Skript

Dabei ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert durch
p(Y 1 = f|Y 2 = g) =
p(Y = (f, g))
∫
p(Y = (y, g))dy
Beweis: Alle ohne Beweis, durch einfaches Nachrechnen in den Übungen.
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Mit dieser Vorbemerkung können wir in einem einfachen Fall den Bayes–Schätzer
direkt ausrechnen. Zu bestimmen sei die Realisierung einer Zufallsvariable
f mit Mittelwert f. Es steht eine Messung, d.h. eine Realisierung g der Zufallsvariable
g = Af + n zur Verfügung, wobei n ein (0, σ 2 I)–normalverteiltes Rauschen
ist. Wir machen weiter die Annahme, dass f ebenfalls normalverteilt ist
mit (f, F ) und dass f und n voneinander unabhängig sind. Auf diese letzte
(unrealistische) Annahme lässt sich verzichten, sie macht aber die Rechnung
extrem einfach.
Wir betrachten die Zufallsvariable Y = (f, n) t , sie ist
(( f
0
) ( F 0
,
0 σ 2 I
))
−
normalverteilt. Wir wählen
( I 0
C =
A I
)
(
, Z = CY =
f
Af + n
)
.
Damit ist nach Teil 2 des Satzes Z
(( ) ( f F F A
t
,
0 AF AF A t + σ 2 I
))
−
normalverteilt. Mit dem dritten Teil des Satzes gilt dann
f Bayes = E(f|(g = g))
= f + F A t (AF A t + σ 2 I) −1 (g − Af).
Wir müssen nun noch klären, was wir mit f meinen. Dies ist das mittlere Bild,
das wir bei vielen Messungen als Durchschnitt erhalten würden. Falls wir also
eine Schätzung für dieses mittlere Bild kennen, also ungefähr wissen, was
auf den Bildern zu sehen ist, so wählen wir f als diese Schätzung. Dies ist bei
allen Regularisierungen sinnvoll: Falls man ungefähr weiß, wie das Ergebnis
aussieht, sollte man als Regularisierungsterm die Abweichung von diesem Idealtyp
(“prior”) bestrafen, nicht die Größe der Norm selbst. Falls nicht, wählen
wir f = 0 und erhalten die normale Tikhonov–Regularisierung zurück:
f Bayes = F A t (AF A t + σ 2 I) −1 g
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