Skript

und damit für das Residuum
Insbesondere gilt also
e k := f k − f + = Qe k−1 .
e k = Q k e 0 = Q k f +
wegen unserer Wahl von f 0 . Wir sind also fertig, falls ||Q|| < 1 in irgendeiner
Norm. Dies kann aber wegen Q| Ker(R)
= I nicht der Fall sein. Glücklicherweise
liegt f + aber im Orthogonalraum, es reicht also zu zeigen, dass ||Q| Ker(R) ⊥|| <
1.
Zunächst gilt
||Q j f|| 2 2 = ||f|| 2 2 − 2ω(f, RjC t j
−1 R j f) + ω 2 (R j RjC t j
−1 R j f, Cj −1 R j f)
} {{ }
≤ ||f|| 2 2 − (2ω − ω 2 )(R } {{ } j f, Cj −1 R j f)
>0
≤ ||f|| 2 2
≤(C j C −1
j R j f,C −1
j R j f)
mit Gleichheit nur für f im Kern von R j , denn Cj
−1 ist positiv definit. Dann ist
aber auch
||Qf|| 2 2 ≤ ||f|| 2 2
mit Gleichheit nur für f im Kern von R. Falls X endlichdimensional ist, so gilt:
Die Einheitskugel ist kompakt, also ist auch der Schnitt von Ker(R) ⊥ mit der
Einheitskugel kompakt und stetige Funktionen nehmen ihr Maximum dort an.
Also gilt
||Q| Ker(R) ⊥|| 2 2 = sup ||Qf|| 2 2 < 1
||f||=1, f∈Ker(R) ⊥
und der Satz ist bewiesen. Für unendlichdimensionales X muss man hier noch
etwas rechnen ([15]).
□
Zurück zum Landweber–Beispiel: Für p = 0 wählen wir C k = σ 2 0 I, σ 0 der größte
Singulärwert von A. Dann erhalten wir das Landweber–Verfahren mit dem
Iterationsparameter
τ = ω 2 /σ 2 0
und Konvergenz des Landweber–Verfahrens für τ < 2/σ0 2 , dies ist der schon
bekannte Satz. Die bekannten Konvergenzsätze des SOR–Verfahrens lassen
sich ebenso ableiten.
In den inversen Problemen muss ω typischerweise extrem klein gewählt werden.
Die Konvergenzgeschwindigkeit hängt stark von der Anordnung der Gleichungen
ab, dies werden wir im nächsten Kapitel sehen.
Bemerkung: Kaczmarz ist eine sehr attraktive Methode auch für nichtlineare
Probleme. In diesem Fall wird in jedem Schritt durch Bildung der Jakobi–Matrix
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