Skript

linearisiert. Seien also nun die R k (f) nichtlinear, und sei R
k ′ (f) die Jakobimatrix
von R k an der Stelle f, bzw. die Frechet–Ableitung im Fall kontinuierlicher
Operatoren. Wir ersetzen dann im j. Schritt
g k = R(f k+1 ) = R k (f k + ˜f) ∼ R k (f k ) + R ′ k (f k) ˜f
und damit für den Updateschritt, ganz analog zum linearen Fall,
f k+1 = f k + ωR ′ k (f k) t (R ′ k (f k)R ′ k (f k) t ) −1 (g k − R k (f k )).
5.7 Iterative Methoden für die Computertomographie
Am Anfang des Kapitels über die Computertomographie haben wir bereits ein
diskretes Modell diskutiert. Wir wollen dies nun mit dem Kaczmarz–Verfahren
lösen.
Es stellt sich die Frage, warum man überhaupt daran interessiert ist, das diskrete
System zu invertieren, wir haben ja im Kapitel über die CT gezeigt, dass
die Radon–Transformation mit der gefilterten Rückprojektion eine gut implementierbare
analytische Inverse besitzt.
Leider ist diese in Nicht–Standard–Fällen nicht anwendbar. Wir sind von der
einfachen Parallelgeometrie ausgegangen, tatsächlich braucht jede Messgeometrie
einen eigenen Inversionsalgorithmus. Den diskreten Verfahren dagegen
ist die Geometrie völlig egal, der Lösungsalgorithmus ist grundsätzlich immer
derselbe. Wir werden der Einfachheit halber trotzdem wieder die Parallelgeometrie
im R 2 betrachten.
Das Standard–Iterationsverfahren ist das Kaczmarz–Verfahren. Wir erinnern
kurz an das Beispiel aus Abschnitt 4.1. Wir haben p Richtungen θ k , für die wir
g k (s) = Rf(θ k , s) = (R k f)(s) messen (wir diskretisieren zunächst nur im Winkel,
nicht im Abstand). Jede Richtung liefert uns dann die lineare Gleichungssysteme
mit
(R k f)(s) = g k (s)
R k : L 2 (||x|| < 1) ↦→ L 2 (|s| < 1), (R k f)(s) = (Rf)(θ k , s).
Wir wollen dies so weit wie möglich analytisch in s betrachten, dann gilt (f ∈
L 2 (||x|| < 1), g ∈ L 2 (|s| < 1)):
(g, (R j f)) =
=
∫ 1
−1
∫
g(s)
||x||