Lösung - Westfälische Wilhelms-Universität Münster
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<strong>Westfälische</strong> <strong>Wilhelms</strong>-<strong>Universität</strong> <strong>Münster</strong><br />
Mathematisches Institut<br />
apl. Prof. Dr. Lutz Hille<br />
Dr. Karin Halupczok<br />
Übungen zur Vorlesung<br />
Elementare Geometrie<br />
Sommersemester 2010<br />
Musterlösung zu Blatt 7<br />
vom 31. Mai 2010<br />
erstellt von M. Holl, M. Möller, F. Springer<br />
Zu Aufgabe 1:<br />
Gegeben seien die Punkte A = (0, 0) und B = (3, 0) im R 2 , und für C, D ∈ R 2 sei<br />
α := ∡BAC und β := ∡DBA. Mit d α,A bezeichnen wir die Drehung um A mit dem<br />
Drehwinkel α. Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal das Drehzentrum der Drehung<br />
d β,B ◦ d α,A , falls<br />
(a) C = (1, 2), D = (1, 1), (b) C = (1, 2), D = (2, −1),<br />
(c) C = (1, 2), D = (5, 1), (d) C = (1, 2), D = (5, −2).<br />
<strong>Lösung</strong>:<br />
Ziel: Drehzentrum von d β,B ◦ d α,A konstruieren.<br />
Konstruiere Senkrechte durch die Strecke AB (2 Kreise, die sich schneiden und dann<br />
Gerade durch die Schnittpunkte).<br />
E ′ Schnittpunkt von Senkrechte und Gerade durch AC.<br />
Kreis um A mit Radius |AE ′ |<br />
Schnittpunkt mit Senkrechte = E<br />
Kreis um A mit Radius |AB|<br />
Schnittpunkt vom Kreis mit Gerade durch AB = B ′<br />
⇒ d β,B ◦ d α,A (B ′ ) = d β,B (B) = B.<br />
F ′ = Schnittpunkt der Senkrechten EE ′ mit Geraden BD<br />
Kreis mit Radius |BF ′ | um B<br />
Schnittpunkt dieses Kreises mit Senkrechte EE ′ = F<br />
Kreis um B mit Radius |AB|<br />
Schnittpunkt davon mit Gerade BF = A ′<br />
⇒ d β,B (d α,A (A ′ )) = d β,B (A) = A ′ .<br />
Schlage nun Kreise um B, B ′ und A, A ′ mit jeweils demselben Radius (genügend groß, so<br />
dass sie sich schneiden). Die Gerade durch diese Schnittpuntke der Kreise besteht dann<br />
aus den Punkten, die gleichweit von B, B ′ bzw. A, A ′ entfernt sind.<br />
1
Das Drehzentrum von d β,B ◦ d α,A muss natürlich gleichweit von A und A ′ , aber auch von<br />
B und B ′ entfernt sein.<br />
⇒ Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der einzige Kandidat.<br />
⇒ G Drehzentrum.<br />
Zu Aufgabe 2:<br />
Eine Klappstreckung ist die Verknüpfung einer Spiegelung s a und einer Streckung h P,λ mit<br />
dem Streckfaktor λ ∈ R und dem Streckzentrum P ∈ a. Zeigen Sie:<br />
(a) h P,λ ◦ s a = s a ◦ h P,λ .<br />
(b) Jede Klappstreckung h P,λ ◦ s a mit λ < 0 ist identisch mit der Klappstreckung<br />
h P,|λ| ◦ s b , wobei b die zu a senkrechte Gerade durch P ist.<br />
<strong>Lösung</strong>:<br />
Als affine Abbildung ist eine Klappstreckung eindeutig durch das Bild dreier Punkte, die<br />
nicht auf ein und derselben Geraden liegen, festgelegt. O.B.d.A. sei a die x-Achse und<br />
P = (0, 0). Wir setzen:<br />
A = (1, 0), B = (0, 1).<br />
Zu (a): Es sei<br />
Wir erhalten nun<br />
f := h P,λ ◦ s a , g := s a ◦ h P,λ .<br />
f(P ) = (0, 0), f(A) = (λ, 0), f(B) = (0, −λ),<br />
sowie<br />
g(P ) = (0, 0), g(A) = (λ, 0), g(B) = (0, −λ).<br />
Offensichtlich sind die Abbildungen somit identisch.<br />
Zu (b): Mit den gleichen Punkten wie oben ist P auch hier in beiden Fällen ein Fixpunkt.<br />
Die Werte für f = h P,λ ◦ s a sind identisch mit denen aus Teil (a). b ist in diesem Falle die<br />
y-Achse und wir erhalten:<br />
h P,|λ| ◦ s b (A) = h P,|λ| (−1, 0)<br />
2
= (λ, 0),<br />
h P,|λ| ◦ s b (B) = h P,|λ| (0, 1)<br />
= (0, −λ).<br />
Also sind auch diese beiden Abbildungen identisch.<br />
Zu Aufgabe 3:<br />
Bestimmen Sie den Friestyp der folgenden Bordüren:<br />
(a) . . . HHHH. . . (b) . . . SSSS. . . (c) . . . RRRR. . . (d) . . . . . .<br />
(e) . . . ∨ ∨ ∨ ∨ ∨. . . (f) . . . DDDD. . . (g) . . . ⌈⌊⌈⌊⌈⌊. . . (h) . . . ∪ ∩ ∪ ∩ ∪. . .<br />
Die <strong>Lösung</strong> befindet sich in einer separaten Bilddatei.<br />
Zu Aufgabe 4:<br />
Über den Seiten eines beliebigen Dreiecks ∆ABC werden nach außen Quadrate errichtet,<br />
und die äußeren Ecken nebeneinanderliegender Quadrate verbunden (s. Skizze). Die<br />
Schwerpunkte der Dreiecke ∆AA 1 A 2 , ∆BB 1 B 2 und ∆CC 1 C 2 seien P , Q und R.<br />
C 2<br />
R<br />
C 1<br />
A 1<br />
A 2<br />
B 1<br />
B 2<br />
Zeigen oder widerlegen Sie:<br />
(a) Die Dreiecke ∆AA 1 A 2 , ∆BB 1 B 2 ,<br />
∆CC 1 C 2 haben denselben Flächeninhalt<br />
wie das Dreieck ∆ABC.<br />
P<br />
Q<br />
(b) Der Schwerpunkt des Dreiecks ∆ABC<br />
ist identisch mit dem Schwerpunkt des<br />
Dreiecks ∆P QR.<br />
(c) Das Dreieck ∆P QR ist gleichseitig.<br />
<strong>Lösung</strong>:<br />
Zu (a): Es gilt:<br />
(i) A = 1 ab sin γ<br />
2<br />
(ii) sin ϕ = sin(180 ◦ − ϕ) = sin(360 ◦ − 90 ◦ − 90 ◦ − ϕ)<br />
Aus (i) und (ii) folgt die Behauptung.<br />
3
Zu (c):<br />
Mit den Bezeichnungen aus (b) seien a = −3, b = 3, c = 4.<br />
( ) ( ) ( −13<br />
13<br />
0<br />
Also: S A = 1 , S<br />
3 −3 B = 1 , S<br />
3 −3 C = 1 3 4)<br />
⇒ S A S B = 1 3√<br />
262 + 0 2 = 8 2 3 ∈ Q,<br />
S A S C = 1 3√<br />
132 + 7 2 = 1 3√<br />
218 ∉ Q,<br />
⇒ S A S B ≠ S A S C<br />
⇒ Behauptung ist falsch.<br />
Zu (b):<br />
Sei ∆ABC gegeben. Wähle ein Koordinatensystem so, dass A = (a, 0), B = (b, 0), C =<br />
(0, c), wobei a < b und o.B.d.A. c > 0.<br />
( )<br />
−c<br />
−a + c<br />
( )<br />
c<br />
b + c<br />
( ) a − c<br />
−a<br />
Y<br />
S C<br />
( 0<br />
c)<br />
S<br />
X<br />
( b + c<br />
b)<br />
( ) ( a b<br />
0<br />
0)<br />
S B<br />
S A<br />
Dann lassen sich die übrigen<br />
Ecken leicht berechnen<br />
und seien der linksstehenden<br />
Skizze zu entnehmen.<br />
Mit S, S A , S B , S C seien die<br />
jeweiligen Schwerpunkte<br />
bezeichnet. Der Schwerpunkt<br />
dreier Punkte x, y, z<br />
ist 1 (x + y + z).<br />
3<br />
(<br />
a<br />
Z<br />
( )<br />
b<br />
a − b<br />
a − b<br />
Man rechnet sofort nach, dass<br />
( ) 3a − c<br />
3S A = , 3S<br />
−b<br />
B =<br />
( (<br />
3b + c<br />
, 3S<br />
a)<br />
C =<br />
0<br />
−a + b + 3c<br />
)<br />
.<br />
4
Also: 1 3 (S A + S B + S C ) = 1 3<br />
Zugabe:<br />
Behauptung: A 2Z<br />
ZB 1<br />
Beweis(skizze):<br />
= B 2X<br />
XC 1<br />
( a + b<br />
c)<br />
.<br />
= C 2A<br />
AA 1<br />
⇒ ∆XY Z und ∆ABC besitzen denselben Schwerpunkt.<br />
1. Schwerpunkt von ∆A 2 B 2 C 2 ist S (analoge Rechnung wie in (b)).<br />
Genauso ist der Schwerpunkt ∆B 1 C 1 A 1 gleich S.<br />
2.<br />
S(∆XY Z) = 1 3 (tA 2 + (1 − t)B 1 ) + 1 3 (tB 2 + (1 − t)C 1 ) + 1 3 (tY C + (1 − t)A 1 )<br />
= t 1 3 (A 2 + B 2 + C 2 ) + (1 − t) 1 3 (B 1 + C 1 + A 1 ) = tS + (1 − t)S = S.<br />
5