Lösung - Westfälische Wilhelms-Universität Münster

Das Drehzentrum von d β,B ◦ d α,A muss natürlich gleichweit von A und A ′ , aber auch von
B und B ′ entfernt sein.
⇒ Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der einzige Kandidat.
⇒ G Drehzentrum.
Zu Aufgabe 2:
Eine Klappstreckung ist die Verknüpfung einer Spiegelung s a und einer Streckung h P,λ mit
dem Streckfaktor λ ∈ R und dem Streckzentrum P ∈ a. Zeigen Sie:
(a) h P,λ ◦ s a = s a ◦ h P,λ .
(b) Jede Klappstreckung h P,λ ◦ s a mit λ < 0 ist identisch mit der Klappstreckung
h P,|λ| ◦ s b , wobei b die zu a senkrechte Gerade durch P ist.
Lösung:
Als affine Abbildung ist eine Klappstreckung eindeutig durch das Bild dreier Punkte, die
nicht auf ein und derselben Geraden liegen, festgelegt. O.B.d.A. sei a die x-Achse und
P = (0, 0). Wir setzen:
A = (1, 0), B = (0, 1).
Zu (a): Es sei
Wir erhalten nun
f := h P,λ ◦ s a , g := s a ◦ h P,λ .
f(P ) = (0, 0), f(A) = (λ, 0), f(B) = (0, −λ),
sowie
g(P ) = (0, 0), g(A) = (λ, 0), g(B) = (0, −λ).
Offensichtlich sind die Abbildungen somit identisch.
Zu (b): Mit den gleichen Punkten wie oben ist P auch hier in beiden Fällen ein Fixpunkt.
Die Werte für f = h P,λ ◦ s a sind identisch mit denen aus Teil (a). b ist in diesem Falle die
y-Achse und wir erhalten:
h P,|λ| ◦ s b (A) = h P,|λ| (−1, 0)
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