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und (R j R ∗ j g)(s) = ∫ g(x · θ j ) dx = x·θ j =s, ||x||
entsprechend statistisch optimale Rekonstruktionverfahren zu entwickeln. Aus Zeitgründen gehen wir nur sehr oberflächlich auf die Verfahren ein, eine bessere Diskussion findet sich beispielsweise bei Louis ([12]). Wir setzen einige einfache statistische Grundkenntnisse voraus. 5.8.1 Poisson–Verteilung und Emissionstomographie Bei der Messung eines physikalischen Werts gehen wir üblicherweise davon aus, dass die Messwerte statistisch Realisierungen einer Gauss–Normalverteilung sind, deren Mittelwert der korrekte physikalische Wert ist. Wir werden sehen, dass darauf aufbauende statistische Regularisierungsverfahren leider nur das Tikhonov–Verfahren zurückliefern, das damit zwar eine statistische Begründung besitzt, uns aber nichts Neues sagt. Interessanter wird es, wenn wir den Grenzfall für diskrete Messungen betrachten, wie er etwa bei der Emissionstomographie (PET, SPECT) auftritt. Hierbei wird ein radioaktiv markierter Stoff einem Patienten gespritzt, die radioaktiven Zerfälle des Stoffs auf Geraden durch den Körper werden gezählt. Offensichtlich ist, falls die Zahl der Zerfälle sehr groß ist, die Messung proportional zur Menge des Stoffs auf der Geraden. Aber: Häufig ist die Anzahl sehr klein (meist ca. 10) und natürlich ganzzahlig, wir müssen also genauer hinschauen. Die Anzahl radioaktiver zerfallender Teilchen in einem Volumen genügt der Poisson–Verteilung. Diese wollen wir ganz kurz sehr heuristisch herleiten. Sei p k (t) die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Zeitintervall der Länge t genau k Teilchen zerfallen. Für sehr kleines t ist die Wahrscheinlichkeit, dass man überhaupt nur einen Zerfall findet, proportional zur Länge des Intervalls, also und damit p 1 (∆t) = c∆t p 0 (∆t) = 1 − c∆t, p 0 (0) = 1. Unter der Annahme, dass wir sehr viele Teilchen haben, ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Zeitintervall ein Teilchen zerfällt, nicht davon abhängig, wie viele vorher schon zerfallen sind. Die Ereignisse “es passiert nichts in [0, t]” und “es passiert nichts in [0, t + ∆t]” sind also unabhängig, und es gilt p 0 (t + ∆t) = p 0 (t)p 0 (∆t) = p 0 (t)(1 − c∆t). Teilen durch ∆t und betrachten des Limes ∆t ↦→ 0 liefert und damit p ′ 0(t) = −cp 0 (t) p 0 (t) = e −ct wegen der Nebenbedingung p 0 (t) = 1. Mit derselben Begründung gilt p k+1 (t + ∆t) = p k+1 (t)p 0 (∆t) + p k (t)p 1 (∆t) = p k+1 (t)(1 − c∆t) + p k (t)c∆t 92
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Inverse und schlecht gestellte Prob
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5.4 Konjugierte-Gradienten-Verfahre
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also Stationär: Beispiele: SAR, St
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d.h. die Genauigkeit der Approximat
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Bemerkung 1.2.1. 1. Die obige Rechn
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zeigt, dass neben der Probleme, die
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Wir entwickeln die gesuchte Funktio
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Kapitel 2 Grundlagen Wie wir in den
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• A ist stetig bezüglich L 2 (Ω
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Definition 2.1.3 (kleinste Quadrate
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Bemerkung 2.1.12. karl • A ∗ Ax
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Da A kompakt ist, besitzt (y n ) n
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Theorem 2.2.10. Sei A ∈ L(X, Y )
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Durch Koeffizientenvergleich folgt:
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Kapitel 3 Regularisierungstheorie I
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Beweis. Sei y ∈ D(T † ) beliebi
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und weiterhin gilt. lim δC α(δ)
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Normalengleichungen. Außerdem ist
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Durch die Unstetigkeit an 0 wird di
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Kapitel 4 Inverse Probleme der Inte
Seite 41 und 42: zu θ(ϕ k ) durchgeführt, daher h
Seite 43 und 44: 4.2 Funktionalanalytische Grundlage
Seite 45 und 46: ̂f a (ξ) = (2π) −n/2 ∫ R n =
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Seite 49 und 50: aber f ∉ L 2 (R 2 ). Die Fouriert
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Seite 57 und 58: = (2π) 1/2 ̂f(ξ) □ Satz 4.2.20
Seite 59 und 60: ist ˜f(x) zumindest schon mal posi
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Seite 71 und 72: Beweis: Sei w ∈ S(R n ) eine Test
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Seite 87 und 88: Satz 5.5.2. Gesucht sei die Lösung
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Seite 91: linearisiert. Seien also nun die R
Seite 95 und 96: L(f) heißt Likelihoodfunktion. Man
Seite 97 und 98: und das ist die erweiterte Form der
Seite 99 und 100: Literaturverzeichnis [1] Ȧ. Björc
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