Skript

mit der GDGL
und damit rekursiv
p k+1 (t) = c(p k (t) − p k+1 (t)), p k+1 (0) = 0
p k (t) = (ct)k e −ct .
k!
Sei nun t fest, λ = ct, dann gilt für die Zufallsvariable X, die die Anzahl der
zerfallenden Teilchen im Zeitintervall t angibt,
−λ λk
p(X = k) = e
k! .
Nach der Herleitung erwarten wir, dass in einem Intervall der Länge t im Durchschnitt
ct Zerfälle auftreten, tatsächlich gilt:
E(X) = Var(X) = λ.
Wir betrachten nun ein voll diskretes Modell in R 2 . Wir nehmen an, dass die gesamte
radioaktive Verteilung im Einheitskreis liegt, der mit Pixeln diskretisiert
ist. Sei ϕ i die Anzahl der Teilchen, die in einem Pixel in einer gegebenen Zeit
zerfällt. ϕ i ist Realisierung einer Zufallsvariable mit der Poisson–Verteilung
für k ∈ N. Es gilt
p(ϕ i = k) = e −f i f k i
k!
E(ϕ i ) = f i
und nach der Vorbemerkung ist f i proportional zur Länge des Zeitintervalls und
zur Menge der Radioaktivität in Pixel i.
Sei a ij die Wahrscheinlichkeit, dass ein im Pixel i emittiertes Teilchen auf der
Messlinie L j gemessen wird, und sei A = (a ji ). Sei γ j die Zufallsvariable der
Anzahl der gemessenen Teilchen auf Linie L j . Dann ist γ j wieder eine Poisson–
verteilte Zufallsvariable. Im Durchschnitt werden aus Pixel i a ji f i Teilchen auf
die Linie j emittiert, wir erhalten also für den Erwartungswert von γ j
E(γ j ) = ∑ i
a ji f i = (Af) j
und damit ist der Parameter der Poisson–Verteilung bestimmt.
Wie wahrscheinlich ist es, dass bei tatsächlich vorliegender Realisierung der
Radioaktivitätsverteilung f ein Messvektor g gemessen wird? Wir haben gerade
gesehen
p(γ j = g j ) = e −λ λg j
g j ! , λ = (Af) j.
Unter der Annahme, dass die γ j unabhängig sind, ergibt sich also
L(f) := p(γ = g|f) =
n∏
j=1
93
(Af) g j
j
g j !
e −(Af) j
=: L(f).