Lösung - Westfälische Wilhelms-Universität Münster

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Zu (c): Mit den Bezeichnungen aus (b) seien a = −3, b = 3, c = 4. ( ) ( ) ( −13 13 0 Also: S A = 1 , S 3 −3 B = 1 , S 3 −3 C = 1 3 4) ⇒ S A S B = 1 3√ 262 + 0 2 = 8 2 3 ∈ Q, S A S C = 1 3√ 132 + 7 2 = 1 3√ 218 ∉ Q, ⇒ S A S B ≠ S A S C ⇒ Behauptung ist falsch. Zu (b): Sei ∆ABC gegeben. Wähle ein Koordinatensystem so, dass A = (a, 0), B = (b, 0), C = (0, c), wobei a < b und o.B.d.A. c > 0. ( ) −c −a + c ( ) c b + c ( ) a − c −a Y S C ( 0 c) S X ( b + c b) ( ) ( a b 0 0) S B S A Dann lassen sich die übrigen Ecken leicht berechnen und seien der linksstehenden Skizze zu entnehmen. Mit S, S A , S B , S C seien die jeweiligen Schwerpunkte bezeichnet. Der Schwerpunkt dreier Punkte x, y, z ist 1 (x + y + z). 3 ( a Z ( ) b a − b a − b Man rechnet sofort nach, dass ( ) 3a − c 3S A = , 3S −b B = ( ( 3b + c , 3S a) C = 0 −a + b + 3c ) . 4
Also: 1 3 (S A + S B + S C ) = 1 3 Zugabe: Behauptung: A 2Z ZB 1 Beweis(skizze): = B 2X XC 1 ( a + b c) . = C 2A AA 1 ⇒ ∆XY Z und ∆ABC besitzen denselben Schwerpunkt. 1. Schwerpunkt von ∆A 2 B 2 C 2 ist S (analoge Rechnung wie in (b)). Genauso ist der Schwerpunkt ∆B 1 C 1 A 1 gleich S. 2. S(∆XY Z) = 1 3 (tA 2 + (1 − t)B 1 ) + 1 3 (tB 2 + (1 − t)C 1 ) + 1 3 (tY C + (1 − t)A 1 ) = t 1 3 (A 2 + B 2 + C 2 ) + (1 − t) 1 3 (B 1 + C 1 + A 1 ) = tS + (1 − t)S = S. 5
Seite 1 und 2: Westfälische Wilhelms-Universität
Seite 3: = (λ, 0), h P,|λ| ◦ s b (B) = h

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