werden. Es empfiehlt<br />
sich daher, einen direkten Draht zu den Endkunden,<br />
Nutzern und kommunalen Entscheidern aufzubauen.<br />
ZVEI-Aktivitäten: Die Energiewirtschaft insgesamt ist<br />
stark von politischen Vorgaben geprägt. Je nach Region<br />
und Land gibt es große Unterschiede in der Entwicklung<br />
der einzelnen Marktsegmente. Sowohl die Größe<br />
der Automatisierungsmärkte als auch die konkreten<br />
Ausgestaltungen im Bereich Smart Grids, erneuerbarer<br />
Energien, CO 2 -Abscheidung und auch bei der Wasserstofftechnologie<br />
werden durch politische und gesetzliche<br />
Entwicklungen bestimmt. Es kommt für die Automatisierungsunternehmen<br />
und einen Verband wie dem<br />
ZVEI daher darauf an, nicht nur die technischen Entwicklungen<br />
und Anforderungen zu kennen, sondern<br />
auch die Entwicklungen und Entscheidungen auf politischer<br />
und rechtlicher Seite intensiv zu beobachten,<br />
daraus frühzeitig Schlussfolgerungen für die Automatisierungstechnik<br />
zu ziehen und in die Branche hinein<br />
zu kommunizieren.<br />
ManuSkRiptEinGanG<br />
20.08.2010<br />
REFEREnZEn<br />
Im Peer-Review-Verfahren begutachtet<br />
[1] S. Behrendt,Erdmann, L. integriertes technologie-<br />
Roadmapping – ein praktischer Leitfaden zur Suche<br />
nach technologischen antworten auf gesellschaftliche<br />
Herausforderungen und trends, ZVEi/iZt, Frankfurt/M,<br />
2007<br />
[2] ZVEi: integrierte technologie-Roadmap automation<br />
2015+. ZVEi, Frankfurt/M 2006<br />
[3] i nternationale Energie agentur: World Energy outlook<br />
2008. paris, 2008<br />
[4] Shell international BV: Shell Energy Scenarios to 2050.<br />
Shell international BV, 2008.<br />
(http://www.shell.com/scenarios)<br />
autoREn<br />
DipL.-pHYS. TimOn WEHnERT<br />
(geb. 1969) ist seit 2000 Projektleiter am<br />
Institut für Zukunftsstudien und Technologiebewertung<br />
(IZT) gGmbH Berlin.<br />
Timon Wehnert arbeitet vorwiegend zu<br />
Themen der nachhaltigen Energiewirtschaft.<br />
Forschungsschwerpunkte sind<br />
langfristige Szenarien für den Energiesektor,<br />
kommunale Energiestrategien und<br />
die Analyse der Potenziale regenerativer Energieversorgungssysteme.<br />
Sein Fokus liegt dabei auf diskursiven Methoden der<br />
Technologiebewertung, die eine Integration von Anwendern<br />
und Schlüsselakteuren in Innovations- und Strategieprozessen<br />
beinhalten.<br />
izT – institut für zukunftsstudien<br />
und Technologiebewertung,<br />
Schopenhauerstr. 26, D-14129 Berlin,<br />
Tel. +49 (0) 30 80 30 88 13,<br />
E-mail: t.wehnert@izt.de<br />
DR. mARKuS<br />
WinzEniCK<br />
(geb. 1966) ist seit<br />
2001 im ZVEI-Fachverband<br />
Automation<br />
tätig. Seit 2007 leitet<br />
er den Fachbereich<br />
Schaltgeräte, Schaltanlagen,<br />
Industriesteuerungen.<br />
Parallel dazu ist er für die<br />
Koordinierung und Bearbeitung übergreifender<br />
technischer Themenfelder im<br />
Fachverband Automation zuständig.<br />
zVEi – zentralverband-Elektrotechnikund<br />
Elektronikindustrie e.V.,<br />
Fachverband Automation,<br />
Lyoner Straße 9, D-60528 Frankfurt am main,<br />
Tel. +49 (0) 69 630 24 26,<br />
E-mail: winzenick@zvei.org<br />
54<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
NEU<br />
Abo plus<br />
mit Heft<br />
+ ePaper<br />
Die Referenzklasse für die<br />
Automatisierungstechnik<br />
Erfahren Sie auf höchstem inhaltlichen Niveau, was die<br />
Automatisierungsbranche bewegt. Alle Hauptbeiträge<br />
werden in einem Peer-Review-Verfahren begutachtet,<br />
um Ihnen maximale inhaltliche Qualität zu garantieren.<br />
Sichern Sie sich jetzt das doppelte Lektüreerlebnis. Als<br />
exklusiv ausgestattetes Heft und als praktisches ePaper<br />
– ideal für unterwegs, auf mobilen Endgeräten oder<br />
zum Archivieren.<br />
Gratis für Sie: Das NAMUR-Kompendium 2010<br />
Automatisierung für die Prozessindustrie als ePaper<br />
Schärfen Sie Ihren Blick für neue Märkte und verschaffen Sie sich einen Überblick zum aktuellen<br />
Stand der Technik. Mit diesem Sammelband bekommen Sie nützliche Anregungen zu den Themen<br />
Feldbus, Asset-Management, Geräteintegration, Instandhaltung, Anlagensicherheit oder Umbau<br />
bestehender Produktionseinrichtungen.<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong> erscheint in der Oldenbourg Industrieverlag GmbH, Rosenheimerstr. 145, 81671 München<br />
Oldenbourg-Industrieverlag<br />
www.<strong>atp</strong>-online.de<br />
Vorteilsanforderung per Fax: +49 (0) 931 / 4170 - 492 oder im Fensterumschlag einsenden<br />
Ja, ich möchte <strong>atp</strong> <strong>edition</strong> im Abo-plus-Paket lesen.<br />
Bitte schicken Sie mir die Fachpublikation als gedrucktes Heft + digital als ePaper<br />
(PDF-Datei als Einzellizenz) für € 598,- zzgl. Versand (Deutschland: € 30,- / Ausland: € 35,-) pro Jahr.<br />
Zudem erhalte ich das NAMUR-Kompendium 2010 „Automatisierung für die Prozessindustrie“<br />
gratis als ePaper.<br />
Nur wenn ich nicht bis von 8 Wochen vor Bezugsjahresende kündige, verlängert sich der Bezug<br />
um ein Jahr.<br />
Die sichere, pünktliche und bequeme Bezahlung per Bankabbuchung wird mit einer Gutschrift von<br />
€ 20,- auf die erste Jahresrechung belohnt.<br />
Firma/Institution<br />
Vorname/Name des Empfängers<br />
Straße/Postfach, Nr.<br />
Land, PLZ, Ort<br />
Telefon<br />
Telefax<br />
Antwort<br />
Leserservice <strong>atp</strong><br />
Postfach 91 61<br />
97091 Würzburg<br />
E-Mail<br />
Branche/Wirtschaftszweig<br />
Bevorzugte Zahlungsweise □ Bankabbuchung □ Rechnung<br />
Bank, Ort<br />
Bankleitzahl<br />
✘<br />
Kontonummer<br />
Widerrufsrecht: Sie können Ihre Vertragserklärung innerhalb von 14 Tagen ohne Angabe von Gründen in Textform (Brief, Fax, E-Mail) oder durch<br />
Rücksendung der Sache widerrufen. Die Frist beginnt nach Erhalt dieser Belehrung in Textform. Zur Wahrung der Widerrufsfrist genügt die rechtzeitige Datum, Unterschrift<br />
PAATPE0111<br />
Absendung des Widerrufs oder der Sache an den Leserservice <strong>atp</strong>, Postfach 91 61, 97091 Würzburg.<br />
Nutzung personenbezogener Daten: Für die Auftragsabwicklung und zur Pfl ege der laufenden Kommunikation werden personenbezogene Daten erfasst, gespeichert und verarbeitet. Mit dieser Anforderung erkläre ich mich damit einverstanden, dass ich vom<br />
Oldenbourg Industrieverlag oder vom Vulkan-Verlag □ per Post, □ per Telefon, □ per Telefax, □ per E-Mail, □ nicht über interessante Fachangebote informiert und beworben werde. Diese Erklärung kann ich mit Wirkung für die Zukunft jederzeit widerrufen.
hauPtbEitrag<br />
Life Cycle Cost Model for<br />
Distributed Control Systems<br />
A Taxonomy-based Approach<br />
The introduction of short-lived IT-related commercial-off-the-shelf (CotS) components into<br />
the domain of process automation has enabled a drastic decrease in Distributed Control<br />
Systems (DCS) acquisition cost. However, the high obsolescence rate of CotS components<br />
has drastically increased the number of required upgrades during its life cycle. It has<br />
become very difficult to compare investment options since a lot of costs moved from the<br />
initial acquisition to later stages. One answer to this problem is to use the life cycle cost<br />
(LCC) of a system as decision basis. LCC approaches are already in use in other domains,<br />
and in this article we present a cost taxonomy and calculation model that takes into account<br />
the peculiarities of the process automation domain.<br />
SCHLAGWÖRTER Life Cycle Costs / Distributed Control Systems / Migration / Evolution<br />
Lebenszykluskostenmodell für Leitsysteme –<br />
Ein taxonomiebasierter Ansatz<br />
Durch die Einführung kurzlebiger, preiswerter Commercial-off-the-Shelf-Komponenten<br />
(CotS) in moderne Prozessleitsysteme konnten die Anschaffungskosten dieser Systeme<br />
dramatisch verringert werden. Allerdings führt die hohe Obsoleszenzrate der CotS-Komponenten<br />
zu einem enormen Anstieg der Systemerneuerungen im Laufe des Lebenszyklus.<br />
Durch die Kostenverschiebung in die Nachkaufphase wird gleichzeitig der seriöse Vergleich<br />
zwischen Investitionsalternativen erschwert. Die in diesem Beitrag vorgeschlagene<br />
Lösung verwendet Lebenszykluskosten als Entscheidungsbasis für Investitionen in Leitsysteme.<br />
Der Idee der Lebenszykluskosten wird schon in anderen Branchen Rechnung<br />
getragen, daher konzentriert sich der vorliegende Ansatz auf die Eigenheiten der Domäne<br />
Prozessautomation.<br />
KEYWORDS Lebenszykluskosten / Prozessleitsysteme / Migration / Evolution<br />
56<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
MARCEL Dix, RALf GiTzEL, CHRiS M. STiCH, abb<br />
Traditionally, process automation is a domain<br />
that is characterized by long-term investments<br />
and comparatively static systems. Recently, the<br />
introduction of short-lived IT-related commercial-off-the-shelf<br />
(CotS) components into the<br />
domain has brought a completely new aspect into the<br />
equation. On the one hand, it has enabled a drastic decrease<br />
in DCS acquisition costs. On the other hand, the<br />
high obsolescence rate of CotS components has significantly<br />
increased the number of required upgrades during<br />
the life cycle of a DCS. With a lot of the costs moved from<br />
the initial acquisition to later stages, it has become more<br />
difficult to compare investment options reasonably.<br />
One answer to this problem is to use the life cycle cost<br />
(LCC) of a system as decision basis. LCC approaches are<br />
already in use in other domains, and in this article we<br />
present a cost taxonomy and calculation model that takes<br />
into account the peculiarities of the process automation<br />
domain. The model has been developed at ABB Corporate<br />
Research in Germany as part of the Industrial Software<br />
Solutions research program.<br />
1. Life CyCLe Cost CaLCuLation<br />
Due to the increasing impact of after-sales cost, acquisition<br />
cost is a poor measurement for comparing different investment<br />
strategies. It is a common experience that quality products<br />
tend to have a higher cost up front but will work better<br />
and have fewer defects. For this reason, a preferable<br />
approach is to compare DCS investments by calculating the<br />
LCC associated with the system. Life Cycle Cost Calculation,<br />
which actually does not regard costs but discounted cash<br />
flows, is a recent trend in manufacturing that is largely industry-driven<br />
(see for example [1] and [2], but also [3] and<br />
[4]). The LCC concept is closely related to Total Cost of Ownership<br />
[5]. While there have been attempts to differentiate<br />
the two terms (cf. [1]), we do not believe this delineation to<br />
be globally accepted or even useful in a practical context.<br />
There exist LCC examples for different markets ranging<br />
from carpeting [6] to industrial valves [7]. While these examples<br />
share some fundamental similarities, the actual<br />
cost elements included in the calculation can vary widely<br />
from domain to domain.<br />
2. LCC-ReLated PRoPeRties of distRibuted<br />
ContRoL systems<br />
In order to create an LCC calculation model for a domain,<br />
it is important to identify the unique properties of that<br />
field. In particular, specific cost drivers have to be identified.<br />
Based on expert interviews, the analysis of pilot cases<br />
and some prior work [8], we have isolated several important<br />
factors that are not typically present in other domains.<br />
Evolution One of the core differences to most other domains<br />
is the fact that system configurations evolve over<br />
time. Other industries such as automobile manufacturers<br />
look at individual machines. A single machine is typically<br />
not subject to major redesigns and thus LCC models from<br />
these areas do not consider evolution as a cost driver. For<br />
a DCS, the focus is on a system that has static components<br />
such as controllers and some rather volatile ones such as<br />
PCs. The latter experience not only replacements but also<br />
upgrades with changing functionality. The costs associated<br />
with these changes to the system are an important cost<br />
driver.<br />
Obsolescence A factor closely related to evolution is<br />
obsolescence. Not all changes are driven by the customer’s<br />
desire for new features (cf. [9]). In fact, often intact equipment<br />
has to be replaced to reduce the risk of catastrophic<br />
failure scenarios. The spare parts for obsolete equipment<br />
might be unavailable, expensive and/or time-consuming<br />
to obtain [10]. In addition, the replacement of one system<br />
component might trigger a cascade of changes due to<br />
compatibility issues.<br />
Software Most Life Cycle Cost Calculations focus on<br />
mechanical or mechatronic devices. A DCS adds the additional<br />
factor of software to the equation. Software costs<br />
for the client is a little-understood field so far. Nevertheless,<br />
the costs associated with applying updates and<br />
other software-related activity must not be neglected.<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
57
hauPtbEitrag<br />
system (e.g. the AC800M controller with the serial number<br />
4711). Instances reflect the individual properties of objects<br />
within a system, such as criticality for system uptime, redundancy,<br />
and function. An instance that represents several<br />
items also has a quantity property. Even if they represent<br />
the same “type” of product, two instances might vary<br />
greatly. For example, a PC that is used as an operator station<br />
might have a different impact on LCC than that one used<br />
as a server due to its effect on system downtime.<br />
All instance descriptions together represent the system<br />
under observation. While the LCC model is somewhat<br />
flexible regarding what does and what does not belong<br />
to the system, its primary focus is on those components<br />
on the DCS level. This includes the HMI and the controllers,<br />
but not the field devices and lower components.<br />
Finally, general Life Cycle Information has to be provided<br />
in order to calculate the life cycle cost of a system.<br />
This information includes the interest rate to use for discounting<br />
the cash flows, cost for system downtime, and<br />
the hourly rate of the service technician.<br />
By applying a cost model to an input model, a LCC<br />
calculation can be performed. Our cost model is based<br />
on the cost taxonomy shown in Figure 3. Cost categories<br />
that turned out to be of lesser importance have been<br />
marked in gray.<br />
The cost categories on the top level are costs for maintenance,<br />
changes to the system, running service contracts,<br />
and costs for leasing equipment. Maintenance<br />
costs can be split up into costs for preventive and for<br />
corrective measures. Both categories can in turn be split<br />
into material, downtime, and personnel cost. However,<br />
the pilot cases have shown that the material and downfiGURE<br />
1: Three LCC Input Model Layers<br />
Product information<br />
Products<br />
instance<br />
information<br />
instance<br />
information<br />
instance<br />
information<br />
instance<br />
information<br />
instance<br />
information<br />
Component<br />
Products<br />
service<br />
Products<br />
Life Cycle information<br />
software<br />
Component<br />
Hardware<br />
Component<br />
Preventive<br />
service<br />
Corrective<br />
service<br />
software<br />
service<br />
Remote<br />
service<br />
spare Parts<br />
service<br />
fiGURE 2:<br />
Products in a DCS<br />
In addition to these domain-specific factors, the typical<br />
LCC drivers such as maintenance cost and installation<br />
also apply.<br />
3. PResentation of LCC modeL<br />
ABB’s LCC approach consists of a multi-layered input<br />
model (Figure 1) and a cost model (Figure 3) that transforms<br />
the input model into cost information. The output<br />
can range from a single value (i.e. total LCC) to any kind<br />
of cost breakdown.<br />
The input model consists of three layers that have to<br />
be defined consecutively (Figure 1). On the top layer of<br />
this model, general product information is needed.<br />
This information is not tailored to a particular system<br />
and describes failure behavior, acquisition costs and<br />
other factors that are shared by all instances of the<br />
product. Since not all components have the same properties,<br />
e.g. a service product does not have a Mean<br />
Time to Failure (MTTF), a taxonomy of product types<br />
was devised (Figure 2). For the sake of space, the exact<br />
properties of these types are elaborated on a need-toknow<br />
basis throughout this section. The Product Information<br />
layer is called a “metamodel” and is reused in<br />
the context of system models created for different LCC<br />
calculations.<br />
Unlike the first layer, the second layer is problem-specific<br />
and describes a particular DCS. Where the product information<br />
layer describes the general properties of a product<br />
(e.g. that of an AC800M controller), the Instance Information<br />
layer describes the actual components used in a<br />
58<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
Cost per<br />
Period<br />
maintenance<br />
Change<br />
service<br />
Contracts<br />
Leasing<br />
Cost<br />
Corrective<br />
maintenance<br />
Preventive<br />
maintenance<br />
acquisition<br />
installation<br />
Personnel<br />
Cost<br />
other<br />
Cost<br />
material<br />
Cost<br />
material<br />
Cost<br />
material<br />
Cost<br />
downtime<br />
Cost<br />
downtime<br />
Cost<br />
downtime<br />
Cost<br />
Personnel<br />
Cost<br />
Personnel<br />
Cost<br />
Personnel<br />
Cost<br />
Personnel<br />
Cost<br />
fiGURE 3: LCC Cost Model<br />
time cost for preventive maintenance are negligible.<br />
Changes to the system comprise the acquisition of new<br />
devices and their installation. The acquisition incurs material<br />
cost (typically the purchase prices) as well as some personnel<br />
cost overhead for ordering which has a lesser impact.<br />
The installation of the new devices results in personnel cost<br />
as well as planned downtime cost. In some cases, material<br />
cost can be reduced to zero by leasing systems.<br />
Service contracts in our model are considered to be<br />
personnel cost as they primarily represent the use of<br />
external manpower. A typical service contract represents<br />
an agreement to provide services such as corrective<br />
maintenance. In some cases, the amount of service required<br />
cannot be planned and there will be money to<br />
pay beyond the basic contract. These extra costs are covered<br />
by the corrective maintenance section.<br />
3.1. Corrective maintenance Costs<br />
Corrective maintenance cost is an interesting element in<br />
LCC, because it is not deterministic and requires a lot of<br />
data to be calculated properly. There are many accepted<br />
approaches for the determination of reliability. However,<br />
some of the more involved processes are time and cost intensive.<br />
In order to reduce effort to an acceptable minimum,<br />
our cost model allows three ways of modeling failure.<br />
Rule of thumb failure modeling involves two simple<br />
data elements. First, the percentage of failures during the<br />
warranty period is determined. Second, the general type<br />
of failure rate is identified. The failure rate can either by<br />
decreasing (infant mortality), increasing (wear-out) or be<br />
constant. Using these two values, it becomes possible to<br />
extrapolate a rough estimate for failure behavior. Obviously,<br />
this method should only be used for components<br />
that are not main cost drivers. It is generally suitable for<br />
items that are not used in great numbers and do not cause<br />
system downtime.<br />
Simple failure modeling is based on failure descriptions<br />
provided by the vendor. The MTTF given is enhanced<br />
by the same shape information provided for the rule<br />
of thumb model. This model is maybe a little better than<br />
the rule of thumb but, again, should only be used for<br />
equipment of lesser importance.<br />
Complex failure modeling is done by creating a fault<br />
tree of possible failures and their associated cost effects.<br />
The failure probabilities are either taken from<br />
empirical research or from theoretical calculations.<br />
Two types of components will profit from such a detailed<br />
calculation. On the one hand, failure-prone<br />
equipment such as PCs can be better understood. On<br />
the other hand, really critical components such as controllers<br />
influence the LCC through downtime costs and<br />
thus are important cost drivers as well. Using Monte<br />
Carlo simulation, it is possible to create several scenarios<br />
that reflect different failure occurrences and thus<br />
costs. The different elements of corrective maintenance<br />
costs for a period can be calculated for each scenario<br />
to get an expected value.<br />
Material costs for corrective maintenance is calculated<br />
as shown in Figure 4. First, the number of failures in<br />
the period is determined using simulation and the probabilities<br />
described above. From these failures, all warranty<br />
cases are removed. Next, the average spare parts<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
59
hauPtbEitrag<br />
cost for the product is determined. In the case of Complex<br />
Failure Modeling, different values can be used for different<br />
types of failures. The total material costs are the<br />
average costs for a spare part times the number of failures.<br />
After a repair, a component is considered to be “as<br />
good as new”, resetting its age to 0. It should be noted<br />
that the cost driver “obsolescence” has an indirect influence<br />
on the material cost as the spare part costs will<br />
typically increase once a product becomes obsolete.<br />
Personnel costs of corrective maintenance depend on<br />
the working time needed to fix the failures. The calculation<br />
process is shown in Figure 5. Two values are<br />
important for personnel cost – the number of Relevant<br />
Failures in a period and the number of service Incidents.<br />
The number of Relevant Failures is the number<br />
of failures in the period that are not covered by warranty.<br />
The number of Incidents is equal to the number of<br />
failures unless two or more failures occur at the same<br />
time. In that case they can be covered by a single service<br />
incident. For example, if 5 failures occur in a period but<br />
2 of them occur at the same time, there will be only 4<br />
service incidents. 3 of the incidents occur for each single<br />
failure, the last incident for the 2 failures that occurred<br />
at the same time.<br />
The corrective maintenance time for an instance (Total<br />
Instance Manhours) is the sum of the actual working<br />
time for all failures and the travel time for all incidents.<br />
The working time for each failure is called Mean Time<br />
to Repair (MTTR) and depends on the product and the<br />
type of failure. The travel time is based on the distance<br />
of the plant to the service base. For each instance, the<br />
technician has to travel twice the distance (back and<br />
forth). The Travel Cost for an incident includes kilometer<br />
allowance for the distance travelled and the daily allowances<br />
for the technician.<br />
The global personnel cost for corrective maintenance<br />
is the sum of all Total Instance Manhours reduced by the<br />
service hours provided as part of the contract multiplied<br />
by the hourly rate. Added to this value are the total travel<br />
costs for all incidents.<br />
Since there are many different possible constellations<br />
in a service incident, a few simplifications have to be<br />
made. In our case, we assume that all problems will be<br />
handled by a single service technician who will drive to<br />
the plant, work 8h a day, and will stay overnight between<br />
days regardless of distance. Also, typically each failure<br />
is considered to result in its own incident, i.e. there are<br />
no synergy effects for repair. The only exceptions are<br />
redundant components that fail at the same time, which<br />
can obviously be handled in one go.<br />
Downtime cost for corrective maintenance is based on<br />
the lengths of incidents. However, the time for travelling<br />
back is not included, since the problem is already fixed<br />
then. The incident length is the work time, plus travel<br />
time and response time. Response time is influenced by<br />
the service contracts for Corrective Maintenance and<br />
Spare Part Delivery. Obsolescence has a big influence<br />
here, i.e. there might be no acceptable guaranteed times<br />
for the delivery of obsolete parts. Since it is an unlikely<br />
case, the model ignores the possibility that a part will be<br />
unavailable at all.<br />
3.2. Preventive maintenance Cost<br />
As has been mentioned above, the main cost factor for<br />
preventive maintenance is personnel costs. Preventive<br />
maintenance can involve many different tasks such as<br />
cleaning components, replacing wearing parts, and applying<br />
software patches or firmware updates. Depending<br />
on the plant operator’s domain, other activities may be<br />
included. Preventive maintenance activities differ from<br />
corrective maintenance in that, in our model, they can<br />
mostly be planned in advance and that they don’t actually<br />
affect the component’s life expectancy. For the latter<br />
reason, comparing the impact of different levels of service<br />
quality is currently beyond the scope of our model.<br />
Due to its nature, the preventive maintenance personnel<br />
cost is relatively easy to calculate. The time needed for all<br />
preventive maintenance activities is summed up and treated<br />
as a single service mission. The overhead for travel is<br />
added in the same fashion as for corrective maintenance.<br />
determine<br />
number of<br />
failures<br />
ignore<br />
Warranty<br />
Cases<br />
<br />
Relevant<br />
failtures<br />
Calculate total<br />
spare Parts<br />
Cost<br />
determine<br />
spare Parts<br />
Cost<br />
<br />
spare Part<br />
Cost<br />
fiGURE 4: Spare Part Cost for an Instance<br />
60<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
Due to its predictable nature, downtime cost can be<br />
avoided by using scheduled phases of no production. In<br />
24/7 systems, redundancy typically allows preventive<br />
maintenance without downtime as well. For these reasons,<br />
we consider preventive maintenance downtime to<br />
be an unnecessary element in the cost model. Also, the<br />
activities described as preventive maintenance involve<br />
little material and therefore the aspect of material costs<br />
can also be neglected.<br />
3.3. Cost of CHange<br />
Changes to the system (in which we include the original<br />
creation of the system) are important cost drivers. There<br />
are two aspects to consider; the acquisition of the new<br />
components and the installation.<br />
The acquisition costs for a planned change project<br />
consists mostly of the purchase price of the components.<br />
For software components, there is a recent trend<br />
to offer these as part of subscription programs, which<br />
grant a discount on the price (up to 100%). There is<br />
some overhead for ordering and order tracking. However,<br />
even in complex cases, this amount is only of<br />
minor impact.<br />
Of similar impact and greater complexity are the costs<br />
for installation that consist of costs that can be assigned<br />
directly to specific components and overhead costs. The<br />
algorithm for determining the installation costs is<br />
shown in Figure 6. For all components, the time required<br />
for installation is determined. To these costs, two<br />
overhead blocks are added. First, there are the costs for<br />
travel (comprised of the time needed, hotel and kilometer<br />
cost). Second, there are the costs for engineering.<br />
Determining the exact costs would require a detailed<br />
analysis of the actual project, which is something that<br />
would add a great level of complexity to the system. In<br />
particular, engineering overhead not only affects the<br />
Perform for<br />
all hardware<br />
instances<br />
individual Hardware instance<br />
Global<br />
ignore<br />
Warranty Cases<br />
determine<br />
number of<br />
failures<br />
Create<br />
incidents<br />
<br />
Response time<br />
Calculate<br />
travel Cost<br />
per incident<br />
{all instances}<br />
{all instances}<br />
Calculate total<br />
travel Cost<br />
<br />
Relevant failtures<br />
<br />
mttR<br />
<br />
incidents<br />
<br />
travel Cost<br />
Look up free<br />
Hours from<br />
service Contract<br />
<br />
free Hours<br />
Calculate Work<br />
manhours<br />
{all failures}<br />
Calculate travel<br />
manhours<br />
{all incidents}<br />
{all instances}<br />
Calculate time<br />
to Pay<br />
<br />
Hourly Rate<br />
<br />
total instance<br />
manhours<br />
<br />
Hours to lay<br />
<br />
total travel Cost<br />
fiGURE 5: Corrective Maintenance Personnel Cost<br />
Compute<br />
Personnel Cost<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
61
hauPtbEitrag<br />
newly installed components but also the existing system<br />
that has to be changed to accommodate its new elements.<br />
The model uses a rule of thumb, where the engineering<br />
overhead is a value depending on the system size (i.e.<br />
there is a lookup-table for engineering costs).<br />
3.4. Costs for service Contracts<br />
Besides the actual costs for corrective and preventive<br />
service, there are typically standby contracts, coupled<br />
with certain service level agreements. In our model,<br />
the costs for service contracts are considered to be<br />
personnel costs. Each service contract is tied to an<br />
annual fee which can also depend on system circumstances.<br />
For example, service costs might depend on<br />
the number of controllers and might also depend on<br />
the age of a product. In the case of ABB, products are<br />
considered to be either active, classic (no longer sold<br />
but still supported), limited or obsolete. The price for<br />
service contracts can depend on the “Life Cycle Phase”<br />
of a product as well, making maintenance of classic<br />
products more expensive than that of active ones.<br />
It should be noted that the model is currently not designed<br />
to allow modeling do-it-yourself service. Internal service<br />
units’ costs can not be appropriately assigned to a single<br />
system if they are responsible for more than one. A detailed<br />
discussion of this phenomenon is beyond the scope of this<br />
paper but it should suffice to say that it only makes sense<br />
cost-wise for a plant operator to replace internal service to<br />
avoid an increase in internal capacity or if the decrease in<br />
needed service would allow reducing the work force. Having<br />
external service providers taking over tasks while the<br />
own employees sit idle is not going to save any cost.<br />
fiGURE 6:<br />
Costs for<br />
Installation<br />
determine instances that Change<br />
{all Changing instances}<br />
SCEnARiO 1<br />
multiply the new Product´s<br />
installation time (based on Life<br />
Cycle Phase) With Hourly Rate<br />
230‘<br />
{all Changing instances}<br />
add all installtion Costs<br />
Calculate travel<br />
time from<br />
distance<br />
Look up engineering Cost<br />
based on system size<br />
multiply distance<br />
With Kilometer<br />
allowance<br />
SCEnARiO 2<br />
add all<br />
installation<br />
times<br />
Calculate<br />
number of<br />
nights and days<br />
from total time<br />
260‘<br />
Calculate Hotel<br />
and daily<br />
allowance Cost<br />
add overhead to<br />
installation Cost<br />
fiGURE 7: Comparison of Expected Cost<br />
62<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
Automatisierungstechnische Praxis<br />
Genießen Sie das beruhigende Gefühl, bestens informiert zu sein.<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong> erscheint in der Oldenbourg Industrieverlag GmbH, Rosenheimer Str. 145, 81671 München, GF: Hans-Joachim Jauch<br />
Gratisanforderung Telefax: +49 (0) 931 / 4170 492 • Telefon: +49 (0) 931 / 4170 1615<br />
Bitte senden Sie mir ein persönliches<br />
Leseexemplar der <strong>atp</strong> <strong>edition</strong> zu.<br />
Firma/Institution<br />
Titel, Vorname, Name des Empfängers<br />
Straße/Postfach, Nr.<br />
Land, PLZ, Ort<br />
Antwort<br />
Leserservice <strong>atp</strong><br />
Postfach 91 61<br />
97091 Würzburg<br />
Telefon<br />
E-Mail<br />
Branche/Wirtschaftszweig<br />
Position in Firma/Institution<br />
✘<br />
Datum, Unterschrift<br />
Telefax<br />
PAATPE0110<br />
Garantie: Diese Anforderung kann innerhalb von 14 Tagen beim Leserservice <strong>atp</strong> <strong>edition</strong>, Postfach 91 61, 97091 Würzburg schriftlich widerrufen werden. Die rechtzeitige Absendung der<br />
Mitteilung genügt. Für die Auftragsabwicklung und die Pflege der Kommunikation werden Ihre persönlichen Daten erfasst und gespeichert. Mit dieser Anforderung erkläre ich mich damit<br />
einverstanden, dass ich per Post, Telefon, Telefax oder E-Mail über interessante Verlagsangebote informiert werde. Diese Erklärung kann ich für die Zukunft jederzeit widerrufen.
hauPtbEitrag<br />
Life Cycle Plan 1<br />
Life Cycle Plan 2<br />
fiGURE 8: Comparison of Value at Risk<br />
3.5. Costs for Leasing<br />
Costs for leasing are an annual fee that depends on the<br />
number of components that are leased. Currently, leasing<br />
is only common for PCs but within the model it<br />
can also be applied to other types of equipment and<br />
even software.<br />
4. using tHe Cost modeL<br />
The cost model described above is focused on individual<br />
scenarios. During a planning phase, it is not so<br />
much the individual scenarios that are of interest but<br />
a general prediction of the future. For this purpose, the<br />
cost model can be used in conjunction with Monte Carlo<br />
simulation. A series of random “life cycle histories”<br />
can be created based on the probabilities given for the<br />
various failure events. These can be used to calculate<br />
two different values that allow dedicated statements<br />
about different life cycle plans.<br />
The expected life cycle costs are the average of all generated<br />
scenarios’ life cycle costs. It allows a quick comparison between<br />
two life cycle plans. However, it does not take into account<br />
the risk associated with a particular life cycle plan.<br />
The value at risk<br />
is the amount of cost<br />
that will not be surpassed in x% of all simulated cases.<br />
It is a good indicator for the risk associated with a particular<br />
life cycle.<br />
Figure 7 and Figure 8 show an example, where two possible<br />
life cycle plans are compared. Scenario 1 is a DCS that<br />
uses a controller with a short product life cycle which is<br />
replaced by its successor model in 2014. Scenario 2 depicts<br />
the use of a controller with a long life cycle support, thus<br />
requiring no planned exchange.<br />
The comparison of expected costs per period in Figure<br />
7 gives an impression of what cost categories will impact<br />
our life cycle in which periods. It can be seen that life<br />
64<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
cycle plan 2 has a higher acquisition costs in period 2008<br />
but has lower costs in most of the following periods.<br />
However, a lower average costs do not necessarily mean<br />
lower costs in most or all of the possible cases. Figure 8<br />
shows histograms of all simulation scenarios for both<br />
plans. The resulting life cycle scenarios are grouped by<br />
resulting LCC. As can be seen, the long-term support also<br />
pays off in worse cases than expected on average. For example,<br />
with life cycle plan 2, the cost will be less than<br />
922’000 € in 95% of the cases. This is no longer an average<br />
autorEn<br />
DiPL.-infORM. (fH)<br />
MARCEL Dix (geb. 1975) ist<br />
wissenschaftlicher Mitarbeiter<br />
im Forschungsprogramm<br />
Industrial Software Systems<br />
am ABB Forschungszentrum<br />
in Ladenburg.<br />
ABB AG forschungszentrum Deutschland,<br />
Wallstadter Str. 59, D-68526 Ladenburg,<br />
Tel. + 49 (0) 6203 71 62 47,<br />
E-Mail: marcel.dix@de.abb.com<br />
DR. RER. POL. RALf GiTzEL<br />
(geb. 1975) ist wissenschaftlicher<br />
Mitarbeiter im<br />
Forschungsprogramm<br />
Industrial Software Systems<br />
am ABB Forschungszentrum<br />
in Ladenburg.<br />
ABB AG forschungszentrum Deutschland,<br />
Wallstadter Str. 59, D-68526 Ladenburg,<br />
Tel. +49 (0) 6203 71 61 08,<br />
E-Mail: ralf.gitzel@de.abb.com<br />
DiPL.-inG. CHRiS M. STiCH<br />
(geb. 1970) ist Gruppenleiter<br />
der Forschungsgruppe Life<br />
Cycle Science am ABB<br />
Forschungszentrum in<br />
Ladenburg.<br />
ABB AG forschungszentrum Deutschland,<br />
Wallstadter Str. 59, D-68526 Ladenburg,<br />
Tel. +49 (0) 6203 71 62 11,<br />
E-Mail: christian.stich@de.abb.com<br />
value but one that includes scenarios where we experience<br />
a lot more problems than expected. However, with life<br />
cycle plan 1, these extreme scenarios hold higher costs. It<br />
is possible that a life cycle plan comparison will not yield<br />
such definite results. In those cases, it becomes necessary<br />
to reach a decision that is based on the risk strategy of the<br />
company. For example, risk-averse plant operators will<br />
accept increased expected costs over a high value at risk.<br />
5. ConCLusions<br />
In this article, we have shown a framework for the calculation<br />
of life cycle costs for distributed control systems.<br />
Its cost model is based on industry standards and<br />
similar models in related industries. Additionally, it has<br />
been adapted to the peculiarities of the domain of process<br />
automation such as evolution and obsolescence. Our<br />
approach has been used in several pilot cases and will<br />
serve as a basis for a sales tool allowing customers to<br />
choose the solution that benefits them the most over the<br />
whole life cycle.<br />
ManuSKriPtEingang<br />
06.10.2010<br />
LitEraturE<br />
Im Peer-Review-Verfahren begutachtet<br />
[1] VDMa 34160:2006-06 Forecasting model for lifecycle costs of machines and<br />
plants. technical report, VDMa, Frankfurt, 2006<br />
[2] VDi 2884: Purchase, operating, and maintenance of production equipment<br />
using Life Cycle Costing (LCC), 2005<br />
[3] Fuller, Sieglinde, K. and Petersen, Stephen r.: Life-Cycle Costing Manual<br />
for the Federal Energy program. technical handbook 135, uS Department<br />
of Commerce, boulder, Colorado, uSa, 1995<br />
[4] Din En 60300-3-3 Dependability management – Part 3-3: application guide<br />
– Life Cycle Costing, 2004<br />
[5] Kirvin, bill: tCo – applied Methodology tools. http://amt.gartner.com/<br />
tCo/MoreabouttCo.htm, 1987, last visited 2007-12-1<br />
[6] Carpet and rug institute: understanding the real Cost of Carpet,<br />
http://www.facilitiesnet.com/bom/article.asp?id=2021, 2004, last visited<br />
2008-2-28<br />
[7] Dervisopoulos, Marina; Schatka, anne; torney, Meike; Warwela, Marc: Life<br />
Cycle Costing im Maschinen- und anlagenbau, in: industrie Management<br />
22, gito Verlag, pp. 55-58, 2006<br />
[8] Siemens: Life Cycle Cost analysis of Process auto mation Systems,<br />
technical Paper,<br />
https://www.sea.siemens.com/process/docs/tp39-6_rev2.pdf,<br />
last visited 2008-06-27<br />
[9] h auff, thomas: Prozessleitsysteme: Lebenszyklus und Qualität,<br />
<strong>atp</strong> 2006 (48), pp. 43-42, 2006<br />
[10] Peter Sandborn: trapped on technology’s trailing Edge, iEEE Spectrum<br />
4.08, 2008<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011<br />
65
impressum / vorschau<br />
impressum<br />
vorschau<br />
Verlag:<br />
Oldenbourg Industrieverlag GmbH<br />
Rosenheimer Straße 145<br />
D-81671 München<br />
Telefon + 49 (0) 89 4 50 51-0<br />
Telefax + 49 (0) 89 4 50 51-3 23<br />
www.oldenbourg-industrieverlag.de<br />
Geschäftsführer:<br />
Carsten Augsburger<br />
Jürgen Franke<br />
Hans-Joachim Jauch<br />
Publisher:<br />
Wolfgang Mönning<br />
Herausgeber:<br />
Dr. V. Huck<br />
Dr. G. Kegel<br />
Dipl.-Ing. H. Kumpfmüller<br />
Dr. N. Kuschnerus<br />
Beirat:<br />
Dr.-Ing. K. D. Bettenhausen<br />
Prof. Dr.-Ing. Ch. Diedrich<br />
Prof. Dr.-Ing. U. Epple<br />
Prof. Dr.-Ing. A. Fay<br />
Prof. Dr.-Ing. M. Felleisen<br />
Prof. Dr.-Ing. G. Frey<br />
Prof. Dr.-Ing. P. Göhner<br />
Dipl.-Ing. Th. Grein<br />
Prof. Dr.-Ing. H. Haehnel<br />
Dr.-Ing. J. Kiesbauer<br />
Dipl.-Ing. R. Marten<br />
Dipl.-Ing. G. Mayr<br />
Dr. J. Nothdurft<br />
Dr.-Ing. J. Papenfort<br />
Dr. A. Wernsdörfer<br />
Dipl.-Ing. D. Westerkamp<br />
Dr. Ch. Zeidler<br />
Organschaft:<br />
Organ der GMA (VDI/VDE-Gesellschaft<br />
Mess- und Automatisierungstechnik)<br />
und der NAMUR (Interessengemeinschaft<br />
Automatisierungs technik<br />
der Prozessindustrie).<br />
Redaktion:<br />
Gerd Scholz<br />
(verantwortlich)<br />
Telefon + 49 (0) 89 4 50 51-3 44<br />
Telefax + 49 (0) 89 4 50 51-3 23<br />
E-Mail: scholz@oiv.de<br />
Anne Hütter<br />
Telefon + 49 (0) 89 4 50 51-4 18<br />
Telefax + 49 (0) 89 4 50 51-3 23<br />
E-Mail: huetter@oiv.de<br />
Einreichung von Hauptbeiträgen:<br />
Prof. Dr.-Ing. Frank Schiller<br />
(Chefredakteur, verantwortlich für die<br />
Hauptbeiträge)<br />
Technische Universität München<br />
Lehrstuhl f. Informationstechnik<br />
in Maschinenwesen<br />
GF Automatisierungstechnik<br />
Boltzmannstraße 15<br />
D-85748 Garching bei München<br />
Telefon + 49 (0) 89 28 91 64 02<br />
E-Mail: schiller@oldenbourg.de<br />
Fachredaktion:<br />
M. Blum<br />
Prof. Dr. J. Jasperneite<br />
Dr. B. Kausler<br />
Dr. N. Kiupel<br />
Dr. W. Morr<br />
I. Rolle<br />
Bezugsbedingungen:<br />
„<strong>atp</strong> <strong>edition</strong> – Automatisierungstechnische<br />
Praxis“ erscheint<br />
monatlich mit einer Doppelausgabe im<br />
Januar/Februar und Juli/August.<br />
Bezugspreise:<br />
Abonnement (Deutschland):<br />
€ 460,– + € 30,– Versand<br />
Abonnement (Ausland):<br />
€ 460,– + € 35,– Versand<br />
Einzelheft: € 55,– + Versand<br />
Die Preise enthalten bei Lieferung<br />
in EU-Staaten die Mehrwertsteuer,<br />
für alle übrigen Länder sind es<br />
Nettopreise.<br />
Mitglieder der GMA: 30% Ermäßigung<br />
auf den Heftbezugspreis.<br />
Bestellungen sind jederzeit über den<br />
Leserservice oder jede Buchhandlung<br />
möglich.<br />
Die Kündigungsfrist für Abonnementaufträge<br />
beträgt 8 Wochen zum<br />
Bezugsjahresende.<br />
Abonnement-/<br />
Einzelheftbestellung:<br />
Leserservice <strong>atp</strong><br />
Postfach 91 61, D-97091 Würzburg<br />
Telefon + 49 (0) 931 4170-1615<br />
Telefax + 49 (0) 931 4170-492<br />
E-Mail: leserservice@oiv.de<br />
Verantwortlich für<br />
den Anzeigenteil:<br />
Marcus Plantenberg<br />
Mediaberatung<br />
pms plantenberg media service GmbH<br />
Andreas-Kasperbauer-Str. 34,<br />
85540 Haar<br />
Tel. +49 (0) 89 55 07 99 09<br />
Fax +49 (0) 89 55 07 99 08<br />
E-Mail:<br />
m.plantenberg@pms-plantenberg.de<br />
Annemarie Scharl-Send<br />
Mediaberatung<br />
sales & communications Medienagentur<br />
Kirchfeldstraße 9, 82284 Grafrath<br />
Tel. +49 (0) 8144 9 96 95 12<br />
Fax +49 (0) 8144 9 96 95 14<br />
E-Mail: ass@salescomm.de<br />
Anzeigenverwaltung:<br />
Brigitte Krawczyk<br />
Telefon + 49 (0) 89 4 50 51-2 26<br />
Telefax + 49 (0) 89 4 50 51-3 00<br />
E-Mail: krawczyk@oiv.de<br />
Druck:<br />
Druckerei Chmielorz GmbH<br />
Ostring 13<br />
65205 Wiesbaden-Nordenstadt<br />
Gedruckt auf chlor- und<br />
säurefreiem Papier.<br />
Die <strong>atp</strong> wurde 1959 als „Regelungstechnische<br />
Praxis – rtp“ gegründet.<br />
© 2011 Oldenbourg Industrieverlag<br />
GmbH München<br />
Die Zeitschrift und alle in ihr enthaltenen<br />
Beiträge und Abbildungen sind urheberrechtlich<br />
geschützt. Mit Ausnahme<br />
der gesetzlich zugelassenen Fälle ist<br />
eine Verwertung ohne Ein willigung des<br />
Verlages strafbar.<br />
ISSN 2190-4111<br />
Die AusgAbe 6 / 2011 Der<br />
erscheinT Am 6.6.2011<br />
miT folgenDen beiTrägen:<br />
Virtuelle Lösungen<br />
für den Erfolg realer Anlagen<br />
Werkstückträgertransfersysteme<br />
in der virtuellen Produktion<br />
Einsteiger: keine Angst<br />
vor SIL – IEC 61508<br />
Praxisrelevante Tests<br />
von Feldgeräten<br />
mit Profibus PA-3.02<br />
Inline-Check texturierter<br />
Kunststoffoberflächen<br />
...und vielen weiteren Themen.<br />
Aus aktuellem Anlass können sich die Themen<br />
kurzfristig verändern.<br />
Leserservice<br />
e-mAil:<br />
leserservice@oiv.de<br />
Telefon:<br />
+ 49 (0) 931 4170-1615<br />
66<br />
<strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
5 / 2011
Erreichen Sie die Top-Entscheider<br />
der Automatisierungstechnik.<br />
Sprechen Sie uns an wegen Anzeigenbuchungen<br />
und Fragen zu Ihrer Planung.<br />
Marcus Plantenberg: Tel. +49 (0) 89 55 07 99 09<br />
E-Mail: m.plantenberg@pms-plantenberg.de<br />
Annemarie Scharl-Send: Tel. +49 (0) 8144 9 96 95 12<br />
E-Mail: ass@salescomm.de
<strong>atp</strong> kompakt<br />
Methoden Verfahren Konzepte<br />
Sonderpreise<br />
für<br />
Abonnenten<br />
der <strong>atp</strong> <strong>edition</strong><br />
Die Automatisierungstechnik wird durch neue Forschungen und Entwicklungen bestimmt. Damit Ingenieure<br />
fit für ihren Job sind und die entscheidenden Trends in der Automatisierungstechnik schnell zur Hand haben,<br />
legt die Fachpublikation <strong>atp</strong> <strong>edition</strong> die Buchreihe <strong>atp</strong> kompakt auf. Alle darin enthaltenen Beiträge haben<br />
ein wissenschaftliches Gutachterverfahren durchlaufen.<br />
Herausgeber Prof. Dr.-Ing. Frank Schiller leitet am Lehrstuhl für Informationstechnik im Maschinenwesen der<br />
TU München das Fachgebiet Automatisierungstechnik.<br />
<strong>atp</strong> kompakt Band 1<br />
Erfolgreiches Engineering – Die wichtigsten Methoden<br />
Diese Ausgabe befasst sich mit den Methoden, Verfahren und Standards, die Sie in den nächsten Jahren im Engineering beschäftigen<br />
werden. Wichtige Kriterien sind die einfache Wiederverwendbarkeit von Komponenten, die Unterstützung durch geeignete Werkzeuge,<br />
die Erhöhung der Flexibilität von Anlagen sowie geeignete Modellierungs- und Gerätebeschreibungssprachen.<br />
1. Auflage 2010, 138 Seiten mit CD-ROM, Broschur, € 79,- • ISBN: 978-3-8356-3210-3<br />
Für Abonnenten<br />
€ 74,-<br />
<strong>atp</strong> kompakt Band 2<br />
Effiziente Kommunikation – Die bedeutendsten Verfahren<br />
Sie bekommen Einblick in die wachsende Bedeutung der industriellen Kommunikation und dem Wandel in der Gerätekommunikation.<br />
Einen Schwerpunkt bildet die Kommunikationstechnik in der Prozessautomatisierung mit deren besonderen Rahmenbedingungen wie<br />
dem Explosionsschutz. Die bedeutendsten Verfahren und Methoden der modernen Kommunikation werden praxisnah veranschaulicht.<br />
1. Auflage 2010, 72 Seiten mit CD-ROM, Broschur, € 59,- • ISBN: 978-3-8356-3212-7<br />
Für Abonnenten<br />
€ 54,-<br />
<strong>atp</strong> kompakt Band 3<br />
Praktische Messtechnik – Die besten Konzepte<br />
Dieser Band vermittelt wertvolles Know-how zu allen Aspekten der praktischen Messtechnik und fokussiert besonders die Prozessmesstechnik.<br />
Lernen Sie die Fortschritte in der Sensortechnik entlang der Technologie-Roadmap kennen und profitieren Sie von erstklassigen<br />
Konzepten zu kostengünstigen und effizienten Lösungen.<br />
1. Auflage 2010, 72 Seiten mit CD-ROM, Broschur, € 59,- • ISBN: 978-3-8356-3213-4<br />
Für Abonnenten<br />
€ 54,-<br />
<strong>atp</strong> kompakt Kollektion (Bände 1-3)<br />
Erfolgreiches Engineering Effiziente Kommunikation Praktische Messtechnik<br />
Mit dieser dreibändigen Kollektion zu den Themen Engineering, Kommunikation und Messtechnik erhalten Sie ein nützliches,<br />
kompakt und praxisnah aufbereitetes Kompendium zu den Kernthemen der Automatisierungstechnik. Die wertvolle Grundlage<br />
für Ihre tägliche und zukünftige Arbeit.<br />
1. Auflage 2010, ca. 282 Seiten mit CD-ROM, Broschur • € 179,- • ISBN: 978-3-8356-3221-9<br />
Für Abonnenten<br />
€ 169,-<br />
Sofortanforderung im Online-Shop www.oldenbourg-industrieverlag.de<br />
oder telefonisch +49 (0)201 / 82002-14<br />
OldenbOurg IndustrIeverlag gmbH<br />
vulkan-verlag gmbH<br />
www.oldenbourg-industrieverlag.de • www.vulkan-verlag.de