Skript

L(f) heißt Likelihoodfunktion. Man kann sich nun fragen: Grundsätzlich ist
es ja (durch den Zufallscharakter der Messungen) möglich, bei jedem vorliegenden
f jedes g zu messen. Die Wahrscheinlichkeiten sind aber deutlich unterschiedlich.
Gegeben eine Messung g, welches f würde die Messung g mit
höchster Wahrscheinlichkeit liefern? Dieses f maximiert offensichtlich die Likelihoodfunktion,
also
f ML = arg max L(f)
und heißt deshalb (Überraschung) Maximum–Likelihood–Lösung von Af = g.
Man könnte auch fragen: Gegeben ein g, was ist der Erwartungswert für f unter
der Vorraussetzung γ = g, also
f Bayes = E(f|γ = g).
Das so definierte f heißt Bayes–Schätzer für f.
Maximum Likelihood werden wir im folgenden für Poisson, die Bayes–Schätzer
für die Gaussverteilung untersuchen.
5.8.2 Statistische Regularisierung: Bayes–Schätzer für die Normalverteilung
Eine übliche Annahme für Messfehler ist, dass sie unabhängig voneinander
normalverteilt sind mit Mittelwert 0. In diesem Teil zeigen wir: Bayes–Schätzer
für diesen Fall liefern (mit sehr harten Annahmen!) die Tikhonov–Regularisierung.
Satz 5.8.1. (statistische Grundbegriffe)
1. Sei K ∈ R n×n positiv definit, µ ∈ R n , und Y eine Zufallsvariable im R n
mit
1
p(Y = y) =
(2π) n/2 |K|−1/2 e − 1 2 (y−µ)t K −1 (y−µ)
wobei |K| die (positive) Determinante von K ist. Dann heißt Y (µ, K)–
normalverteilt, mit Mittelwert µ und Kovarianzmatrix K.
2. Sei Y (µ, K)–normalverteilt, Z = CY , C ∈ R n×n regulär. Dann ist Z
(Cµ, CKC t )–normalverteilt.
3. Sei
Y =
( ) ( ) ( )
Y1
µ1
K11 K
, µ = , K =
12
Y 2 µ 2 K12 t K 22
und Y (µ, K)–normalverteilt. Dann ist Y 1 |Y 2 = g ebenfalls normalverteilt
mit Mittelwert µ 1 + K 12 K22 −1 (g − µ 2) und Kovarianz K 11 − K 12 K22 −1 Kt 12 .
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