Skript

Bemerkung 1.2.1. 1. Die obige Rechnung funktioniert nur, wenn wir annehmen,
dass die ungestörten Daten f zweimal stetig differenzierbar sind.
Dies ist natürlich im Allgemeinen nicht klar.
2. Um die Konvergenz für δ → 0 zu erreichen, mussten wir den Parameter ɛ
in Abhängigkeit von δ wählen. Wir werden später zeigen das dies essenziell
ist.
1.3 Beispiel: Inverse Wärmeleitungsgleichung
Wir betrachten die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung
u t = u xx , x ∈ R, t ∈ R + .
Das direkte Problem ist wie folgt definiert (vgl. [5, 3]):
DP:
Es sei u 0 ∈ C(R) ∩ L ∞ (R) gegeben, so das u(x, 0) = u 0 (x).
Bestimme u(x, t) für alle x ∈ R, t > 0.
In einer Ortsdimension können wir das Problem explizit durch Seperation der
Variablen lösen. Mit dem Ansatz u(x, t) = u 1 (x)u 2 (t) ergibt sich
u 1 (x)u ′ 2(t) = u ′′
1(x)u 2 (t)
also
u ′′
1 (x)
u 1 (x) = u′ 2 (t)
u 2 (t) = const =: −k2 .
Es ergeben sich daher Lösungen der Form
u(x, t) = e −k2t (c 1 sin(kx) + c 2 cos(kx)).
Lösungen der Wärmeleitungsgleichung haben also glättende Eigenschaften,
insbesondere für hohe Frequenzen k, und wir erwarten daher für das inverse
Problem definiert als
IP:
Geben sei u T (x) für ein festes T ∈ R, so das u(x, T ) = u T (x).
Bestimme u(x, t) für alle x ∈ R, t < T .
die gleichen Schwierigkeiten wie in Beispiel 1.2. Um das inverse Problem zu
lösen, müssen wir also die Wärmeleitungsgleichung rückwärts in der Zeit betrachten.
Es ergibt sich
u(x, t) = e +k2 (T −t) (c 1 sin(kx) + c 2 cos(kx)).
Durch den Faktor e +k2 (T −t) werden Störungen mit hoher Frequenz verstärkt, es
gilt insbesondere
‖u‖ L ∞ (R×(0,T )) → ∞ as k → ∞,
d.h. der inverse Operator ist unbeschränkt und daher unstetig.
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