Skript

und das ist die erweiterte Form der Tikhonov–Regularisierung mit dem Spezialfall
F = I, den wir bereits im zweiten Kapitel behandelt haben.
Nun zu F : F gibt an, wie die einzelnen Komponenten von f k zusammenhängen.
In einem Bild etwa würde man vermuten, dass es einen deutlichen Zusammenhang
zwischen den Werten benachbarter Pixel gibt (über viele Bilder
gemittelt). Die Kovarianz zwischen zwei Pixeln sollte also von ihrer Entfernung
abhängen und schnell fallen. Die genaue Wahl von F hängt dann natürlich
wieder vom persönlichen Geschmack ab. Ein ausgebreitetes F mit großem Zusammenhang
der Pixel führt zu glatten Ergebnissen.
Im Allgemeinen führt uns also die Annahme normalverteilter Fehler und Zufallsvariablen
auf die schon bekannte Tikhonov–Regularisierung (oder eine ihrer
Varianten). Im Fall poissonverteilter Variablen sind die Verhältnisse besser,
wir erhalten ein neues Verfahren.
5.8.3 Statistische Regularisierung: Maximum Likelihood und EM–Verfahren
für die Poissonverteilung
Gesucht ist eine Lösung des linearen Gleichungssystems
Af = g
mit A ∈ R n×m und g ∈ N n . Dies interpretieren wir im Sinne der Vorbemerkungen
z.B. für die Emissionstomographie als:
Seien F , G Poisson–verteilte Zufallsvariablen. Sei f der Mittelwert von F , und
es gelte
E(AF ) = Af = E(G).
Bekannt sei eine Realisierung g von G. Bestimme die Maximum–Likelihood–
Lösung als Maximierer von L.
Nach der Modellierung gilt (a ij ) ≥ 0 und insbesondere die Nebenbedingung
f i ≥ 0. Wir schränken uns also bei der Suche auf diesen (physikalisch sinnvollen)
Unterraum ein.
Bemerkung: Formale Ersetzung der Multiplikation durch die Addition und der
Division durch die Subtraktion (also: formales Logarithmieren) liefert einfach
nur das Kaczmarz–Verfahren. Tatsächlich lässt sich das EM–Verfahren als multipliktives
Kaczmarz–Verfahren deuten und analysieren.
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