Lösung - Westfälische Wilhelms-Universität Münster

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Das Drehzentrum von d β,B ◦ d α,A muss natürlich gleichweit von A und A ′ , aber auch von B und B ′ entfernt sein. ⇒ Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der einzige Kandidat. ⇒ G Drehzentrum. Zu Aufgabe 2: Eine Klappstreckung ist die Verknüpfung einer Spiegelung s a und einer Streckung h P,λ mit dem Streckfaktor λ ∈ R und dem Streckzentrum P ∈ a. Zeigen Sie: (a) h P,λ ◦ s a = s a ◦ h P,λ . (b) Jede Klappstreckung h P,λ ◦ s a mit λ < 0 ist identisch mit der Klappstreckung h P,|λ| ◦ s b , wobei b die zu a senkrechte Gerade durch P ist. Lösung: Als affine Abbildung ist eine Klappstreckung eindeutig durch das Bild dreier Punkte, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen, festgelegt. O.B.d.A. sei a die x-Achse und P = (0, 0). Wir setzen: A = (1, 0), B = (0, 1). Zu (a): Es sei Wir erhalten nun f := h P,λ ◦ s a , g := s a ◦ h P,λ . f(P ) = (0, 0), f(A) = (λ, 0), f(B) = (0, −λ), sowie g(P ) = (0, 0), g(A) = (λ, 0), g(B) = (0, −λ). Offensichtlich sind die Abbildungen somit identisch. Zu (b): Mit den gleichen Punkten wie oben ist P auch hier in beiden Fällen ein Fixpunkt. Die Werte für f = h P,λ ◦ s a sind identisch mit denen aus Teil (a). b ist in diesem Falle die y-Achse und wir erhalten: h P,|λ| ◦ s b (A) = h P,|λ| (−1, 0) 2
= (λ, 0), h P,|λ| ◦ s b (B) = h P,|λ| (0, 1) = (0, −λ). Also sind auch diese beiden Abbildungen identisch. Zu Aufgabe 3: Bestimmen Sie den Friestyp der folgenden Bordüren: (a) . . . HHHH. . . (b) . . . SSSS. . . (c) . . . RRRR. . . (d) . . . . . . (e) . . . ∨ ∨ ∨ ∨ ∨. . . (f) . . . DDDD. . . (g) . . . ⌈⌊⌈⌊⌈⌊. . . (h) . . . ∪ ∩ ∪ ∩ ∪. . . Die Lösung befindet sich in einer separaten Bilddatei. Zu Aufgabe 4: Über den Seiten eines beliebigen Dreiecks ∆ABC werden nach außen Quadrate errichtet, und die äußeren Ecken nebeneinanderliegender Quadrate verbunden (s. Skizze). Die Schwerpunkte der Dreiecke ∆AA 1 A 2 , ∆BB 1 B 2 und ∆CC 1 C 2 seien P , Q und R. C 2 R C 1 A 1 A 2 B 1 B 2 Zeigen oder widerlegen Sie: (a) Die Dreiecke ∆AA 1 A 2 , ∆BB 1 B 2 , ∆CC 1 C 2 haben denselben Flächeninhalt wie das Dreieck ∆ABC. P Q (b) Der Schwerpunkt des Dreiecks ∆ABC ist identisch mit dem Schwerpunkt des Dreiecks ∆P QR. (c) Das Dreieck ∆P QR ist gleichseitig. Lösung: Zu (a): Es gilt: (i) A = 1 ab sin γ 2 (ii) sin ϕ = sin(180 ◦ − ϕ) = sin(360 ◦ − 90 ◦ − 90 ◦ − ϕ) Aus (i) und (ii) folgt die Behauptung. 3
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Seite 5: Also: 1 3 (S A + S B + S C ) = 1 3

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