Lösung - Westfälische Wilhelms-Universität Münster

Zu (c):
Mit den Bezeichnungen aus (b) seien a = −3, b = 3, c = 4.
( ) ( ) ( −13
13
0
Also: S A = 1 , S
3 −3 B = 1 , S
3 −3 C = 1 3 4)
⇒ S A S B = 1 3√
262 + 0 2 = 8 2 3 ∈ Q,
S A S C = 1 3√
132 + 7 2 = 1 3√
218 ∉ Q,
⇒ S A S B ≠ S A S C
⇒ Behauptung ist falsch.
Zu (b):
Sei ∆ABC gegeben. Wähle ein Koordinatensystem so, dass A = (a, 0), B = (b, 0), C =
(0, c), wobei a < b und o.B.d.A. c > 0.
( )
−c
−a + c
( )
c
b + c
( ) a − c
−a
Y
S C
( 0
c)
S
X
( b + c
b)
( ) ( a b
0
0)
S B
S A
Dann lassen sich die übrigen
Ecken leicht berechnen
und seien der linksstehenden
Skizze zu entnehmen.
Mit S, S A , S B , S C seien die
jeweiligen Schwerpunkte
bezeichnet. Der Schwerpunkt
dreier Punkte x, y, z
ist 1 (x + y + z).
3
(
a
Z
( )
b
a − b
a − b
Man rechnet sofort nach, dass
( ) 3a − c
3S A = , 3S
−b
B =
( (
3b + c
, 3S
a)
C =
0
−a + b + 3c
)
.
4